Figure reprenant les données et les résultats de l'exercice.
1. a) Montrons que
Le triangle GAC est rectangle isocèle en G et donc
Nous en déduisons que et par suite, que
Le point L est le milieu de [BC]. D'où et par suite,
Le triangle EBA est rectangle isocèle en E et donc
Nous en déduisons que
Par conséquent,
La symétrie centrale de centre L peut être considérée comme étant une rotation de centre L et d'angle .
D'où est un déplacement dans le plan d'angle
Dès lors, est une translation de vecteur nul puisque
Par conséquent, où est l'identité du plan.
1. b) Montrons que le triangle EFG est rectangle isocèle en montrant que
Nous en déduisons que
Par conséquent, le triangle EFG est rectangle isocèle en E.
1. c) Nous devons montrer que le quadrilatère LJKI est un carré.
Montrons que le quadrilatère LJKI est un parallélogramme.
Dans le triangle EGL, K et I sont les milieux respectifs de [EG] et [EL].
Alors par le "théorème des milieux", nous savons que les droites (KI) et (GL) sont parallèles et que
Or J est le milieu de [GL]
D'où, les droites (KI) et (GL) sont parallèles et
Puisque le point J appartient à la droite (GL), nous déduisons que les droites (KI) et (JL) sont parallèles.
Par conséquent, le quadrilatère LJKI est un parallélogramme puisque KI = JL et que (KI) est parallèle à (JL).
Montrons que le quadrilatère LJKI est un losange.
Nous avons montré dans la question 1. b) que le triangle EFG est rectangle en E.
Puisque L est le milieu de l'hypoténuse [FG], nous en déduisons que EL = LG.
Les points I et J étant les milieux respectifs de [EL] et [LG], nous en déduisons que LI = LJ.
Par conséquent, le quadrilatère LJKI est un losange car c'est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de mêmes longueurs.
Montrons que le quadrilatère LJKI est un carré.
Le triangle EFG est isocèle et le point L est le milieu de [FG].
Donc (EL) est la médiane issue de E et par suite, (EL) est la médiatrice de [FG].
D'où
Par conséquent, le quadrilatère LJKI est un carré car c'est un losange ayant un angle droit.
2. Soit la symétrie glissante de vecteur et d'axe passant par I.
On pose , où est la symétrie orthogonale d'axe (LE).
2. a) Nous devons montrer que
Par définition de la symétrie glissante , la droite passe par le point I et est parallèle à la droite (LK).
Montrons que (IH) est parallèle à (LK).
Dans le triangle EFG, K et L sont les milieux respectifs de [EG] et [FG].
Alors par le "théorème des milieux", nous savons que les droites (KL) et (EF) sont parallèles et que
Dans le triangle ELF, I et H sont les milieux respectifs de [EL] et [FL].
Alors par le "théorème des milieux", nous savons que les droites (IH) et (EF) sont parallèles et que
Les droites (KL) et (IH) étant toutes deux parallèles à la droite (EF), nous en déduisons que ces droites (KL) et (IH) sont parallèles.
D'où, la droite (IH) passe par I et est parallèle à (LK)
Par conséquent,
Or H est le symétrique de J par rapport à L. Il s'ensuit que JL = LH.
De plus, puisque le quadrilatère LJKI est un carré, nous savons que la droite (LE) est perpendiculaire à (JH).
Nous en déduisons que
D'où
Or, par définition, où est la translation de vecteur et est la symétrie orthogonale par rapport à la droite
Donc
Nous avons montré dans la question 2. a) que les droites (KL) et (IH) sont parallèles et que
D'où,
Par conséquent,
Nous en déduisons que
De même,
Or, par définition, où est la translation de vecteur et est la symétrie orthogonale par rapport à la droite
Donc
Puisque le quadrilatère LJKI est un carré, nous savons que IK = IL.
Comme I est le milieu de [EL], nous obtenons : IL = IE.
D'où IK = IE.
Par la question 2. a), nous savons que la droite (IH) est parallèle à (EF).
Or le triangle EFG est rectangle en E (voir question 1. b)
D'où la droite (IH) est perpendiculaire à la droite (EG), soit la droite est perpendiculaire à la droite (EK).
Dès lors, puisque IK = IE et est perpendiculaire à (EK), nous déduisons que la droite est la médiatrice du segment [EK].
Dès lors,
Par conséquent,
2. c) Montrons que g est la rotation de centre K et d'angle
Puisque JL = IE et , il existe un déplacement unique g tel que et que
Comme , g n'est pas une translation.
Par conséquent, g est une rotation.
Le centre de cette rotation est le point d'intersection des médiatrices de [IJ] et [EL], soit le point K.
Or
Par conséquent, g est la rotation de centre K et d'angle
3. Soit f l'antidéplacement qui envoie J en I et L en E.
3. a) Un antidéplacement est soit une symétrie orthogonale, soit une symétrie glissante.
Puisque les médiatrices de [JI] et de [LE] sont distinctes, f n'est pas une symétrie orthogonale.
Par conséquent, f est une symétrie glissante.
3. b) L'axe de f passe par le milieu de [IJ] et par le milieu I de [LE].
D'où l'axe de f est la droite (IJ).
Par conséquent, f est une symétrie glissante d'axe (IJ) et de vecteur
4. Soit M un point du plan.
Notons et
Définissons un déplacement qui envoie M' sur M''.
D'où est un déplacement envoyant M' sur M''.
Nous en déduisons que est un déplacement envoyant M' sur M'' dont les points I et E sont fixes.
D'où est une symétrie orthogonale d'axe (IE).
Par conséquent, M' et M'' sont symétriques par rapport à la droite (IE).
4 points
exercice 2
Soient () le cercle de centre O et de rayon
les points A, B et C dont les affixes sont respectivement et
Q un point du cercle () d'affixe a, distinct de et
1. On désigne R le point d'affixe
1. a)
L'affixe de R étant un nombre réel, nous en déduisons que
Construction de R : voir figure de la question 3. b)
Plaçons le point Q' d'affixe , symétrique du point Q par rapport à
Construisons le parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont [OQ] et (OQ'].
Le quatrième sommet de ce parallélogramme est le point R.
1. b) Notons ZQ l'affixe du point Q, soit
Or les points Q du cercle () dont les affixes sont réelles ont comme affixes et
Par conséquent, les points O, R et Q sont alignés si ou
2. Soit P le point du plan d'affixe et M un point d'affixe z non nul.
2. a)
D'où P est l'image de Q par une rotation de centre O et d'angle
2. d) Soit H le projeté orthogonal de O sur (AP).
D'une part, nous savons que les points A, P et H sont alignés.
Par la question 2. b), nous obtenons :
D'autre part, nous savons que
Par la question 2. c), nous obtenons :
3. a) Soit N le point d'affixe
Par conséquent, N est l'image de H par une similitude directe de centre O, de rapport 2 et d'angle , soit la composée dans un ordre quelconque d'une rotation de centre O et d'angle et d'une homothétie de même centre O et de rapport 2.
3. b) Construction de N (voir figure).
3. c) Lorsque le point Q varie sur le cercle () privé des points B et C, le point H varie sur le cercle (') de diamètre [OA] privé du point O.
Dès lors, le point N varie sur l'image de (') par la similitude directe de centre O, de rapport 2 et d'angle .
Soit D le point d'affixe -2i.
Alors l'ensemble sur lequel varie N lorsque Q varie sur le cercle () privé des points B et C est le cercle de diamètre [OD] privé du point O.
4 points
exercice 3
On considère la suite (an ) définie sur par
1. a) Pour tout entier naturel n , 2 5n est un nombre pair car c'est un multiple de 2.
7 est un nombre impair.
Or la somme d'un nombre pair et d'un nombre impair est un nombre impair.
D'où pour tout entier naturel n , est un nombre impair.
1. b) Nous devons déterminer suivant les valeurs de n , le reste modulo 8 de 5n.
Nous savons que
D'où pour tout entier naturel k , , soit
et , soit
Par conséquent, si n est pair, alors si n est impair, alors
D'où,
2. a) Nous devons montrer que si , alors
Montrons que
Or 8 et 125 sont premiers entre eux.
D'où
2. b) Nous devons montrer que pour tout n 3,
Démontrons cette propriété par récurrence.
Initialisation
Montrons que la propriété est vraie pour n = 3, soit que nous avons :
L'initialisation est vraie.
Hérédité
Montrons que si la propriété est vraie au rang n pour une valeur fixée de n 3, alors elle est également vraie au rang (n + 1).
Montrons donc que si pour une valeur fixée de n 3, , alors nous obtenons :
Nous savons que .
Dès lors,
Par conséquent,
L'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout n 3,
2. c) Nous devons déterminer les trois derniers chiffres de
Par la question précédente, nous savons que et que
D'où
Par conséquent, les trois derniers chiffres de sont 049.
3. b) Soit
Nous devons montrer que d est différent de 7.
Supposons que d = 7.
Puisque , d divise a2n ce qui signifie que 7 divise et par suite, 7 divise , ce qui est impossible car les seuls diviseurs premiers de sont 2 et 5.
D'où supposer que d = 7 entraîne une impossibilité.
Par conséquent, d est différent de 7.
3. c) Nous devons déterminer d .
Puisque , d divise a2n et d divise a2n +1.
Dès lors, d divise 5a2n - a2n +1.
Or nous avons montré dans la question 3. a) que 5a2n - a2n +1 = 28.
D'où d divise 28.
Or l'ensemble des diviseurs de 28 est
Mais nous savons que d est impair car d divise a2n qui est impair (voir question 1. a)
De plus, d est différent de 7 (voir question 3. b)
Par conséquent, d = 1.
7 points
exercice 4
I. Soit la fonction f définie sur par
1. Montrons que la fonction f est dérivable sur .
La fonction est dérivable sur comme composée de deux fonctions dérivables sur (fonction polynôme et fonction exponentielle).
La fonction est dérivable sur comme somme de deux fonctions dérivables sur (fonction constante et fonction g ).
De plus la fonction h est strictement positive.
Dès lors, la fonction est dérivable sur comme composée de deux fonctions dérivables sur (fonction "racine carrée" et fonction h ).
Par conséquent, la fonction f est dérivable sur comme inverse de la fonction i dérivable et non nulle sur .
Déterminons l'expression de f' (x ).
D'où, la courbe admet une asymptote horizontale en + d'équation y = 0.
D'où, la courbe admet une asymptote horizontale en - d'équation y = 1.
3. a) Nous avons montré dans la question 1. que .
Puisque l'exponentielle est strictement positive sur , nous en déduisons que
Par conséquent, la fonction f est strictement décroissante sur .
Tableau de variation de f
3. b) Par la question 3. a), nous savons que la fonction f est continue et strictement décroissante sur et que f () = ]0 ; 1[.
Par conséquent, la fonction f réalise une bijection de sur l'intervalle J = ]0 ; 1[.
3. c) On pose .
La fonction g est définie, dérivable sur avec
Ainsi, g est strictement décroissante sur .
Puisque , par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous en
déduisons qu'il existe un unique réel tel que g () = 0 et que ]0,5 ; 0,6[. Remarque : Nous aurions également pu dire que g réalise une bijection (car elle est continue et strictement décroissante sur ) de sur g () = .
Auquel cas, 0 admet un unique antécédent par g .
3. d) Etudions le signe de .
Nous avons montré dans la question 3. c) que la fonction g est strictement décroissante sur .
Par conséquent, pour tout x dans l'intervalle ]- ; [
et pour tout x dans l'intervalle ] ; +[
D'où, la courbe est au-dessus de la droite d'équation y = x sur l'intervalle ]- ; [ et est en dessous de cette droite sur l'intervalle ] ; +[.
4. a) et b) Représentations graphiques des courbes et
5. a) Soit la fonction h définie sur par :
Montrons que la fonction h est une primitive de f .
La fonction h est dérivable sur .
De plus, pour tout réel x ,
Puisque , nous en déduisons que la fonction h est une primitive de f .
5. b) Déterminons l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x = 0 et x = .
Or, par la question 3. c), nous savons que est la solution unique de l'équation f (x ) = x .
Dès lors, , soit
Nous en déduisons que :
II. Pour tout k*, considérons la fonction Fk définie sur [0 ; +[ par
1. a) Montrons que Fk est croissante sur [0 ; +[.
Nous savons par la question I.1. que la fonction f est dérivable sur .
Donc f est continue sur et en particulier sur [0 ; +[.
Par conséquent, la fonction est continue sur [0 ; +[.
Nous en déduisons que la fonction est dérivable sur [0 ; +[.
D'où la fonction Fk est croissante sur [0 ; +[.
1. d) Pour tout x [0 ; +[, la fonction Fk est croissante (voir question II.1.a) et bornée par
Par conséquent, la fonction Fk admet une limite finie Ik quand x tend vers +.
2. a) Nous savons par la question I.5.a) que la fonction h est une primitive de f .
3. c) Par la question précédente, nous savons que
Dès lors, par itération, nous obtenons :
Après avoir additionné membre à membre ces égalités et avoir simplifié les termes égaux, nous obtenons :
F I N
Publié par malou
le
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