Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > BAC 2025 TOUJOURS : DES SUJETS VENUS D'AILLEURS

Bac Tunisie 2025 section Sport

(contrôle)

Durée : 2 heures

Coefficient : 1

7 points

exercice 1 : QCM

Pour chacune des propositions suivantes, copier le numéro et répondre par vrai ou faux.

Aucune justification n'est demandée.

1. $\ln (2025)=2\ln (45)$ .

2. $\ln\left(\dfrac{2024}{2025}\right) > \ln\left(\dfrac{2025}{2024}\right)$ .

3. $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \ln (x)=-\infty$ .

4. $\displaystyle \int_0 ^2 \text e ^x ~\text dx=1$ .

5. Si $(V_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{10}$ alors $\displaystyle \lim _{n\to +\infty} V_n =0$ .

6. La fonction dérivée de la fonction $f~:~x\mapsto \text e^{-x+1}$ sur $\mathbb R$ est $f'~:~x\mapsto -\text e^{-x+1}$ .

7. Si $(W_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=-3$ alors $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} W_n=0$ .

6 points

exercice 2

1. Soit $(U_n)$ la suite définie par $U_0=4$ et $U_{n+1}=2U_n-1$ pour tout entier naturel $n$ .

1. a. Calculer $U_1$ et $U_2$ .

1. b. Calculer $U_1-U_0$ et $U_2-U_1$ . En déduire que la suite $(U_n)$ n'est pas arithmétique.

2. On définit la suite $(V_n)$ par $V_n=-1+U_n$ pour tout entier naturel $n$ .

2. a. Montrer que la suite $(V_n)$ est géométrique de raison 2 et de premier terme $V_0=3$ .

2. b Calculer $\displaystyle \lim _{n\to +\infty} V_n$ puis $\displaystyle \lim _{n\to +\infty} U_n$ .

2. c. Exprimer $V_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$ .

2. d. En déduire que pour tout $n\in \mathbb N~,~ U_n=1+3\times 2^n$ .

7 points

exercice 3

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\text e ^{-x}$ .

1. a. Calculer $f(0)$ et $f(\ln 2)$ .

1. b. Déterminer $\displaystyle \lim _{x\to -\infty} f(x)$ et $\displaystyle \lim _{x\to +\infty} f(x)$ .

2. On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ .

2. a. Exprimer $f'(x)$ en fonction de $x$ pour tout réel $x$ .

2. b. Recopier et compléter, sur votre copie, le tableau de variations de $f$ suivant :

${\white{wwww}}\begin{array} {|c|cccc|} x & -\infty & & +\infty & \\ \hline f'(x)& & - & & \\ \hline f& & ~& & \\ \hline \end{array}$

3. On désigne par $\mathcal C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O~;~\overrightarrow i~,~\overrightarrow j)$ .

3. a. Montrer que les points $A(-1~,~\text e)$ et $B\left(\ln 4~,~\dfrac 14\right)$ appartiennent à la courbe $\mathcal C$ .

2. b On a placé les points $A(-1~,~\text e)~,~ B\left(\ln 4~,~\dfrac 14\right)$ et $E\left(\ln 2~,~\dfrac 12\right)$ dans le repère orthonormé $(O~;~\overrightarrow i~,~\overrightarrow j)$ de l'annexe ci-jointe.

Tracer la courbe $\mathcal C$ dans ce repère.

ANNEXE

Voir la correction

Bac Tunisie 2025 série Sport (contrôle)

7 points

exercice 1

Pour chacune des propositions suivantes, nous devons répondre par vrai ou faux.

1. $\overset{ { \white{ _. } } } { \ln (2025)}=2\ln (45) }$ .
${ \white{ xxi } }$ Affirmation vraie.

Nous utilisons la propriété suivante : ${ \white{ xxi } }$ $\forall\,x>0,\; \forall p\in\Q,\quad \ln (x^p)=p\ln (x).$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $\ln (2025)=\ln (45^2) =2\ln(45)\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\ln(2025)=2\ln(45)}$

2. $\overset{ { \white{ _. } } } { \ln\left(\dfrac{2024}{2025}\right) > \ln\left(\dfrac{2025}{2024}\right)}$ .
${ \white{ xxi } }$ Affirmation fausse.

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} 2024<2025\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{2024}{2025}<1\quad\Longrightarrow\quad\ln\left(\dfrac{2024}{2025}\right)<0 \\\overset{ { \white{ _. } } } { 2025<2024\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{2025}{2024}>1\quad\Longrightarrow\quad\ln\left(\dfrac{2025}{2024}\right)>0}\end{cases}$

Un nombre strictement négatif ne peut pas être supérieur à un nombre strictement positif.

Dès lors, l'affirmation $\overset{ { \white{. } } } { \ln\left(\dfrac{2024}{2025}\right) > \ln\left(\dfrac{2025}{2024}\right)}$ est fausse.

3. $\overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle\lim_{x\to 0^+} \ln (x)=-\infty . }$
${ \white{ xxi } }$ Affirmation vraie.

En effet, c'est une propriété fondamentale du logarithme népérien.

4. $\overset{ { \white{ _. } } } { \displaystyle \int_0 ^2 \text e ^x ~\text dx=1 }$ .
${ \white{ xxi } }$ Affirmation fausse.

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $\displaystyle \int_0 ^2 \text e ^x ~\text dx=\Big[\text e^x\Big]_0^2=\text e^2-\text e^0=\text e^2-1\approx 6,39 \\\\\Longrightarrow \quad\boxed{\displaystyle \int_0 ^2 \text e ^x ~\text dx=\text e^2-1\approx 6,39\; {\red{\neq1}}}$

5. Si $\overset{ { \white{ _. } } } { (V_n) }$ est une suite géométrique de raison $\overset{ { \white{ _. } } } { \dfrac{1}{10} }$ , alors $\overset{ { \white{ W } } } { \displaystyle \lim _{n\to +\infty} V_n =0 }$ .
${ \white{ xxi } }$ Affirmation vraie.

En effet, si une suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (U_n) }$ est géométrique de raison $\overset{ { \white{ m. } } } { q }$ telle que $\overset{ { \white{ _. } } } { |q|<1 }$ , alors $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{n\to +\infty} U_n=0 }$ .
Or la raison de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (V_n) }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { q=\dfrac{1}{10} }$ et nous savons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \left|\dfrac{1}{10}\right|<1 }$ .
Donc nous obtenons bien : $\overset{ { \white{W } } } { \displaystyle \lim _{n\to +\infty} V_n =0 }$ .

6. La fonction dérivée de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f~:~x\mapsto \text e^{-x+1} }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { f'~:~x\mapsto -\text e^{-x+1} }$ .
${ \white{ xxi } }$ Affirmation vraie.

En effet,

${ \white{ xxi } }$ $(\text e^{-x+1})'=(-x+1)'\times \text e^{-x+1}=(-1)\times \text e^{-x+1}=-\text e^{-x+1} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{(\text e^{-x+1})'=-\text e^{-x+1}} }$

7. Si $\overset{ { \white{ _. } } } { (W_n) }$ est une suite arithmétique de raison $\overset{ { \white{_. } } } { r=-3 }$ , alors $\overset{ { \white{ W } } } { \displaystyle \lim_{n\to +\infty} W_n=0 }$ .
${ \white{ xxi } }$ Affirmation fausse.

En effet, si une suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (U_n) }$ est arithmétique de raison $\overset{ { \white{ . } } } { r<0 }$ , alors $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{n\to +\infty} U_n=-\infty}$ .
La raison de la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (W_n) }$ est $\overset{ { \white{ _. } } } { r=-3<0 }$ .
Donc $\overset{ { \white{ W. } } } { \lim\limits_{n\to +\infty} W_n=-\infty\;{\red{\neq0}}}$ .

Dès lors, l'affirmation est fausse.

6 points

exercice 2

1. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { (U_n) }$ la suite définie par $\overset{ { \white{ _. } } } { U_0=4 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { U_{n+1}=2U_n-1 }$ pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ n. } } } { n }$ .

1. a) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { U_1 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { U_2 }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\bullet\quad \boxed{U_0=4} \\\\\bullet\quad U_1=2U_0-1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet\quad U_1}=2\times4-1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet\quad U_1}=7} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet\quad }\Longrightarrow\quad\boxed{U_1=7}}$

${ \white{ xxi } }$ $\\\\\bullet\quad U_2=2U_1-1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet\quad U_2}=2\times7-1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet\quad U_2}=13} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\bullet\quad }\Longrightarrow\quad\boxed{U_2=13}}$

1. b) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { U_1-U_0 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { U_2-U_1 }$ , puis en déduire que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (U_n) }$ n'est pas arithmétique.

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases}U_1-U_0=7-4\\U_2-U_1=13-7 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases}U_1-U_0=3\\U_2-U_1=6 \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{U_1-U_0\;{\red{\neq}}\; U_2-U_1 }$

Nous observons que la différence entre deux termes consécutifs de la suite n'est pas constante.
Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (U_n) }$ n'est pas arithmétique.

2. On définit la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (V_n) }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { V_n=-1+U_n }$ pour tout entier naturel $\overset{ { \white{n. } } } { n }$ .

2. a) Nous devons montrer que la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (V_n) }$ est géométrique de raison $\overset{ { \white{ . } } } { q=2 }$ et de premier terme $\overset{ { \white{ _. } } } { V_0=3 }$ .

Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ n. } } } { n }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $V_ {n+1}=-1+U_{n+1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V_ {n+1}}=-1+(2U_{n}-1) } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V_ {n+1}}=2U_{n}-2 } \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ V_ {n+1}}=2(U_{n}-1) } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ V_ {n+1}}=2V_n } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N,\quad V_{n+1}=2V_n}$

Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ _. } } } { (V_n) }$ est géométrique de raison $\overset{ { \white{ _. } } } { q=2 }$ .
Le premier terme de cette suite est $\overset{ { \white{ _. } } } { V_0=-1+U_0=-1+4=-3. }$

2. b) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ W } } } { \displaystyle \lim _{n\to +\infty} V_n }$ , puis $\overset{ { \white{ W } } } { \displaystyle \lim _{n\to +\infty} U_n }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ W } } } { \displaystyle \lim _{n\to +\infty} V_n }$ .

$\overset{ { \white{ _. } } } { (V_n) }$ est une suite géométrique positive de raison $\overset{ { \white{ _. } } } { q=2 }$ strictement supérieure à 1 et de premier terme non nul $\overset{ { \white{ _. } } } { V_0 }$ .

Dès lors, $\overset{ { \white{ _. } } } { \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}V_n=+\infty} }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ W } } } { \displaystyle \lim _{n\to +\infty} U_n }$ .

${ \white{ xxi } }$ $V_n=-1+U_n\quad\Longrightarrow\quad U_n=V_n+1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{V_n=-1+U_n}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{n\to+\infty}U_n=\lim\limits_{n\to+\infty}(V_n+1)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{V_n=-1+U_n}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=+\infty}\qquad\text{car }\lim\limits_{n\to+\infty}V_n=+\infty}$

2. c) Nous devons exprimer $\overset{ { \white{ _. } } } { V_n }$ en fonction de $\overset{ { \white{ n. } } } { n }$ pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ .

Le terme général de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (V_n) }$ est donné par $\overset{ { \white{ . } } } { V_n=V_0\times q^n }$ .
Donc nous obtenons pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ , $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{V_n=3\times 2^n} }$ .

2. d) Nous devons en déduire que pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n\in \N ~,~ U_n=1+3\times 2^n }$ .

Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ n. } } } { n }$ ,

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} V_n=3\times 2^n\\V_n=-1+U_n \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad 3\times 2^n =-1+U_n \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ \begin{cases} V_n=-1+U_n\\V_n=3\times 2^n \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{U_n=1+3\times 2^n } }$

7 points

exercice 3

On considère la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ définie sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ par $\overset{ { \white{ _. } } } { f(x)=\text e ^{-x} }$ .

1. a) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ _. } } } { f(0) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { f(\ln 2) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ _. } } } { f(0)=\text e^0\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f(0)=1} }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}f(\ln2)=\text e^{-\ln2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ xxf(\ln2)}=\text e^{\ln 2^{-1}}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ xxf(\ln2)}= 2^{-1}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ xxf(\ln2)}=\dfrac 12} \\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{f(\ln2)=\dfrac 12}$

1. b) Nous devons déterminer $\overset{ { \white{ W } } } { \displaystyle \lim _{x\to -\infty} f(x) }$ et $\overset{ { \white{ W } } } { \displaystyle \lim _{x\to +\infty} f(x) }$ .

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ W } } } { \displaystyle \lim _{x\to -\infty} f(x) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \lim\limits_{x\to -\infty} -x=+\infty\\\lim\limits_{X\to +\infty} \text e^X=+\infty \end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to -\infty} \text e^{-x}=+\infty\qquad(\text{par composition}) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\begin{cases} \lim\limits_{x\to -\infty} -x=+\infty\\\lim\limits_{X\to +\infty} \text e^X=+\infty \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=+\infty}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ W } } } { \displaystyle \lim _{x\to +\infty} f(x) }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\begin{cases} \lim\limits_{x\to +\infty} -x=-\infty\\\lim\limits_{X\to -\infty} \text e^X=0\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty} \text e^{-x}=0\qquad(\text{par composition}) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\begin{cases} \lim\limits_{x\to -\infty} -x=+\infty\\\lim\limits_{X\to +\infty} \text e^X=+\infty \end{cases}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0}}$

2. a) Nous devons exprimer $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) }$ en fonction de $\overset{ { \white{ n } } } { x }$ pour tout réel $\overset{ { \white{ n } } } { x }$ .

Pour tout réel $\overset{ { \white{ n } } } { x }$ , ${ \white{ xxi } }$ $f'(x)=(-x)'\times \text e^{-x}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{f'(x)=-\,\text e^{-x}}$

2. b) Tableau de variations de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ :

L'exponentielle est strictement positive sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ .
Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ _. } } } { f'(x) = -\text e^{-x} <0 }$ pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { x\in\R }$ .
Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ est strictement décroissante sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ .

Nous pouvons ainsi dresser le tableau de variations de $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ .

${ \white{ WWWWWW } }\begin{array} {|c|cccccc|} \hline &&&&&&&x & -\infty & &&& &+\infty \\&&&&&&\\ \hline &&&&&&\\f'(x)& & &- && &\\&&&&&& \\ \hline&+\infty&&&&&\\ f& & &\searrow&& & \\&&&&&&0\\ \hline \end{array}$

3. On désigne par $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal C }$ la courbe représentative de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { f }$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } { (O;\overrightarrow i,\overrightarrow j) }$ .

3. a) Nous devons montrer que les points $\overset{ { \white{ _. } } } { A(-1~,~\text e) }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { B\left(\ln 4~,~\dfrac 14\right) }$ appartiennent à la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal C }$ .

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \bullet}{\white{x}}f(-1)=\text e^{-(-1)}=\text e^{1}=\text e\quad\Longrightarrow\quad \boxed{A(-1\;;\;\text e)\in\mathcal C} \\\\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \bullet}{\white{x}}f(\ln4)=\text e^{-\ln4}=\dfrac{1}{\text e^{\ln4}}=\dfrac 14\quad\Longrightarrow\quad \boxed{B\left(\ln4\;;\;\dfrac 14\right)\in\mathcal C}$

3. b) Nous devons tracer la courbe $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathcal C }$ dans le repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } { (O;\overrightarrow i,\overrightarrow j) }$ .

Bac Tunisie 2025 série Sport (contrôle) : image 2

_{Merci à Hiphigenie et Malou pour avoir élaboré cette contribution}

Publié par malou le 28-04-2026

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