Fiche de mathématiques

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Bac S Obligatoire et spécialité Mathématiques

Polynésie

Durée : 4 heures

Coefficients : Obligatoire-7 / Spécialité- 9

5 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

Bac S obligatoire et spécialité Polynésie 2019 : image 3

Bac S obligatoire et spécialité Polynésie 2019 : image 10

5 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

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5 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

Bac S obligatoire et spécialité Polynésie 2019 : image 2

5 points

exercice 4 : Pour les candidats n'ayant pas suivi la spécialité

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5 points

exercice 4 : Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

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Bac S obligatoire et spécialité Polynésie 2019

5 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

La durée, en mois, de fonctionnement sans panne du distributeur de glaces à l'italienne est modélisée par une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre lambda

où

est un réel strictement positif.
Le vendeur de l'appareil assure que la durée moyenne de fonctionnement sans panne de ce type de distributeur, c'est-à-dire l'espérance mathématique de X , est de 10 mois.

1. a. Montrons que lambda

= 0,1.

${\left\lbrace\begin{matrix}E(X)=\dfrac{1}{\lambda}\\\\E(X)=10\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \ \dfrac{1}{\lambda}=10\ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \ \boxed{\lambda=\dfrac{1}{10}=0,1}$

1. b. Nous devons déterminer P (X > 6).
L'énoncé nous rappelle que la fonction f de densité de la loi exponentielle est donnée sur [0 ; + infini

[ par $f(x)=\lambda\,\text{e}^{-\lambda x}$ , soit par $f(x)=0,1\,\text{e}^{-0,1x}.$

$\text{Dès lors, }\ P(X>6)=1-P(0\le X\le6) \\\\\phantom{\text{Dès lors, }\ P(X>6)}=1-\int\limits_0^6f(x)\,dx=1-\int\limits_0^60,1\,\text{e}^{-0,1x}\,dx \\\\\phantom{\text{Dès lors, }\ P(X>6)}=1+\int\limits_0^6(-0,1)\,\text{e}^{-0,1x}\,dx=1+\int\limits_0^6(-0,1x)'\,\text{e}^{-0,1x}\,dx \\\\\phantom{\text{Dès lors, }\ P(X>6)}=1+\left[\overset{}{\text{e}^{-0,1x}}\right]\limits_0^6=1+\left(\overset{}{\text{e}^{-0,1\times6}-\text{e}^{-0,1\times0}}\right) \\\\\phantom{\text{Dès lors, }\ P(X>6)}=1+\left(\overset{}{\text{e}^{-0,6}-\text{e}^{0}}\right)=1+\text{e}^{-0,6}-1 \\\\\phantom{\text{Dès lors, }\ P(X>6)}=\text{e}^{-0,6} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X>6)=\text{e}^{-0,6}\approx0,55}$
Par conséquent, la probabilité que le distributeur de glaces à l'italienne n'ait connu aucune panne pendant les six premiers mois est environ égale à 0,55.

1. c. Nous devons déterminer $P_{X>6}(X>12).$
Une loi exponentielle étant une loi à durée de vie sans vieillissement, nous savons que pour tous les réels t et h positifs, $P_{X>t}(X>t+h)=P(X>h).$

$\text{D'où }\ P_{X>6}(X>12)=P_{X>{\red{6}}}(X>{\red{6}}+{\blue{6}} ) \\\\\phantom{\text{D'où }\ P_{X>6}(X>12)}=P(X>{\blue{6}} ) \\\\\phantom{\text{D'où }\ P_{X>6}(X>12)}=\text{e}^{-0,6}\approx0,55\ \ \ \text{(voir exercice 1. b.)}$

Par conséquent, sachant que le distributeur n'a connu aucune panne pendant les six premiers mois, la probabilité qu'il n'en connaisse aucune jusqu'à la fin de la première année est environ égale à 0,55.

1. d. Nous devons déterminer la valeur de t vérifiant l'équation $P(X>t)=0,05.$

$P(X>t)=0,05\Longleftrightarrow\text{e}^{-0,1t}=0,05 \\\phantom{P(X>t)=0,05}\Longleftrightarrow-0,1t=\ln(0,05) \\\\\phantom{P(X>t)=0,05}\Longleftrightarrow \boxed{t=\dfrac{\ln(0,05)}{-0,1 }\approx30\ \ \ \ \text{(arrondi à l'unité)}}$
D'où si le commerçant remplace son distributeur de glaces à l'italienne au bout de 30 mois, la probabilité que la durée de fonctionnement sans panne de ce distributeur dépasse cette période de 30 mois est égale à 0,05.

2. La variable aléatoire M représentant la masse, en grammes, d'une glace distribuée suit la loi normale d'espérance

= 60 et d'écart-type sigma

= 2,5.

2. a. Nous devons déterminer P (55 infegal

65).
Nous savons que si M suit la loi normale d'espérance

et d'écart-type sigma

,
alors $\overset{.}{P(\mu-2\sigma\le M\le\mu+2\sigma)\approx0,954.}$

$\text{Dès lors, }\ P(55\le M \le65)=P(60-2\times2,5\le M\le60+2\times2,5) \\\phantom{\text{Dès lors, }\ P(55\le M \le65)}=P(\ \mu\ \ \ -\ 2\sigma\ \ \ \le M\le\ \mu\ \ +\ 2\sigma) \\\phantom{\text{Dès lors, }\ P(55\le M \le65)}\approx0,954 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(55\le M \le65)\approx0,95}$
Par conséquent, la probabilité que la masse d'une glace à l'italienne choisie au hasard parmi celles distribuées soit comprise entre 55 g et 65 g est environ égale à 0,95.

2. b. Nous devons déterminer la plus grande valeur de m telle que $P(M\ge m)\ge0,99.$

Nous savons que $P(M\ge m)\ge0,99\Longleftrightarrow P(M<m)\le0,01.$

Par la calculatrice, nous obtenons : $\boxed{m\approx54 }$

3. Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I₁₂₀ au seuil de 95 % de la fréquence des consommateurs ayant choisi de la glace à la vanille dans un échantillon de 120 consommateurs pris au hasard.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

$\left\lbrace\begin{array}l n=120\ge30 \\ p=\dfrac{2}{3}\Longrightarrow np=120\times\dfrac{2}{3}=80>5 \\n(1-p)= 120\times(1-\dfrac{2}{3})= 120\times\dfrac{1}{3}=40>5 \end{array}$

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I₁₂₀ au seuil de 95% est :

$I_{120}=\left[\dfrac{2}{3}-1,96\sqrt{\dfrac{\dfrac{2}{3} (1-\dfrac{2}{3})}{120}}\ ;\dfrac{2}{3}+1,96\sqrt{\dfrac{\dfrac{2}{3} (1-\dfrac{2}{3})}{120}}\right]\\\\\Longrightarrow\boxed{I_{120}\approx[0,58;0,76]}$

Le premier jour d'utilisation de son distributeur, le commerçant constate que sur 120 consommateurs, 65 ont choisi de la glace à la vanille.
La fréquence observée des consommateurs ayant choisi de la glace à la vanille est $\overset{.}{\boxed{f=\dfrac{65}{120}\approx0,54}}$
Nous remarquons que $f\notin I_{120}.$
Par conséquent au risque de se tromper de 5%, nous pouvons mettre en doute l'hypothèse du commerçant.

5 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

Partie A

1. Si f est une fonction polynôme du second degré, alors son expression algébrique est de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec a different

0.
$\text{Dans ce cas, }\underset{x>0}{\lim\limits_{x\to0}}\,f(x)=\underset{x>0}{\lim\limits_{x\to0}}\,(ax^2+bx+c)= 0+0+c=c \Longrightarrow\boxed{\underset{x>0}{\lim\limits_{x\to0}}\,f(x)=c\in\R}$
$\text{Or selon l'énoncé, }\underset{x>0}{\lim\limits_{x\to0}}\,f(x)=-\infty.$
Nous en déduisons que la fonction f ne peut pas être une fonction polynôme du second degré.

2. Soit g la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; 1] par $g(x)=k\,\ln x.$

2. a. La fonction g vérifie les trois conditions (H) et en particulier la condition : g' (1) = 0,25.

$\text{Or }\ g(x)=k\,\ln x\Longrightarrow g'(x)=k\times\dfrac{1}{x} \Longrightarrow g'(x)=\dfrac{k}{x} \\\\\text{D'où }g'(1)=0,25\Longleftrightarrow\dfrac{k}{1}=0,25\Longleftrightarrow\boxed{{\red{k=0,25}}}$
Dans le cas, l'expression algébrique de la fonction g s'écrit : $\boxed{{\red{g(x)=0,25\,\ln x}}}$
Ainsi définie, la fonction g vérifie également les deux autres conditions (H).
En effet,

$\left\lbrace\begin{matrix}g(1)=0,25\,\ln 1=0,25\times0=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\underset{x>0}{\lim\limits_{x\to0}}\,g(x)=\underset{x>0}{\lim\limits_{x\to0}}\,(0,25\,\ln x)=0,25\times\underset{x>0}{\lim\limits_{x\to0}}\,\ln x=-\infty\ \ \ \ (\text{car}\underset{x>0}{\lim\limits_{x\to0}}\,\ln x=-\infty) \end{matrix}\right. \\\\\\\Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}g(1)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\\underset{x>0}{\lim\limits_{x\to0}}\,g(x)=-\infty\end{matrix}\right.}$
Par conséquent, la fonction g respecte les trois conditions (H) si k = 0,25.

2. b. Par lecture graphique, nous observons que $f(0,1) < -5.$
Or $g(0,1)=0,25\times\ln0,1\Longrightarrow \overset{.}{\boxed{g(0,1)\approx-0,5756\ {\red{>-5}}}}$
D'où la courbe représentative de la fonction g ne coïncide pas avec la courbe C .

3. Soit h la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; 1] par $h(x)=\dfrac{a}{x^4}+bx$ où a et b sont des réels.
La fonction h respecte les trois conditions (H).
Analysons la première condition.
$h(1)=0\Longleftrightarrow \overset{.}{\dfrac{a}{1^4}}+b\times1=0 \Longleftrightarrow\boxed{a+b=0}$
La deuxième condition s'écrit : $h'(1)=0,25.$

$\text{Or }\ h'(x)=\left(\dfrac{a}{x^4}\right)'+(bx)' \\\phantom{\text{Or }\ h'(x)}=\left(a\,x^{-4}\right)'+b \\\phantom{\text{Or }\ h'(x)}=-4a\,x^{-5}+b \\\\\Longrightarrow h'(x)=-\dfrac{4a}{x^5}+b \\\\\text{D'où }\ h'(1)=0,25\Longleftrightarrow-\dfrac{4a}{1^5}+b=0,25\Longleftrightarrow\boxed{-4a+b=0,25}$

Dès lors, a et b sont les solutions du système $\left\lbrace\begin{matrix}a+b=0\\-4a+b=0,25\end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix}a+b=0\\-4a+b=0,25\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}b=-a\\-4a-a=0,25\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}b=-a\\-5a=0,25\end{matrix}\right. \\\\\phantom{............................}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}b=-a\\a=-0,05\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}b=0,05\\a=-0,05\end{matrix}\right.}$

Dans ce cas, h (x ) s'écrira : $\boxed{h(x)=-\dfrac{0,05}{x^4}+0,05x}$

Montrons que h vérifie la troisième condition (H).

$\left\lbrace\begin{matrix}\underset{x>0}{\lim\limits_{x\to0}}-\dfrac{0,05}{x^4}=-\infty\\\\\underset{x>0}{\lim\limits_{x\to0}}\,0,05x=0\ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\Longrightarrow\underset{x>0}{\lim\limits_{x\to0}}(-\dfrac{0,05}{x^4}+0,05x)=-\infty\Longrightarrow\underset{x>0}{\lim\limits_{x\to0}}\,h(x)=-\infty$

Nous pouvons conclure en affirmant que la fonction h vérifiant les trois conditions (H) est définie sur l'intervalle ]0 ; 1] par $\overset{.}{\boxed{h(x)=-\dfrac{0,05}{x^4}+0,05x}}$

Partie B

On admet dans cette partie que la courbe C est la représentation graphique d'une fonction f continue, strictement croissante, définie et dérivable sur l'intervalle ]0 ; 1] d'expression :

$f(x)=\dfrac{1}{20}\left(x-\dfrac{1}{x^4}\right).$
1. La fonction f est continue et strictement croissante sur ]0 ; 1].

$\underset{x>0}{\lim\limits_{x\to0}}\left(-\dfrac{1}{x^4}\right)=-\infty\Longrightarrow\underset{x>0}{\lim\limits_{x\to0}}\left(x-\dfrac{1}{x^4}\right)=-\infty\\\\\phantom{...............................}\Longrightarrow\underset{x>0}{\lim\limits_{x\to0}}\ \dfrac{1}{20}\left(x-\dfrac{1}{x^4}\right)=-\infty\\\\\phantom{...............................}\Longrightarrow{\red{\underset{x>0}{\lim\limits_{x\to0}}\ f(x)=-\infty}} \\\\f(1)=\dfrac{1}{20}\left(1-\dfrac{1}{1^4}\right)=\dfrac{1}{20}\left(1-1\right)\Longrightarrow {\red{f(1)=0}}$

Or -5 appartient

; 0].
Donc -5 est compris entre $\underset{x>0}{\lim\limits_{x\to0}}\ f(x)$ et f (1).
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f (x ) = -5 admet une unique solution $\alpha$ appartenant à l'intervalle ]0 ; 1].

En utilisant le tableur de la calculatrice, nous obtenons :

$\left\lbrace\begin{matrix}f(0,31)\approx-5,40\\f(0,32)\approx-4,75\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ 0,31<\alpha<0,32$
Par conséquent, une valeur approchée de $\alpha$ à 10^-2 près est $\boxed{\alpha=0,32}$

2. On admet que le volume d'eau en cm³, contenu dans les 5 premiers centimètres de l'écoulement, est donné par la formule : $V=\int\limits^1_{\alpha}\pi x^2f'(x)\,dx$

${\red{2.\ \text{a.}}}\ u(x)=\dfrac{1}{2x^2}=\dfrac{1}{2}x^{-2}\Longrightarrow u'(x)=\dfrac{1}{2}(x^{-2})' \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{a.}}}\ u(x)=\dfrac{1}{2x^2}=\dfrac{1}{2}x^{-2}}\Longrightarrow u'(x)=\dfrac{1}{2}\times(-2x^{-3}) \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{a.}}}\ u(x)=\dfrac{1}{2x^2}=\dfrac{1}{2}x^{-2}}\Longrightarrow u'(x)=-x^{-3} \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{a.}}}\ u(x)=\dfrac{1}{2x^2}=\dfrac{1}{2}x^{-2}}\Longrightarrow \boxed{u'(x)=-\dfrac{1}{x^3}}$

2. b. $V=\int\limits^1_{\alpha}\pi x^2f'(x)\,dx$
$\text{Or }\ f'(x)=\dfrac{1}{20}\left(x-\dfrac{1}{x^4}\right)'=\dfrac{1}{20}\left(x-x^{-4}\right)' \\\phantom{\text{Or }\ f'(x)}=\dfrac{1}{20}\left(1-(-4x^{-5})\right) \\\\\Longrightarrow \boxed{f'(x)=\dfrac{1}{20}\left(1+\dfrac{4}{x^5}\right)}$

$\text{D'où }\ V=\int\limits^1_{\alpha}\pi x^2f'(x)\,dx=\int\limits^1_{\alpha}\pi x^2\times\dfrac{1}{20}\left(1+\dfrac{4}{x^5}\right)\,dx \\\\\phantom{\text{D'où }\ V}=\dfrac{\pi}{20}\int\limits^1_{\alpha} x^2\left(1+\dfrac{4}{x^5}\right)\,dx \\\\\phantom{\text{D'où }\ V}=\dfrac{\pi}{20}\int\limits^1_{\alpha} \left(x^2+\dfrac{4}{x^3}\right)\,dx \\\\\phantom{\text{D'où }\ V}=\dfrac{\pi}{20}\left(\int\limits^1_{\alpha}x^2\,dx+ \int\limits^1_{\alpha}\dfrac{4}{x^3}\,dx\right)$

$\text{Or }\ \int\limits^1_{\alpha}x^2\,dx=\left[\overset{}{\dfrac{x^3}{3}}\right]\limits^1_{\alpha}=\dfrac{1^3}{3}-\dfrac{\alpha ^3}{3}\Longrightarrow\boxed{\int\limits^1_{\alpha}x^2\,dx=\dfrac{1}{3}-\dfrac{\alpha ^3}{3}} \\\\\phantom{\text{Or }\ }\int\limits^1_{\alpha}\dfrac{4}{x^3}\,dx=-4\times\int\limits^1_{\alpha}\left(-\dfrac{1}{x^3}\right)\,dx=-4\times\left[\overset{}{\dfrac{1}{2x^2}}\right]\limits^1_{\alpha}\ \ \ \ \text{(car }\left(\overset{}{\dfrac{1}{2x^2}}\right)'=-\dfrac{1}{x^3}\ \ \text{voir ex. 2.a.)} \\\\\phantom{\text{Or }\ \int\limits^1_{\alpha}\dfrac{4}{x^3}\,dx}=\left[\overset{}{\dfrac{-2}{x^2}}\right]\limits^1_{\alpha}=\dfrac{-2}{1^2}-\dfrac{-2}{\alpha ^2}\Longrightarrow\boxed{\int\limits^1_{\alpha}\dfrac{4}{x^3}\,dx=-2+\dfrac{2}{\alpha ^2}}$

Dès lors,

$V=\dfrac{\pi}{20}\left((\dfrac{1}{3}-\dfrac{\alpha ^3}{3})+(-2+\dfrac{2}{\alpha ^2})\right) \\\\\phantom{V}=\dfrac{\pi}{20}\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{\alpha ^3}{3}-2+\dfrac{2}{\alpha ^2}\right) \\\\\Longrightarrow\boxed{V=\dfrac{\pi}{20}\left(\dfrac{2}{\alpha ^2}-\dfrac{\alpha ^3}{3}-\dfrac{5}{3}\right)\approx2,80\ \text{cm}^3}$

5 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

Soit la suite (I_n ) définie par $\left\lbrace\begin{matrix}I_0=\int\limits_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{1-x}\,dx\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\I_n=\int\limits_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^n}{1-x}\,dx\ \ \ \ (n\in\N^*)\end{matrix}\right.$

${\red{1.\ }}\ I_0=\int\limits_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{1-x}\,dx=-\int\limits_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{-1}{1-x}\,dx \\\\\phantom{{\red{1.\ }}\ I_0}=-\int\limits_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{(1-x)'}{1-x}\,dx=-\left[\overset{}{\ln|1-x|}\right]\limits_0^{\frac{1}{2}} \\\\\phantom{{\red{1.\ }}\ I_0}=-\left[\overset{}{\ln|1-\dfrac{1}{2}|-\ln|1-0|}\right] \\\\\phantom{{\red{1.\ }}\ I_0}=-\left[\overset{}{\ln(\dfrac{1}{2})-\ln(1)}\right]=-\left[\overset{}{-\ln(2)-0}\right] \\\\\Longrightarrow\boxed{I_0=\ln(2)}$

${\red{2.\ \text{a.}}}\ I_0-I_1=\int\limits_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{1-x}\,dx-\int\limits_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{x}{1-x}\,dx \\\\\phantom{{\red{1.\ }}\ I_0-I_1}=\int\limits_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{1-x}{1-x}\,dx=\int\limits_0^{\frac{1}{2}}1\,dx=\left[\overset{}{x}\right]\limits_0^{\frac{1}{2}} \\\\\phantom{{\red{1.\ }}\ I_0-I_1}=\dfrac{1}{2}-0 \\\\\Longrightarrow\boxed{I_0-I_1=\dfrac{1}{2}}$

${\red{2.\ \text{b.}}}\ \left\lbrace\begin{matrix}I_0-I_1=\dfrac{1}{2}\\I_0=\ln(2)\ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ln(2)-I_1=\dfrac{1}{2}\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{I_1=\ln(2)-\dfrac{1}{2}}$

${\red{3.\ \text{a.}}}\ I_n-I_{n+1}=\int\limits_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^n}{1-x}\,dx-\int\limits_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^{n+1}}{1-x}\,dx\ \ \ \ \ (n\in\N) \\\phantom{{\red{3.\ \text{a.}}}\ I_n-I_{n+1}}=\int\limits_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^n-x^{n+1}}{1-x}\,dx \\\phantom{{\red{3.\ \text{a.}}}\ I_n-I_{n+1}}=\int\limits_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^n-x^{n}x}{1-x}\,dx \\\phantom{{\red{3.\ \text{a.}}}\ I_n-I_{n+1}}=\int\limits_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^n(1-x)}{1-x}\,dx \\\phantom{{\red{3.\ \text{a.}}}\ I_n-I_{n+1}}=\int\limits_0^{\frac{1}{2}}x^n\,dx \\\phantom{{\red{3.\ \text{a.}}}\ I_n-I_{n+1}}=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]\limits_0^{\frac{1}{2}} \\\\\phantom{{\red{3.\ \text{a.}}}\ I_n-I_{n+1}}=\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1}-0 \\\\\Longrightarrow\boxed{I_n-I_{n+1}=\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1}}$

3. b. Algorithme permettant de déterminer, pour un entier naturel n donné, la valeur de I_n .

Variables : n est un nombre entier naturel
                         k est un nombre entier
                          I est un nombre réel

Initialisation : k prend la valeur 0
                                  I prend la valeur ln(2)
                                  lire n

Traitement : Tant que k < n , faire

                                            $\left|\begin{matrix}\ k\text{ prend la valeur } k + 1\ \ \ \ \ \ \\\ I\text{ prend la valeur }I-\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^{k}}{k}\end{matrix}$
                                Fin Tant que

Sortie : Afficher I

4. Soit n un entier naturel non nul.
On admet que si x appartient à l'intervalle $[0\,;\dfrac{1}{2}]$ , alors $0\le\dfrac{x^n}{1-x}\le\dfrac{1}{2^{n-1}}.$

4. a. En utilisant la propriété de la conservation de l'ordre des intégrales, nous obtenons :

$0\le\dfrac{x^n}{1-x}\le\dfrac{1}{2^{n-1}}\Longrightarrow\int\limits_0^{\frac{1}{2}}0\,dx\le\int\limits_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^n}{1-x}\,dx\le\int\limits_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{2^{n-1}}\,dx \\\\\phantom{0\le\dfrac{x^n}{1-x}\le\dfrac{1}{2^{n-1}}}\Longrightarrow0\le I_n\le{\red{\int\limits_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{2^{n-1}}\,dx }} \\\\\text{Or }\ {\red{\int\limits_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{2^{n-1}}\,dx}} =\dfrac{1}{2^{n-1}}\times\int\limits_0^{\frac{1}{2}}1\,dx =\dfrac{1}{2^{n-1}}\times[x]\limits_0^{\frac{1}{2}} \\\phantom{\text{Or }\ \int\limits_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{2^{n-1}}\,dx }=\dfrac{1}{2^{n-1}}\times(\dfrac{1}{2}-0)=\dfrac{1}{2^{n-1}}\times\dfrac{1}{2} \\\phantom{\text{Or }\ \int\limits_0^{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{2^{n-1}}\,dx }={\red{\dfrac{1}{2^{n} }}} \\\\\text{Par conséquent, }\ \boxed{0\le I_n\le\dfrac{1}{2^{n}}}$

${\red{4.\ \text{b.}}}\ \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{2^n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0\ \ \ \ (\text{car }0<\dfrac{1}{2}<1)$

En vertu du théorème d'encadrement (théorème des gendarmes), nous obtenons :

$\left\lbrace\begin{matrix}0\le I_n\le\dfrac{1}{2^{n}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\lim\limits_{n\to+\infty}0=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{2^{n}}=0\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0}$

${\red{5.\ }}\ \text{Soit }\ S_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2}+\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^3}{3}+...+\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{n}\ \ \ \ \ (n\in\N^*)$

5. a. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, S_n = I₀ - I_n .

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 1.
Montrons donc que $S_1=I_0-I_1.$

$\left\lbrace\begin{matrix} S_1=\dfrac{1}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ (\text{par définition de }S_n)\\I_0-I_1=\dfrac{1}{2}\ \ \ \text{(par la question 2. a.)}\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\boxed{S_1=I_0-I_1}$
Nous avons ainsi montré que l'initialisation est vraie.

Hérédité : Pour une valeur de n fixée, montrons que si la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang n + 1.
Supposons que pour une valeur de n fixée, $S_n=I_0-I_n$ .
Montrons que $S_{n+1}=I_0-I_{n+1}$ .

En effet,

$S_{n+1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2}+\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^3}{3}+...+\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{n}+\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1} \\\\\phantom{S_{n+1}}=\left[\dfrac{1}{2}+\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2}+\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^3}{3}+...+\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{n}\right]+\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1} \\\\\phantom{S_{n+1}}=S_n+\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1} \\\\\phantom{S_{n+1}}=I_0-I_n+\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1}\ \ \ \ \ \ (\text{par hypothèse de récurrence}) \\\\\phantom{S_{n+1}}=I_0-\left(I_n-\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1}\right)$ $\text{Or d'après la question 3. a., nous obtenons :}\ I_n-I_{n+1}=\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1}\ \ \Longrightarrow \ \ I_n-\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1}=I_{n+1}$

$\text{D'où }\ \left\lbrace\begin{matrix}S_{n+1}=I_0-\left({\red{I_n-\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1}}}\right)\\ {\red{ I_n-\dfrac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{n+1}}}=I_{n+1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{S_{n+1}=I_0-I_{n+1}}$
Nous avons ainsi montré que l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, S_n = I₀ - I_n .

${\red{5.\ \text{b.}}}\left\lbrace\begin{matrix}S_n=I_0-I_n\ \ \ (\text{voir exercice 5. a.})\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=0\ \ \ (\text{voir exercice 4.b.})\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \lim\limits_{n\to+\infty}S_n=\lim\limits_{n\to+\infty}I_0-\lim\limits_{n\to+\infty}I_n \\\\\phantom{xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx}\Longrightarrow\ \ \ \lim\limits_{n\to+\infty}S_n=I_0-0 \\\\\phantom{xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx}\Longrightarrow\ \ \ \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=I_0=\ln(2)}$

5 points

exercice 4 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Le point E(0 ; 0 ; 6) vérifie l'équation 3x + 2y + 6z - 36 = 0 car 3 multiplie

0 + 2

0 + 6

6 - 36 = 36 - 36 = 0.
Le point B(12 ; 0 ; 0) vérifie l'équation 3x + 2y + 6z - 36 = 0 car 3 multiplie

12 + 2

0 + 6

0 - 36 = 36 - 36 = 0.
Le point D(0 ; 18 ; 0) vérifie l'équation 3x + 2y + 6z - 36 = 0 car 3 multiplie

0 + 2

18 + 6

0 - 36 = 36 - 36 = 0.
Les points E, B et D n'étant pas alignés, ils déterminent le plan (EBD).
Puisque les coordonnées de ces points vérifient l'équation 3x + 2y + 6z - 36 = 0, le plan (EBD) admet pour équation cartésienne 3x + 2y + 6z - 36 = 0.

2. a. Déterminons une représentation paramétrique de la droite (AG).

La droite (AG) est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{AG}$ .

$\left\lbrace\begin{array}l A(0\,;\,0\,;\,0)\\G(12\,;\,18\,;\,6)\end{array}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}{\red{12}}\\ {\red{18}}\\ {\red{6}}\end{pmatrix}}$

La droite (AG) passe par le point $A({\blue{0}}\,;\,{\blue{0}}\,;\,{\blue{0}}).$
D'où une représentation paramétrique de la droite (AG) est donnée par :

$\left\lbrace\begin{array}l x={\blue{0}}+{\red{12}}\times t\\y={\blue{0}}+{\red{18}}\times t\\z={\blue{0}}+{\red{6}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})$

soit $\boxed{(AG):\left\lbrace\begin{array}l x=12t\\y=18t\\z=6t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}$

2. b. Les coordonnées du point K sont les solutions du système composé par les équations de la droite (AG) et du plan (EBD), soit du système :

$\left\lbrace\begin{array}l x=12t\\y=18t\\z=6t\\3x+2y+6z-36=0 \end{array}\ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=12t\\y=18t\\z=6t\\3\times12t+2\times18t+6\times6t-36=0 \end{array}\ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=12t\\y=18t\\z=6t\\108t-36=0 \end{array}$

$\left\lbrace\begin{array}l x=12t\\y=18t\\z=6t\\\\t=\dfrac{36}{108}=\dfrac{1}{3} \end{array}\ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=12\times\dfrac{1}{3}\\\\y=18\times\dfrac{1}{3}\\z=6\times\dfrac{1}{3}\\\\t=\dfrac{1}{3} \end{array}\ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=4\\y=6\\z=2\\\\t=\dfrac{1}{3} \end{array}$

D'où les coordonnées du point K sont $\boxed{(4\,;\,6\, ;\, 2)}.$

3. Nous savons que tout plan de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ admet une équation cartésienne de la
forme ax + by + cz + d = 0.

Nous en déduisons que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}$ est normal au plan (EBD) d'équation 3x + 2y + 6z - 36 = 0.
Or le vecteur $\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}{12\\18\\6\end{pmatrix}$ n'est pas colinéaire au vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}$ car ces vecteurs ont la même cote égale à 6, alors que leurs abscisses sont différentes (ainsi que leurs ordonnées).
Donc le vecteur $\overrightarrow{AG}$ n'est pas normal au plan (EBD).
Par conséquent, la droite (AG) n'est pas orthogonale au plan (EBD).

4. a. Le point M est le milieu du segment [ED].

$(x_M\,;\,y_M\,;\,z_M)=(\dfrac{x_E+x_D}{2}\,;\,\dfrac{y_E+y_D}{2}\,;\,\dfrac{z_E+z_D}{2}) \\\\\phantom{(x_M\,;\,y_M\,;\,z_M)}=(\dfrac{0+0}{2}\,;\,\dfrac{0+18}{2}\,;\,\dfrac{6+0}{2}) \\\\\Longrightarrow\boxed{(x_M\,;\,y_M\,;\,z_M)=(0\,;\,9\,;\,3)}$

Nous allons montrer que les points B, K et M sont alignés en montrant que les vecteurs $\overrightarrow{BK}$ et $\overrightarrow{BM}$ sont colinéaires.

$\left\lbrace\begin{array}l B(12\,;\,0\,;\,0)\\K(4\,;\,6\,;\,2)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{BK}\begin{pmatrix}4-12\\6-0 \\2-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BK}\begin{pmatrix}{\red{-8}}\\ {\red{6}}\\ {\red{2}}\end{pmatrix}}$

$\left\lbrace\begin{array}l B(12\,;\,0\,;\,0)\\M(0\,;\,9\,;\,3)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{BM}\begin{pmatrix}0-12\\9-0 \\3-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BM}\begin{pmatrix}{\blue{-12}}\\ {\blue{9}}\\ {\blue{3}} \end{pmatrix}}$

$\text{Or }\ \dfrac{{\blue{-12}}}{{\red{-8}}}=\dfrac{{\blue{9}}}{{\red{6}}}=\dfrac{{\blue{3}}}{{\red{2}}}$

$\text{D'où }\ \boxed{\overrightarrow{BM}=\dfrac{3}{2}\,\overrightarrow{BK}}$
Les vecteurs $\overrightarrow{BK}$ et $\overrightarrow{BM}$ sont donc colinéaires.
Par conséquent, les points B, K et M sont alignés.

4. b. Construction du point K.

Le point K est sur la droite (AG) (voir question 2. a.)
Le point K est sur la droite (BM) puisque les points B, K et M sont alignés (voir question 4. a.)
Par conséquent, le point K est le point d'intersection des droites (AG) et (BM).
Voir figure ci-dessous (question 5. b. - construction en rouge)

5. On note P le plan parallèle au plan (ADE) passant par le point K.

5. a. Rappelons le théorème suivant :
Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l'un est sécant à l'autre et les deux droites d'intersection sont parallèles.

Les deux plans (ADE) et P sont parallèles.
Le plan (EBD) est sécant au plan (ADE) suivant la droite (ED).
Donc, d'après le théorème en rappel, le plan (EBD) est sécant au plan P et la droite d'intersection de ce plan (EBD) avec le plan P est parallèle à la droite (ED).
Autrement dit, le plan P coupe le plan (EBD) selon une parallèle à la droite (ED).

5. b. Construction de l'intersection du plan P et de la face EBD du tétraèdre EBDG.
Par définition, le point K appartient au plan P .
Nous avons montré dans la question 2. a. que le point K appartient au plan (EBD).
D'où le point K appartient à la droite d'intersection du plan P avec le plan (EBD).

En utilisant la conclusion de l'exercice 5. a., nous en déduisons que l'intersection du plan P et le plan EBD est une parallèle à la droite (ED) passant par K.
D'où la construction demandée représentée en bleu.
L'intersection du plan P et de la face EBD du tétraèdre EBDG est le segment [JL].

Bac S obligatoire et spécialité Polynésie 2019 : image 12

5 points

exercice 4 : Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. Nous pouvons conjecturer que les valeurs possibles du chiffre des unités est 0, 1, 4, 5, 6 ou 9.

2. a. Pour tout entier naturel n , $\begin{pmatrix}u_{n+3}\\v_{n+3}\end{pmatrix}=M^3\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}$

$\text{Or }M=\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}\Longrightarrow M^2=MM=\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4+3&6+6\\2+2&3+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&12\\4&7\end{pmatrix} \\\\\phantom{\text{Or }M=\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}}\Longrightarrow M^3=M^2M=\begin{pmatrix}7&12\\4&7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14+12&21+24\\8+7&12+14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}26&45\\15&26\end{pmatrix}$

$\text{D'où }\begin{pmatrix}u_{n+3}\\v_{n+3}\end{pmatrix}=M^3\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}u_{n+3}\\v_{n+3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}26&45\\15&26\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix} \\\\\phantom{\text{D'où }\begin{pmatrix}u_{n+3}\\v_{n+3}\end{pmatrix}=M^3\begin{pmatrix}u_{n}\\v_{n}\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}u_{n+3}=26\,u_n+45\,v_n\\v_{n+3}=15\,u_n+26\,v_n\end{matrix}\right.}$

2. b. Nous avons montré à la question 2. a. que $v_{n+3}=15\,u_n+26\,v_n$

$\text{Dès lors, }\left\lbrace\begin{matrix}15\equiv0\,[5]\\26\equiv1\,[5]\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ 15\,u_n+26\,v_n\equiv0\times u_n+1\times v_n\ [5] \\\phantom{ggggggggggggggggggg}\Longrightarrow\ \boxed{v_{n+3}\equiv v_n\,[5]}$

3. Soit r un entier naturel fixé.
Démontrons, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que, pour tout entier naturel q , $v_{3q+r}\equiv v_r\,[5].$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour q = 0.
Si q = 0, alors v _{3q + r} = v_r
Or v_r congru

v_r [5]
D'où v _{3q + r} v_r [5] avec q = 0.
Nous avons ainsi montré que l'initialisation est vraie.

Hérédité : Pour une valeur de q fixée, montrons que si la propriété est vraie au rang q , alors elle est encore vraie au rang q + 1.
Supposons que pour une valeur de q fixée, $v_{3q+r}\equiv v_{r}$ .
Montrons que $\overset{.}{v_{3(q+1)+r}\equiv v_{r}}$ , soit que $\overset{.}{\boxed{v_{3q+r+3}\equiv v_{r}}}$ .
En effet, nous avons montré dans la question 2. b. que pour tout entier naturel n , $v_{n+3}\equiv v_n\,[5]$
Dans cette dernière relation, posons n = 3q + r .
Donc $v_{3q+r+3}\equiv v_{3q+r}\,[5]$
Or par hypothèse de récurrence, nous savons que $v_{3q+r}\equiv v_{r}$ .
Nous en déduisons que $\overset{.}{v_{3q+r+3}\equiv v_{r}}$ .
Nous avons ainsi montré que l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel q , $v_{3q+r}\equiv v_r\,[5].$

4. Tout nombre entier naturel n peut s'écrire sous la forme n = 3q + r où q et r sont deux nombres naturels avec 0 infegal

r < 3.
Dès lors,

$\text{si }r=0,\text{ alors }v_n=v_{3q+0}\ \ \ \ \ \ \ (\text{car }n=3q+r) \\\phantom{\text{si }r=0,\text{ alors }v_n}\equiv v_r\ [5]\ \ \ \ \ \ \ (\text{voir question 3.)} \\\phantom{\text{si }r=0,\text{ alors }v_n}\equiv v_0\ [5]\ \ \ \ \ \ \ (\text{car }r=0) \\\phantom{\text{si }r=0,\text{ alors }v_n}\equiv 0\ [5]\ \ \ \ \ \ \ \ \ (\text{car }v_0=0) \\\\\phantom{gggg}\Longrightarrow \boxed{v_n\equiv 0\,[5] \ \text{si }n=3q}$

$\text{si }r=1,\text{ alors }v_n=v_{3q+1}\ \ \ \ \ \ \ (\text{car }n=3q+r) \\\phantom{\text{si }r=0,\text{ alors }v_n}\equiv v_r\ [5]\ \ \ \ \ \ \ (\text{voir question 3.)} \\\phantom{\text{si }r=0,\text{ alors }v_n}\equiv v_1\ [5]\ \ \ \ \ \ \ (\text{car }r=1) \\\phantom{\text{si }r=0,\text{ alors }v_n}\equiv 1\ [5]\ \ \ \ \ \ \ \ \ (\text{car }v_1=1\ \longrightarrow\text{ voir tableau}) \\\\\phantom{gggg}\Longrightarrow \boxed{v_n\equiv 1\,[5] \ \text{si }n=3q+1}$

$\text{si }r=2,\text{ alors }v_n=v_{3q+2}\ \ \ \ \ \ \ (\text{car }n=3q+r) \\\phantom{\text{si }r=0,\text{ alors }v_n}\equiv v_r\ [5]\ \ \ \ \ \ \ (\text{voir question 3.)} \\\phantom{\text{si }r=0,\text{ alors }v_n}\equiv v_2\ [5]\ \ \ \ \ \ \ (\text{car }r=2) \\\phantom{\text{si }r=0,\text{ alors }v_n}\equiv 4\ [5]\ \ \ \ \ \ \ \ \ (\text{car }v_2=4\ \longrightarrow\text{ voir tableau}) \\\\\phantom{gggg}\Longrightarrow \boxed{v_n\equiv 4\,[5] \ \text{si }n=3q+2}$

Par conséquent, pour tout entier naturel n , le terme v_n est congru à 0, à 1 ou à 4 modulo 5.

5. En conclusion, l'ensemble des valeurs prises par le chiffre des unités des termes de la suite (v_n ) est l'ensemble {0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9}.

Partie B

L'objectif de cette partie est de démontrer que $\sqrt{3}$ n'est pas un nombre rationnel.
Pour cela, nous effectuons un raisonnement par l'absurde et nous supposons que $\sqrt{3}$ est un nombre rationnel. Dans ce cas, $\sqrt{3}$ peut s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible $\dfrac{p}{q}$ où p et q sont des entiers naturels non nuls, avec q le plus petit entier naturel possible.

1. Montrons que q < p < 2q .

$\left\lbrace\begin{matrix}\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}\\\sqrt{3}>1\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{p>q} \\\\\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}\Longrightarrow 3=\dfrac{p^2}{q^2} \\\phantom{\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}}\Longrightarrow p^2=3q^2<4q^2 \\\phantom{\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}}\Longrightarrow p^2<4q^2 \\\phantom{\sqrt{3}=\dfrac{p}{q}}\Longrightarrow\boxed{p<2q}\ \ \ \ (\text{car }p\text{ et }q\text{ sont positifs})$

D'où q < p < 2q.

2. A l'aide de la calculatrice, nous obtenons : $M^{-1}=\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}.$

3. Soit le couple (p' , q' ) défini par $\begin{pmatrix}p'\\q'\end{pmatrix}=M^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$

${\red{3.\ \text{a. }}}\begin{pmatrix}p'\\q'\end{pmatrix}=M^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}p'\\q'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix} \\\\\phantom{{\red{3.\ \text{a. }}}\begin{pmatrix}p'\\q'\end{pmatrix}=M^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}p'\\q'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2p-3q\\-p+2q\end{pmatrix} \\\\\phantom{{\red{3.\ \text{a. }}}\begin{pmatrix}p'\\q'\end{pmatrix}=M^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}}\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}p'=2p-3q\\q'=-p+2q\end{matrix}\right.}$

3. b. Puisque p et q sont des nombres entiers, 2p - 3q et -p + 2q sont des entiers relatifs.
Autrement dit, (p' , q' ) est un couple d'entiers relatifs.

3. c. Nous rappelons que $p=q\sqrt{3}.$

Dans ce cas,

$\dfrac{p'}{q'}=\dfrac{2p-3q}{-p+2q} \\\\\phantom{\dfrac{p'}{q'}}=\dfrac{2q\sqrt{3}-3q}{-q\sqrt{3}+2q} \\\\\phantom{\dfrac{p'}{q'}}=\dfrac{2q\sqrt{3}-q\sqrt{3}\sqrt{3}}{-q\sqrt{3}+2q} \\\\\phantom{\dfrac{p'}{q'}}=\dfrac{\sqrt{3}(2q-q\sqrt{3})}{2q-q\sqrt{3}} \\\phantom{\dfrac{p'}{q'}}=\sqrt{3} \\\\\text{D'où }\ \dfrac{p'}{q'}=\sqrt{3},\text{ soit }\ \boxed{p'=q'\sqrt{3}}$

3. d. Dans la question 1, nous avons montré la relation q < p < 2q .

$q<p<2q\Longrightarrow-2q<-p<-q \\\phantom{q<p<2q}\Longrightarrow-2q\,{\red{+2q}}<-p\,{\red{+2q}}<-q\,{\red{+2q}} \\\phantom{q<p<2q}\Longrightarrow0<-p+2q<q \\\phantom{q<p<2q}\Longrightarrow\boxed{0< q'<q}$

3. e. Dans cet exercice, nous avons supposé que $\sqrt{3}$ est un nombre rationnel s'écrivant sous la forme d'une fraction irréductible $\dfrac{p}{q}$ où p et q sont des entiers naturels non nuls, avec q le plus petit entier naturel possible.

Nous avons montré
dans la question 3. b. que p' et q' étaient des entiers relatifs,
dans la question 3. d. que q' était strictement positif.
Dès lors, q' est un nombre entier naturel non nul.
Nous avons montré
dans la question 3. c. que $\dfrac{p'}{q'}}=\sqrt{3}> 0$
Dès lors, p' > 0.
Nous en déduisons que $\sqrt{3}$ peut s'écrire sous la forme d'une fraction $\dfrac{p'}{q'}$ où p' et q' sont des entiers naturels non nuls avec q' < q (voir question 3. d.).

Il y a donc une contradiction avec l'hypothèse qui signifiait que q était le plus petit entier naturel possible.
Par conséquent, l'hypothèse " $\sqrt{3}$ est un nombre rationnel " est fausse.
D'où $\sqrt{3}$ n'est pas un nombre rationnel.

Publié par malou le 22-02-2020

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