Définissons la variable aléatoire X calculant le nombre de réponses reçues.
Nous renouvelons 25 fois de manière indépendante et identique le tirage d'une entreprise.
Lors de chaque tirage, deux issues sont possibles :
le "succès" (l'entreprise a répondu à la personne) de probabilité p = 0,2
l'"échec" (l'entreprise n'a pas répondu à la personne) de probabilité 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8.
La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n = 25 et p = 0,2.
Nous devons calculer P(X 5).
D'où la réponse d) est correcte.
La variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance = 30 et d'écart-type .
La courbe de densité de cette loi possède un axe de symétrie d'équation X = .
D'où la réponse c) est correcte.
Le taux de variation en pourcentage des ventes entre 2014 et 2016 est donné par
Donc les ventes ont diminué d'environ 31 % entre 2014 et 2016.
D'où la réponse b) est correcte.
Si F est une primitive de f sur , alors F' = f.
La représentation graphique de f montre que f est négative sur l'intervalle [-3 ; -1], soit que F' est négative sur l'intervalle [-3 ; -1].
Si F' est négative sur l'intervalle [-3 ; -1], alors F est décroissante sur [-3 ; -1].
D'où la réponse d) est correcte.
Par lecture graphique de la courbe représentative de la fonction f , nous observons que cette fonction f est convexe sur l'intervalle ]- ; -1], concave sur l'intervalle [1 ; 3] et convexe sur l'intervalle [4 ; +[.
Dès lors, la dérivée seconde f" doit être positive sur l'intervalle ]- ; -1], négative sur l'intervalle [1 ; 3] et positive sur l'intervalle [4 ; +[.
La courbe d) est la seule courbe répondant à ces critères.
D'où la réponse d) est correcte.
4 points
exercice 2 - Commun à tous les candidats
Partie A
Soit X la variable aléatoire exprimant le nombre de jours utilisés lors de la traversée.
La variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne = 7 et d'écart-type = 1.
1. Nous devons calculer P (5 X 8).
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons
Par conséquent, la probabilité que le navigateur termine sa course entre 5 jours et 8 jours après le départ est environ égale à 0,819.
2. Le record du monde sera battu si le navigateur termine sa course en moins de 5 jours.
Nous devons donc calculer P (X < 5).
Nous savons que , soit que
Dès lors,
Or, par la calculatrice, nous avons :
Par conséquent, la probabilité que le navigateur batte le record du monde est environ égale à 0,023.
Partie B
1. Arbre pondéré représentant la situation.
2. Nous devons calculer
En utilisant la formule des probabilités totales, nous avons :
3. Nous devons calculer
Par conséquent, sachant que l'entreprise a finalement choisi de ne pas financer le navigateur, la probabilité que celui-ci ait tout de même réalisé la traversée en moins de 6 jours est environ égale à 0,019.
Partie C
Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I280 au seuil de 95 % de la proportion de sportifs montés sur le podium dans cet échantillon de 280 sportifs pris au hasard.
Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,
Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I280 au seuil de 95% est :
Une étude des résultats sportifs de l'année a révélé que, parmi 280 sportifs, 263 sont montés sur le podium.
La fréquence observée des sportifs montés sur le podium est
Nous remarquons que
Par conséquent au risque de se tromper de 5%, on ne peut pas adhérer au slogan proposé par l'entreprise.
5 points
exercice 3 - Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et Candidats de la série L
1. a) En 2017, le pays compte 300 loups.
Une augmentation de 12% de la population de loups correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,12 = 1,12.
Après l'augmentation, le nombre de loups est
Les chasseurs sont autorisés à tuer 18 loups.
336 - 18 = 318.
Donc, en 2018, le nombre de loups de ce pays s'élève à 318.
1. b) En 2017 + n , le pays compte un loups.
Une augmentation de 12% de la population de loups correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,12 = 1,12.
Après l'augmentation, le nombre de loups est
Les chasseurs sont autorisés à tuer 18 loups.
Donc, en 2017 + (n + 1), le nombre de loups de ce pays s'élève à :
2. Algorithme complété :
3.
3. a) Montrons que la suite (vn ) est géométrique.
D'où la suite (vn ) est une suite géométrique de raison q = 1,12 et dont le premier terme est
3. b) Le terme général de la suite (vn ) est , soit
3. c) Nous savons que
Par conséquent, au fil des années, le nombre de loups va croître indéfiniment.
4. a) Résoudre dans l'ensemble l'inéquation : 150 + 1,12n 150 > 600.
Puisque n est un nombre entier naturel, l'inéquation est vérifiée pour n 10.
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation est l'ensemble des nombres naturels appartenant à l'intervalle [10 ; +[.
4. b) Dans le contexte de l'énoncé, nous pouvons prévoir que le nombre de loups deviendra supérieur à 600 dès l'année 2017+10, soit dès l'année 2027.
Cela signifie qu'à partir de l'année 2027, le nombre de loups aura doublé.
5. Une méthode de résolution est, par exemple, de modifier l'algorithme de la question 2) de la manière suivante :
La valeur de la variable N après l'exécution complète de l'algorithme égale à 7.
2023 + 7 = 2030.
Par conséquent, en 2030, la population de loups dépassera 600 loups.
5 points
exercice 3 - Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité et Candidats de la série L
1. a) Graphe probabiliste complété :
1. b) La matrice de transition M du graphe probabiliste dans l'ordre A-B est
2. a) Le premier jour, Lisa se rend au travail à vélo.
Donc a1 = 1 et b1 = 0. 2. b) Si pour tout entier naturel n non nul, nous notons la matrice exprimant l'état du nième jour, alors
Nous devons déterminer la matrice
Donc la probabilité que Lisa prenne le vélo 8è jour est environ égale à 0,63 (valeur arrondie au centième).
3. La matrice M de transition ne comporte pas de 0.
L'état probabiliste Pn à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial P1 .
Cet état P est l'état probabiliste stable du système et vérifie la relation PM = P.
Soit
Alors
D'où l'état probabiliste stable est
Nous en déduisons qu'à long terme, la probabilité que Lisa aille au travail à vélo sera proche de 0,625.
4. a) Pour tout nombre n entier naturel non nul,
4. b) Pour tout nombre n entier naturel non nul,
5. a) Algorithme complété :
5. b) Le tableau suivant nous indique les premières valeurs prises par la variable N .
Donc, à la fin de l'exécution de l'algorithme, la variable N contient la valeur 5.
6 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats
Partie A
1. Par le graphique, nous observons que l'équation f (x ) = 6 admet comme solution x 12.
2. a) Le coefficient directeur de la droite T passant par les points A et B est donné par
Par conséquent, le coefficient directeur de la droite T est égal à 3,6.
2. b) Expression de f' (x ).
Partie B
1. Variations de la fonction f définie sur [0 ; 25] par
Dans la question 2. b), nous avons montré que
Si a = 5 et b = 7, alors
Puisque e-0,2x > 0 pour tout x réel, le signe de f' (x ) sera le signe de (-x + 3,6).
Par conséquent, f est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 3,6] f est strictement décroissante sur l'intervalle [3,6 ; 25].
2. Montrons que l'équation f (x ) = 6 admet une unique solution sur l'intervalle [0 ; 25].
La fonction f est continue et strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 3,6].
Puisque f (0) = 7, nous déduisons que f(x) 7 sur l'intervalle [0 ; 3,6].
D'où l'équation f (x ) = 6 n'admet pas de solution sur l'intervalle [0 ; 3,6].
La fonction f est continue et strictement décroissante sur l'intervalle [3,6 ; 25]. f (3,6) 12,17 > 6 et f (25) 0,89 < 6.
Donc 6 est compris entre f (3,6) et f (25).
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f (x ) = 6 admet une unique solution appartenant à l'intervalle [3,6 ; 25].
Par conséquent, l'équation f (x ) = 6 admet une unique solution appartenant à l'intervalle [0 ; 25].
Par la calculatrice, nous obtenons
3. Soit F la fonction définie sur [0 ; 25] par
Le logiciel de calcul nous indique que , soit que F' (x ) = f (x ).
Nous en déduisons que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 25].
Partie C
1. La fonction f une continue positive sur l'intervalle [0 ; 25]. représente l'aire en unité d'aire de la zone hachurée représentant la piscine.
L'énoncé nous indique que l'unité d'aire est le m².
En outre, nous savons, par la question 3. de la Partie B que
Donc l'aire de la zone hachurée représentant la piscine est égale à , soit environ 154,711 m².
2. Aire d'un rectangle = Longueur largeur.
Si est la largeur du rectangle, alors
D'où la largeur de la piscine rectangulaire sera d'environ 6,2 mètres (valeur arrondie au dixième).
Remarque :
Nous aurions également pu trouver ce résultat en déterminant la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 25].
Publié par malou
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