Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Asie 2018

Série S - Obligatoire et Spécialité

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Obligatoire : durée 4 heures, coefficient 7

Spécialité : durée 4 heures, coefficient 9

5 points

exercice 1 Commun à tous les candidats

Bac S obligatoire et spécialité Asie 2018 : image 6

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5 points

exercice 2 Commun à tous les candidats

Bac S obligatoire et spécialité Asie 2018 : image 13

Bac S obligatoire et spécialité Asie 2018 : image 12


5 points

exercice 3 Commun à tous les candidats

Bac S obligatoire et spécialité Asie 2018 : image 9

Bac S obligatoire et spécialité Asie 2018 : image 5


5 points

exercice 4 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

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5 points

exercice 4 Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

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Bac S obligatoire et spécialité Asie 2018

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5 points

exercice 1 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS

f_p(t)=\dfrac{100p}{1-(1-p)\text{e}^{-pt}}\ \ \ \ (t\in[0\,;+\infty[\ \ \text{et}\ \ 0<p<1)

1.  Cohérence du modèle

1. a)  Puisque la masse initiale de la population est estimée à 100 tonnes, nous devons montrer que  f_p(0)=100.

f_p(0)=\dfrac{100p}{1-(1-p)\text{e}^{-p\times0}} =\dfrac{100p}{1-(1-p)\text{e}^{0}} \\\\\phantom{f_p(0)}=\dfrac{100p}{1-(1-p)\times1} =\dfrac{100p}{1-1+p} \\\\\phantom{f_p(0)}=\dfrac{100p}{p}=100 \\\\\Longrightarrow\boxed{f_p(0)=100}

{\red{1.\ \text{b)\ }}}p>0\Longrightarrow pt\ge 0\ \ \ (\text{car }t\ge0) \\\phantom{{\red{1.\ \text{b)\ }}}0<p<1}\Longrightarrow-pt\le 0 \\\phantom{{\red{1.\ \text{b)\ }}}0<p<1}\Longrightarrow\text{e}^{-pt}\le \text{e}^0\ \ \ (\text{car la fonction exponentielle  est strictement croissante sur }\R) \\\phantom{{\red{1.\ \text{b)\ }}}0<p<1}\Longrightarrow\text{e}^{-pt}\le 1 \\\phantom{{\red{1.\ \text{b)\ }}}0<p<1}\Longrightarrow(1-p)\text{e}^{-pt}\le 1-p\ \ \ (\text{car }p<1\Longrightarrow 1-p>0) \\\phantom{{\red{1.\ \text{b)\ }}}0<p<1}\Longrightarrow-(1-p)\text{e}^{-pt}\ge -1+p \\\phantom{{\red{1.\ \text{b)\ }}}0<p<1}\Longrightarrow\boxed{1-(1-p)\text{e}^{-pt}\ge p}

{\red{1.\ \text{c)\ }}}p>0\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}100p\ {\blue{>0}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\1-(1-p)\text{e}^{-pt}\ge p\ {\blue{>0}}\end{matrix}\right.\ \\\\\phantom{{\red{1.\ \text{b)\ }}}p>0}\Longrightarrow\dfrac{100p}{1-(1-p)\text{e}^{-pt}}>0 \\\\\phantom{{\red{1.\ \text{b)\ }}}p>0}\Longrightarrow\boxed{f_p(t)>0}

\left\lbrace\begin{matrix}p>0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\1-(1-p)\text{e}^{-pt}\ge p\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}100p>0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\dfrac{1}{1-(1-p)\text{e}^{-pt}}\le \dfrac{1}{p}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}p>0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\1-(1-p)\text{e}^{-pt}\ge p\end{matrix}\right.}\Longrightarrow100p\times\dfrac{1}{1-(1-p)\text{e}^{-pt}}\le 100p\times\dfrac{1}{p} \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}p>0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\1-(1-p)\text{e}^{-pt}\ge p\end{matrix}\right.}\Longrightarrow\dfrac{100p}{1-(1-p)\text{e}^{-pt}}\le \dfrac{100p}{p} \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}p>0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\1-(1-p)\text{e}^{-pt}\ge p\end{matrix}\right.}\Longrightarrow\boxed{f_p(t)\le 100}

Par conséquent, pour tout nombre réel t supegal 0,   {\boxed{0<f_p(t)\le100}}

2.  Etude de l'évolution lorsque p = 0,9

f_{0,9}(t)=\dfrac{90}{1-0,1\,\text{e}^{-0,9t}}\ \ \ \ (t\in[0\,;+\infty[)

2. a) La fonction f 0,9  est dérivable sur [0 ; +infini[.
Etudions le signe de la dérivée f' 0,9   sur [0 ; +infini[.

f'_{0,9}(t)=90\times\left(\dfrac{1}{1-0,1\,\text{e}^{-0,9t}}\right)'=90\times\dfrac{-(1-0,1\,\text{e}^{-0,9t})'}{(1-0,1\,\text{e}^{-0,9t})^2}=90\times\dfrac{-[0-0,1\times(-0,9t)'\,\text{e}^{-0,9t}]}{(1-0,1\,\text{e}^{-0,9t})^2} \\\\\phantom{f'_{0,9}(t)}=90\times\dfrac{0,1\times(-0,9)\,\text{e}^{-0,9t}}{(1-0,1\,\text{e}^{-0,9t})^2}=90\times\dfrac{-0,09\,\text{e}^{-0,9t}}{(1-0,1\,\text{e}^{-0,9t})^2} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'_{0,9}(t)=\dfrac{-8,1\,\text{e}^{-0,9t}}{(1-0,1\,\text{e}^{-0,9t})^2}} \\\\\\\text{D'où }\left\lbrace\begin{matrix}-8,1\,\text{e}^{-0,9t}<0\\ (1-0,1\,\text{e}^{-0,9t})^2>0\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{{\red{f'_{0,9}(t)<0\ \ \text{sur }[0\,;+\infty[}}}

Par conséquent, la fonction f 0,9   est strictement décroissante sur [0 ; +infini[.

2. b)   Dressons le tableau de variations de la fonction f 0,9 .
Nous savons par la question 2. a) que la fonction f 0,9 est strictement décroissante sur [0 ; +infini[.
De plus,   \boxed{f_{0,9}(0)=100}  (voir question 1. a)).

\text{Enfin, }\ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{t\to+\infty}(-0,9t)=-\infty\\\lim\limits_{T\to-\infty}\text{e}^T=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \ \ \ \ \ \underset{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \ \ \ \ \ \lim\limits_{t\to+\infty}\text{e}^{-0,9t}=0 \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ \lim\limits_{t\to+\infty}(1-0,1\text{e}^{-0,9t})=1 \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ \lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{90}{1-0,1\text{e}^{-0,9t}}=90 \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ \boxed{\lim\limits_{t\to+\infty}f_{0,9}(t)=90}

Nous obtenons ainsi le tableau de variation de la fonction f 0,9 .

                          \begin{array}{|c|cccccc|}\hline &&&&&&\\ t&0&&&&&+\infty\\&&&&&&\\\hline &100&&&&& \\ f_{0,9}(t)&&&\searrow&&& \\ &&&&&&90 \\ \hline \end{array}

Donc si t appartient à l'intervalle [0 ; +infini[, f 0,9 (t ) appartient à l'intervalle [90 ; 100].
Par conséquent, pour tout t supegal 0,  \boxed{f_{0,9}(t)\ge90}

2. c)   Nous déduisons des résultats des question 2. a) et 2. b) que la masse initiale de cette population de crevettes est estimée à 100 tonnes. Ensuite elle diminue au fur et à mesure du temps tout en restant supérieure à 90 tonnes.

3.  Retour au cas général

Nous savons que 0 < p < 1.

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{t\to+\infty}(-pt)=-\infty\\\lim\limits_{T\to-\infty}\text{e}^T=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \ \ \ \ \ \underset{\text{par composition}}{\Longrightarrow} \ \ \ \ \ \lim\limits_{t\to+\infty}\text{e}^{-pt}=0 \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ \lim\limits_{t\to+\infty}[1-(1-p)\text{e}^{-pt}]=1 \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ \lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{100p}{1-(1-p)\text{e}^{-pt}}=\dfrac{100p}{1} \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ \boxed{\lim\limits_{t\to+\infty}f_{p}(t)=100p}

4.   Soit   p=\dfrac{1}{2}.

4. a)   La fonction H   est dérivable sur [0 ; +infini[ comme somme d'une composée de fonctions dérivables et d'une fonction dérivable sur [0 ; +infini[.

Montrons que pour tout t   de l'intervalle [0 ; +infini[,   H'(t)=f_{\frac{1}{2}}(t).

\text{D'une part, }\ f_{\frac{1}{2}}(t)=\dfrac{100\times\dfrac{1}{2}}{1-(1-\dfrac{1}{2})\text{e}^{-\frac{1}{2}t}}=\dfrac{50}{1-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-\frac{1}{2}t}}=\dfrac{50}{\dfrac{2-\text{e}^{-\frac{1}{2}t}}{2}}=\dfrac{100}{2-\text{e}^{-\frac{1}{2}t}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f_{\frac{1}{2}}(t)=\dfrac{100}{2-\text{e}^{-\frac{1}{2}t}}}

\text{D'autre part, }\ H'(t)=\left[100\ln\left(2-\text{e}^{-\frac{1}{2}t}\right)+50t\right]' =100\times\left[\ln\left(2-\text{e}^{-\frac{1}{2}t}\right)\right]'+(50t)' \\\\\phantom{H'(t)}=100\times\dfrac{(2-\text{e}^{-\frac{1}{2}t})'}{2-\text{e}^{-\frac{1}{2}t}}+50 =100\times\dfrac{0-(-\frac{1}{2})\text{e}^{-\frac{1}{2}t}}{2-\text{e}^{-\frac{1}{2}t}}+50 \\\\\phantom{H'(t)}=\dfrac{50\text{e}^{-\frac{1}{2}t}}{2-\text{e}^{-\frac{1}{2}t}}+50=\dfrac{50\text{e}^{-\frac{1}{2}t}+50(2-\text{e}^{-\frac{1}{2}t})}{2-\text{e}^{-\frac{1}{2}t}} \\\\\phantom{H'(t)}=\dfrac{50\text{e}^{-\frac{1}{2}t}+100-50\text{e}^{-\frac{1}{2}t}}{2-\text{e}^{-\frac{1}{2}t}}=\dfrac{100}{2-\text{e}^{-\frac{1}{2}t}} \\\\\Longrightarrow\boxed{H'(t)=\dfrac{100}{2-\text{e}^{-\frac{1}{2}t}}}

D'où pour tout t de l'intervalle [0 ; +infini[,   \boxed{H'(t)=f_{\frac{1}{2}}(t)}.

Par conséquent, la fonction H   est une primitive de la fonction   f_{\frac{1}{2}}   sur l'intervalle [0 ; +infini[.

4. b)   La valeur moyenne de la fonction   f_{\frac{1}{2}}  sur l'intervalle [0 ; 5] est égale à

\mu=\dfrac{1}{5-0}\int_0^5f_{\frac{1}{2}}(t)\,dt \\\\\phantom{\mu}=\dfrac{1}{5}[H(t)]_0^5=\dfrac{1}{5}[H(5)-H(0)] \\\\\phantom{\mu}=\dfrac{1}{5}\left[[100\ln\left(2-\text{e}^{-\frac{1}{2}\times5}\right)+50\times5]-[100\ln\left(2-\text{e}^{-\frac{1}{2}\times0}\right)+50\times0]\right] \\\\\phantom{\mu}=\dfrac{1}{5}\left[100\ln\left(2-\text{e}^{-\frac{5}{2}}\right)+250-100\ln\left(2-\text{e}^{0}\right)\right] \\\\\phantom{\mu}=\dfrac{1}{5}\left[100\ln\left(2-\text{e}^{-\frac{5}{2}}\right)+250-100\ln(1)\right] \\\\\phantom{\mu}=\dfrac{1}{5}\left[100\ln\left(2-\text{e}^{-\frac{5}{2}}\right)+250\right] \\\\\Longrightarrow\boxed{ \mu=20\ln\left(2-\text{e}^{-\frac{5}{2}}\right)+50\approx{\blue{63}}}

D'où la masse moyenne de crevettes lors des 5 premières semaines d'exploitation est d'environ 63 tonnes.

5 points

exercice 2 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS

Partie A


{\red{\text{1. }}\blue{\mathbf{Réponse\ C:}\ 0,89}}
Définissons les événements suivants :
M : "L'individu est touché par cette maladie"
T : "le test de l'individu est positif"
Les données de l'énoncé peuvent se formaliser par : \left\lbrace\begin{matrix}P(M)=0,15\\ P_M(T)=0,94\\ P(T)=0,158\end{matrix}\right.

Sachant que le test est positif, la probabilité que la personne soit malade se détermine par P_T(M).

P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)} \\\\\phantom{P_T(M)}=\dfrac{P(M)\times P_M(T)}{P(T)} \\\\\phantom{P_T(M)}=\dfrac{0,15\times 0,94}{0,158} \\\\\phantom{P_T(M)}\approx0,89
D'où la réponse C est correcte.

{\red{\text{2. }}\blue{\mathbf{Réponse\ B: }\ 27\text{ personnes}}}
Soit n   la taille de l'échantillon.
Définissons la variable aléatoire X   calculant le nombre d'individus ayant un test positif.
Nous renouvelons n   fois de manière indépendante et identique le tirage d'un individu.
Lors de chaque tirage, deux issues sont possibles :
le "succès" (le test est positif) de probabilité p = 0,158
l'"échec" (le test est négatif) de probabilité 1 - p = 1 - 0,158 = 0,842.

Donc la variable aléatoire X   suit une loi binomiale de paramètres n  et p = 0,158.

Nous devons trouver le plus petit entier naturel n   pour que la relation suivante soit réalisée :  P(X\ge1)\ge0,99

\text{Or }\ P(X\ge1)=1-P(X=0) \\\phantom{\text{Or }\ P(X\ge1)}=1-\begin{pmatrix}n\\0 \end{pmatrix}\times0,158^0\times(1-0,158)^{n-0} \\\phantom{\text{Or }\ P(X\ge1)}=1-1\times1\times0,842^{n} \\\\\Longrightarrow \boxed{P(X\ge1)=1-0,842^{n}}

\text{D'où }\ P(X\ge1)\ge0,99\Longleftrightarrow 1-0,842^{n}\ge0,99 \\\phantom{\text{D'où }\ P(X\ge1)\ge0,99}\Longleftrightarrow 1-0,99\ge0,842^{n} \\\phantom{\text{D'où }\ P(X\ge1)\ge0,99}\Longleftrightarrow 0,01\ge0,842^{n} \\\phantom{\text{D'où }\ P(X\ge1)\ge0,99}\Longleftrightarrow 0,842^{n}\le0,01 \\\phantom{\text{D'où }\ P(X\ge1)\ge0,99}\Longleftrightarrow \ln(0,842^{n})\le\ln(0,01) \\\phantom{\text{D'où }\ P(X\ge1)\ge0,99}\Longleftrightarrow n\times\ln(0,842)\le\ln(0,01) \\\phantom{\text{D'où }\ P(X\ge1)\ge0,99}\Longleftrightarrow n\ge\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,842)}\\\frac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{(changement du sens de l'inégalité car }\ln(0,842)<0) \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,842)}\approx26,778

D'où le plus petit entier naturel n   vérifiant la relation suivante :   P(X\ge1)\ge0,99   est n = 27.
Par conséquent, la taille minimum de l'échantillon doit être égale à 27.
La réponse B est correcte.

{\red{\text{3. }}\blue{\mathbf{Réponse\ C:}\ \sigma>0,003}}
La variable aléatoire V   suit la loi normale d'espérance mu = 2 et d'écart-type sigma.

Posons Y=\dfrac{V-\mu}{\sigma}=\dfrac{V-2}{\sigma}
La variable aléatoire Y  suit alors la loi normale centrée réduite.

P(1,99\le V\le2,01)=0,997\Longleftrightarrow P(1,99-2\le V-2\le2,01-2)=0,997\\\phantom{P(1,99\le V\le2,01)=0,997}\Longleftrightarrow P(-0,01\le V-2\le0,01)=0,997 \\\\\phantom{P(1,99\le V\le2,01)=0,997}\Longleftrightarrow P(-\dfrac{0,01}{\sigma}\le \dfrac{V-2}{\sigma}\le\dfrac{0,01}{\sigma})=0,997 \\\\\phantom{P(1,99\le V\le2,01)=0,997}\Longleftrightarrow P(-\dfrac{0,01}{\sigma}\le Y\le\dfrac{0,01}{\sigma})=0,997 \\\\\phantom{P(1,99\le V\le2,01)=0,997}\Longleftrightarrow P( Y\le\dfrac{0,01}{\sigma})-P( Y\le-\dfrac{0,01}{\sigma})=0,997

.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow P( Y\le\dfrac{0,01}{\sigma})-P( Y\ge\dfrac{0,01}{\sigma})=0,997 \\\\\phantom{P(1,99\le V\le2,01)=0,997}\Longleftrightarrow P( Y\le\dfrac{0,01}{\sigma})-[1-P( Y\le\dfrac{0,01}{\sigma})]=0,997 \\\\\phantom{P(1,99\le V\le2,01)=0,997}\Longleftrightarrow 2P( Y\le\dfrac{0,01}{\sigma})-1=0,997 \\\\\phantom{P(1,99\le V\le2,01)=0,997}\Longleftrightarrow 2P( Y\le\dfrac{0,01}{\sigma})=1,997 \\\\\phantom{P(1,99\le V\le2,01)=0,997}\Longleftrightarrow P( Y\le\dfrac{0,01}{\sigma})=0,9985

Par la calculatrice, nous obtenons :   \dfrac{0,01}{\sigma}\approx 2,9677
\text{Donc }\ \sigma\approx\dfrac{0,01}{2,9677}\\\\\phantom{\text{Donc }\ }\sigma\approx0,00337

D'où \boxed{\sigma>0,003}
La réponse C est correcte.

Partie B

1.   Durant les 12 premiers mois après fabrication, on est certain que le médicament demeure efficace.
Au-delà, sa durée d'efficacité restante suit une loi exponentielle de paramètre lambda.

Soit la variable aléatoire X   exprimant la durée en mois d'efficacité du médicament.
Dans ce cas, X -12 suit une loi exponentielle de paramètre lambda.
Nous savons que  P(X\ge18)=0,887.

\text{Or }\ P(X\ge18)=0,887\Longleftrightarrow P(X-12\ge6)=0,887 \\\\\phantom{\text{Or }\ P(X\ge18)=0,887}\Longleftrightarrow 1-P(X-12\le6)=0,887 \\\\\phantom{\text{Or }\ P(X\ge18)=0,887}\Longleftrightarrow\text{e}^{-6\lambda}=0,887 \\\phantom{\text{Or }\ P(X\ge18)=0,887}\Longleftrightarrow -6\lambda=\ln(0,887) \\\\\phantom{\text{Or }\ P(X\ge18)=0,887}\Longleftrightarrow \lambda=\dfrac{\ln(0,887)}{-6} \\\\\Longrightarrow \text{L'espérance mathématique de la variable aléatoire }X-12\\\ \text{ est  }E(X-12)=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{-6}{\ln(0,887)}\approx50,0374 \\\\\text{D'où }E(X-12)=E(X)-12\Longleftrightarrow E(X)=E(X-12)+12 \\\phantom{\text{D'où }E(X-12)=E(X)-12}\Longleftrightarrow E(X)\approx50+12 \\\phantom{\text{D'où }E(X-12)=E(X)-12}\Longleftrightarrow \boxed{E(X)\approx62}

Par conséquent, la valeur moyenne de la durée d'efficacité totale de ce médicament est de 62 mois.

2.   Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I100 000  au seuil de 95 % de la proportion de la proportion d'individus touchés par cette maladie.
Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

\left\lbrace\begin{array}l n=100\,000\ge30 \\ p=0,15\Longrightarrow np=100\,000\times0,15=15\,000\ge5 \\n(1-p)= 100\,000\times(1-0,15)= 100\,000\times0,85=85\,000\ge5 \end{array}

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I100 000   au seuil de 95% est :

 I_{100 000}=\left[0,15-1,96\sqrt{\dfrac{0,15 (1-0,15)}{100 000}};0,15+1,96\sqrt{\dfrac{0,15 (1-0,15)}{100 000}}\right]\\\\\Longrightarrow I_{100\,000}\approx[0,14779;0,15221]

Or 100 000 multiplie 0,15221 = 15221.
D'où, pour que la probabilité qu'il suffise à soigner tous les malades de cette ville soit supérieure à 95 %, le stock doit comporter au moins 15 221 boîtes.

5 points

exercice 3 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS

1.   Calculs des longueurs AB et AD.

AB=\sqrt{(3-(-3))^2+(0-0)^2+(0-0)^2} \\\phantom{AB}=\sqrt{(3+3)^2} \\\phantom{AB}=\sqrt{36} \\\phantom{AB}=6 \\\\\Longrightarrow\boxed{AB=6} \\\\AD=\sqrt{(0-(-3))^2+(\sqrt{3}-0)^2+(2\sqrt{6}-0)^2} \\\phantom{AD}=\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2+(2\sqrt{6})^2} \\\phantom{AD}=\sqrt{9+3+24} \\\phantom{AD}=\sqrt{36} \\\phantom{AD}=6 \\\\\Longrightarrow\boxed{AD=6}

2. On appelle   \mathscr{P}  le plan de vecteur normal   \overrightarrow{OH}  et passant par le point I.

Coordonnées du point H et du vecteur   \overrightarrow{OH}.
Puisque le point H est le milieu du segment [CD], nous obtenons :

H\ (\dfrac{x_C+x_D}{2}\,;\dfrac{y_C+y_D}{2}\,;\dfrac{z_C+z_D}{2})=\left(\dfrac{0+0}{2}\,;\dfrac{3\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2}\,;\dfrac{0+2\sqrt{6}}{2}\right)=\left(0\,;\dfrac{4\sqrt{3}}{2}\,;\dfrac{2\sqrt{6}}{2}\right) \\\\\Longrightarrow\boxed{H:(0\,;2\sqrt{3}\,;\sqrt{6})}\\\\\Longrightarrow \boxed{\overrightarrow{OH} :\begin{pmatrix}0\\2\sqrt{3}\\\sqrt{6}\end{pmatrix}}

Coordonnées du point I.
Puisque le point I est le milieu du segment [BC], nous obtenons :

I\ (\dfrac{x_B+x_C}{2}\,;\dfrac{y_B+y_C}{2}\,;\dfrac{z_B+z_C}{2})=\left(\dfrac{3+0}{2}\,;\dfrac{0+3\sqrt{3}}{2}\,;\dfrac{0+0}{2}\right)=\left(\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,;0\right) \\\\\Longrightarrow\boxed{I:\left(\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,;0\right)}

2. a)   Nous savons que tout plan de vecteur normal  \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}   admet une équation cartésienne
de la forme ax + by + cz + d = 0.

Puisque le vecteur  \overrightarrow{OH} :\begin{pmatrix}0\\2\sqrt{3}\\\sqrt{6}\end{pmatrix}   est normal au plan   \mathscr{P}  , nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan   \mathscr{P}   est de la forme   (2\sqrt{3})y+(\sqrt{6})z+d=0.

Or le point  I:\left(\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,;0\right)  appartient au plan   \mathscr{P}  . Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où   (2\sqrt{3})\times\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+(\sqrt{6})\times0+d=0 , soit d = -9.

Par conséquent, une équation cartésienne du plan   \mathscr{P}   est :   (2\sqrt{3})y+(\sqrt{6})z-9=0 , soit   \overset{.}{\boxed{2y\sqrt{3}+z\sqrt{6}-9=0}}

2. b)   Soit le point J, milieu du segment [BD].
Coordonnées de J :
(x_J\,;y_J\,;z_J)=\left(\dfrac{x_B+x_D}{2}\,;\dfrac{y_B+y_D}{2}\,;\dfrac{z_B+z_D}{2}\right)=\left(\dfrac{3+0}{2}\,;\dfrac{0+\sqrt{3}}{2}\,;\dfrac{0+2\sqrt{6}}{2}\right) \\\\\Longrightarrow \boxed{J\,\left(\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\sqrt{6}\right)}

Montrons que le point J appartient au plan  \mathscr{P}   en montrant que ses coordonnées vérifient l'équation de   \mathscr{P}  .
En effet :   \overset{.}{2\sqrt{3}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{6}\times\sqrt{6}-9=3+6-9=0.}
Le point J appartient bien au plan   \mathscr{P} .
Ce point J appartient également à la droite (BD) puisque J est le milieu du segment [BD].
La droite (BD) n'est pas incluse au plan   \mathscr{P}   car les coordonnées du point B ne vérifient pas l'équation du plan
En effet,   2\sqrt{3}\times0+\sqrt{6}\times0-9=0-9=-9\neq0.

Par conséquent, l'intersection de la droite (BD) et du plan   \mathscr{P}  est réduite au point J.

2. c)   Représentation paramétrique de la droite (AD)

La droite (AD)   est dirigée par le vecteur \overrightarrow{AD}.

\left\lbrace\begin{array}l A(-3\,;0\,;0)\\D(0\,;\sqrt{3}\, ;2\sqrt{6})\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}0-(-3)\\\sqrt{3}-0\\2\sqrt{6}-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AD}\ \begin{pmatrix}{\red{3}}\\ {\red{\sqrt{3}}}\\ {\red{2\sqrt{6}}}\end{pmatrix}}

La droite (AD)  passe par le point  A({\blue{-3}} ; {\blue{0}}; {\blue{0}}).

D'où une représentation paramétrique de la droite (AD)   est donnée par :

 \left\lbrace\begin{array}l x={\blue{-3}}+{\red{3}}\times t\\y={\blue{0}}+{\red{\sqrt{3}}}\times t\\z={\blue{0}}+{\red{2\sqrt{6}}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})

soit  \boxed{(AD):\left\lbrace\begin{array}l x=-3+3t\\y=\sqrt{3}t\\z=2\sqrt{6}t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}

Démontrons que le plan   \mathscr{P}  et la droite (AD) sont sécants en un point K.

Les coordonnées d'un éventuel point d'intersection entre le plan   \mathscr{P}   et la droite (AD) sont les solutions du système composé par leurs équations.

\left\lbrace\begin{matrix}x=-3+3t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\y=\sqrt{3}t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\z=2\sqrt{6}t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\2y\sqrt{3}+z\sqrt{6}-9=0\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=-3+3t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\y=\sqrt{3}t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\z=2\sqrt{6}t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\2\sqrt{3}t\sqrt{3}+2\sqrt{6}t\sqrt{6}-9=0\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=-3+3t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\y=\sqrt{3}t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\z=2\sqrt{6}t\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\6t+12t-9=0\end{matrix}\right.

.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=-3+3t\\y=\sqrt{3}t\ \ \ \ \\z=2\sqrt{6}t\ \ \\18t-9=0\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=-3+3t\\y=\sqrt{3}t\ \ \  \\z=2\sqrt{6}t\ \ \\t=\dfrac{1}{2}\ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=-3+3\times\dfrac{1}{2}\\y=\sqrt{3}\times\dfrac{1}{2}\ \ \  \\z=2\sqrt{6}\times\dfrac{1}{2}\ \ \\t=\dfrac{1}{2}\ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x=-\dfrac{3}{2}\\y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ \ \  \\z=\sqrt{6}\ \ \ \\t=\dfrac{1}{2}\ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

Nous en déduisons que le plan   \mathscr{P}   et la droite (AD) sont sécants en un point K de coordonnées (-\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,;\sqrt{6}).

2. d)   Montrons que le produit scalaire des vecteurs \overrightarrow{IJ} et \overrightarrow{JK} est nul.

\left\lbrace\begin{array}l I(\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,;0)\\\\J(\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\, ;\sqrt{6})\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}\\\\\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\\\\\sqrt{6}-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{IJ}\ \begin{pmatrix}0\\-\sqrt{3}\\\sqrt{6}\end{pmatrix}}

\left\lbrace\begin{array}l J(\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\, ;\sqrt{6})\\\\K(-\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\, ;\sqrt{6})\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{JK}\begin{pmatrix}-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}\\\\\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\\sqrt{6}-\sqrt{6}\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{JK}\ \begin{pmatrix}-3\\0\\0\end{pmatrix}}

\text{D'où }\ \overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{JK}=0\times(-3)-\sqrt{3}\times0+\sqrt{6}\times0 \\\phantom{\text{D'où }\ \overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{JK}}=0-0+0 \\\phantom{\text{D'où }\ \overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{JK}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{IJ}\perp\overrightarrow{JK}}
Les droites (IJ) et (JK) sont donc orthogonales.
Ces droites se coupent également au point J.
Par conséquent, les droites (IJ) et (JK) sont perpendiculaires.

Bac S obligatoire et spécialité Asie 2018 : image 14


2. e)   Soit le point L milieu du segment [AC].
Coordonnées du point L.
Puisque le point L est le milieu du segment [AC], nous obtenons :

L\ (\dfrac{x_A+x_C}{2}\,;\dfrac{y_A+y_C}{2}\,;\dfrac{z_A+z_C}{2})=\left(\dfrac{-3+0}{2}\,;\dfrac{0+3\sqrt{3}}{2}\,;\dfrac{0+0}{2}\right)=\left(-\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,;0\right) \\\\\Longrightarrow\boxed{L:\left(-\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,;0\right)}

Montrons que le point L appartient au plan  \mathscr{P}   en montrant que ses coordonnées vérifient l'équation de   \mathscr{P} .
En effet :   \overset{.}{2\sqrt{3}\times\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\sqrt{6}\times0-9=9-0-9=0.}
Le point L appartient bien au plan   \mathscr{P} .
Ce point L appartient également à la droite (AC) puisque L est le milieu du segment [AC].
La droite (AC) n'est pas incluse au plan   \mathscr{P} car les coordonnées du point A ne vérifient pas l'équation du plan
En effet,   2\sqrt{3}\times0+\sqrt{6}\times0-9=0-9=-9\neq0.

Par conséquent, l'intersection de la droite (AC) et du plan   \mathscr{P}   est réduite au point L.

Par l'énoncé, nous savons que le tétraèdre ABCD est régulier et par la question 1, nous savons que AB = AD = 6.
D'où AB = AC = AD = BC = BD = CD = 6.

Utilisons le théorème des milieux dans les triangles ABC, ABD, ACD et BCD.

\text{Dans le triangle ABC, }\left\lbrace\begin{matrix} \text{I est le milieu de [BC]}\\\text{L est le milieu de [AC]}\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix} \text{IL est parallèle à [AB]}\\IL=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{6}{2}=3\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{IL=3}

\text{Dans le triangle ABD, }\left\lbrace\begin{matrix} \text{J est le milieu de [BD]}\\\text{K est le milieu de [AD]}\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix} \text{JK est parallèle à [AB]}\\JK=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{6}{2}=3\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{JK=3}

\text{Dans le triangle ACD, }\left\lbrace\begin{matrix} \text{K est le milieu de [AD]}\\\text{L est le milieu de [AC]}\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix} \text{KL est parallèle à [CD]}\\KL=\dfrac{CD}{2}=\dfrac{6}{2}=3\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{KL=3}

\text{Dans le triangle BCD, }\left\lbrace\begin{matrix} \text{I est le milieu de [BC]}\\\text{J est le milieu de [BD]}\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix} \text{IJ est parallèle à [CD]}\\IJ=\dfrac{CD}{2}=\dfrac{6}{2}=3\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{IJ=3}

Donc IJ = JK = KL = IL = 3.
Le quadrilatère IJKL est un losange puisque ses quatre côtés ont même longueur.

Nous avons montré dans la question 2.d) que les droites (IJ) et (JK) sont perpendiculaires.

Nous savons qu'un losange ayant un angle droit est un carré.
D'où le quadrilatère IJKL est un carré.
Or les point I, J, K et L appartiennent également au plan   \mathscr{P} .
Par conséquent, la section du tétraèdre ABCD par le plan   \mathscr{P}  est le carré IJKL.

3.   La droite (BD) est dirigée par le vecteur \overrightarrow{BD}.

\left\lbrace\begin{array}l B(3\,;0\,;0)\\D(0\,;\sqrt{3}\, ;2\sqrt{6})\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}0-3\\\sqrt{3}-0\\2\sqrt{6}-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BD}\ \begin{pmatrix}{\red{-3}}\\ {\red{\sqrt{3}}}\\ {\red{2\sqrt{6}}}\end{pmatrix}}

La droite (BD) passe par le point B({\blue{3}} ; {\blue{0}}; {\blue{0}}).

D'où une représentation paramétrique de la droite (BD) est donnée par :

 \left\lbrace\begin{array}l x={\blue{3}}+{\red{(-3)}}\times s\\y={\blue{0}}+{\red{\sqrt{3}}}\times s\\z={\blue{0}}+{\red{2\sqrt{6}}}\times s \end{array}\ \ \ (s\in\mathbb{R})

soit \boxed{(BD):\left\lbrace\begin{array}l x=3-3s\\y=\sqrt{3}s\\z=2\sqrt{6}s \end{array}\ \ \ (s\in\mathbb{R})}

Dès lors, les coordonnées d'un point M de la droite (BD) sont de la forme   (3-3s\,;\sqrt{3}s\,;2\sqrt{6}s).

Nous obtenons ainsi :

\boxed{\overrightarrow{OM}\begin{pmatrix}3-3s\\\sqrt{3}s\\2\sqrt{6}s\end{pmatrix}} \\\\\left\lbrace\begin{array}l I(\dfrac{3}{2}\,;\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,;0)\\\\M(3-3s\,;\sqrt{3}s\,;2\sqrt{6}s)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{IM}\begin{pmatrix}3-3s-\dfrac{3}{2}\\\\\sqrt{3}s-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\\\\2\sqrt{6}s-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{IM}\ \begin{pmatrix}\dfrac{3}{2}-3s\\\sqrt{3}s-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\\2\sqrt{6}s\end{pmatrix}}

La question posée porte sur l'éventuelle existence d'un point M sur l'arête [BD] tel que les droites (OM) et (IM) soient perpendiculaires, soit sur l'éventuelle existence d'un point M sur l'arête [BD] tel que   \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{IM}=0.

\text{Or }\ \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{IM}=0\Longleftrightarrow x_{\overrightarrow{OM}}\times x_{\overrightarrow{IM}}+y_{\overrightarrow{OM}}\times y_{\overrightarrow{IM}}+z_{\overrightarrow{OM}}\times z_{\overrightarrow{IM}}=0 \\\\\phantom{\text{Or }\ \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{IM}=0}\Longleftrightarrow (3-3s)\times(\dfrac{3}{2}-3s)+\sqrt{3}s\times (\sqrt{3}s-\dfrac{3\sqrt{3}}{2})+2\sqrt{6}s\times 2\sqrt{6}s=0 \\\\\phantom{\text{Or }\ \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{IM}=0}\Longleftrightarrow (\dfrac{9}{2}-9s-\dfrac{9}{2}s+9s^2)+(3s^2-\dfrac{9}{2}s)+24s^2=0 \\\\\phantom{\text{Or }\ \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{IM}=0}\Longleftrightarrow36s^2-18s+\dfrac{9}{2}=0
Le point M existera si l'équation   {36s^2-18s+\dfrac{9}{2}=0}   admet au moins une solution.
Discriminant de l'équation :   \Delta=(-18)^2-4\times36\times \dfrac{9}{2}=324-648=-324\ {\red{<0}}
Puisque le discriminant est négatif, l'équation   \overset{.}{36s^2-18s+\dfrac{9}{2}=0} n'admet pas de solution réelle.
Par conséquent, il n'existe pas de point M sur l'arête [BD] tel que les droites (OM) et (IM) soient perpendiculaires et donc tel que le triangle OIM soit rectangle en M.

5 points

exercice 4 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

{\red{1.\ }}\ OA=|z_A|=\sqrt{1^2+1^2}\Longrightarrow\boxed{OA=\sqrt{2}} \\\phantom{{\red{1.\ }}\ }OB=|z_B|=\sqrt{x^2+1^2}\Longrightarrow\boxed{OB=\sqrt{x^2+1}} \\\phantom{{\red{1.\ }}\ }OC=|z_C|=\sqrt{y^2+1^2}\Longrightarrow\boxed{OC=\sqrt{y^2+1}} \\\\\text{D'où si}\ {\blue{OC=OA\times OB}},\text{alors }\sqrt{y^2+1}=\sqrt{2}\times\sqrt{x^2+1} \\\phantom{\text{D'où si}\ OC=OA\times OB,\text{alors }}(\sqrt{y^2+1})^2=(\sqrt{2}\times\sqrt{x^2+1})^2 \\\phantom{\text{D'où si}\ OC=OA\times OB,\text{alors }} y^2+1=2\times(x^2+1) \\\phantom{\text{D'où si}\ OC=OA\times OB,\text{alors }} y^2+1=2x^2+2 \\\phantom{\text{D'où si}\ OC=OA\times OB,\text{alors }} y^2=2x^2+2-1 \\\phantom{\text{D'où si}\ OC=OA\times OB,\text{alors }} \boxed{{\blue{y^2=2x^2+1}}}

2.   Algorithme complété :

             \begin{array}{|c|}\hline \text{Pour }x\text{ allant de }1\text{ à}\ {\red{10}}\text{ faire}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Pour }{\red{y\text{ allant de }1\text{ à}\ 10}\text{ faire}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Si  }{\red{y^2=2x^2+1}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\text{Afficher }x\text{ et }y \\\text{Fin Si}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\text{Fin Pour}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\text{Fin Pour}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\hline\end{array}
Lorsque l'on exécute cet algorithme, il affiche la valeur 2 pour la variable x et la valeur 3 pour la variable y .

3.   Dans cette question, nous prenons x = 2 et y = 3.
Dès lors , zA = 1 + i, zB = 2 + i et zC = 3 + i.

3. a)   Module de zA : |z_A|=\sqrt{1^2+1^2}\Longrightarrow\boxed{|z_A|=\sqrt{2}}
Un argument theta de zA :
\left\lbrace\begin{matrix}z_A=1+\text{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\z_A=\sqrt{2}(\cos\theta+\text{i}\sin\theta)\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \sqrt{2}(\cos\theta+\text{i}\sin\theta)=1+\text{i} \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}z_A=1+\text{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\z_A=\sqrt{2}(\cos\theta+\text{i}\sin\theta)\end{matrix}\right.\ \ \ }\Longrightarrow\ \ \sqrt{2}\cos\theta+\text{i}\sqrt{2}\sin\theta=1+\text{i} \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}z_A=1+\text{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\z_A=\sqrt{2}(\cos\theta+\text{i}\sin\theta)\end{matrix}\right.\ \ \ }\Longrightarrow\ \ \left\lbrace\begin{matrix}\sqrt{2}\cos\theta=1\\\sqrt{2}\sin\theta=1\end{matrix}\right.\Longrightarrow\ \ \left\lbrace\begin{matrix}\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{matrix}\right. \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}z_A=1+\text{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\z_A=\sqrt{2}(\cos\theta+\text{i}\sin\theta)\end{matrix}\right.\ \ \ }\Longrightarrow\ \ \left\lbrace\begin{matrix}\cos\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\boxed{\theta=\dfrac{\pi}{4}\ (\text{mod }2\pi)} {\red{3.\ \text{b}) }}\ OA=|z_A|=\sqrt{1^2+1^2}\Longrightarrow\boxed{OA=\sqrt{2}} \\\phantom{{\red{3.\ \text{b}) }}\ }OB=|z_B|=\sqrt{2^2+1^2}\Longrightarrow\boxed{OB=\sqrt{5}} \\\phantom{{\red{3.\ \text{b}) }}\ }OC=|z_C|=\sqrt{3^2+1^2}\Longrightarrow\boxed{OC=\sqrt{10}} \\\\\text{D'où }\ OA\times OB=\sqrt{2}\times\sqrt{5} \\\phantom{\text{D'où }\ OA\times OB}=\sqrt{10} \\\phantom{\text{D'où }\ OA\times OB}=OC \\\\\Longrightarrow\boxed{OC=OA\times OB}

{\red{3.\ \text{c}) }}\ z_Bz_C=(2+\text{i})(3+\text{i}) \\\phantom{{\red{3.\ \text{c}) }}\ z_Bz_C}=6+2\text{i}+3\text{i}+\text{i}^2 \\\phantom{{\red{3.\ \text{c}) }}\ z_Bz_C}=6+5\text{i}-1 \\\phantom{{\red{3.\ \text{c}) }}\ z_Bz_C}=5+5\text{i} \\\phantom{{\red{3.\ \text{c}) }}\ z_Bz_C}=5(1+\text{i}) \\\phantom{{\red{3.\ \text{c}) }}\ z_Bz_C}=5z_A \\\\\Longrightarrow\boxed{z_Bz_C=5z_A}

\text{Nous en déduisons que }:z_Bz_C=5z_A\Longrightarrow \arg(z_Bz_C)=\arg(5z_A) \\\phantom{\text{Nous en déduisons que }:z_Bz_C=5z_A}\Longrightarrow\arg(z_B)+\arg(z_C)=\arg(z_A) \\\\\phantom{\text{Nous en déduisons que }:z_Bz_C=5z_A}\Longrightarrow\boxed{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OB})+(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OC})=(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OA})}

4.   Nous revenons au cas général.

{\red{4.\ \text{a}) }}\ \text{Si }(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OB})+(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OC})=(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OA})\text{, alors }\ \arg(z_B)+\arg(z_C)=\arg(z_A)\ \text{mod }2\pi \\\phantom{...........................................................................}\arg(z_Bz_C)=\arg(z_A)\ \text{mod }2\pi  \\\phantom{...........................................................................}\arg(z_Bz_C)-\arg(z_A)=0\ \text{mod }2\pi \\\\\phantom{...........................................................................}\arg\dfrac{z_Bz_C}{z_A}=0\ \text{mod }2\pi \\\\\phantom{...........................................................................}\boxed{\arg\dfrac{(x+\text{i})(y+\text{i})}{(1+\text{i})}=0\ \text{mod }2\pi}

Nous en déduisons que le nombre complexe   \dfrac{(x+\text{i})(y+\text{i})}{(1+\text{i})}   est un nombre réel.
Donc   \text{Im}\left[\dfrac{(x+\text{i})(y+\text{i})}{(1+\text{i})}\right]=0.

\text{Or }\dfrac{(x+\text{i})(y+\text{i})}{(1+\text{i})}=\dfrac{xy+\text{i}x+\text{i}y+\text{i}^2}{(1+\text{i})}=\dfrac{xy-1+\text{i}(x+y)}{(1+\text{i})}=\dfrac{[xy-1+\text{i}(x+y)]{\red{(1-\text{i})}}}{(1+\text{i}){\red{(1-\text{i})}}} \\\\\phantom{...........................}=\dfrac{xy-1+\text{i}(x+y)-xy\text{i}+\text{i}-\text{i}^2(x+y)}{1+1} \\\\\phantom{...........................}=\dfrac{x+y+xy-1+\text{i}(x+y-xy+1)}{2}

Par conséquent,   \text{Im}\left[\dfrac{(x+\text{i})(y+\text{i})}{(1+\text{i})}\right]=0\Longleftrightarrow\boxed{x+y-xy+1=0}

4. b)   Nous savons par l'énoncé que y est un nombre réel supérieur à 1.
Donc y > 0.

\left\lbrace\begin{matrix}y^2=2x^2+1\\y>0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \boxed{y=\sqrt{2x^2+1}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}x+y-xy+1=0\\x\neq1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \left\lbrace\begin{matrix}y(1-x)+x+1=0\\x\neq1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \\\\\phantom{.................................}\ \ \ \Longrightarrow\ \ \left\lbrace\begin{matrix}y(1-x)=-x-1\\x\neq1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \\\\\phantom{.................................}\ \ \ \Longrightarrow\ \ \left\lbrace\begin{matrix}y=\dfrac{-x-1}{1-x}\\x\neq1\ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ \end{matrix}\right. \\\\\phantom{.................................}\ \ \ \Longrightarrow\ \ \left\lbrace\begin{matrix}\boxed{y=\dfrac{x+1}{x-1}}\\x\neq1\ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ \end{matrix}\right.

5.   f(x)=\sqrt{2x^2+1}\ \ \text{et}\ \ g(x)=\dfrac{x+1}{x-1}\ \ \ \ (x\in\ ]1\,;+\infty[)

Soit la fonction h définie sur l'intervalle ]1 ; +infini[ par h (x ) = f (x ) - g (x ).
Par le logiciel de calcul formel, nous obtenons :

h'(x)=f'(x)-g'(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}-\dfrac{-2}{(x-1)^2} \\\\\Longrightarrow h'(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}+\dfrac{2}{(x-1)^2} \\\\\\\text{Dès lors, }\ \left\lbrace\begin{matrix}2x>0\ \ \ (\text{car }x>1)\\\sqrt{2x^2+1}>0\ \ \ \ \ \\ (x-1)^2>0\ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow h'(x)>0

Nous en déduisons que la fonction h est strictement croissante sur l'intervalle ]1 ; +oo[.

\left\lbrace\begin{matrix}\underset{x>1}{\lim\limits_{x\to1}}\ f(x)=f(1)\\\left\lbrace\begin{matrix}\underset{x>1}{\lim\limits_{x\to1}}\ (x+1)=2\\\underset{x>1}{\lim\limits_{x\to1}}\ (x-1)=0^+\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}\underset{x>1}{\lim\limits_{x\to1}}\ f(x)=\sqrt{3}\\\underset{x>1}{\lim\limits_{x\to1}}\ \dfrac{x+1}{x-1}=+\infty\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}\underset{x>1}{\lim\limits_{x\to1}}\ f(x)=\sqrt{3}\\\underset{x>1}{\lim\limits_{x\to1}}\ g(x)=+\infty\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow\underset{x>1}{\lim\limits_{x\to1}}\ [f(x)-g(x)]=-\infty \\\\\Longrightarrow\boxed{{\red{\underset{x>1}{\lim\limits_{x\to1}}\ h(x)=-\infty}}}

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\ f(x)=+\infty\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{x}=1\end{matrix}\right. \Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\ [f(x)-g(x)]=+\infty \\\\\Longrightarrow\boxed{{\red{\lim\limits_{x\to+\infty}\ h(x)=+\infty}}}

En utilisant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation h (x ) = 0 admet une unique solution sur l'intervalle ]1 ; +infini[.

\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}f(2)=\sqrt{2\times2^2+1}=\sqrt{9}=3\\g(2)=\dfrac{2+1}{2-1}=3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ h(2)=f(2)-g(2) \\\phantom{...............................................................................}=3-3 \\\phantom{...............................................................................}=0 \\\\\Longrightarrow{\red{h(2)=0}}

D'où x = 2 est l'unique solution de l'équation h (x ) = 0.
Si x = 2, alors y = f (2) = g (2) = 3.

Par conséquent, le problème initial possède une unique solution : x = 2 et y = 3.

5 points

exercice 4 : Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1.   Modélisation

Par Pythagore, nous obtenons : \left\lbrace\begin{matrix}a^2=1^2+1^2\\b^2=1^2+u^2\\c^2=1^2+v^2\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}a^2=2\ \ \ \ \ \ \ \\b^2=1+u^2\\c^2=1+v^2\end{matrix}\right.

Nous savons que a > 0, b > 0 et c > 0 car a , b et c sont les longueurs des hypoténuses.

\text{D'où }\ ab=c\Longleftrightarrow a^2b^2=c^2 \\\phantom{\text{D'où }\ ab=c}\Longleftrightarrow 2(1+u^2)=1+v^2 \\\phantom{\text{D'où }\ ab=c}\Longleftrightarrow 2+2u^2=1+v^2 \\\phantom{\text{D'où }\ ab=c}\Longleftrightarrow \boxed{v^2-2u^2=1}

2.  Recherche systématique de solutions de l'équation (E) : v ² - 2u ² = 1 (v et u étant des entiers naturels non nuls)

\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Pour }u\text{ allant de }1\text{ à}\ {\red{1000}}\text{ faire}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &\text{Au cours de son exécution,}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{Pour }{\red{v\text{ allant de }1\text{ à}\ 1000}\text{ faire}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &\text{l'agorithme affiche :}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Si  }{\red{v^2-2u^2=1}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3 \\\text{Afficher }u\text{ et }v\ \ \ \ \ \ \ \ \ &12\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 17 \\\text{Fin Si}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &70\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 99  \\\text{Fin Pour}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ &408\ \ \ \ \ \ \ \ \ 577 \\\text{Fin Pour}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ & \\\hline\end{array}

3.   Analyse des solutions éventuelles de l'équation (E)

Nous supposons que le couple (u , v ) est une solution de (E).

3. a)  Nous savons que u et v  sont deux entiers naturels non nuls.

v^2-2u^2=1\Longrightarrow v^2=2u^2+1 \\\\\left\lbrace\begin{matrix}v^2=2u^2+1\\2u^2+1>2u^2\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ v^2>2u^2 \\\\\left\lbrace\begin{matrix}v^2>2u^2\\2u^2>u^2\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ v^2>u^2 \\\\\left\lbrace\begin{matrix}v^2>u^2\\v>0\\u>0\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{v>u}

Par conséquent, nous avons montré la relation : u < v.

3. b)  Soit n  un nombre entier naturel.

Supposons que n est pair.
Dans ce cas, n  peut s'écrire sous la forme   n={\red{2}}k\ \ (k\in\N)
\overset{.}{n^2=(2k)^2=4k^2=\ {\red{2}}\times(2k^2)\ \ (\text{où }\ 2k^2\in\N).}
Donc n ² est pair.

Supposons que n  est impair.
Dans ce cas, n   peut s'écrire sous la forme  n={\red{2}}k{\blue{+1}}\ \ (k\in\N)
\overset{.}{n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=\ {\red{2}}\times(2k^2+2k){\blue{+1}}\ \ (\text{où }\ 2k^2+2k\in\N).}
Donc n ² est impair.

Nous venons de montrer que :
si n est pair, alors n ² est pair.
Par contraposition de cette implication, nous obtenons : si n ² est impair, alors n est impair.
si n est impair, alors n ² est impair.
Par contraposition de cette implication, nous obtenons : si n ² est pair, alors n est pair.

Par conséquent,
          n est pair equivaut n ² est pair.
          n est impair equivaut n ² est impair.
En conclusion, n et n ² ont même parité.

3. c)   v^2-2u^2=1\Longleftrightarrow v^2=2u^2+1.
Puisque 2u ² est un nombre entier naturel, nous en déduisons que v ² est un nombre impair.
Nous savons par la question précédente que v ² et v ont même parité.
Par conséquent, v   est un nombre impair.

3. d)   v^2-2u^2=1\Longleftrightarrow 2u^2=v^2-1\Longleftrightarrow \boxed{2u^2=(v-1)(v+1)}
Puisque v est un nombre impair, les nombres v - 1 et v + 1 sont tous deux pairs.
D'où leur produit (v - 1)(v + 1) est un multiple de 4.
Or 2u ² = (v - 1)(v + 1).
Donc 2u ² est un multiple de 4, soit u ² est un multiple de 2, c'est-à-dire un nombre pair.
Nous savons par la question 3. b) que u ² et u  ont même parité.
Par conséquent, u   est un nombre pair.

4.   Une famille de solutions

\text{Soit }X=\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}\text{ et }A=\begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}.

4. a)   Supposons que la matrice colonne X   est une solution de l'équation (E).
Posons \overset{.}{AX=\begin{pmatrix}U\\V\end{pmatrix}}   et montrons que   \overset{.}{\begin{pmatrix}U\\V\end{pmatrix}}   est également une solution de l'équation (E).

\begin{pmatrix}U\\V\end{pmatrix}=AX\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}U\\V\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix} \\\\\phantom{\begin{pmatrix}U\\V\end{pmatrix}=AX}\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}U\\V\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3u+2v\\4u+3v\end{pmatrix} \\\\\phantom{\begin{pmatrix}U\\V\end{pmatrix}=AX}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}U=3u+2v\\V=4u+3v\end{matrix}\right.
\overset{.}{\begin{pmatrix}U\\V\end{pmatrix}}   sera une solution de l'équation (E) si V^2-2U^2=1.

\text{Or }\ V^2-2U^2=(4u+3v)^2-2(3u+2v)^2 \\\phantom{\text{Or }\ V^2-2U^2}=(16u^2+24uv+9v^2)-2(9u^2+12uv+4v^2) \\\phantom{\text{Or }\ V^2-2U^2}=16u^2+24uv+9v^2-18u^2-24uv-8v^2 \\\phantom{\text{Or }\ V^2-2U^2}=v^2-2u^2 \\\phantom{\text{Or }\ V^2-2U^2}=1\ \ \ \ \ [\,\text{car}\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}\ \text{est solution de l'équation (E)\,}] \\\\\Longrightarrow\boxed{V^2-2U^2=1}

D'où \overset{.}{AX=\begin{pmatrix}U\\V\end{pmatrix}}  est une solution de l'équation (E).

4. b)  Démontrons par récurrence que si la matrice colonne X est une solution de l'équation (E), alors pour tout entier naturel n , AnX   est aussi une solution de l'équation (E).

Initialisation : Montrons que la propriété est vérifiée pour n = 0.
En effet, A^0X=IX=X
Puisque la matrice colonne X  est une solution de l'équation (E), nous en déduisons que A 0X  est aussi une solution de l'équation (E).
L'initialisation est donc vraie.

Hérédité : Soit n un nombre entier fixé.
Montrons que si la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang n +1.
Cela signifie que si nous supposons que AnX est une solution de (E), alors nous devons montrer que An+1X est une solution de (E).
En effet, AnX   est une solution de (E) par hypothèse de récurrence.
Donc A(AnX ) est une solution de (E) en utilisant la question 4. a).
Puisque A(AnX ) = An+1X , nous en déduisons que An+1X  est une solution de (E).
L'hérédité est donc vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que si la matrice colonne X  est une solution de l'équation (E), alors pour tout entier naturel n , AnX  est aussi une solution de l'équation (E).

4. c)   En utilisant l'énoncé de la question 2, nous savons que   X=\begin{pmatrix}408\\577\end{pmatrix}   est une solution de (E).
Utilisons également les résultats de la question 4. b).

AX=\begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}408\\577\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\times408+2\times577\\4\times408+3\times577\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2378\\3363\end{pmatrix}\text{ est solution de (E) où }3\,363<10\,000 \\\\A^2X=\begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2378\\3363\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\times2378+2\times3363\\4\times2378+3\times3363\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}13860\\19601\end{pmatrix}\text{ est solution de (E) où }{\blue{19\,601>10\,000}}

Par conséquent, le couple (13 860 , 19 601) est une solution de (E) et est tel que 19 601 > 10 000.
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