Fiche de mathématiques
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Bac S Obligatoire et Spécialité

Antilles Guyane 2018

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exercice 1 Commun à tous les candidats

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exercice 2 Commun à tous les candidats

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exercice 3 Commun à tous les candidats

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exercice 4 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

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exercice 4 Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

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exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A


1.  Arbre pondéré traduisant la situation :

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2.   Nous devons déterminer  P(C\cap H).

P(C\cap H)=P(C)\times _{C}(H)\\\phantom{P(C\cap H)}=0,3\times0,459\\\phantom{P(C\cap H)}=0,1377\\\\\Longrightarrow\boxed{P(C\cap H)=0,1377}

D'où la probabilité que l'arbre abattu soit un chêne vendu à un habitant de la commune est égale à 0,1377.

3.   Nous devons déterminer  P(H).

En utilisant la formule des probabilités totales, nous avons :

P(H)= P(C\cap H)+P(S\cap H)+P(E\cap H) \\\phantom{P(H)}=P(C)\times P_{C}(H)+P(S)\times P_{S}(H)+P(E)\times P_{E}(H) \\\phantom{P(H)}=0,3\times0,459+0,5\times0,8+0,2\times0,25 \\\phantom{P(H)}=0,1377+0,4+0,05 \\\phantom{P(H)}=0,5877 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(H)=0,5877}

D'où la probabilité que l'arbre abattu soit vendu à un habitant de la commune est égale à 0,5877

4.   Nous devons déterminer  P_H(S)

P_H(S)=\dfrac{P(S\cap H)}{P(H)} \\\\\phantom{P_H(S)}=\dfrac{P(S)\times P_S(H)}{0,5877} \\\\\phantom{P_H(S)}=\dfrac{0,5\times 0,8}{0,5877} \\\\\phantom{P_H(S)}\approx 0,6806193636

Par conséquent, la probabilité qu'un arbre abattu vendu à un habitant de la commune soit un sapin est environ égale à 0,681 (arrondie à 10-3).

Partie B


Le nombre d'arbres sur un hectare de cette forêt peut être modélisé par une variable aléatoire X  suivant une loi normale d'espérance mu = 4000 et d'écart-type sigma = 300.

1.   Par la calculatrice, nous obtenons  P(3400\le X\le4600)\approx0,95449973
D'où la probabilité qu'il y ait entre 3400 et 4600 arbres sur un hectare donné de cette forêt est environ égale à 0,954 (arrondie à 10-3).

Nous pouvions trouver ce résultat par la propriété suivante de la loi normale :

P(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\approx0,954.

En effet, nous obtenons alors :

P(3400\le X\le4600)=P(4000-600\le X\le4000+600)\\\phantom{P(3400\le X\le4600)}=P(4000-2\times300\le X\le4000+2\times300)\\\phantom{P(81,6\le X\le82,4)}=P(\mu-\sigma\le X\le\mu+\sigma)\\\phantom{P(81,6\le X\le82,4)}\approx\boxed{0,954}

2.   Nous devons déterminer  P(X>4500).

Nous savons que   P(X\ge\mu)=0,5, soit que  P(X\ge4000)=0,5

\text{Dès lors, }\ P(X\ge4000)=0,5\Longleftrightarrow P(4000\le X\le4500)+P(X>4500)=0,5 \\\phantom{\text{Dès lors, }\ P(X\ge4000)=0,5}\Longleftrightarrow P(X>4500)=0,5-P(4000\le X\le4500) \\\phantom{\text{Dès lors, }\ P(X\ge4000)=0,5}\Longrightarrow P(X>4500)\approx0,5-0,45220964 \\\phantom{\text{Dès lors, }\ P(X\ge4000)=0,5}\Longrightarrow P(X>4500)\approx0,04779036

Par conséquent, la probabilité qu'il y ait plus de 4500 arbres sur un hectare donné de cette forêt est environ égale à 0,048 (arrondie à 10-3).

Partie C


Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I200  au seuil de 95 % de la proportion de sapins dans cette forêt communale.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

\left\lbrace\begin{array}l n=200\ge30 \\ p=0,5\Longrightarrow np=200\times0,5=100\ge5 \\n(1-p)= 200\times(1-0,5)= 200\times0,5=100\ge5 \end{array}

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I200  au seuil de 95% est :

 I_{200}=\left[0,5-1,96\sqrt{\dfrac{0,5 (1-0,5)}{200}};0,5+1,96\sqrt{\dfrac{0,5 (1-0,5)}{200}}\right]\\\\\Longrightarrow I_{200}\approx[0,431;0,569]

La fréquence observée est   f=\dfrac{106}{200}=0,53

Nous remarquons que   f\in I_{200}.

Par conséquent, au risque de se tromper de 5%, l'affirmation de l'exploitant ne doit pas être remise en question.

5 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

1.   Nous utiliserons le théorème suivant :
Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant les coupe suivant des droites parallèles.

Les plans (FGH) et (BCD) sont parallèles.
Le plan (SLM) coupe (FGH) et (BCD) suivant les droites (LM) et (BD).

En utilisant le théorème ci-dessus, les droites (LM) et (BD) sont parallèles.

2.   Soit le repère orthonormé  (A;\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ},\overrightarrow{AK}).

Sachant que les longueurs des arêtes du cube sont égales à 6 mètres, nous obtenons E(0 ; 0 ; 6) et F(6 ; 0 ; 6).

\left\lbrace\begin{matrix}F(6;0;6)\\ E(0;0;6)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{FE}\begin{pmatrix}0-6\\0-0\\6-6\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{FE}\begin{pmatrix}-6\\0\\0\end{pmatrix}

\left\lbrace\begin{matrix}F(6;0;6)\\ L(x_L;y_L;z_L)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{FL}\begin{pmatrix}x_L-6\\y_L-0\\z_L-6\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{FL}\begin{pmatrix}x_L-6\\y_L\\z_L-6\end{pmatrix}

\overrightarrow{FL}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{FE}\Longrightarrow\begin{pmatrix}x_L-6\\y_L-0\\z_L-6\end{pmatrix}=\dfrac{2} {3}\begin{pmatrix}-6\\0\\0\end{pmatrix} \\\\\\\phantom{\overrightarrow{FL}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{FE}}\Longrightarrow\begin{pmatrix}x_L-6\\y_L\\z_L-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}\times(-6)\\\\\dfrac{2}{3}\times0\\\\\dfrac{2}{3}\times0\end{pmatrix} \\\\\\\phantom{\overrightarrow{FL}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{FE}}\Longrightarrow\begin{pmatrix}x_L-6\\y_L\\z_L-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\0\\0\end{pmatrix} \ \ \ \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x_L-6=-4\\y_L=0\\z_L-6=0\end{matrix}\right. \ \ \ \Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x_L=2\\y_L=0\\z_L=6\end{matrix}\right.}

D'où, les coordonnées du point L sont (2 ; 0 ; 6).

3. a.   Déterminons une représentation paramétrique de la droite (BL).

La droite (BL) est dirigée par le vecteur \overrightarrow{BL}.

\left\lbrace\begin{array}l B(6;0;0)\\L(2;0;6)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{BL}\begin{pmatrix}2-6\\0-0 \\6-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BL}\begin{pmatrix}{\red{-4}}\\ {\red{0}}\\ {\red{6}}\end{pmatrix}}

La droite (BL) passe par le point  B({\blue{6}} ; {\blue{0}}; {\blue{0}}).

D'où une représentation paramétrique de la droite (BL) est donnée par :

 \left\lbrace\begin{array}l x={\blue{6}}\ {\red{-\ 4}}\times t\\y={\blue{0}}+{\red{0}}\times t\\z={\blue{0}}+{\red{6}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})

soit \boxed{(BL):\left\lbrace\begin{array}l x=6-4t\\y=0\\z=6t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}

3. b.   Le point S appartient à la droite (AK).
Ses coordonnées sont donc de la forme (0 ; 0 ; z S ), soit x S = 0 et y S = 0.

Le point S appartient également à la droite (BL).

Il existe alors un réel t  tel que  \left\lbrace\begin{array}l x_S=6-4t\\y_S=0\\z_S=6t \end{array}

\text{Dès lors, }\ \left\lbrace\begin{matrix}x_S=0\ \ \ \ \ \ \\ x_S=6-4t\end{matrix}\right.\ \Longrightarrow6-4t=0\ \Longrightarrow4t=6 \ \Longrightarrow t=\dfrac{6}{4}\\\phantom{\text{Dès lors, }\ \left\lbrace\begin{matrix}x_S=0\ \ \ \ \ \ \\  x_S=6-4t\end{matrix}\right. }\ \Longrightarrow \boxed{t=\dfrac{3}{2}}

Remplaçons t par  \dfrac{3}{2} dans la relation z S = 6t .

z_S=6\times\dfrac{3}{2}\Longrightarrow\boxed{z_S=9}

Par conséquent, les coordonnées du point S sont (0 ; 0 ; 9).

{\red{\text{4.a. }}}\ \left\lbrace\begin{matrix}B(6;0;0)\\ D(0;6;0)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}0-6\\6-0\\0-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}-6\\6\\0\end{pmatrix}

\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}3\\3\\2\end{pmatrix}\\\\\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}-6\\6\\0\end{pmatrix}\end{matrix}\right.\ \Longrightarrow\ \ \ \ \begin{matrix}\left \ \lceil\\\ |\\\ |\\\ |\\\ |\\\ |\\\ \left \lfloor \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix}\overrightarrow{n}.\overrightarrow{BD}=3\times(-6)+3\times6+2\times0\\=-18+18+0\ \ \ \ \ \\=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{BD}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}

\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}3\\3\\2\end{pmatrix}\\\\\overrightarrow{BL}\begin{pmatrix}-4\\0\\6\end{pmatrix}\end{matrix}\right.\ \Longrightarrow\ \ \ \ \begin{matrix}\left \ \lceil\\\ |\\\ |\\\ |\\\ |\\\ |\\\ \left \lfloor \end{matrix}\ \ \ \begin{matrix}\overrightarrow{n}.\overrightarrow{BL}=3\times(-4)+3\times0+2\times6\\=-12+0+12\ \ \ \ \ \\=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{BL}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}

Puisque le vecteur  \overrightarrow{n}  est orthogonal aux deux vecteurs manifestement non colinéaires  \overrightarrow{BD}  et  \overrightarrow{BL} , nous en déduisons que le vecteur  \overrightarrow{n}  est normal au plan (BDL).

4. b.   Nous savons que tout plan de vecteur normal  \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}  admet une équation cartésienne de la
forme  ax  + by  + cz  + d  = 0.

Puisque le vecteur  \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}3\\3\\2\end{pmatrix}  est normal au plan (BDL), une équation cartésienne du plan  (BDL)  est de la
forme  3x  + 3y  + 2z  + d  = 0.

Or le point B(6 ; 0 ; 0) appartient au plan (BDL). Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où  3\times6+3\times0+2\times0+d=0 , soit 18 + d  = 0 soit d  = -18.

Par conséquent, une équation cartésienne du plan  (BDL)  est :  \boxed{3x+3y+2z-18=0}

4. c.   Le point M est le point commun à la droite (EH) et au plan (BDL).
Les coordonnées de ce point sont les solutions du système composé par les équations de la droite (EH) et du plan (BDL), soit du système :

\left\lbrace\begin{array}l x=0\\y=s\\z=6\\3x+3y+2z-18=0 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l  x=0\\y=s\\z=6\\ 3\times0+3\times s+2\times6-18=0 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l  x=0\\y=s\\z=6\\3s-6=0 \end{array}

\left\lbrace\begin{array}l  x=0\\y=s\\z=6\\3s=6 \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l  x=0\\y=s\\z=6\\s=2\end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=0\\y=2\\z=6\\s=2 \end{array}

D'où les coordonnées du point M sont \boxed{M(0;2;6)}.

5.   Calculons le volume du tétraèdre SELM :  \mathscr{V}_{SELM}=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{ELM}\times ES

Le triangle ELM est rectangle en E.

Nous en déduisons que   \mathscr{A}_{ELM}=\dfrac{1}{2}\times  EL\times EM


\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}E(0;0;6)\\ L(2;0;6)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{EL}\begin{pmatrix}2-0\\0-0\\6-6\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{EL}\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\Longrightarrow EL=2 \\\\\phantom{\text{Or }}\left\lbrace\begin{matrix}E(0;0;6)\\ M(0;2;6)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{EM}\begin{pmatrix}0-0\\2-0\\6-6\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{EM}\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\Longrightarrow EM=2 \\\\\text{D'où }\ \mathscr{A}_{ELM}=\dfrac{1}{2}\times  2\times 2 \\\\\phantom{\text{D'où }}\ \boxed{\mathscr{A}_{ELM}=2}

\text{De plus,  }\left\lbrace\begin{matrix}E(0;0;6)\\ S(0;0;9)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{ES}\begin{pmatrix}0-0\\0-0\\9-6\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{ES}\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}\Longrightarrow ES=3

Par conséquent,  \mathscr{V}_{SELM}=\dfrac{1}{3}\times 2\times3\Longrightarrow\boxed{\mathscr{V}_{SELM}=2\ \text{m}^3}

6.   Dans le triangle SEL rectangle en E, nous avons :

\tan(\widehat{SLE})=\dfrac{ES}{EL}\Longrightarrow\tan(\widehat{SLE})=\dfrac{3}{2}\\\\\text{D'où }\ \widehat{SLE}=\arctan(\dfrac{3}{2}) \\\\\phantom{\text{D'où }\ }\boxed{\widehat{SLE}\approx56,3^{\text{o}}}

Puisque la mesure de l'angle  \widehat{SLE} est comprise entre 55° et 60°, la contrainte d'angle est respectée.

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A - Etude de la fonction f


1.   Pour tout x  appartient R,

\left\lbrace\begin{matrix}-1\le\cos x\le1\\ -1\le\sin x\le1\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}{\red{-1\le-\cos x \le1}}\\ {\blue{-1\le\sin x \le1}}\end{matrix}\right.\\\\\text{Donc }\ {\red{-1}}-{\blue{1}}+1\le{\red{-\cos x }}+{\blue{\sin x }}+1\le{\red{1}}+{\blue{1}}+1 \\\\\phantom{\text{Donc }\ }-1\le-\cos x +\sin x +1\le3 \\\\\phantom{\text{Donc }\ }-1\times \text{e}^{-x}\le(-\cos x +\sin x +1)\times \text{e}^{-x}\le3\times \text{e}^{-x}\ \ \ \ \ \ \ (\text{car }\text{e}^{-x}>0) \\\\\phantom{\text{Donc }\ }-\text{e}^{-x}\le\text{e}^{-x}(-\cos x +\sin x +1)\le3\text{e}^{-x} \\\\\Longrightarrow\boxed{-\text{e}^{-x}\le f(x)\le3\text{e}^{-x}}

2.   Limite de f  en +infini :

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(-x)=-\infty\\\\\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X =0\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0\ \ \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}-\text{e}^{-x}=0\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}3\text{e}^{-x}=0\end{matrix}\right.

En utilisant le théorème d'encadrement, nous obtenons :

\left\lbrace\begin{matrix}-\text{e}^{-x}\le f(x)\le3\text{e}^{-x}\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}(-\text{e}^{-x})=\lim\limits_{x\to+\infty}3\text{e}^{-x}=0\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0}

{\red{\text{3. }}}\text{Pour tout }x\in\mathbb{R},\ \ f'(x)=[\text{e}^{-x}(-\cos x +\sin x +1)]'\\\\\phantom{{\red{\text{3. }}}\text{Pour tout }x\in\mathbb{R},\ \ f'(x)}=(\text{e}^{-x})'\times(-\cos x +\sin x +1)+\text{e}^{-x}\times(-\cos x +\sin x +1)' \\\\\phantom{{\red{\text{3. }}}\text{Pour tout }x\in\mathbb{R},\ \ f'(x)}=(-\text{e}^{-x})\times(-\cos x +\sin x +1)+\text{e}^{-x}\times(\sin x +\cos x +0) \\\\\phantom{{\red{\text{3. }}}\text{Pour tout }x\in\mathbb{R},\ \ f'(x)}=-\text{e}^{-x}(-\cos x +\sin x +1)+\text{e}^{-x}(\sin x +\cos x) \\\\\phantom{{\red{\text{3. }}}\text{Pour tout }x\in\mathbb{R},\ \ f'(x)}=\text{e}^{-x}[-(-\cos x +\sin x +1)+(\sin x +\cos x)] \\\\\phantom{{\red{\text{3. }}}\text{Pour tout }x\in\mathbb{R},\ \ f'(x)}=\text{e}^{-x}(\cos x -\sin x -1+\sin x +\cos x) \\\\\phantom{{\red{\text{3. }}}\text{Pour tout }x\in\mathbb{R},\ \ f'(x)}=\text{e}^{-x}(2\cos x-1) \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\text{e}^{-x}(2\cos x -1)}

4. a)   Puisque pour tout x  appartient R et a fortiori pour tout x  appartient [-pi ; pi], e-x  > 0,
nous en déduisons que le signe de f' (x ) sera le signe de 2cos x  - 1.

Résolvons d'abord l'équation  2\cos x -1=0  dans l'intervalle  [-\pi;\pi].

\text{Si }\ x\in[-\pi;\pi], \ \text{alors }\ \ 2\cos x-1=0\Longleftrightarrow2\cos x=1\\\phantom{\text{Si }\ x\in[-\pi;\pi], \ \text{alors }\ \ 2\cos x-1=0}\Longleftrightarrow\cos x=\dfrac{1}{2}\\\phantom{\text{Si }\ x\in[-\pi;\pi], \ \text{alors }\ \ 2\cos x-1=0}\Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}\ \ \text{ou}\ \ x=-\dfrac{\pi}{3}

Bac S Obligatoire et Spécialité Antilles Guyane 2018 : image 16
\text{Si }\ x\in[-\pi;\pi],\\\text{alors }\ \ 2\cos x-1<0\Longleftrightarrow\cos x<\dfrac{1}{2}\\\phantom{\text{alors }\ \ 2\cos x-1<0}\Longleftrightarrow x\in[-\pi;-\dfrac{\pi}{3}[\ \cup\ ]\dfrac{\pi}{3};\pi] \\\\\phantom{\text{alors }}\ \ 2\cos x-1>0\Longleftrightarrow\cos x>\dfrac{1}{2}\\\\\phantom{\text{alors }\ \ 2\cos x-1<0}\Longleftrightarrow  x\in\ ]-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}[



\text{D'où }\ f'(x)\le0\Longleftrightarrow x\in[-\pi;-\dfrac{\pi}{3}]\ \cup\ [\dfrac{\pi}{3};\pi] \\\\\phantom{\text{D'où }\ }f'(x)\ge0\Longleftrightarrow x\in\ [-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}]

4. b.   Variations de f  sur l'intervalle [-pi ; pi]

               \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&& x&-\pi&&-\dfrac{\pi}{3}&&\dfrac{\pi}{3}&&\pi\\&&&&&&& \\\hline f'(x)&&-&0&+&0&-&\\\hline &2e^{\pi}\approx46,281&&&&\approx0,4793&&&f(x)&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&\\&&&\approx-1,0430&&&&2e^{-\pi}\approx0,0864\\\hline \end{array}

Donc f  est décroissante sur l'intervalle  [-\pi;-\dfrac{\pi}{3}]
              f  est croissante sur l'intervalle  [-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}]
              f  est décroissante sur l'intervalle  [\dfrac{\pi}{3};\pi]

Partie B - Aire du logo


1.   Etudions le signe de f (x ) - g (x ).

f(x)-g(x)=\text{e}^{-x}(-\cos x +\sin x +1)-(-\text{e}^{-x}\cos x) \\\phantom{f(x)-g(x)}=\text{e}^{-x}(-\cos x +\sin x +1)+\text{e}^{-x}\cos x \\\phantom{f(x)-g(x)}=\text{e}^{-x}(-\cos x +\sin x +1+\cos x) \\\phantom{f(x)-g(x)}=\text{e}^{-x}(\sin x +1) \\\\\Longrightarrow\boxed{f(x)-g(x)=\text{e}^{-x}(\sin x +1)}\\\\\text{Or pour tout }x\text{ réel,  }\ \left\lbrace\begin{matrix}\text{e}^{-x}>0\\\sin x\ge-1\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\text{e}^{-x}>0\\\sin x+1\ge0\end{matrix}\right.

Dès lors, pour tout x  réel, f (x ) - g (x ) supegal 0.

Par conséquent, la courbe Cf  est au-dessus de la courbe Cg sur R.

2. a.   Représentation graphique du domaine D .

Bac S Obligatoire et Spécialité Antilles Guyane 2018 : image 15


2. b.   Nous avons montré dans la question 1. que la courbe Cf  est au-dessus de la courbe Cg sur R.

Il en est évidemment de même sur l'intervalle  [-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}].

D'où l'aire du domaine D , en unité d'aire, se calcule par

\mathscr{A}=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}(f(x)-g(x))\,dx \\\\ \phantom{ aa} =\left[H(x) \right]\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \\\\ \phantom{ aa} =H(\dfrac{3\pi}{2})-H(-\dfrac{\pi}{2}) \\\\\text{Or }\ H(\dfrac{3\pi}{2})=(-\dfrac{\cos\dfrac{3\pi}{2}}{2}-\dfrac{\sin\dfrac{3\pi}{2}}{2}-1)\text{e}^{-\frac{3\pi}{2}} =(0-\dfrac{-1}{2}-1)\text{e}^{-\frac{3\pi}{2}}=-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-\frac{3\pi}{2}} \\\\\phantom{\text{Or }\ }H(-\dfrac{\pi}{2})=(-\dfrac{\cos(-\dfrac{\pi}{2})}{2}-\dfrac{\sin(-\dfrac{\pi}{2})}{2}-1)\text{e}^{\frac{\pi}{2}} =(0-\dfrac{-1}{2}-1)\text{e}^{\frac{\pi}{2}}=-\dfrac{1}{2}\text{e}^{\frac{\pi}{2}} \\\\\text{D'où }\ \mathscr{A}=-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-\frac{3\pi}{2}}-(-\dfrac{1}{2}\text{e}^{\frac{\pi}{2}})

\Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}=-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-\frac{3\pi}{2}}+\dfrac{1}{2}\text{e}^{\frac{\pi}{2}}\ \text{u. a.}}

Pusque l'unité graphique est de 2 centimètres,  1\ \text{u. a. }=4\ \text{cm}^2.

Nous obtenons ainsi  \Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}=(-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-\frac{3\pi}{2}}+\dfrac{1}{2}\text{e}^{\frac{\pi}{2}})\times4\ \text{cm}^2\approx9,60\ \text{cm}^2}

5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1.   Le 1er juin 2017, le nombre de cétacés est  u_0=3\,000.

Entre le 1er juin et le 31 octobre 2017, 80 cétacés arrivent dans la réserve marine.
Donc le 31 octobre 2017, il y a 3 000 + 80 = 3 080 cétacés.

Entre le 1er novembre 2017 et le 31 mai 2018, la réserve subit une baisse de 5% de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède, soit une baisse de 5% de 3080 cétacés.

5\%\ \text{de }3080 = 0,05\times3080=154

Par conséquent, le 1er juin 2018, le nombre de cétacés est  \boxed{u_1=3080-154=2926}

2.   Le 1er juin 2017 + n , le nombre de cétacés est  u_n.

Entre le 1er juin et le 31 octobre 2017 + n , 80 cétacés arrivent dans la réserve marine.
Donc le 31 octobre 2017 + n , il y a  (u_n+80)  cétacés.

Entre le 1er novembre 2017 + n  et le 31 mai 2017 + (n + 1), la réserve subit une baisse de 5% de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède, soit une baisse de 5% de  (u_n+80)  cétacés.

5\%\ \text{de }(u_n+80) = 0,05\times(u_n+80) \\\phantom{5\%\ \text{de }(u_n+80) }=0,05\times u_n+0,05\times80 \\\phantom{5\%\ \text{de }(u_n+80) }=0,05u_n+4

Par conséquent,
le 1er juin 2017 + (n + 1), le nombre de cétacés est  u_{n+1}=(u_n+80)-(0,05u_n+4)=u_n-0,05u_n+80-4

soit  \boxed{u_{n+1}=0,95u_n+76}

3.   La formule à entrer dans la cellule C2 est  \boxed{=0.95\ast B2+76}

4. a.     Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n ,  u_n\ge1520.

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 0.

Nous savons que  u_0=3000\Longrightarrow\boxed{u_0\ge1520}
La propriété est donc démontrée pour n  = 0.

Hérédité : Supposons que pour un entier naturel n  fixé la propriété soit vraie au rang n  et montrons qu'elle est encore vraie au rang n  + 1.

Supposons donc que pour un entier naturel n  fixé,  u_n\ge1520.
Montrons que nous avons  u_{n+1}\ge1520.

En effet, nous savons par la question 2. que  u_{n+1}=0,95u_n+76.

Dès lors,

u_{n+1}=0,95u_n+76\Longrightarrow u_{n+1}\ge0,95\times1520+76\ \ \text{(par l'hypothèse de récurrence)} \\\\\phantom{u_{n+1}=0,95u_n+76}\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}\ge1520}\ \ \ \ \ (\text{car }\ 0,95\times1520+76=1520)

L'hérédité est donc démontrée.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons démontré par récurrence que pour tout entier naturel n ,  u_n\ge1520.

{\red{\text{4. b) }}}\ u_{n+1}-u_n=(0,95u_n+76)-u_n\\\phantom{{\red{\text{3. b) }}}\ p_{n+1}-p_n}=0,95u_n-u_n+76 \\\phantom{{\red{\text{3. b) }}}\ p_{n+1}-p_n}=-0,05u_n+76 \\\\\Longrightarrow\boxed{ u_{n+1}-u_n=-0,05u_n+76}\ \ \ {\red{(1)}}

Or nous savons par la question précédente que  u_n\ge1520.

u_n\ge1520\Longrightarrow(-0,05)\times u_n\le(-0,05)\times1520 \\\phantom{u_n>1520}\Longrightarrow-0,05u_n\le-76 \\\phantom{u_n>1520}\Longrightarrow\boxed{-0,05u_n+76\le0}\ \ \ {\red{(2)}} \\\\\\\ \ \ {\red{(1)}}\ \text{et}\ {\red{(2)}}\Longrightarrow\boxed{ u_{n+1}-u_n\le0}

Par conséquent, la suite (un ) est décroissante.

4. c)   La suite (un ) étant décroissante et bornée inférieurement par 1520, nous en déduisons que cette suite (un ) est convergente.

5.   Soit  v_n=u_n-1520\ \ \ (n\in\mathbb{N})

{\red{\text{5. a) }}}\ v_{n+1}=u_{n+1}-1520\\\phantom{{\red{\text{4. a) }}}\ v_{n+1}}=(0,95u_n+76)-1520 \\\phantom{{\red{\text{4. a) }}}\ v_{n+1}}=0,95u_n-1444 \\\phantom{{\red{\text{4. a) }}}\ v_{n+1}}=0,95u_n-0,95\times1520 \\\phantom{{\red{\text{4. a) }}}\ v_{n+1}}=0,95(u_n-1520) \\\phantom{{\red{\text{4. a) }}}\ v_{n+1}}=0,95v_n \\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}=0,95v_n}

D'où la suite (vn ) est une suite géométrique de raison q = 0,95 et dont le premier terme est  v_0=u_0-1520=3000-1520=1480.

5. b)    v_n=v_0\times q^{n}\Longrightarrow\boxed{v_n=1480\times0,95^{n}}

v_n=u_n-1520\Longrightarrow u_n=v_n+1520 \\\\\phantom{v_n=u_n-1520}\Longrightarrow\boxed{u_n=1480\times0,95^n+1520}

5. c)    \lim\limits_{n\to+\infty}0,95^{n}=0\ \ \ (\text{car }0<0,95<1)

\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\lim\limits_{n\to+\infty}[1480\times0,95^n+1520]\\\\\phantom{\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}p_n}=1480\times\lim\limits_{n\to+\infty}(0,95^{n})+1520 \\\\\phantom{\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}p_n}=1480\times0+1520 \\\\\phantom{\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}p_n}=1520 \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1520}

6.   Algorithme complété :

            \begin{array}{|c|}\hline n\longleftarrow0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\u\longleftarrow3000\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Tant que }\ {\red{u\ge2000}} \\|n\longleftarrow{\red{n+1}} \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |u\longleftarrow{\red{0,95\star u+76}} \\\text{Fin de Tant que}\ \ \ \ \ \\\hline \end{array}

7.   Nous savons que la limite de la suite (un ) est égale à 1520.
Or le classement de la zone en "réserve marine" ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de la réserve devient inférieur à 2000.
Puisque 1520 < 2000, la réserve marine fermera un jour.

Nous déterminerons l'année de fermeture en résolvant dans N, l'inéquation un < 2000.

u_n<2000\Longleftrightarrow1480\times0,95^n+1520<2000\\\phantom{u_n<2000}\Longleftrightarrow1480\times0,95^n<2000-1520 \\\phantom{u_n<2000}\Longleftrightarrow1480\times0,95^n<480 \\\phantom{u_n<2000}\Longleftrightarrow0,95^n<\dfrac{480}{1480} \\\\\phantom{u_n<2000}\Longleftrightarrow0,95^n<\dfrac{12}{37} \\\\\phantom{u_n<2000}\Longleftrightarrow\ln(0,95^n)<\ln(\dfrac{12}{37}) \\\\\phantom{u_n<2000}\Longleftrightarrow n\times\ln(0,95)<\ln(\dfrac{12}{37}) \\\\\phantom{u_n<2000}\Longleftrightarrow n>\dfrac{\ln(\dfrac{12}{37})}{\ln(0,95)}\ \ \ \ \text{(Changement de sens de l'inégalité car }\ln(0,95)<0) \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln(\dfrac{12}{37})}{\ln(0,95)}\approx21,95

Puisque n  est un nombre entier, la plus petite valeur de n  vérifiant l'inéquation est donc n  = 22.

2017 + 22 = 2039.

Par conséquent, la réserve marine fermera en 2039.

5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1.   Chaque année, 65% des possesseurs de la carte de pêche libre achètent de nouveau une carte de pêche libre l'année suivante et 45% des possesseurs de la carte de pêche avec quota achètent une carte de pêche libre l'année suivante.
Nous avons donc la relation suivante :  \ell_{n+1}=0,65\ell_n+0,45q_n.

On suppose dans l'énoncé que le nombre total de pêcheurs reste constant d'année en année.

Donc a contrario, chaque année, 35% des possesseurs de la carte de pêche libre achètent une carte de pêche avec quota l'année suivante et 55% des possesseurs de la carte de pêche avec quota achètent de nouveau une carte de pêche avec quota l'année suivante.
Nous avons donc la relation suivante :  q_{n+1}=0,35\ell_n+0,55q_n.

\text{D'où }\ \left\lbrace\begin{matrix}\ell_{n+1}=0,65\ell_n+0,45q_n\\ q_{n+1}=0,35\ell_n+0,55q_n\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\begin{pmatrix}\ell_{n+1}\\q_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,65&0,45\\0,35&0,55\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\ell_{n}\\q_{n}\end{pmatrix} \\\\\phantom{\text{D'où }\ \left\lbrace\begin{matrix}\ell_{n+1}=0,65\ell_n+0,45q_n\\ q_{n+1}=0,35\ell_n+0,55q_n\end{matrix}\right.} \Longleftrightarrow\boxed{P_{n+1}=MP_n}

2.   Nous devons déterminer la valeur de q 2.

P_2=MP_1\\\phantom{P_2}=MMP_0 \\\phantom{P_2}=M^2P_0\\\\\text{Or }\ M=\begin{pmatrix}0,65&0,45\\ 0,35&0,55\end{pmatrix}\Longrightarrow M^2=\begin{pmatrix}0,58&0,54\\ 0,42&0,46\end{pmatrix}\\\\ \text{D'où } P_2=\begin{pmatrix}0,58&0,54\\ 0,42&0,46\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,4\\ 0,6\end{pmatrix} \\\\\phantom{\text{D'où } P_2}=\begin{pmatrix}0,58\times0,4+0,54\times0,6\\0,42\times0,4+0,46\times0,6\end{pmatrix} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_2=\begin{pmatrix}0,556\\0,444\end{pmatrix}}

Nous en déduisons que q 2 = 0,444.

Par conséquent, la proportion de pêcheurs achetant une carte de pêche avec quota en 2019 est de 44,4%.

3. a.   Puisque  TQ=QT=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} , la matrice Q  est inversible.

De plus, la matrice inverse de Q est  \boxed{Q^{-1}=T=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{16}&\dfrac{1}{16}\\\\\dfrac{7}{16}&-\dfrac{9}{16}\end{pmatrix}}

3. b.   Par le logiciel, nous savons que D = TMQ.

D=TMQ\Longrightarrow{\red{Q}}D{\green{Q^{-1}}}={\red{Q}}TMQ{\green{Q^{-1}}}\\\\\phantom{D=TMQ}\Longrightarrow\boxed{QDQ^{-1}=(QT)M(QQ^{-1})}\\\\\text{Or, par le logiciel, }\ QT=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I\\\text{et }\ QQ^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I \\\\\text{Donc }\ QDQ^{-1}=IMI=M

Par conséquent,  \boxed{M=QDQ^{-1}}

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n non nul,  M^n=QD^nQ^{-1}.

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 1.

Montrons donc que  M^1=QD^1Q^{-1}

M^1=M\\\phantom{M^1}=QDQ^{-1}\ \ \ \ \ (\text{par la question 3. b.}) \\\phantom{M^1}=QD^1Q^{-1} \\\\\Longrightarrow\boxed{M^1=QD^1Q^{-1}}
La propriété est donc démontrée pour n  = 1.

Hérédité : Supposons que pour un entier naturel n non nul fixé la propriété soit vraie au rang n  et montrons qu'elle est encore vraie au rang n  + 1.

Supposons donc que pour un entier naturel n non nul fixé,  M^n=QD^nQ^{-1}.
Montrons que nous avons  M^{n+1}=QD^{n+1}Q^{-1}.

En effet,

M^{n+1}=M^n\times M\\\phantom{M^{n+1}}=QD^nQ^{-1}\times QDQ^{-1} \\\\\phantom{M^{n+1}}=QD^nQ^{-1}QDQ^{-1} \\\\\phantom{M^{n+1}}=QD^n(Q^{-1}Q)DQ^{-1} \\\\\phantom{M^{n+1}}=QD^nIDQ^{-1} \\\\\phantom{M^{n+1}}=QD^nDQ^{-1} \\\\\phantom{M^{n+1}}=QD^{n+1}Q^{-1}\\\\\Longrightarrow\boxed{M^{n+1}=QD^{n+1}Q^{-1}}

L'hérédité est donc démontrée.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons démontré par récurrence que pour tout entier naturel n non nul,  M^n=QD^nQ^{-1}.

4. a.  Nous avons montré dans la question 1. que pour tout entier n ,  P_{n+1}=MP_n.

Dès lors, la suite  (P_n)_{n\in\mathbb{N}}  est une suite géométrique de raison M et dont le premier terme est  P_0=\begin{pmatrix}0,4\\ 0,6\end{pmatrix} .

Par conséquent, l'écriture explicite du terme général de cette suite est Pn = MnP0 .

{\red{\text{4.b.}}}\ \ P_n=M^nP_0\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}\ell_n\\q_n\end{pmatrix}=\dfrac{1}{16}\begin{pmatrix}9+7\times0,2^n &9-9\times0,2^n \\7-7\times0,2^n & 7+9\times0,2^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,4\\0;6\end{pmatrix} \\\\\Longrightarrow\ell_n=\dfrac{1}{16}[(9+7\times0,2^n)\times0,4+(9-9\times0,2^n )\times0,6] \\\\\phantom{\Longrightarrow\ell_n}=\dfrac{1}{16}[3,6+2,8\times0,2^n+5,4-5,4\times0,2^n ] \\\\\phantom{\Longrightarrow\ell_n}=\dfrac{1}{16}(9-2,6\times0,2^n) \\\\\phantom{\Longrightarrow\ell_n}=\dfrac{1}{16}(9-\dfrac{13}{5}\times0,2^n) \\\\\phantom{\Longrightarrow\ell_n}=\dfrac{9}{16}-\dfrac{13}{80}\times0,2^n\\\\ \Longrightarrow\boxed{\ell_n=\dfrac{9}{16}-\dfrac{13}{80}\times0,2^n}

5.   Pour tout entier naturel n ,

\left\lbrace\begin{matrix}0,2^n>0\\\\ -\dfrac{13}{80}<0\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ -\dfrac{13}{80}\times0,2^n<0 \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}0,2^n>0\\ -\dfrac{13}{80}<0\end{matrix}\right.\ \ }\Longrightarrow\ \ \dfrac{9}{16}-\dfrac{13}{80}\times0,2^n<\dfrac{9}{16} \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}0,2^n>0\\ -\dfrac{13}{80}<0\end{matrix}\right.\ \ }\Longrightarrow\ \ \ell_n<\dfrac{9}{16}\\\\\text{Or }\ \dfrac{9}{16}=0,5625<0,60. \\\\\text{D'où }\ \ \boxed{\ell_n<0,60}

Par conséquent, la proportion de pêcheurs achetant la carte de pêche libre ne dépassera pas 60%.
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