Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > BAC 2025 TOUJOURS : DES SUJETS VENUS D'AILLEURS

Bac Tunisie 2025 série Economie Gestion

Coefficient : 2

Durée : 2 heures

5 points

exercice 1

On donne ci-après un graphe orienté $(G)$ dont les sommets sont : $A, B, C$ et $D$ (pris dans cet ordre).

Bac Tunisie 2025 série Economie Gestion : image 1

Soit $M$ la matrice associée à $(G)$ et soit $I$ la matrice unité d'ordre $4$ .

On donne ci-dessous les matrices :

$M^2=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ , $M^3=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ , $M^4=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$(M+I)^2=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ , $(M+I)^3=\begin{pmatrix} 5 & 7 & 4 & 5\\ 4 & 6 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 2 & 3\\ 3 & 4 & 3 & 3 \end{pmatrix}$ et $(M+I)^4=\begin{pmatrix} 12 & 17 & 11 & 14\\ 10 & 16 & 10 & 14\\ 4 & 7 & 5 & 6\\ 7 & 10 & 7 & 9 \end{pmatrix}$ .

Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte.

Recopier chaque fois, sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondante à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée.

1. L'ordre du graphe $(G)$ est égal à :

$\text a)\quad 3\qquad \text b) \quad 4\qquad \text c) \quad 5$

2. La matrice $M$ est égale à :

$\text a) \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\qquad \text b) \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\qquad \text c) \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

3. Le nombre de chaînes de longueur $3$ allant du sommet $A$ au sommet $D$ est égal à :

$\text a)\quad 1\qquad \text b) \quad 2\qquad \text c) \quad 3$

4. La distance entre les sommets $C$ et $A$ est égale à :

$\text a)\quad 2\qquad \text b) \quad 3\qquad \text c) \quad 4$

5. Le diamètre du graphe $(G)$ est égal à :

$\text a)\quad 2\qquad \text b) \quad 3\qquad \text c) \quad 4$

4 points

exercice 2

Soient $A$ et $B$ les matrices suivantes :

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 0 & -6 & -3 \\ 3 & -7 & 4 \\ -3 & 4 & -1 \end{pmatrix}$ .

1. a. Calculer le déterminant de la matrice $A$ et montrer qu'elle est inversible.

1. b. Montrer que $A \times B = -9I_3$ . En déduire la matrice $A^{-1}$ inverse de $A$ .

2. Le technicien d'une banque chargé de l'alimentation de la machine de distribution des billets d'argent (DAB) dispose d'une somme totale de $28500$ dinars composée de $1800$ billets sous trois types :

$\star$ des billets de $10$ dinars,

$\star$ des billets de $20$ dinars,

$\star$ des billets de $50$ dinars.

On suppose que le nombre de billets de $10$ dinars est le double de celui du reste des billets.

2. a. Montrer que la situation décrite ci-avant se traduit par le système suivant :

$(S)~:~\begin{cases} x + y + z = 1800 \\ 10x + 20y + 50z = 28500 \\ x = 2(y + z) \end{cases}$

2. b. Donner l'écriture matricielle du système $(S)$ .

2. c. Déterminer alors le nombre de billets de chaque type.

5 points

exercice 3

Une étude statistique faite sur les moyens de transport qu'utilisent les étudiants résidant dans un foyer universitaire entre le foyer et leur campus universitaire a montré que :

$\star$ le taxi et le bus sont les seuls moyens de transport utilisés.

$\star$ Le moyen de transport utilisé par un étudiant en aller peut être changé en retour.

$\star$ Chaque étudiant fait un seul déplacement aller et retour chaque jour.

$\star$ $90\%$ des étudiants utilisent le bus en aller.

$\star$ $95\%$ des étudiants qui ont choisi le bus en aller le choisissent aussi en retour.

$\star$ $60\%$ des étudiants qui ont choisi le taxi en aller choisissent le bus en retour. On interroge au hasard un étudiant de ce foyer universitaire et on considère les événements suivants :

$E$ : « l'étudiant choisit le bus en aller ».

$F$ : « l'étudiant choisit le taxi en retour ».

1. Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-après.

Bac Tunisie 2025 série Economie Gestion : image 2

2. a. Calculer la probabilité qu'un étudiant choisisse le taxi en aller et en retour.

2. b. Montrer que la probabilité qu'un étudiant change le moyen de transport au retour est égale à $0.105$ .

3. Le coût d'un aller ou d'un retour d'un étudiant est de $0.5$ dinars en bus et de $3$ dinars en taxi.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le coût en dinars d'un déplacement d'un étudiant pendant un jour (aller et retour).

3. a. Déterminer la loi de probabilité de $X$ .

3. b. Vérifier que l'espérance mathématique de $X$ est égale à $1.4625$ .

3. c. Une association estudiantine veut rembourser pour $100$ étudiants leurs frais de déplacement pendant $100$ jours. Quel est en dinars le montant moyen prévu par cette association pour ce remboursement ?

6 points

exercice 4

On considère la fonction $f$ définie sur $[0, +\infty[$ par : $f(x) = 3x\, \text e^{2 - x}$ .

1. a. Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) = 0$ .

1. b. Montrer que pour tout $x \geq 0$ on a : $f'(x) = 3(1 - x)\,\text e^{2 - x}$ .

1. c. Dresser le tableau de variation de $f$ .

2. a. Calculer $f(2)$ .

2. b. Montrer que l'équation $f(x) = 6$ admet dans $[0,1]$ une unique solution $\alpha$ .

2. c. Déterminer alors l'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) > 6$ .

3. Soit $F$ la fonction définie sur $[0, +\infty[$ par : $F(x) = -3(x + 1)\,e^{2 - x}$ .

3. a. Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur $[0, +\infty[$ .

3. b. Justifier alors que $\displaystyle\int_{1}^{3} f(t) \,\text dt = 6\text e - \frac{12}{\text e}$ .

4. Une pâtisserie produit et vend chaque mois $x$ centaines de pièces de gâteaux avec $x \in [0,6]$ . Le bénéfice exprimé en mille dinars est modélisé par $f(x)$ .

4. a. Quel est le bénéfice maximal à un dinar près (par excès) réalisé par la pâtisserie pendant un mois ?

4. b. Déterminer le bénéfice moyen à un dinar près (par excès) que la pâtisserie estime réaliser lorsqu'elle produit et vend entre $100$ et $300$ pièces de gâteaux pendant un mois.

4. c. Dans cette question on prendra $\alpha = 0.4$ .

La pâtisserie veut que le bénéfice mensuel dépasse $6$ mille dinars. Donner un encadrement du nombre de pièces de gâteaux que la pâtisserie devrait produire pour atteindre cet objectif.

Publié par malou le 09-03-2026

ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter

Merci à pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

Cette fiche

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, Connectez vous
Forum de maths

forum de terminale
Plus de 147 449 topics de mathématiques en terminale sur le forum.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths