Fiche de mathématiques
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Bac ES-L 2019

Centres étrangers-Pondichéry

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5 points

exercice 1 Commun à tous les candidats

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exercice 2 Commun à tous les candidats

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exercice 3 Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

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exercice 3 Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L

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6 points

exercice 4 Commun à tous les candidats

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Bac ES-L Obligatoire et Spécialité Centres étrangers /

Pondichéry 2019

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5 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

Partie A

1.   Arbre pondéré décrivant la situation :
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2.  La probabilité que le client choisisse une visite avec un audioguide est notée P (A ).
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

P(A)= P(B\cap A)+P(\overline{B}\cap A) \\\phantom{P(A)}=P(B)\times P_B(A)+P(\overline{B})\times P_{\overline{B}}(A)\ \\\phantom{P(A)}=0,7\times0,35+0,3\times0,55 \\\phantom{P(A)}=0,245+0,165 \\\phantom{P(A)}=0,41 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(A)=0,41}
D'où la probabilité que le client choisisse une visite avec un audioguide est égale à 0,41.

3.  Sachant que le client visite le musée avec un audioguide, calculons la probabilité que ce client achète son billet sur internet avant sa visite et observons si cette probabilité est supérieure à 0,5.
Nous devons donc déterminer PA (B ).

P_A(B)=\dfrac{P(B\cap A)}{P(A)} \\\\\phantom{P_A(B)}=\dfrac{P(B)\times P_B(A)}{0,41} \\\\\phantom{P_A(B)}=\dfrac{0,7\times 0,35}{0,41}=\dfrac{0,245}{0,41} \\\\\phantom{P_A(B)}\approx0,598 \\\\\Longrightarrow\boxed{P_A(B)\approx0,598\ \red{>0,5}}

Puisque la probabilité demandée est supérieure à 0,5, le directeur proposera à l'avenir la location de l'audioguide sur le site internet du musée.

Partie B

La variable aléatoire T  suit la loi normale de moyenne mu = 10 et d'écart-type sigma = 2.

1.  La probabilité qu'un visiteur reste moins de six minutes dans la boutique est notée P (T  < 6).
Nous savons que  \overset{.}{P(T\le\mu)=0,5}, soit que  \overset{.}{P(T\le10)=0,5.}

\text{Dès lors, }\ P(T\le10)=P(T<6)+P(6\le T\le10)\Longleftrightarrow0,5=P(T<6)+P(6\le T\le10) \\\phantom{\text{Dès lors, }\ P(T\le10)=P(T<6)+P(6\le T\le10)}\Longleftrightarrow P(T<6)=0,5-P(6\le T\le10)

Or, par la calculatrice, nous obtenons :  P(6\le T\le10)\approx0,47724986

 \text{D'où }\ P(T<6)=0,5-P(6\le T\le10)\Longrightarrow  P(T<6)\approx0,5-0,47724986 \\\phantom{\text{D'où }\ P(T<6)=0,5-P(6\le T\le10)}\Longrightarrow P(T<6)\approx0,02275014\\\phantom{\text{D'où }\ P(T<6)=0,5-P(6\le T\le10)}\Longrightarrow\boxed{P(T<6)\approx0,023}

Par conséquent, la probabilité qu'un visiteur reste moins de six minutes dans la boutique est environ égale à 0,023.

2.  Nous savons que si T  suit la loi normale d'espérance mu et d'écart-type sigma, alors  
\overset{.}{P(\mu-2\sigma \le T\le\mu+2\sigma )\approx0,954.}

\text{Dès lors, }\ P(6\le T\le14)= P(10-4\le T \le10+4) \\\phantom{\text{Dès lors, }\ P(6\le T\le14)}= P(10-2\times2\le T \le10+2\times2) \\\phantom{\text{Dès lors, }\ P(6\le T\le14)}=P(\mu-2\times\sigma\le T \le\mu+2\times\sigma) \\\phantom{\text{Dès lors, }\ P(6\le T\le14)}\approx0,954 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(6\le T\le14)\approx0,954}

3.  Nous devons trouver la valeur de alpha vérifiant la relation   P(T\ge \alpha)=0,25.
Or  P(T\ge\alpha)=0,25\Longleftrightarrow P(T\le\alpha)=1-0,25=0,75
Par la calculatrice, nous obtenons   \overset{.}{P(T\le\alpha)=0,75\Longrightarrow\boxed{\alpha\approx11,3}}

Interprétation : 11,3 min = 11 min + 0,3 min = 11 min + 0,3 multiplie 60 s = 11min 18s.
Donc 25 % des visiteurs restent dans la boutique pendant au moins 11min 18s.

4.  Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I720   au seuil de 95 % de la proportion des visiteurs qui passent au moins 15 minutes dans la boutique parmi un échantillon aléatoire de 720 visiteurs.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

\left\lbrace\begin{array}l n=720\ge30 \\ p=0,25\Longrightarrow np=720\times0,25=180>5 \\n(1-p)= 720\times(1-0,25)= 720\times0,75=540>5 \end{array}

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I720   au seuil de 95% est :

I_{720}=\left[0,25-1,96\sqrt{\dfrac{0,25 (1-0,25)}{720}};0,25+1,96\sqrt{\dfrac{0,25 (1-0,25)}{720}}\right]\\\\\Longrightarrow\boxed{I_{720}\approx[0,218;0,282]}

L'échantillon prélevé au hasard montre que 161 visiteurs sur les 720 sont restés 15 minutes ou plus.
La fréquence observée est donc  \overset{.}{\boxed{f=\dfrac{161}{720}\approx0,224}}
Nous remarquons que   f\in I_{720}.
Par conséquent au risque de se tromper de 5%, ce constat ne remet pas en cause les résultats de l'étude.

4 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

{\red{\text{1. }}{\blue{\mathbf{Réponse\ D.\ [0,254\,;0,291]}}}

Déterminons un intervalle de confiance I3000   au seuil de 95 % de la proportion d'habitants de la région trouvant que la publicité est attractive, dans un échantillon aléatoire de 3000 personnes.
Les conditions d'utilisation de l'intervalle de confiance sont remplies.
En effet,

\left\lbrace\begin{array}l n=3000\ge30 \\ f=\dfrac{817}{3000}\Longrightarrow nf=3000\times\dfrac{817}{3000}=817>5 \\n(1-f)= 3000\times(1-\dfrac{817}{3000})= 3000\times\dfrac{2183}{3000}=2183>5 \end{array}
Donc un intervalle de confiance I3000   au seuil de 95% est :

I_{3000}=\left[\dfrac{817}{3000}-\dfrac{1}{\sqrt{3000}}\,;\dfrac{817}{3000}+\dfrac{1}{\sqrt{3000}}\right]\\\\\Longrightarrow\boxed{I_{3000}\approx[0,254\,;0,291]}

{\red{\text{2. }}{\blue{\mathbf{Réponse\ B.\ 1\,512}}}

36% des 4200 habitants ont pris connaissance de la publicité lors de la première semaine de la campagne.
\overset{.}{36\% \times4\,200=0,36\times4\,200 = \boxed{1\,512}}

{\red{\text{3. }}{\blue{\mathbf{Réponse\ B.}}}

L'algorithme A ne convient pas car la valeur de la variable N  n'est pas incrémentée dans la boucle.
A l'issue de cet algorithme, la valeur de N  est 2, ce qui est par évidence incorrect.
L'algorithme C ne convient pas car la valeur de la variable N  n'est pas incrémentée.
A l'issue de cet algorithme, la valeur de N est 1, ce qui est par évidence incorrect.
L'algorithme D ne convient pas car la valeur initiale de la variable A  est 150.
Cette valeur n'étant pas supérieure à 30 000, la boucle ne sera pas exécutée.
Par conséquent, l'algorithme B répond au problème.

{\red{\text{4. }}{\blue{\mathbf{Réponse\ D.\ \dfrac{5}{9}}}}

Soit T  une variable aléatoire associée au temps d'attente, qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [1 ; 10].
La probabilité que le visiteur attende au moins 5 minutes avant d'être reçu par un conseiller commercial se détermine par P (5 infegal T  infegal 10).

P(5\le T\le10)=\dfrac{10-5}{10-1}=\boxed{\dfrac{5}{9}}

5 points

exercice 3 : Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. a)  Le graphe est simple car il y a au plus une arête entre deux sommets distincts et il n'y a pas de boucle.
Un graphe complet est un graphe simple dont tous les sommets sont adjacents, c'est-à-dire que tout couple de sommets est relié par une arête.
Le graphe proposé n'est pas complet car les sommets M et P ne sont pas adjacents.

1. b)  Ce graphe est connexe car il existe une arête entre n'importe quelle paire de sommets distincts du graphe.

2.  Montrons que ce graphe connexe admet une chaîne eulérienne.

Nous savons qu'un graphe connexe contient une chaîne eulérienne si et seulement si il possède 0 ou 2 sommets de degré impair.
Voici un tableau indiquant les degrés des sommets du graphe :

                       \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Sommets}&E&F&M&P&R&V \\\hline \text{Degrés}&4&4&2&4&{\red{3}}&{\red{3}}\\\hline \end{array}

Comme il y a exactement deux sommets de degré impair (les sommets R et V), ce graphe connexe contient une chaîne eulérienne.
Par conséquent, il est possible pour le restaurateur d'organiser une visite de tous ses producteurs en partant de son restaurant et en empruntant une fois et une seule chaque route.

Le parcours doit commencer ou se terminer par un sommet de degré impair, soit par R ou par V.
Puisque le restaurateur part de son restaurant, le point d'arrivée sera alors V.
Un parcours possible est : R - E - M - F - E - P - R - V - P - F - V.

3. a)   La matrice d'adjacence associée au graphe orienté est  N=\begin{pmatrix}0&1&1&1&1&0\\1&0&1&1&0&1\\1&1&0&0&0&0\\1&1&0&0&1&1\\1&0&0&1&0&1\\0&1&0&1&1&0\end{pmatrix}

3. b)  L'énoncé donne  N^3=\begin{pmatrix}6&10&6&10&9&5\\10&6&6&10&5&9\\6&6&2&4&4&4\\10&10&4&8&8&8\\9&5&4&8&4&8\\5&9&4&8&8&4\end{pmatrix}
Le coefficient n 1,6 de la matrice N 3 désigne le nombre de chemins de longueur 3 reliant l'éleveur au vigneron.
Puisque n 1,6 = 5, il y a 5 chemins de longueur 3 reliant l'éleveur au vigneron.

4.   Utilisons l'algorithme de Dijkstra afin de déterminer la distance minimale pour aller du restaurant au maraîcher.

                       \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline R&E&F&P&V&M& \text{Sommet sélectionné} \\\hline 0&\infty&\infty&\infty&\infty&\infty&R_0\\\hline\cellcolor{magenta}&5_R&\infty&4_R&10_R&\infty&P_4\\\hline\cellcolor{magenta}&5_R&11_P&\cellcolor{magenta}&9_P&\infty&E_5\\\hline\cellcolor{magenta}&\cellcolor{magenta}&11_P&\cellcolor{magenta}&9_P&13_E&V_9\\\hline\cellcolor{magenta}&\cellcolor{magenta}&10_V&\cellcolor{magenta}&\cellcolor{magenta}&13_E&F_{10}\\\hline\cellcolor{magenta}&\cellcolor{magenta}&\cellcolor{magenta}&\cellcolor{magenta}&\cellcolor{magenta}&12_F&M_{12}\\\hline \end{array}

D'où le chemin le plus court pour aller du restaurateur au maraîcher est R - P - V - F - M.
La longueur de ce trajet est de 12 km.

5 points

exercice 3 : candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de
                                                             spécialité et candidats de la série L

1. a)  En été 2018, le 1er juillet, le loueur possède 150 vélos.
L'hiver qui suit, le loueur se sépare de 20 % de ces 150 vélos.
Il lui reste alors 80 % de 150, soit 0,8 multiplie 150 = 120 vélos.
Il achète ensuite 35 nouveaux vélos.
Donc au 1er juillet 2019, le loueur aura 120 + 35 = 155 vélos.

1. b)  En été de l'année (2018 + n ), le 1er juillet, le loueur possède un  vélos.
L'hiver qui suit, le loueur se sépare de 20 % de ces un  vélos.
Il lui reste alors 80 % de un , soit 0,8 multiplie un  vélos.
Il achète ensuite 35 nouveaux vélos.
Donc au 1er juillet de l'année (2018 + (n+1 )), le loueur aura 0,8 multiplie un  + 35 vélos.

Par conséquent, pour tout entier naturel n , nous avons :  \boxed{u_{n+1}=0,8u_n+35}

2. a)   Dans la cellule B3, nous pouvons entrer la formule suivante : \boxed{{\red{=0,8*B2+35}}}

2. b)   Selon les valeurs du tableau, nous pouvons conjecturer que la limite de la suite (un ) est égale à 175.

3.   Soit la suite (vn  ) définie par  v_n=u_n-175\ \ \ (n\in\N)
3. a)   Montrons que la suite (vn  ) est géométrique.

v_{n+1}=u_{n+1}-175 \\\phantom{v_{n+1}}=(0,8\times u_n+35)-175 \\\phantom{v_{n+1}}=0,8\times u_n-140 \\\phantom{v_{n+1}}=0,8\times u_n-0,8\times 175 \\\phantom{v_{n+1}}=0,8\times (u_n-175) \\\phantom{v_{n+1}}=0,8\times v_n \\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}=0,8\times v_n} \\\\\text{N. B. :}\ v_0=u_0-175=150-175=-25\Longrightarrow\boxed{v_0=-25}
Par conséquent, la suite (vn  ) est une suite géométrique de raison q = 0,8 dont le premier terme est v0 = -25.

3. b.   Le terme général de la suite (vn  ) est donné par v_n=v_0\times q^n.
Donc \overset{.}{\boxed{v_n=-25\times 0,8^n}}}

\text{Or }\ v_n=u_n-175\Longleftrightarrow u_n=v_n+175 \\\phantom{\text{Or }\ v_n=u_n-175}\Longleftrightarrow\boxed{ u_n=-25\times0,8^n+175}

{\red{3.\ \text{c) }}}\ 0<0,8<1\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}0,8^{n}=0\\\\\phantom{{\red{3.\ }}\ \ 0<0,8<1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}(-25\times0,8^{n})=0 \\\\\phantom{{\red{3.\ }}\ \ 0<0,8<1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}(-25\times0,8^{n}+175)=175 \\\\\phantom{{\red{3.\ }}\ \ 0<0,8<1}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=175}

4.  Résolvons l'inéquation : un  supegal 170.

u_n\ge170\Longleftrightarrow -25\times0,8^n+175\ge170 \\\\\phantom{u_n\ge170}\Longleftrightarrow -25\times0,8^n\ge-5 \\\\\phantom{u_n\ge170}\Longleftrightarrow0,8^n\le\dfrac{-5}{ -25}\Longleftrightarrow0,8^n\le\dfrac{1}{5} \\\\\phantom{u_n\ge170}\Longleftrightarrow\ln(0,8^n)\le\ln(\dfrac{1}{5}) \\\\\phantom{u_n\ge170}\Longleftrightarrow n\times\ln(0,8)\le\ln(\dfrac{1}{5}) \\\\\phantom{u_n\ge170}\Longleftrightarrow n\ge\dfrac{\ln(\dfrac{1}{5})}{\ln(0,8)}\ \ \ \ \text{(Changement du sens de l'inégalité car }\ln(0,8)<0)  \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln(\dfrac{1}{5})}{\ln(0,8)}\approx7,21

Puisque n  est un nombre entier naturel, l'inéquation est vérifiée pour n supegal 8.
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation est l'ensemble des nombres naturels appartenant à l'intervalle [8 ; +infini[.

Dans le contexte de l'énoncé, nous pouvons donc prévoir que selon ce modèle, le nombre de vélos dans le stock sera au moins égal à 170 à partir du 1er juillet 2026 (soit 8 ans après le 1er juillet 2018).

6 points

exercice 4 : Commun à tous les candidats

Partie A

1.  Par lecture graphique, nous obtenons : f (0) = 2 et f (2) = 0.

2.  f' (1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf  au point d'abscisse 1.
Par l'énoncé, nous savons que cette tangente est horizontale, soit que son coefficient directeur est nul.
D'où f' (1) = 0.

3.   Une équation de la tangente à la courbe Cf  au point A d'abscisse 0 est donnée par   y=f'(0)(x-0)+f(0)

Or f (0) = 2 car le point A(0 ; 2) appartient à la courbe Cf 
et f' (0) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point A, soit le coefficient directeur de la droite (AC) c'est-à-dire  \dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\dfrac{0-2}{-2-0}=1.

D'où une équation de la tangente à la courbe Cf  au point A est  y=1\times(x-0)+2 , soit  \boxed{y=x+2}

4.  Par lecture graphique, nous voyons que la droite horizontale d'équation y  = 1 ne coupe la courbe Cf  qu'en deux points sur l'intervalle [-10 ; 2].
Par conséquent, par lecture graphique, l'équation f (x ) = 1 admet deux solutions dans l'intervalle [-10 ; 2].

5.  Graphiquement, il semble que la fonction f  est croissante sur l'intervalle [-10 ; 1] et décroissante sur l'intervalle [1 ; 2].

6.  La fonction f  semble être convexe sur l'intervalle [-10 ; 0] et concave sur l'intervalle [0 ; 2].

7. a)  Le domaine du plan dont l'aire, exprimée en unités d'aire, est égale à I  est hachuré en brun.

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7. b)  Sur le graphique ci-dessus, nous avons représenté un ensemble de 16 carreaux dont l'aire totale semble être inférieure à I .
L'aire d'un ensemble de 20 tels carreaux paraît être supérieure à I .
Comme l'aire en u. a. d'un carreau est de 0,5 multiplie 0,5, soit 0,25 u. a., nous en déduisons que  \boxed{4\le I\le5}\ .

Partie B


Soit  f(x)=(2-x)\,\text{e}^x\ \ \ \ \ (x\in[-10\,;2])

{\red{1.\ }}\ \left\lbrace\begin{matrix}f(0)=(2-0)\,\text{e}^0=2\times1=2\\f(2)=(2-2)\,\text{e}^2=0\times\,\text{e}^2=0\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=2\\f(2)=0\end{matrix}\right.}

2. a)  La fonction f  est dérivable sur [-10 ; 2] comme produit de deux fonctions dérivables sur [-10 ; 2].

f'(x)=(2-x)'\times\text{e}^{x}+(2-x)\times(\text{e}^{x})' \\\\\phantom{f'(x)}=(-1)\times\text{e}^{x}+(2-x)\times\,\text{e}^{x} \\\\\phantom{f'(x)}=(-1+2-x)\,\text{e}^{x} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)= (1-x)\,\text{e}^{x}}

2. b)  f'(1)= (1-1)\,\text{e}^{1}= 0\times\,\text{e}=0\Longrightarrow\boxed{f'(1)=0}

3.  Une équation de la tangente à la courbe représentative de f  au point d'abscisse 0 est de la forme y=f'(0)(x-0)+f(0).

\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=2\ \ \ (\text{voir question 1.})\\f'(0)=(1-0)\,\text{e}^0=1\times1=1\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=2\\f'(0)=1\end{matrix}\right.

D'où une équation de la tangente à la courbe représentative de f  au point d'abscisse 0 est : y = x + 2.

4. a)  Puisque l'exponentielle est strictement positive sur R et a fortiori sur [-10 ; 2], le signe de la dérivée f' (x ) sera le signe de (1 - x ).

Or 1 - x  < 0 equivaut x  > 1.
       1 - x  = 0 equivaut x  = 1.
       1 - x  > 0 equivaut x  < 1.

Nous en déduisons le tableau de signes de f' (x ) et les variations de la fonction f sur l'intervalle [-10 ; 2].

        \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-10&&1&&2\\&&&&&\\\hline 1-x&&+&0&-&\\\hline  &&&&&\\ f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline &&&\text{e}\approx2,7&& \\ f(x)&&\nearrow&&\searrow& \\ &12\,\text{e}^{-10}&&&&0&&\approx0,0005&&&&\\\hline \end{array}

4. b)  La fonction f  est continue et strictement croissante sur [-10 ; 1].
f (-10) environegal 0,0005 < 1 et f (1) environegal 2,7 > 1.
Donc 1 est compris entre f (-10) et f (1).
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f (x ) = 1 admet une unique solution \alpha _1 appartenant à l'intervalle [-10 ; 1].

La fonction f  est continue et strictement décroissante sur [1 ; 2].
f (1) environegal 2,7 > 1 et f (2) = 0 < 1.
Donc 1 est compris entre f (1) et f (2).
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f (x ) = 1 admet une unique solution \alpha _2 appartenant à l'intervalle [1 ; 2].

Par conséquent, l'équation f (x ) = 1 admet exactement deux solutions alpha1 et alpha2 appartenant à l'intervalle [-10 ; 2].

Par le tableur de la calculatrice, nous obtenons \boxed{\alpha _1\approx-1,15} et \boxed{\alpha _2\approx1,84}\ .

5.  D'après le logiciel de calcul formel, nous savons que  f''(x)=-xe^x.

Puisque l'exponentielle est strictement positive sur R et a fortiori sur [-10 ; 2], le signe de la dérivée f'' (x ) sera le signe de -x .

Or -x < 0 equivaut x > 0.
      -x > 0 equivaut x < 0.
Nous en déduisons le tableau de signes de f'' (x ) sur l'intervalle [-10 ; 2].

           \begin{array}{|c|ccccc|}\hline&&&&&& x&-10&&0&&2\\&&&&&\\\hline -x&&+&0&-&\\\hline &&&&&& f''(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline &&&&&&f&&\text{convexe}&|&\text{concave}&\\&&&&&\\\hline \end{array}

Par conséquent, la fonction f  est convexe sur l'intervalle [-10 ; 0] et est concave sur l'intervalle [0 ; 2].

6.  Soit la fonction F  définie sur l'intervalle [-10 ; 2] par  F(x)=(3-x)\,\text{e}^x.

6. a)  La fonction F  est dérivable sur [-10 ; 2] comme produit de deux fonctions dérivables sur [-10 ; 2].

F'(x)=(3-x)'\times\text{e}^x+(3-x)\times(\text{e}^x)' \\\phantom{F'(x)}=(-1)\times\text{e}^x+(3-x)\times\text{e}^x \\\phantom{F'(x)}=(-1+3-x)\times\text{e}^x \\\phantom{F'(x)}=(2-x)\times\text{e}^x \\\phantom{F'(x)}=f(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{F'(x)=f(x)}
Puisque la dérivée de F  est f , nous en déduisons que F  est une primitive de f sur l'intervalle [-10 ; 2].

{\red{6.\ \text{b)}}}\ \ I=\int\limits_0^2f(x)\,dx=\left[\overset{}{F(x)}\right]\limits_{0}^{2}=\left[\overset{}{(3-x)\,\text{e}^x}\right]\limits_{0}^{2} \\\\\phantom{{\red{6.\ \text{b)}}}\ \ I}=(3-2)\,\text{e}^2-(3-0)\,\text{e}^0=\text{e}^2-3\times1 \\\\\phantom{{\red{6.\ \text{b)}}}\ \ I}=\text{e}^2-3 \\\\\Longrightarrow\boxed{I=\int\limits_0^2f(x)\,dx=\text{e}^2-3\approx4,39}
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