Fiche de mathématiques
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Épreuve de Mathématiques (session de contrôle)

Section Mathématiques

Tunisie 2020

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COEFFICIENT : 4

DURÉE : 4 HEURES





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Bac Maths (contrôle) Tunisie 2020

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5 points

exercice 1

ABC est un triangle équilatéral direct de centre O.
I, J et K sont les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB].
Soit S la similitude directe de centre B et telle que S(J) = C.

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1.  Nous devons déterminer l'angle theta de la similitude S.

Puisque B est le centre de la similitude S et que S(J) = C, nous obtenons :  \theta=(\overrightarrow{BJ},\overrightarrow{BC}).
Nous savons que le triangle ABC est équilatéral et que J est le milieu de [AC].
Donc la médiane (BJ) est également la bissectrice de l'angle  (\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})
D'où  (\overrightarrow{BJ},\overrightarrow{BC})=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}) =\dfrac{1}{2}\times(-\dfrac{\pi}{3})\,[2\pi]=-\dfrac{\pi}{6}\,[2\pi]

Par conséquent, l'angle de la similitude S est  \boxed{\theta=-\dfrac{\pi}{6}\,[2\pi]}.

Nous devons déterminer le rapport k  de la similitude S.

Puisque B est le centre de la similitude S et que S(J) = C, nous obtenons :  k=\dfrac{BC}{BJ}.
Or le triangle BJC est rectangle en J puisque dans le triangle équilatéral ABC, la médiane (BJ) est également la médiatrice de [AC].

\text{Dès lors,  }\ \cos(\widehat{JBC})=\dfrac{BJ}{BC}\Longleftrightarrow\cos(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{1}{\dfrac{BC}{BJ}} \\\phantom{\text{Dès lors,  }\ \cos(\widehat{JBC})=\dfrac{BJ}{BC}}\Longleftrightarrow\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1}{k}\Longleftrightarrow k=\dfrac{2}{\sqrt{3}} \\\\\phantom{\text{Dès lors,  }\ \cos(\widehat{JBC})=\dfrac{BJ}{BC}}\Longleftrightarrow k=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}
Par conséquent, le rapport de la similitude S est  \boxed{k=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}.

2.  Soit (gammamaj) le cercle de diamètre [AB] et (gammamaj') le cercle circonscrit au triangle ABC.

2. a)  Nous devons montrer que S(K) = O.
Le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC est le point d'intersection des médiatrices des côtés de ce triangle.
Le point K est le milieu de [AB].
Donc (OK) est la médiatrice du segment [AB] et est donc perpendiculaire à (AB).
D'où le triangle OKB est rectangle en K.
De plus,   (\overrightarrow{BK},\overrightarrow{BO})=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{BK},\overrightarrow{BC}) =\dfrac{1}{2}\times(-\dfrac{\pi}{3})\,[2\pi]\Longrightarrow\boxed{ (\overrightarrow{BK},\overrightarrow{BO})=-\dfrac{\pi}{6}\,[2\pi]}

\text{Dès lors,  }\ \cos(\widehat{KBO})=\dfrac{BK}{BO}\Longleftrightarrow\cos(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{1}{\dfrac{BO}{BK}} \\\phantom{\text{Dès lors,  }\ \cos(\widehat{JBC})=\dfrac{BJ}{BC}}\Longleftrightarrow\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1}{\dfrac{BO}{BK}}\Longleftrightarrow \dfrac{BO}{BK}=\dfrac{2}{\sqrt{3}} \\\\\phantom{\text{Dès lors,  }\ \cos(\widehat{JBC})=\dfrac{BJ}{BC}}\Longleftrightarrow\boxed{\dfrac{BO}{BK}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}

Par conséquent,  \left\lbrace\begin{matrix} (\overrightarrow{BK},\overrightarrow{BO})=-\dfrac{\pi}{6}\,[2\pi]\\\dfrac{BO}{BK}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}=k\ \ \ \ \ \ \ \  \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{S(K)=O}

2. b)  [AB] est le diamètre du cercle (gammamaj).
Le centre de ce cercle (gammamaj) est alors le point K, milieu de [AB] et le rayon de ce cercle est r = BK.
Nous savons que l'image par la similitude S du cercle (gammamaj) de centre K est de rayon r est le cercle de rayon r' = kr et de centre S(K).

\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}S(K)=O\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ r'=k\times r= \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\times BK = BO\end{matrix}\right.
Il s'ensuit que l'image par la similitude S du cercle (gammamaj) est le cercle de rayon BO et de centre O, soit le cercle (gammamaj').
Par conséquent,  \overset{.}{\boxed{S(\Gamma )=\Gamma '}}

2. c)  Nous devons déterminer et construire le point A' = S(A).
S(A)=A', S(K)=O (voir question 2. a) et S(B)=B.
Or une similitude conserve le milieu et K est le milieu de [AB].
Donc le point O est le milieu de [A'B].
Par conséquent, le point A' est le symétrique du point A par rapport à O, déterminant ainsi le diamètre [A'B] du cercle (gammamaj').
(Voir la figure ci-dessus).

3.  La droite (OC) recoupe (gammamaj') en P et la droite (BP) recoupe (gammamaj) en Q.
On note S-1 l'application réciproque de S.

3. a)  S-1 est une similitude directe de centre B, de rapport  \dfrac{1}{k}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}  et d'angle  \dfrac{\pi}{6}.

3. b)  Nous devons montrer que S-1(A) = Q.

Déterminons d'abord  (\overrightarrow{BA}\,,\overrightarrow{BQ}).
(\overrightarrow{BA}\,,\overrightarrow{BQ})=(\overrightarrow{BA}\,,\overrightarrow{BP})\,[2\pi]  car le point P appartient au segment [BQ].

De plus  (\overrightarrow{BA}\,,\overrightarrow{BP})=(\overrightarrow{CA}\,,\overrightarrow{CP})\,[2\pi] car ces deux angles sont inscrits dans le cercle (gammamaj') et interceptent le même arc  \overset{\frown}{AP}.

Or  (\overrightarrow{CA}\,,\overrightarrow{CP})=\dfrac{\pi}{6}\,[2\pi]  car le triangle ABC est équilatéral et la droite (CP) est la bissectrice de l'angle  (\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}).
Par conséquent,  (\overrightarrow{BA}\,,\overrightarrow{BQ})=(\overrightarrow{BA}\,,\overrightarrow{BP})\,[2\pi]=(\overrightarrow{CA}\,,\overrightarrow{CP})\,[2\pi]=\dfrac{\pi}{6}\,[2\pi]\Longrightarrow\boxed{(\overrightarrow{BA}\,,\overrightarrow{BQ})=\dfrac{\pi}{6}\,[2\pi]}
Le triangle AQB est rectangle en Q car il est inscrit dans le cercle (gammamaj) et le côté [AB] est le diamètre de ce cercle.
Dès lors,  \dfrac{BQ}{BA}=\cos(\widehat{QBA})=\cos(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Longrightarrow\boxed{\dfrac{BQ}{BA}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}
Par conséquent,  \left\lbrace\begin{matrix}(\overrightarrow{BA}\,,\overrightarrow{BQ})=\dfrac{\pi}{6}\,[2\pi]\\\dfrac{BQ}{BA}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\boxed{S^{-1}(A)=Q}

3. c)  Montrons que le triangle BJQ est équilatéral.

Par définition de S, nous savons que S(J) = C.

D'où  \left\lbrace\begin{matrix}S^{-1}(A)=Q\\S^{-1}(B)=B\\S^{-1}(C)=J\end{matrix}\right.
Nous en déduisons que l'image par S-1 du triangle ABC est le triangle QBJ.
Or S-1 est une similitude et le triangle ABC est équilatéral.
Par conséquent, le triangle BJQ est un triangle équilatéral direct.

3. d)  Nous devons prouver que K est le milieu du segment [QI].
Montrons d'abord que le quadrilatère AQBI est un rectangle.

  Le triangle AQB est rectangle en Q car il est inscrit dans le cercle (gammamaj) et le côté [AB] est le diamètre de ce cercle.
Donc dans le quadrilatère AQBI, l'angle  \widehat{AQB}  est un angle droit.

  (\overrightarrow{BI}\,,\overrightarrow{BQ})=(\overrightarrow{BI}\,,\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{BA}\,,\overrightarrow{BQ})\ [2\pi]=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{6}\ [2\pi]=\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]
Donc dans le quadrilatère AQBI, l'angle  \widehat{QBI}  est un angle droit.

  Le triangle BIA est rectangle en I car il est inscrit dans le cercle (gammamaj) et le côté [AB] est le diamètre de ce cercle.
Donc dans le quadrilatère AQBI, l'angle  \widehat{BIA}  est un angle droit.

Or un quadrilatère ayant trois angles droits est un rectangle.
Par conséquent, le quadrilatère AQBI est un rectangle et les diagonales [AB] et [QI] se coupent en leur milieu K.
Nous en déduisons que K est le milieu du segment [QI].

4.  Soit  \overset{^.}{\sigma =S\circ S_{(AB)}}  où S(AB) est la symétrie orthogonale d'axe (AB).

4. a)  Nous devons montrer que sigma est une similitude indirecte.
Par définition, la similitude S est directe.
Une symétrie orthogonale est une similitude indirecte.
La composée d'une similitude directe et d'une similitude indirecte est une similitude indirecte.
D'où  \overset{^.}{\sigma =S\circ S_{(AB)}}  une similitude indirecte.

Eléments caractéristiques de sigma :

  centre :  Le centre de la similitude sigma est B car
 \overset{.}{\sigma(B)} =(S\circ S_{(AB)})(B)=S(S_{(AB)}(B))=S(B)=B\Longrightarrow\boxed{\sigma(B) =B}

  rapport : Le rapport ksigma de la similitude sigma est  \dfrac{2\sqrt{3}}{3} car
\left\lbrace\begin{matrix}\sigma =S\circ S_{(AB)}\\\text{le rapport de }S\text{ est }\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\\\text{le rapport de }S_{(AB)}\text{ est }1\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ k_{\sigma} =\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\times1\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{k_{\sigma} =\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}

  axe :  \sigma(A) =(S\circ S_{(AB)})(A)=S(S_{(AB)}(A))=S(A)=A'\Longrightarrow{\blue{\sigma(A) =A'}}

\left\lbrace\begin{matrix}\sigma(A) =A'\\\sigma(B) =B\end{matrix}\right. implique l'axe de la similitude sigma est la droite portant la bissectrice intérieure de  (\overrightarrow{BA}\,,\overrightarrow{BA'}).

4. b)  Nous devons déterminer sigma(Q).
Nous savons par la question 3. c) que le triangle BJQ est équilatéral.
De plus,  (\overrightarrow{BJ}\,,\overrightarrow{BA})=(\overrightarrow{BO}\,,\overrightarrow{BK})=\dfrac{\overset{.}{\pi}}{6}\,[2\pi]  et   (\overrightarrow{BA}\,,\overrightarrow{BQ})=\dfrac{\overset{.}{\pi}}{6}\,[2\pi]. 
D'où la droite (BA) est bissectrice de l'angle  (\overrightarrow{BJ}\,,\overrightarrow{BQ}) 
et par suite, la droite (AB) est la médiatrice du segment [QJ].
Nous en déduisons que  S_{(AB)}(Q)=J.

Dès lors,  \sigma(Q) =(S\circ S_{(AB)})(Q)=S(S_{(AB)}(Q))=S(J)=C\Longrightarrow\boxed{\sigma(Q) =C}

Nous devons déterminer sigma(J).
Nous avons montré dans la question précédente que  S_{(AB)}(Q)=J , soit que  S_{(AB)}(J)=Q.
De plus, par la question 3. b), nous savons que  S^{-1}(A)=Q , soit que  S(Q)=A.

D'où,  \sigma(J) =(S\circ S_{(AB)})(J)=S(S_{(AB)}(J))=S(Q)=A\Longrightarrow\boxed{\sigma(J) =A}

4. c)  La droite (IJ) coupe la droite (QB) en un point M.
Nous devons déterminer et construire le point M' = sigma(M).

Le point M est le point d'intersection des deux droites (IJ) et (QB).
D'où le point M' = sigma(M) sera la point d'intersection des images de ces droites par la similitude sigma.

\text{Or }\ \sigma(I)=S_{AB}(S(I))=S_{AB}(O)=P\Longrightarrow\sigma(I)=P \\\phantom{\text{Or }\ }\sigma(J)=A\ \ \ (\text{voir question 4. a}) \\\\\Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}\sigma(I)=P\\\sigma(J)=A\end{matrix}\right.}
Donc l'image par sigma de la droite (IJ) est la droite (AP).

\text{De plus }\ \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}\sigma(Q)=C\\\sigma(B)=B\end{matrix}\right.}\ \ \ (\text{voir question 4. a})
Donc l'image par sigma de la droite (QB) est la droite (BC).

Par conséquent, le point M' est le point d'intersection des droites (AP) et (BC).

Construction ci-dessous :

Bac MathsTunisie 2020 : image 11


4 points

exercice 2

Soit k  appartient N* et r  le reste modulo 7 de k .

1.  Déterminons les restes modulo 7 de k 3.

 k\equiv0\,\text{ (mod 7)}\Longrightarrow k^3\equiv0^3\,\text{ (mod 7)} \\\phantom{k\equiv0\,\text{ (mod 7)}}\Longrightarrow k^3\equiv0\,\text{ (mod 7)} \\\\k\equiv1\,\text{ (mod 7)}\Longrightarrow k^3\equiv1^3\,\text{ (mod 7)} \\\phantom{k\equiv0\,\text{ (mod 7)}}\Longrightarrow k^3\equiv1\,\text{ (mod 7)} \\\\k\equiv2\,\text{ (mod 7)}\Longrightarrow k^3\equiv2^3\,\text{ (mod 7)} \\\phantom{k\equiv0\,\text{ (mod 7)}}\Longrightarrow k^3\equiv8\,\text{ (mod 7)} \\\phantom{k\equiv0\,\text{ (mod 7)}}\Longrightarrow k^3\equiv1\,\text{ (mod 7)}\ \ \ (\text{car }8=1\times7+1)
k\equiv3\,\text{ (mod 7)}\Longrightarrow k^3\equiv3^3\,\text{ (mod 7)} \\\phantom{k\equiv0\,\text{ (mod 7)}}\Longrightarrow k^3\equiv27\,\text{ (mod 7)} \\\phantom{k\equiv0\,\text{ (mod 7)}}\Longrightarrow k^3\equiv6\,\text{ (mod 7)}\ \ \ (\text{car }27=3\times7+6) \\\\k\equiv4\,\text{ (mod 7)}\Longrightarrow k^3\equiv4^3\,\text{ (mod 7)} \\\phantom{k\equiv0\,\text{ (mod 7)}}\Longrightarrow k^3\equiv64\,\text{ (mod 7)} \\\phantom{k\equiv0\,\text{ (mod 7)}}\Longrightarrow k^3\equiv1\,\text{ (mod 7)}\ \ \ (\text{car }64=9\times7+1) \\\\k\equiv5\,\text{ (mod 7)}\Longrightarrow k^3\equiv5^3\,\text{ (mod 7)} \\\phantom{k\equiv0\,\text{ (mod 7)}}\Longrightarrow k^3\equiv125\,\text{ (mod 7)} \\\phantom{k\equiv0\,\text{ (mod 7)}}\Longrightarrow k^3\equiv1\,\text{ (mod 7)}\ \ \ (\text{car }125=17\times7+6)
k\equiv6\,\text{ (mod 7)}\Longrightarrow k^3\equiv6^3\,\text{ (mod 7)} \\\phantom{k\equiv0\,\text{ (mod 7)}}\Longrightarrow k^3\equiv216\,\text{ (mod 7)} \\\phantom{k\equiv0\,\text{ (mod 7)}}\Longrightarrow k^3\equiv6\,\text{ (mod 7)}\ \ \ (\text{car }216=30\times7+6)

Tableau résumé des résultats :

\begin{array}{|c||>{\columncolor{red}}c||>{\columncolor{green}}c||>{\columncolor{green}}c||>{\columncolor{yellow}}c||>{\columncolor{green}}c||>{\columncolor{yellow}}c||>{\columncolor{yellow}}c|}\hline&&&&&&&& r:\text{reste modulo 7 de }k&0&1&2&3&4&5&6\\&&&&&&& \\\hline&&&&&&&& \text{reste modulo 7 de }k^3&0&1&1&6&1&6&6\\&&&&&&&\\\hline \end{array}

Par conséquent, \left\lbrace\begin{matrix}k^3\equiv1\,\text{ (mod 7)}\Longleftrightarrow r\in\lbrace1,2,4\rbrace \\k^3\equiv6\,\text{ (mod 7)}\Longleftrightarrow r\in\lbrace3,5,6\rbrace \\k^3\equiv0\,\text{ (mod 7)}\Longleftrightarrow r=0\ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

2.  Soit (x ,y ) appartient N*multiplieN*.

\left\lbrace\begin{matrix}x^3\equiv0\ (\text{mod 7)}\\y^3\equiv0\ (\text{mod 7)}\end{matrix}\right.\Longrightarrow x^3+y^3\equiv{\red{0}}\ (\text{mod 7)} \\\left\lbrace\begin{matrix}x^3\equiv0\ (\text{mod 7)}\\y^3\equiv1\ (\text{mod 7)}\end{matrix}\right.\Longrightarrow x^3+y^3\equiv{\red{1}}\ (\text{mod 7)} \\\left\lbrace\begin{matrix}x^3\equiv0\ (\text{mod 7)}\\y^3\equiv6\ (\text{mod 7)}\end{matrix}\right.\Longrightarrow x^3+y^3\equiv{\red{6}}\ (\text{mod 7)}

\left\lbrace\begin{matrix}x^3\equiv1\ (\text{mod 7)}\\y^3\equiv0\ (\text{mod 7)}\end{matrix}\right.\Longrightarrow x^3+y^3\equiv{\red{1}}\ (\text{mod 7)} \\\left\lbrace\begin{matrix}x^3\equiv1\ (\text{mod 7)}\\y^3\equiv1\ (\text{mod 7)}\end{matrix}\right.\Longrightarrow x^3+y^3\equiv{\red{2}}\ (\text{mod 7)} \\\left\lbrace\begin{matrix}x^3\equiv1\ (\text{mod 7)}\\y^3\equiv6\ (\text{mod 7)}\end{matrix}\right.\Longrightarrow x^3+y^3\equiv7\ (\text{mod 7)}\Longrightarrow x^3+y^3\equiv{\red{0}}\ (\text{mod 7)}

\left\lbrace\begin{matrix}x^3\equiv6\ (\text{mod 7)}\\y^3\equiv0\ (\text{mod 7)}\end{matrix}\right.\Longrightarrow x^3+y^3\equiv{\red{6}}\ (\text{mod 7)} \\\left\lbrace\begin{matrix}x^3\equiv6\ (\text{mod 7)}\\y^3\equiv1\ (\text{mod 7)}\end{matrix}\right.\Longrightarrow x^3+y^3\equiv7\ (\text{mod 7)}\Longrightarrow x^3+y^3\equiv{\red{0}}\ (\text{mod 7)} \\\left\lbrace\begin{matrix}x^3\equiv6\ (\text{mod 7)}\\y^3\equiv6\ (\text{mod 7)}\end{matrix}\right.\Longrightarrow x^3+y^3\equiv12\ (\text{mod 7)}\Longrightarrow x^3+y^3\equiv{\red{5}}\ (\text{mod 7)}
Par conséquent, les restes possibles modulo 7 de x 3 + y 3 sont 0, 1, 2, 5 et 6.

3.  Pour tout a  appartient N*, on désigne par  E_a=\lbrace(x,y)\in,\N^*\times \N^*,\ x^3+y^3=a\rbrace.

Les valeurs 3 et 4 n'apparaissent pas dans les restes possibles modulo 7 de x 3 + y 3.
Dès lors, les équations x 3 + x 3 = 3(mod 7) et x 3 + x 3 = 4(mod 7) n'admettent pas de solution dans N*multiplieN*.

4. a)   (x,y)\in E_{9990}\Longleftrightarrow(x,y)\in\N^*\times\N^*, x^3+y^3=9990.
Or 9990 = 1427 multiplie 7 + 1.
Donc  x^3+y^3\equiv1\ (\text{mod 7}).
Nous en déduisons que  x^3\equiv0\ (\text{mod 7})\ \ \text{ou}\ \ y^3\equiv0\ (\text{mod 7}) , soit que  \boxed{x\equiv0\ (\text{mod 7})\ \ \text{ou}\ \ y\equiv0\ (\text{mod 7})}.

4. b)  Par la question précédente, nous savons que  x\equiv0\ (\text{mod 7})\ \ \text{ou}\ \ y\equiv0\ (\text{mod 7}).
  Premier cas :  x\equiv0\ (\text{mod 7}).
x  est alors un entier naturel non nul multiple de 7.

Si x  = 7, alors x 3 = 343 et y 3 = 9990 - x 3 = 9990 - 343 = 9647.
Dans ce cas,  y=\sqrt[3]{9647}\approx21,3\notin\N^*.
D'où x  different 7.

Si x  = 14, alors x 3 = 2744 et y 3 = 9990 - x 3 = 9990 - 2744 = 7246.
Dans ce cas,  y=\sqrt[3]{7246}\approx19,35\notin\N^*.
D'où x  different 14.

Si x  = 21, alors x 3 = 9261 et y 3 = 9990 - x 3 = 9990 - 9261 = 729.
Dans ce cas,  y=\sqrt[3]{729}=9\in\N^*.
D'où x  = 21 et y  = 9.

Si x  = 28, alors x 3 = 21952 et y 3 = 9990 - x 3 = 9990 - 21952 = -11962 < 0.
Dès lors, les entiers naturels non nuls multiples de 7 strictement supérieurs à 21 sont à rejeter.

  Second cas :  y\equiv0\ (\text{mod 7}).
y  est alors un entier naturel non nul multiple de 7.
Une démarche analogue au premier cas nous permet de conclure que y  = 21 et x  = 9.

Par conséquent,  \boxed{E_{9990}=\lbrace(21,9);(9,21)\rbrace}

5 points

exercice 3

1. a)  Etablissons l'arbre de probabilité correspondant à l'expérience.

Calculs préalables.
Si la première boule tirée de l'urne U1 est blanche, on la remet dans l'urne U1 et on tire simultanément deux boules de U2.
Il y a équiprobabilité puisque toutes les boules sont indiscernables au toucher.
Le nombre de tirages possibles de deux boules est égal au nombre de combinaisons de 2 éléments parmi 4, soit  \begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}=\dfrac{4!}{2!\,2!}=\dfrac{24}{4}=6.
Au deuxième tirage, l'urne U2 contient une boule noire et trois boules blanches.
Calculons dans ce cas la probabilité de l'événement B, soit la probabilité de tirer deux boules blanches de l'urne U2.
Le nombre de tirages de deux boules blanches de l'urne U2 est égal au nombre de combinaisons de 2 éléments parmi 3, soit  \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\dfrac{3!}{2!\,1!}=\dfrac{6}{2}=3.
Donc, si la première boule tirée de l'urne U1 est blanche, alors  p(B)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.
Dans la même situation, nous remarquons que l'événement D est le contraire de l'événements B.
Dès lors,  p(D)=1-p(B)=1-\dfrac{1}{2}\Longrightarrow p(D)=\dfrac{1}{2}
Donc, si la première boule tirée de l'urne U1 est blanche, alors  p(D)=\dfrac{1}{2}.

Si la première boule tirée de l'urne U1 est noire, on la met dans l'urne U2 et on tire simultanément deux boules de U2.
Au deuxième tirage, l'urne U2 contient deux boules noires et trois boules blanches.
Le nombre de tirages de deux boules blanches de l'urne U2 est égal au nombre de combinaisons de 2 éléments parmi 5, soit  \begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}=\dfrac{5!}{2!\,3!}=\dfrac{120}{12}=10.
Calculons dans ce cas la probabilité de l'événement B, soit la probabilité de tirer deux boules blanches de l'urne U2.
Le nombre de tirages de deux boules blanches de l'urne U2 est égal au nombre de combinaisons de 2 éléments parmi 3, soit  \begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\dfrac{3!}{2!\,1!}=\dfrac{6}{2}=3.
Donc, si la première boule tirée de l'urne U1 est noire, alors  p(B)=\dfrac{3}{10}.
Calculons la probabilité de l'événement C, soit la probabilité de tirer deux boules noires de l'urne U2.
Le nombre de tirages de deux boules noires de l'urne U2 est égal au nombre de combinaisons de 2 éléments parmi 2, soit  \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}=1.
Donc, si la première boule tirée de l'urne U1 est noire, alors  p(C)=\dfrac{1}{10}.
Enfin, si la première boule tirée de l'urne U1 est noire, l'arbre ébauché dans l'énoncé montre que  p(D)=0,6 = \dfrac{6}{10}.
Nous obtenons ainsi l'arbre complété :

Bac MathsTunisie 2020 : image 9


1. b)  Nous devons déterminer p(B) et p(D).

En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B) =p(A)\times p_A(B)+p(\overline{A})\times p_{\overline{A}}(B) \\\\\phantom{p(B)}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{10}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{20}=\dfrac{5}{20}+\dfrac{3}{20}=\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5} \\\\\Longrightarrow\boxed{p(B)=\dfrac{2}{5}}

p(D)=p(A\cap D)+p(\overline{A}\cap D) =p(A)\times p_A(D)+p(\overline{A})\times p_{\overline{A}}(D) \\\\\phantom{p(D)}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{6}{10}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{6}{20}=\dfrac{5}{20}+\dfrac{6}{20}=\dfrac{11}{20} \\\\\Longrightarrow\boxed{p(D)=\dfrac{11}{20}}

1. c)  Pour qu'il ne reste aucune boule noire dans l'urne U2 après les tirages des deux boules, deux cas sont à envisager :

  Premier cas : La première boule tirée de l'urne U1 est blanche et les deux boules tirées de urne U2 sont noires.
Ce cas correspond à l'événement  A\cap D.

  Second cas : La première boule tirée de l'urne U1 est noire et les deux boules tirées de urne U2 sont noires.
Ce cas correspond à l'événement  \overline{A}\cap C.

Donc la probabilité qu'il ne reste aucune boule noire dans l'urne U2 est donnée par :  p(A\cap D)+p(\overline{A}\cap C).
\text{Or }\ p(A\cap D)+p(\overline{A}\cap C)=p(A)\times p_{A}(D)+p(\overline{A})\times p_{\overline{A}}(C) \\\\\phantom{\text{Or }\ p(A\cap D)+p(\overline{A}\cap C)}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{10} \\\\\phantom{\text{Or }\ p(A\cap D)+p(\overline{A}\cap C)}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{20}=\dfrac{5}{20}+\dfrac{1}{20}=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10} \\\\\Longrightarrow\boxed{p(A\cap D)+p(\overline{A}\cap C)=\dfrac{3}{10}}
D'où la probabilité qu'il ne reste aucune boule noire dans l'urne U2 est égale à  \dfrac{3}{10}.

2.  Soit X  la variable aléatoire ayant pour valeur le nombre de boules noires restantes dans U2.

2. a)  Les valeurs possibles prises par X  sont 0, 1 et 2.

p(X=0)=\dfrac{3}{10}  (voir question 1. c).

p(X=1)=\dfrac{11}{20}  (voir question 1. b).
p(X=2)=p(\overline{A}\cap B)=p(\overline{A})\times p_{\overline{A}}(B)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{10}\Longrightarrow p(X=2)=\dfrac{3}{20}

Tableau résumant la loi de probabilité de X  :

\begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|}\hline&&&&&&&&&& x_i&&0&&&1&&&2&\\&&&&&&&&& \\\hline&&&&&&&&&& p(X=x_i)&&\dfrac{3}{10}&&&\dfrac{11}{20}&&&\dfrac{3}{20}&\\&&&&&&&&&\\\hline \end{array}

2. b)  Nous devons déterminer p(X supegal 1).

p(X\ge1)=p(X=1)+p(X=2)=\dfrac{11}{20}+\dfrac{3}{20}=\dfrac{14}{20}=\dfrac{7}{10}.
Par conséquent, la probabilité qu'il reste au moins une boule noire dans U2 est égale à  \dfrac{7}{10}.

3.  L'expérience des tirages est répétée n  fois de manière indépendante.
Pour que l'événement Fn se réalise, il faut qu'il ne reste aucune boule noire dans U2 pour les (n -1) premières épreuves, soit que X = 0 pour les (n -1) premières épreuves.
Il faut ensuite qu'il reste au moins une boule noire à la n ième épreuve, soit que X supegal 1 lors de la n ième épreuve.

Puisque les n  épreuves sont indépendantes, nous obtenons :

p_n=p(X=0)^{n-1}\times p(X\ge1)=\left(\dfrac{3}{10}\right)^{n-1}\times\dfrac{7}{10}\Longrightarrow\boxed{p_n=\dfrac{7\times3^{n-1}}{10^{n}}}

6 points

exercice 4

Soit f  la fonction définie sur ]-1 ; +infini[ par  f(x)=\dfrac{x\ln(1+x)}{1+x}.

Partie A

1. a)  Nous devons montrer que  \lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=+\infty.

f(x)=\dfrac{x\ln(1+x)}{1+x}\Longleftrightarrow f(x)=x\times \dfrac{1}{1+x}\times\ln(1+x) \\\\\text{Soit }\ t=1+x,\ \text{alors }(x\to-1^+\Longleftrightarrow t\to0^+) \\\\\text{D'où }\ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-1^+}x=-1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\lim\limits_{x\to-1^+}\dfrac{1}{1+x}=\lim\limits_{t\to0^+}\dfrac{1}{t}=+\infty\\\\\lim\limits_{x\to-1^+}\ln(1+x)=\lim\limits_{t\to0^+}\ln t=-\infty\end{matrix}\right.\\\\\Longrightarrow \ \lim\limits_{x\to-1^+}\left[x\times \dfrac{1}{1+x}\times\ln(1+x)\right]=+\infty \\\\\Longrightarrow \ \boxed{\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)=+\infty}
Par conséquent, la droite d'équation : x  = -1 est une asymptote verticale à la courbe  \mathscr{C} .

1. b)  Nous devons montrer que  \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

f(x)=\dfrac{x\ln(1+x)}{1+x}\Longleftrightarrow f(x)=\dfrac{x}{1+x}\times\ln(1+x) \\\\\text{Soit }\ t=1+x,\ \text{alors }(x\to+\infty\Longleftrightarrow t\to+\infty) \\\\\text{D'où }\ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{1+x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}1=1\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(1+x)=\lim\limits_{t\to+\infty}\ln t=+\infty\end{matrix}\right.\\\\\Longrightarrow \ \lim\limits_{x\to+\infty}\left[\dfrac{x}{1+x}\times\ln(1+x)\right]=+\infty \\\\\Longrightarrow \ \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}

Nous devons montrer que  \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0.

f(x)=\dfrac{x\ln(1+x)}{1+x}\Longrightarrow \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{\ln(1+x)}{1+x} \\\\\text{Soit }\ t=1+x,\ \text{alors }(x\to+\infty\Longleftrightarrow t\to+\infty) \\\\\text{D'où }\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{f(x)}{x}= \lim\limits_{t\to+\infty} \dfrac{\ln t}{t}=0\ \ \ \ (\text{par les croissances comparées}) \\\\\Longrightarrow \ \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0}

Puisque  \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty  et  \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0 , la courbe (C) admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de +infini.

2. a)    La fonction définie par  x\mapsto\dfrac{x}{1+x}  est une fonction rationnelle dérivable sur ]-infini ; -1[ union ]-1 ; +infini[ et en particulier dérivable sur ]-1 ; +infini[.
  La fonction définie par  x\mapsto\ln(1+x)  est la composée de la fonction définie par  x\mapsto 1+x  dérivable sur R et en particulier sur ]-1 ; +infini[ et de la fonction logarithme népérien dérivable sur f(]-1 ; +infini[) = ]0 ; +infini[.
Donc la fonction définie par  x\mapsto\ln(1+x)  est dérivable sur ]-1 ; +infini[.
  La fonction f  est le produit de ces fonctions  x\mapsto\dfrac{x}{1+x}  et  x\mapsto\ln(1+x)  dérivables sur ]-1 ; +infini[.
Par conséquent, la fonction f  est dérivable sur ]-1 ; +infini[.

2. b)  Déterminons l'expression algébrique de f' (x ).

f'(x)=\dfrac{[x\ln(1+x)]'\times(1+x)-x\ln(1+x)\times(1+x)'}{(1+x)^2} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{[x'\times\ln(1+x)+x\times(\ln(1+x))']\times(1+x)-x\ln(1+x)\times1}{(1+x)^2} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{\left[1\times\ln(1+x)+x\times(\dfrac{1}{1+x})\right]\times(1+x)-x\ln(1+x)}{(1+x)^2} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{\left[\ln(1+x)+\dfrac{x}{1+x}\right]\times(1+x)-x\ln(1+x)}{(1+x)^2} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{(1+x)\ln(1+x)+x-x\ln(1+x)}{(1+x)^2} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{\ln(1+x)+x\ln(1+x)+x-x\ln(1+x)}{(1+x)^2} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{x+\ln(1+x)}{(1+x)^2}

\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{x+\ln(1+x)}{(1+x)^2}\ \ \ \ \ (x>-1)}

2. c)  Nous devons montrer que  x+\ln(1+x)>0\Longleftrightarrow x>0.
Soit la fonction g  définie que l'intervalle ]-1 ; +infini[ par  g(x)=x+\ln(1+x).
La fonction g  est dérivable sur ]-1 ; +infini[.

g'(x)=1+\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{1+x+1}{1+x}=\dfrac{2+x}{1+x} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in\,]-1\,;\,+\infty[,\ \ g'(x)=\dfrac{x+2}{x+1}} \\\\x\in\,]-1\,;\,+\infty[\ \ \Longrightarrow\ \ \left\lbrace\begin{matrix}x+2>0\\x+1>0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{x\in\,]-1\,;\,+\infty[}\ \ \Longrightarrow\ \ \dfrac{x+2}{x+1}>0 \\\\\phantom{x\in\,]-1\,;\,+\infty[}\ \ \Longrightarrow\ \ \boxed{g'(x)>0}
Nous en déduisons que la fonction g est strictement croissante sur ]-1 ; +infini[.

\text{Or } \lim\limits_{x\to-1^+}g(x)=\lim\limits_{x\to-1^+}[x+\ln(1+x)]=-1-\infty=-\infty\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to-1^+}g(x)=-\infty} \\\\\phantom{\text{Or }}g(0)=0+\ln1=0\Longrightarrow\boxed{g(0)=0} \\\\\phantom{\text{Or }}\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}[x+\ln(1+x)]=+\infty+\infty=+\infty\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty}

Nous obtenons ainsi le tableau de variations de la fonction g  sur ]-1 ; +infini[ :

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-1&&0&&+\infty\\&&&&&\\\hline &&&&&&g'(x)&&+&+&+&\\&&&&&\\\hline &&&&&+\infty \\ g(x)&&\nearrow&0&\nearrow& \\ &-\infty&&&& \\ \hline \end{array}

Nous déduisons de ce tableau que  \left\lbrace\begin{matrix}g(x)>0\Longleftrightarrow x>0\\g(x)<0\Longleftrightarrow -1<x<0\end{matrix}\right. , soit que  \left\lbrace\begin{matrix}x+\ln(1+x)>0\Longleftrightarrow x>0\ \ \ \ \ \ \ \\x+\ln(1+x)<0\Longleftrightarrow -1<x<0\end{matrix}\right.

2. d)  Etudions le signe de la dérivée  f'(x)}=\dfrac{x+\ln(1+x)}{(1+x)^2}  et les variations de f .
Nous savons que (1 + x )2 > 0 pour tout x  appartient ]-1 ; +infini[.
D'où le signe de f' (x ) est le signe de  x+\ln(1+x) (voir question précédente).
Par conséquent, le tableau de variation de f  est donné par :

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-1&&0&&+\infty\\&&&&&\\\hline &&&&&&f'(x)&||&-&0&+&\\&&&&&\\\hline &+\infty&&&&+\infty \\ f(x)&||&\searrow&0&\nearrow& \\ &&&&& \\ \hline \end{array}

2. e)  Représentation graphique de la courbe  \mathscr{C} .

Bac MathsTunisie 2020 : image 13


Partie B

Soit G  la fonction définie sur [1 ; +infini[ par  G(x)=\int\limits_1^x\dfrac{f(t)}{t}\,\text{d}t.

Pour tout entier n  supegal 1, on pose  V_n=\int\limits_1^{\frac{n+1}{n}}f(t^n)\,\text{d}t

Soit Fn  la fonction définie que [1 ; +infini[ par  F_n(x)=\int\limits_1^{x^n}\,\dfrac{f(t)}{t}\,\sqrt[n]{t}\ \text{d}t.

1.  Par définition de f , nous savons que  f(t)=\dfrac{t\,\ln(1+t)}{1+t}\Longrightarrow\dfrac{f(t)}{t}=\dfrac{\ln(1+t)}{1+t} \text{D'où }\ G(x)=\int\limits_1^x\dfrac{f(t)}{t}\,\text{d}t=\int\limits_1^x\dfrac{\ln(1+t)}{1+t}\,\text{d}t \\\\\phantom{\text{D'où }\ G(x)}=\int\limits_1^x\dfrac{1}{1+t}\times\ln(1+t)\,\text{d}t=\int\limits_1^x(\ln(1+t))'\times\ln(1+t)\,\text{d}t \\\\\phantom{\text{D'où }\ G(x)}=\left[\dfrac{\ln^2(1+t)}{2}\right]\limits_1^x=\dfrac{\ln^2(1+x)}{2}-\dfrac{\ln^2(1+1)}{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\ge1, \ \ G(x)=\dfrac{1}{2}\ln^2(1+x)-\dfrac{1}{2}\ln^2(2)}

2.  Nous avons montré que  \dfrac{f(t)}{t}=\dfrac{\ln(1+t)}{1+t}. t\ge1\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\ln(1+t)\ge\ln(1+1)\ \ \ (\text{car la fonction }\ln\text{ est strictement croissante sur }\R _+^*)\\ 1+t>0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \\\\\phantom{t\ge1}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\ln(1+t)\ge\ln(2)\\ 1+t>0\ \ \ \  \end{matrix}\right. \\\\\phantom{t\ge1}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\ln(1+t)>0\\ 1+t>0\ \ \ \  \end{matrix}\right. \\\\\phantom{t\ge1}\Longrightarrow\dfrac{\ln(1+t)}{1+t}>0 \\\\\phantom{t\ge1}\Longrightarrow\boxed{\dfrac{f(t)}{t}>0}

Donc,

\forall\ x\ge1,\ \ 1\le t\le x^n\ \ \Longrightarrow\ \ 1\le \sqrt[n]{t}\le \sqrt[n]{x^n} \\\phantom{\forall\ x\ge1,\ \ 1\le t\le x^n}\ \ \Longrightarrow\ \ 1\le \sqrt[n]{t}\le x \\\\\phantom{\forall\ x\ge1,\ \ 1\le t\le x^n}\ \ \Longrightarrow\ \ \dfrac{f(t)}{t}\le \dfrac{f(t)}{t}\times\sqrt[n]{t}\le x\times\dfrac{f(t)}{t}\ \ \ \ \ \ (\text{car }\dfrac{f(t)}{t}>0) \\\\\phantom{\forall\ x\ge1,\ \ 1\le t\le x^n}\ \ \Longrightarrow\ \ \int\limits_1^{x^n}\dfrac{f(t)}{t}\,\text{d}t\le \int\limits_1^{x^n}\dfrac{f(t)}{t}\,\sqrt[n]{t}\,\text{d}t\le x\times\int\limits_1^{x^n}\dfrac{f(t)}{t}\,\text{d}t \\\\\phantom{\forall\ x\ge1,\ \ 1\le t\le x^n}\ \ \Longrightarrow\ \ G(x^n)\le F_n(x)\le x\times G(x^n) \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\ge1,\ \ G(x^n)\le F_n(x)\le x\, G(x^n)}

3.  Montrons que Fn  est dérivable sur [1 ; +infini[.

Soit la fonction h  définie sur [1 ; +infini[ par  h(t)=\dfrac{f(t)}{t}\times\sqrt[n]{t}. 
  La fonction f  est dérivable sur ]-1 ; +infini[ (voir question 2. a).
Donc la fonction f  est continue sur ]-1 ; +infini[ et en particulier sur [1 ; +infini[.
  La fonction définie sur [1 ; +infini[ par  t\mapsto t  est continue sur [1 ; +infini[ et ne s'annule pas sur [1 ; +infini[.
  La fonction définie sur [1 ; +infini[ par  t\mapsto \sqrt[n]{t}  est continue sur [1 ; +infini[.

Dès lors, la fonction h  est continue sur [1 ; +infini[.
Nous en déduisons que la fonction Fn  est la primitive de la fonction h  qui s'annule en 1.
Par conséquent, la fonction Fn  est dérivable sur [1 ; +infini[.

F'_n(x)=\dfrac{f(x^n)}{x^n}\times\sqrt[n]{x^n}\times(x^n)' =\dfrac{f(x^n)}{x^n}\times x\times(n\,x^{n-1}) =\dfrac{f(x^n)}{x^n}\times n\times x^{n} =n\times f(x^n) \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall x\ge1,\ \ F'_n(x)=n\times f(x^n)}

4.  Pour tout entier n supegal1,

n\ V_n=n\times \int\limits_1^{\frac{n+1}{n}}f(t^n)\,\text{d}t \\\phantom{n\ V_n}= \int\limits_1^{\frac{n+1}{n}}n\times f(t^n)\,\text{d}t \\\phantom{n\ V_n}= \int\limits_1^{\frac{n+1}{n}}F'_n(t)\,\text{d}t\ \ \ \ (\text{voir question 3.)} \\\phantom{n\ V_n}= \left[\overset{}{F_n(t)}\right]\limits_1^{\frac{n+1}{n}} =F_n(\frac{n+1}{n})-F_n(1)=F_n(\frac{n+1}{n})-0 =F_n(\frac{n+1}{n}) \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ n\ge1,\ \ n\ V_n=F_n\left(\frac{n+1}{n}\right)}

5. a)  Pour tout entier n supegal1,  G(x^n)\le F_n(x)\le x\, G(x^n)\ \ \ \ (\text{voir question 2}).

Remplaçons x  par  \dfrac{n+1}{n}  en sachant que  \dfrac{n+1}{n}=1+\dfrac{1}{n}>1

G\left(\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n\right)\le F_n\left(\dfrac{n+1}{n}\right)\le \left(\dfrac{n+1}{n}\right)\, G\left(\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n\right)

Or, par la question 4., nous savons que  \forall\ n\ge1,\ \ n\ V_n=F_n\left(\frac{n+1}{n}\right).

Par conséquent,  \boxed{\forall\ n\ge1,\ \ G\left(\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n\right)\le n\ V_n\le \left(\dfrac{n+1}{n}\right)\, G\left(\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n\right)}

{\red{5.\ \text{b) }}}\ \left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n=\text{e}^{\ln\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n}=\text{e}^{n\,\ln\left(\dfrac{n+1}{n}\right)}=\text{e}^{n\,\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n=\text{e}^{n\,\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}}

Nous devons en déduire que  \lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n=\text{e}.

\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to+\infty}\text{e}^{n\,\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)} \\\\\phantom{\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\text{e}^{\dfrac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\dfrac{1}{n}}}\ \ \ \ \ \ \ \ (\text{car }n=\dfrac{1}{\frac{1}{n}}) \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n=\text{e}^{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\dfrac{1}{n}}}}

Posons  h=\dfrac{1}{n}.
Si n  tend vers +infini, alors h  tend vers 0+.
D'où,  \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\dfrac{1}{n}}=\lim\limits_{h\to0^+}\dfrac{\ln(1+h)}{h}=\lim\limits_{h\to0^+}\dfrac{\ln(1+h)-\ln(1)}{h}.

Si L est la fonction définie sur ]0 ; +infini[ par  L(x)=\ln(x) , alors  \lim\limits_{h\to0^+}\dfrac{\ln(1+h)-\ln1}{h}=F'(1).
De plus,  F(x)=\ln (x)\Longrightarrow F'(x)=\dfrac{1}{x}\Longrightarrow F'(1)=1

En résumé,  \lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\dfrac{1}{n}}=\lim\limits_{h\to0^+}\dfrac{\ln(1+h)-\ln1}{h} =F'(1)=1\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\dfrac{1}{n}}=1}

Par conséquent,  \lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n=\text{e}^{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\dfrac{1}{n}}}=\text{e}^1=\text{e}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n=\text{e}}

5. c)  En utilisant la question 5. a), nous obtenons :

\lim\limits_{n\to+\infty}G\left(\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n\right)\le \lim\limits_{n\to+\infty}(n\ V_n)\le \lim\limits_{n\to+\infty}[\left(\dfrac{n+1}{n}\right)\, G\left(\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n\right)] \\\\\lim\limits_{n\to+\infty}G\left(\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n\right)\le \lim\limits_{n\to+\infty}(n\ V_n)\le \lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)\times \lim\limits_{n\to+\infty}G\left(\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n\right)] \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{n\to+\infty}G\left(\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n\right)=G\left(\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n\right)=G(\etxt{e})\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=1+\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{n}\right)=1+0=1\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\ G(\text{e})\le \lim\limits_{n\to+\infty}(n\ V_n)\le1\times G(\text{e}) \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}(n\ V_n)=G(\text{e})}

Il s'ensuit que  \lim\limits_{n\to+\infty}V_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\left[\dfrac{1}{n}\times (nV_n)\right]=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}\times \lim\limits_{n\to+\infty}(nV_n)=0\times G(\text{e})=0.

Par conséquent,  \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}V_n=0}\ .
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