Fiche de mathématiques

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Bac ES-L Obligatoire et spécialité

Antilles-Guyane 2019

Durée : 3 heures

Coefficient : 5 (ES) , 4 (L), 7 (ES spé )

5 points

exercice 1 Commun à tous les candidats

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5 points

exercice 2 Candidats de ES n'yant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L

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5 points

exercice 2 Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

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7 points

exercice 3 Commun à tous les candidats

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3 points

exercice 4 Commun à tous les candidats

Correction

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5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. a. Parmi les 50 numéros ayant la même probabilité d'être découverts, la probabilité que le client découvre un numéro entre 1 et 15 est égale à $\overset{.}{\dfrac{15}{50}}$ puisqu'il y a 15 cas favorables parmi les 50 cas possibles.
D'où $P(N)=\dfrac{15}{50}=0,30\Longrightarrow\boxed{P(N)=0,3}$

Si le client découvre un numéro compris entre 1 et 15, il fait tourner une roue divisée en 10 secteurs de même taille dont 8 secteurs contiennent une étoile.
Donc $\overset{.}{\boxed{P_N(E)=\dfrac{8}{10}=0,8}}$

1. b. Arbre pondéré de probabilités traduisant la situation :

Bac ES-L obligatoire et spécialité Antilles-Guyane 2019 : image 17

2. Nous devons calculer $P(N\cap E).$

$P(N\cap E)=P(N)\times P_N(E) \\\phantom{P(N\cap E)}=0,3\times0,8 \\\phantom{P(N\cap E)}=0,24$
Par conséquent, la probabilité que le client trouve un numéro entre 1 et 15 et une étoile est égale à 0,24.

3. Nous devons calculer P (E ).

En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(E)= P(N\cap E)+P(\overline{N}\cap E) \\\phantom{P(E)}=0,24+P(\overline{N})\times P_{\overline{N}}(E)\\\phantom{P(E)}=0,24+0,7\times0,1\\\phantom{P(E)}=0,24+0,07\\\phantom{P(E)}=0,31 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(E)=0,31}$
Par conséquent, la probabilité que le client gagne un bon d'achat est égale à 0,31.

4. Nous devons calculer $P_E(N).$

$P_E(N)=\dfrac{P(N\cap E)}{P(E)} \\\\\phantom{P_L(T)}=\dfrac{0,24}{0,31}=\dfrac{24}{31} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_E(N)=\dfrac{24}{41}}$
Par conséquent, sachant que le client a gagné un bon d'achat, la probabilité qu'il ait obtenu un numéro entre 1 et 15 est égale à $\overset{.}{\dfrac{24}{31}.}$

Partie B

1. La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,31.

2. Nous devons calculer P (X = 30).

$P(X=30)=\begin{pmatrix}100\\30\end{pmatrix}\times0,31^{30}\times(1-0,31)^{100-30} \\\\\phantom{P(X=30)}=\begin{pmatrix}100\\30\end{pmatrix}\times0,31^{30}\times0,69^{70} \\\\\phantom{P(X=30)}\approx0,085$
D'où, la probabilité qu'il y ait exactement 30 clients gagnants est environ égale à 0,085.

3. L'espérance mathématique de la variable aléatoire X est donnée par $E[X]=n\times p= 100\times0,31 = 31.$
Cela signifie que pour 100 jeux simulés, soient pour 100 clients, 31 d'entre eux en moyenne sont gagnants.
Le montant d'un bon d'achat est de 10 euros.
Par conséquent, le montant moyen de la somme totale offerte en bons d'achat est égal à 31 10 euros, soit 310 euros.

Pour ce jeu, le directeur de l'hypermarché a prévu un budget de 250 euros par tranche de 100 clients participant à ce jeu.
Ce budget de 250 euros ne pourra pas couvrir la somme totale prévisible de 310 euros.
Par conséquent, le budget prévisionnel n'est pas suffisant.

Partie C

La variable aléatoire Y soit la loi normale d'espérance

= 45 et d'écart-type sigma

= 5.

1. Nous devons déterminer P (30 infegal

60).
Nous savons que si Y suit la loi normale d'espérance

et d'écart-type sigma

,
alors $\overset{.}{P(\mu-3\sigma\le Y\le\mu+3\sigma)\approx0,9973.}$

$\text{Dès lors, }\ P(30\le Y \le60)=P(45-3\times5\le Y\le45+3\times5) \\\phantom{\text{Dès lors, }\ P(30\le Y \le60)}=P(\mu\ -\ 3\sigma\ \ \le Y\le\ \mu\ +\ 3\sigma) \\\phantom{\text{Dès lors, }\ P(30\le Y \le60)}\approx0,9973 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(30\le Y \le60)\approx0,997}$
Par conséquent, la probabilité qu'un client pris au hasard dans ce magasin reste entre 30 et 60 minutes est environ égale à 0,997.

2. Nous devons déterminer P (Y > 50).
Nous savons que $\overset{.}{P(Y\ge\mu)=0,5}$ , soit que $\overset{.}{\boxed{P(Y\ge45)=0,5.}}$ $\text{Dès lors, }P(Y>50)=P(Y\ge45)-P(45\le Y\le50) \\\phantom{\text{Dès lors, }P(Y>50)}\approx0,5-0,341\\\phantom{\text{Dès lors, }P(Y>50)}\approx0,159 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(Y>50)\approx0,159}$
Par conséquent, la probabilité qu'un client pris au hasard dans ce magasin reste plus de 50 minutes est environ égale à 0,159.

5 points

exercice 2 - Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L

Pour tout entier naturel n non nul, on note u_n la taille, exprimée en centimètre, qu'aurait le bambou à la fin du n -ième mois, et u ₀ = 100.
1. La taille u ₁ du bambou à la fin du premier mois se calcule comme suit :
d'abord une augmentation de 5 % de la taille u ₀ , ce qui revient à calculer 1,05 multiplie

u ₀
ensuite une augmentation fixe de 20 cm, ce qui revient à calculer 1,05 multiplie

u ₀ + 20.
$\overset{.}{\text{D'où }u_1=1,05\times u_0+20} \\\phantom{\text{D'où }u_1}=1,05\times100+20\\\phantom{\text{D'où }u_1}=125 \\\\\Longrightarrow\boxed{u_1=125.}$

Par une démarche analogue, nous obtenons :
$\overset{.}{u_2=1,05\times u_1+20} \\\phantom{u_2}=1,05\times125+20\\\phantom{u_2}=151,25 \\\\\Longrightarrow\boxed{u_2=151,25.}$

2. On note u_n la taille, exprimée en centimètre, qu'aurait le bambou à la fin du n -ième mois.
La taille u _n +1 du bambou à la fin du "n +1"-ième mois se calcule comme suit :
d'abord une augmentation de 5 % de la taille u_n , ce qui revient à calculer 1,05 multiplie

u_n
ensuite une augmentation fixe de 20 cm, ce qui revient à calculer 1,05 multiplie

u_n + 20.
D'où pour tout entier naturel n , $\boxed{u_{n+1}=1,05\times u_n+20.}$

3. Pour tout entier naturel n , on pose : v_n = u_n + 400.

3. a. Montrons que la suite (v_n ) est une suite géométrique.

$v_{n+1}=u_{n+1}+400 \\\phantom{v_{n+1}}=(1,05\times u_{n}+20)+400 \\\phantom{v_{n+1}}=1,05\times u_{n}+420 \\\phantom{v_{n+1}}=1,05\times u_{n}+1,05\times400 \\\phantom{v_{n+1}}=1,05\times (u_{n}+400) \\\phantom{v_{n+1}}=1,05\times v_{n} \\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}=1,05\times v_{n}} \\\\\text{Remarque :}\ v_0=u_0+400=100+400\Longrightarrow \boxed{v_0=500}$
Nous en déduisons que la suite (v_n ) est une suite géométrique de raison q = 1,05 dont le premier terme
est v ₀ = 500.

3. b. Le terme général de la suite (v_n ) est $v_n=v_0\times q^{n}$ .
Donc, pour tout n supegal

0, $\overset{.}{\boxed{v_n=500\times1,05^{n}}}$

${\red{3.\ \text{c. }}} \ v_{n}=u_{n}+400\Longleftrightarrow u_n=v_n-400 \\\overset{\frac{}{}}{\text{Or }\ v_n=500\times1,05^n} \\\overset{\frac{}{}}{\Longrightarrow\boxed{ u_n=500\times1,05^n-400}}$

d. Le rang correspondant à la fin du 7^e mois est n = 7.
D'où $\overset{.}{u_7=500\times1,05^7-400\Longrightarrow\boxed{u_7\approx304}\ \ \ \ (\text{arrondi à l'unité})}$
Par conséquent, la taille du bambou à la fin du 7^e mois est estimée à environ 304 cm, soit à 3,04 m.

4. Considérons l'algorithme suivant :

        $\begin{array}{|c|}\hline u\longleftarrow100\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\n\longleftarrow0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Tant que }u<200\ \ \text{faire}\ \ \ \ \\|u\longleftarrow 1,05\times u+20\\|n\longleftarrow n+1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Fin Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline\end{array}$

4. a.  L'exécution de l'algorithme est retranscrit dans le tableau suivant :

        $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Test }u<200&\cellcolor{grey}&\text{vrai}&\text{vrai}& \text{vrai}& \cellcolor{red} \text{FAUX}\\\hline\text{Valeur de }u&100&125&151,25&178,8125& \cellcolor{red} 207,753125\\\hline\text{Valeur de }n&0&1&2&3&\cellcolor{green}4\\\hline \end{array}$

4. b. La valeur de la variable n à la fin de l'exécution de l'algorithme est n = 4.
Cela signifie que la taille du bambou dépassera 2 mètres au bout du 4^e mois.

4. c. Algorithme modifié.

        $\begin{array}{|c|}\hline u\longleftarrow{\red{50}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\n\longleftarrow0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Tant que }u<{\red{1000}}\ \ \text{faire}\ \ \ \ \\|u\longleftarrow 1,05\times u+20\\|n\longleftarrow n+1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Fin Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline\end{array}$

5 points

exercice 2 - Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. Graphe probabiliste représentant la situation :

Bac ES-L obligatoire et spécialité Antilles-Guyane 2019 : image 15

2. La matrice de transition M du graphe probabiliste dans l'ordre A-B est $\boxed{M=\begin{pmatrix}0,9 & 0,1\\0,3 & 0,7\end{pmatrix}}$

3. a. En 2018, 80 % des jeunes de 12-18 ans ne possédaient pas la carte.
Donc 20 % des jeunes de 12-18 ans possédaient la carte.
Par conséquent, a ₀ = 0,2 et b ₀ = 0,8.
Si pour tout entier naturel n , nous notons $P_n=\begin{pmatrix}a_n & b_n\end{pmatrix}$ la matrice exprimant l'état de l'année "2018+n ", alors $P_0=\begin{pmatrix}a_0 & b_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,2 & 0,8\end{pmatrix}.$

Déterminons la matrice $P_2.$

$P_2=P_0\times M^2\ \ \text{avec }P_0=(0,2\ \ \ \ \ 0,8)\\\\\text{Or }M=\begin{pmatrix}0,9&0,1\\0,3&0,7\end{pmatrix}\Longrightarrow M^2=\begin{pmatrix}0,84&0,16\\0,48&0,52\end{pmatrix}\\\\\text{D'où }P_2=(0,2\ \ \ \ \ 0,8)\times\begin{pmatrix}0,84&0,16\\0,48&0,52\end{pmatrix}\\\\\phantom{\text{D'où }P_2}=(0,2\times0,84+0,8\times0,48\ \ \ \ 0,2\times0,16+0,8\times0,52)\\\\\phantom{\text{D'où }P_2}=(0,552\ \ \ \ 0,448)\\\\\Longrightarrow\boxed{P_2=(0,552\ \ \ 0,448)}$

Par conséquent, $\boxed{a_2=0,552}$ et $\boxed{b_2=0,448}$

3. b. a ₂ = 0,552 signifie qu'en 2020, 55,2 % des jeunes de 12-18 ans posséderont la carte.

4. a. La matrice M de transition ne comporte pas de 0.
L'état probabiliste P_n à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial P₀ .
Cet état P est l'état probabiliste stable du système et vérifie la relation PM = P.

Soit $P=\begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix}\ \ \ \text{avec }a+b=1$
Alors

$P\times M=P$

$\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,9&0,1 \\ 0,3 & 0,7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}\ \ \ \text{avec }a+b=1$

$\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}0,9a+0,3b & 0,1a+0,7b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b\end{pmatrix}\ \ \ \text{avec }a+b=1$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l 0,9a+0,3b=a\\0,1a+0,7b=b\\a+b=1 \end{array}$ $\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l 0,9a-a+0,3b=0\\0,1a+0,7b-b=0\\a+b=1 \end{array}$ $\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l -0,1a+0,3b=0\\0,1a-0,3b=0\\a+b=1 \end{array}$

$\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{array}l-0,1a+0,3b=0\\a+b=1 \end{array}}$
Par conséquent, a et b sont solutions du système $\boxed{\left\lbrace\begin{array}l-0,1a+0,3b=0\\a+b=1 \end{array}}$

4. b. Résolvons ce système $\left\lbrace\begin{array}l-0,1a+0,3b=0\\a+b=1 \end{array}$

$\left\lbrace\begin{array}l-0,1a+0,3b=0\\a+b=1 \end{array}$ $\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l-0,1a+0,3b=0\\b=1-a \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l-0,1a+0,3(1-a)=0\\b=1-a \end{array}$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l-0,1a+0,3-0,3a=0\\b=1-a \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l-0,4a+0,3=0\\b=1-a \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,4a=0,3\\b=1-a \end{array}$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}lx=\dfrac{0,3}{0,4}\\\\b=1-a \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}lx=0,75\\\\b=1-0,75 \end{array}\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{array}la=0,75\\\\b=0,25 \end{array}}$

D'où l'état probabiliste stable est $\boxed{P=\begin{pmatrix}0,75 & 0,25\end{pmatrix}}$
Nous en déduisons qu'à long terme, la probabilité que la population des 12-18 ans possède la carte sera proche de 0,75, soit de 75 %.
Par conséquent, la mairie peut espérer qu'à l'avenir au moins 70 % de la population des 12-18 ans possèdent la carte.

Partie B

1. Algorithme complété :

$\begin{array}{|c|}\hline A\longleftarrow0,2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\N\longleftarrow0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Tant que }\ {\red{A<0,7}}\ \ \text{faire}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\ \ \ \ |A\text{ prend la valeur }{\red{0,6\times A+0,3}} \\\ \ \ |N\text{ prend la valeur } {\red{N+1}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Fin Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline \end{array}$

2. Le tableau suivant nous indique les premières valeurs prises par la variable N suivant les valeurs de A .

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Valeurs de }a_n&0,2&0,42&0,552&0,6312&0,67872\ {\blue{(<0,7)}}&0,707232\ {\red{(>0,7)}}\\\hline \text{Valeurs de }n&0&1&2&3&4&\cellcolor{green}5\\\hline \end{array}$
Donc, à la fin de l'exécution de l'algorithme, la variable N contient la valeur 5.
2018 + 5 = 2023.
Par conséquent, l'objectif sera atteint en 2023.

7 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A

Bac ES-L obligatoire et spécialité Antilles-Guyane 2019 : image 16

${\red{\text{1. }}\blue{\mathbf{Réponse\ a.}\ -\dfrac{1}{3}}}$
Considérons les points C et D appartenant à la tangente T .
Les coordonnées des points C et D semblent être égales à C(-3 ; 0,5) et D(0 ; -0,5).
Dans ce cas, le coefficient directeur de cette tangente T serait égal à $\overset{.}{\dfrac{y_D-y_C}{x_D-x_C}.}$
$\text{Or }\ \dfrac{y_D-y_C}{x_D-x_C}=\dfrac{-0,5-0,5}{0-(-3)}=\dfrac{-1}{3}=\boxed{-\dfrac{1}{3}}$
D'où, la réponse "a" est correcte.

${\red{\text{2. }}\blue{\mathbf{Réponse\ d.\ convexe\ sur\ [-5\, ;\, 5]}}}$
La fonction f semble être concave sur [-10 ; -5] car sa courbe représentative semble être entièrement située en-dessous de chacune de ses tangentes sur l'intervalle [-10 ; -5].
La fonction f semble être convexe sur [-5 ; 5] car sa courbe représentative semble être entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes sur l'intervalle [-5 ; 5].
D'où, la réponse "d" est correcte.

${\red{\text{3. }}\blue{\mathbf{Réponse\ b.\ [4\, ;\, 7]}}}$
L'aire du domaine S semble être proche de l'aire du parallélogramme BEFG de base 1 et de hauteur 5 représenté sur la figure ci-dessus.
L'aire de ce parallélogramme BEFG est égale à 1 multiplie

5 = 5 unités d'aire.
Par conséquent, l'aire du domaine S semble être proche de 5 unités d'aire.
Or 5 appartient

[4 ; 7].
D'où, la réponse "b" est correcte.

Partie B

La fonction f précédente, définie et dérivable sur l'intervalle [-10 ; 5], a pour expression $\overset{.}{f(x)=(x-5)\,\text{e}^{0,2x}+5.}$

1. a. Calculons l'expression de f' (x ).

$f'(x)=\left[(x-5)\,\text{e}^{0,2x}\right]'+5' \\\\\phantom{f'(x)}=(x-5)'\times\text{e}^{0,2x}+(x-5)\times\left(\text{e}^{0,2x}\right) '+0 \\\\\phantom{f'(x)}=1\times\text{e}^{0,2x}+(x-5)\times(0,2x)'\times\text{e}^{0,2x} \\\\\phantom{f'(x)}=\text{e}^{0,2x}+(x-5)\times0,2\times\text{e}^{0,2x} \\\\\phantom{f'(x)}=[1+0,2(x-5)]\times\text{e}^{0,2x}=(1+0,2x-0,2\times5)\times\text{e}^{0,2x} \\\\\phantom{f'(x)}=(1+0,2x-1)\times\text{e}^{0,2x}=0,2x\times\text{e}^{0,2x} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=0,2x\,\text{e}^{0,2x}}$

1. b. Etudions le signe de f' (x ) sur l'intervalle [-10 ; 5].
Puisque l'exponentielle est strictement positive sur

, le signe de f' (x ) sera le signe de 0,2x .

$0,2x=0\Longleftrightarrow x=0 \\0,2x>0\Longleftrightarrow x>0 \\0,2x<0\Longleftrightarrow x<0$
D'où le tableau de signes de f' (x ) sur [-10 ; 5] :

$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&-10&&0&&5\\\hline 0,2x&&-&0&+&\\\hline f'(x)&&-&0&+&\\\hline \end{array}$

Nous en déduisons le tableau de variations de f sur [-10 ; 5]

$\underline{\text{Calculs préliminaires}} \\f(-10) = (-10-5)\,\text{e}^{0,2\times(-10)}+5= -15\,\text{e}^{-2}+5\approx2,97 \\f(0)=(0-5)\,\text{e}^{0}+5=-5\times1+5=-5+5=0 \\f(5)=(5-5)\,\text{e}^{0,2\times5}+5=0+5=5 \\\\\underline{\text{Tableau de variations de }f\ \text{sur [-10 ; 5]}} \\\\\dfrac{}{} \ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&-10&&0&&5\\\hline f'(x)&&-&0&+&\\\hline&&&&&&&5-15\,\text{e}^{-2}\approx2,97&&&&5& f(x)&&\searrow&&\nearrow&\\&&&0&&&&&&&&\\\hline \end{array}$

1. c. Le coefficient directeur de la tangente T à la courbe $\mathscr{C}$ au point A d'abscisse -5 est égal à f' (-5).

$f'(x)=0,2x\,\text{e}^{0,2x}\Longrightarrow f'(-5)=0,2\times(-5)\,\text{e}^{0,2\times(-5)} \\\phantom{f'(x)=0,2x\,\text{e}^{0,2x}\Longrightarrow f'(-5)}=(-1)\times\,\text{e}^{-1} \\\phantom{f'(x)=0,2x\,\text{e}^{0,2x}\Longrightarrow f'(-5)}=-\text{e}^{-1} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(-5)=-\text{e}^{-1}}$ .
Par conséquent, le coefficient directeur de la tangente T à la courbe $\mathscr{C}$ au point A d'abscisse -5 est égal
à $-\text{e}^{-1}=-\dfrac{\overset{.}{1}}{\text{e}}$

2. a. A l'aide du logiciel de calcul formel, nous obtenons : f' (x ) = g (x ).

$\text{Dès lors, }\ f''(x)=g'(x) \\\\\phantom{\text{Dès lors, }\ f''(x)}=\dfrac{1}{25}\,x\,\text{e}^{\frac{1}{5}x}+\dfrac{1}{5}\,\text{e}^{\frac{1}{5}x}=0,04\,x\,\text{e}^{0,2x}+0,2\,\text{e}^{0,2x} \\\\\phantom{\text{Dès lors, }\ f''(x)}=(0,04\,x+0,2)\,\text{e}^{0,2x} \\\\\Longrightarrow\boxed{f''(x)=(0,2+0,04x)\,\text{e}^{0,2x}}$

2. b. Etudions le signe de f'' (x ) sur l'intervalle [-10 ; 5].

Puisque l'exponentielle est strictement positive sur

, le signe de f" (x ) sera le signe de (0,2 + 0,04x ).

${\red{0,2+0,04x=0}}\Longleftrightarrow 0,04x=-0,2\Longleftrightarrow x=-\dfrac{0,2}{0,04}\Longleftrightarrow {\red{x=-5}} \\\\ {\red{0,2+0,04x<0}}\Longleftrightarrow 0,04x<-0,2\Longleftrightarrow x<-\dfrac{0,2}{0,04}\Longleftrightarrow {\red{x<-5}} \\\\ {\red{0,2+0,04x>0}}\Longleftrightarrow 0,04x>-0,2\Longleftrightarrow x>-\dfrac{0,2}{0,04}\Longleftrightarrow {\red{x>-5}}$
D'où le tableau de signes de f'' (x ) et la convexité de f sur [-10 ; 5] :

$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&-10&&-5&&5\\\hline 0,2+0,04x&&-&0&+&\\\hline&&&&&& f''(x)&&-&0&+&&&&&&&\\\hline{\red{ f}} &&{\red{\text{concave}}}&&{\red{\text{convexe}}}&\\\hline \end{array}$
Par conséquent, la fonction f est concave sur l'intervalle [-10 ; -5] et est convexe sur l'intervalle [-5 ; 5].

3. On admet qu'une primitive de f sur l'intervalle [-10 ; 5] est la fonction F définie par $\overset{.}{F(x)=(5x-50)\,\text{e}^{0,2x}+5x.}$
${\red{3.\ \text{a.} }}\ I=\int\limits_{0}^5f(x)\,dx=\left[\dfrac{}{}F(x)\right]\limits_{0}^5=F(5)-F(0) \\\phantom{{\red{4.\ \text{b.} }}\ I=\int\limits_{0}^5f(x)\,dx}=\left[\dfrac{}{}(5\times5-50)\,\text{e}^{0,2\times5}+5\times5\right]-\left[\dfrac{}{}(5\times0-50)\,\text{e}^{0,2\times0}+5\times0\right]\ \\\phantom{{\red{4.\ \text{b.} }}\ I=\int\limits_{0}^5f(x)\,dx}=\left(\dfrac{}{}-25\,\text{e}^{1}+25\right)-\left(\dfrac{}{}-50\,\text{e}^{0}\right)=-25\text{e}+25+50 \\\phantom{{\red{4.\ \text{b.} }}\ I=\int\limits_{0}^5f(x)\,dx}=75-25\text{e} \\\\\Longrightarrow\boxed{I=\int\limits_{0}^5f(x)\,dx=75-25\text{e}}$

3. b. L'aire $\mathscr{A}$ du domaine du plan situé sous la droite $\mathscr{D}$ , au-dessus de l'axe des abscisses et limité par la droite d'équation x = 5 est l'aire d'un triangle rectangle dont chaque côté de l'angle droit a une mesure égale à 5.
Dès lors, $\mathscr{A}=\dfrac{5\times5}{2}=\dfrac{25}{2}=\boxed{12,5\ \text{u.a.}}$

3. c. La courbe $\mathscr{D}$ est située sous la droite $\mathscr{D}$ sur l'intervalle [0 ; 5].

$\text{D'où, }\ \text{Aire de }S=\mathscr{A}-I=12,5-(75-25\text{e})=12,5-75+25\text{e}=-62,5+25\text{e} \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{Aire de }S=25\text{e}-62,5\approx5,46\ \text{u.a.}}$

3 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. Le taux en pourcentage d'évolution de l'émission de CO₂ par cette entreprise entre 2014 et 2015 est donnée par : $\dfrac{\text{Valeur en 2015}-\text{Valeur en 2014}}{\text{Valeur en 2014}}\times100=\dfrac{14,7-15}{15}\times100=\boxed{-2}$

Par conséquent, entre 2014 et 2015, la quantité de CO₂ émises par cette entreprise a diminué de 2 %.

2. Une diminution de 2 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,02 = 0,98.
Nous savons qu'en 2014, l'entreprise émettait 15 milliers de tonnes de CO₂.
Nous devons déterminer à partir de quelle année la quantité de CO₂ émise par cette entreprise passera en-dessous du seuil de 12 milliers de tonnes.
Nous devons donc déterminer le plus petit entier naturel n vérifiant l'inéquation 15 multiplie

0,98ⁿ < 12.

$15\times0,98^n<12\Longleftrightarrow0,98^n<\dfrac{12}{15} \\\\\phantom{15\times0,98^n<12}\Longleftrightarrow0,98^n<0,8 \\\\\phantom{15\times0,98^n<12}\Longleftrightarrow\ln(0,98^n)<\ln(0,8) \\\\\phantom{15\times0,98^n<12}\Longleftrightarrow n\times\ln(0,98)<\ln(0,8) \\\\\phantom{15\times0,98^n<12}\Longleftrightarrow n>\dfrac{\ln(0,8)}{\ln(0,98)}\ \ \ (\text{Changement du sens de l'inégalité car }\ln(0,98)<0) \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln(0,8)}{\ln(0,98)}\approx11,045.$

D'où le plus petit nombre entier naturel n vérifiant l'inéquation est n = 12.
Par conséquent, la quantité de CO₂ passera en-dessous de ce seuil de 12 milliers de tonnes en l'année "2014 + 12", soit en 2026.

Publié par malou le 30-10-2019

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