Bac STI2D et STL spé SPCL Polynésie Remplacement 2018
4 points exercice 1
Moyennant la précision due à une lecture graphique, nous en déduisons que
le seul point représentant z + z' est le point B.
Posons
u (
x ) = 2
x + 1.
Sachant que
u' (
x ) = 2, nous en déduisons que
Or une primitive de la fonction
f définie sur l'intervalle
par
est la fonction
F définie sur l'intervalle
par
Par conséquent,
une primitive de la fonction f définie sur est la fonction F définie sur par
Les fonctions
f et
g sont continues dans l'intervalle [-1 ; 3] et sont telles que
g (
x )
f (
x ) pour tout
x dans l'intervalle [-1 ; 3].
L'aire du domaine grisé délimité par ces deux courbes se calcule donc par
5 points exercice 2
Partie A
La masse, en gramme, d'un gâteau au chocolat peut être modélisée par une variable aléatoire
X qui suit la loi normale d'espérance
= 500 et d'écart-type
= 11.
1. Nous devons calculer
La variable aléatoire
X suit la loi normale de moyenne
= 500.
Nous savons que
, soit que
Or, par la calculatrice, nous obtenons :
D'où
Par conséquent,
la probabilité que la masse d'un gâteau au chocolat soit supérieure à 515 grammes est environ égale à 0,086 (valeur arrondie au millième).
2. Un gâteau au chocolat est commercialisable s'il pèse entre 485 grammes et 515 grammes.
Par la calculatrice, nous obtenons :
Donc
la probabilité p qu'un gâteau au chocolat choisi au hasard dans la fabrication soit commercialisable est environ égale à 0,827 (valeur arrondie au millième).
3. Nous savons que si
Y suit la loi normale d'espérance
et d'écart-type
',
alors
Nous en déduisons alors que
Partie B
La durée de fonctionnement sans dérèglement, en jour, de la balance électronique est une variable aléatoire
T qui suit la loi exponentielle de paramètre
.
1. La probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 30 jours est égale à 0,913.
2. Nous devons calculer P(
T 90).
D'où
la probabilité que la balance électronique se dérègle durant les 90 premiers jours est environ égale à 0,237 (valeur arrondie au millième).
3. Calculons la probabilité que la balance ne se dérègle pas avant 365 jours.
Nous devons calculer P(
T > 365).
D'où la probabilité que la balance ne se dérègle pas avant 365 jours est environ égale à 0,335.
Cette probabilité est inférieure à 0,5.
Par conséquent,
le vendeur de cette balance électronique n'a pas raison.
5 points exercice 3
Partie A
1. Le Gouvernement souhaite que les dépenses liées à la CSBM n'augmentent que de 2 % par année.
Une augmentation de 2 % par année correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,02 = 1,02.
Donc pour tout entier
n naturel,
Par conséquent,
la suite (un ) est une suite géométrique de raison q = 1,02 dont le premier terme
est u 0 = 164,7.
2.
3.
4. Le rang
n = 7 correspond à l'année 2008 + 7, soit à l'année 2015.
Donc
en 2015, le montant des dépenses liées à la CSBM s'élèvera à environ 189,2 milliards d'euros.
Partie B
1. a. Le taux d'évolution de la CSBM entre les années 2008 et 2015 est donné en pourcentage par :
Donc
le pourcentage d'évolution de la CSBM entre les années 2008 et 2015 est d'environ 17,79 % (arrondi à 0,01%).
1. b. La formule qui, saisie dans la cellule C3 et recopiée vers la droite, permet de compléter la ligne 3 est
2. a. Algorithme complété :
2. b. En exécutant l'algorithme, nous obtenons :
N = 19.
Nous aurions également trouvé ce résultat en déterminant le plus petit entier naturel
n vérifiant l'inéquation 194
1,024
n > 300.
Puisque
n est un nombre entier naturel, l'inéquation est vérifiée pour
n 19.
D'où le plus petit entier naturel
n vérifiant l'inéquation 194
1,024
n > 300 est
n = 19.
2. c. La CSBM dépassera les 300 milliards d'euros en l'année 2015 + 19, soit en 2034.
Pour être plus précis, nous pourrions dire que la CSBM dépassera les 300 milliards d'euros dans le courant de l'année 2033 (en prenant pour
n la valeur 18,38).
6 points exercice 4
Partie A
1. b) Limite de la fonction
lorsque
t tend vers +
.
Interprétation graphique : En +
, la courbe
admet comme asymptote horizontale la droite
d'équation
y = 146.
2. b) Pour tout
t dans [0 ; +
[, nous savons que e
-200t > 0.
D'où
'(
t ) < 0 sur [0 ; +
[.
2. c) Nous déduisons de la question précédente que
la fonction est strictement décroissante sur [0 ; +[
2. d) Une équation de la tangente à la courbe
au point d'abscisse 0 est de la forme
Nous savons par la question 1. a) que
.
Par conséquent, une équation de la tangente à la courbe
au point d'abscisse 0 est
Partie B
1. a) Résoudre sur [0 ; +
[ l'équation différentielle
La solution générale d'une équation différentielle de la forme
est
Dans ce cas,
a = -200 et
b = 29 200.
D'où la solution générale de l'équation (
E ) est de la forme
soit
1. b) Déterminons la solution de (
E ) vérifiant la conditions
(0) = 150 en remplaçant
t par 0 et
y par 150 dans la solution générale de (
E ).
Par conséquent,
la fonction représentée dans la partie A est la solution de l'équation différentielle (E ) vérifiant (0) = 150 et est définie sur [0 ; +[ par
2. Nous avons montré dans la partie A que la fonction
est strictement décroissante sur [0 ; +
[
et que
Interprétation dans le contexte de l'exercice :
Durant la phase d'embrayage, la vitesse de rotation du moteur diminue sans cesse pour atteindre une vitesse de 146 rad.s-1.
3. Résolvons dans l'intervalle [0 ; +
[ l'inéquation
D'où,
le temps (en secondes) mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse est , soit environ 0,005 s.