Fiche de mathématiques
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Bac STI2D et STL spé SPCL

Métropole Remplacement 2018

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Durée : 4 heures

Coefficient : 4



Epreuve du 6 septembre 2018


4 points

exercice 1

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6 points

exercice 2

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6 points

exercice 3

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4 points

exercice 4

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4 points

exercice 1

{\red{\text{1. }}\blue{\mathbf{Réponse\ c:}\ 2\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}

Soit z=-3+\sqrt{3}\text{i}

Module de z :

 |z|=\sqrt{(-3)^2+(\sqrt{3})^2} \\\phantom{|z|}=\sqrt{9+3} \\\phantom{|z|}=\sqrt{12} \\\phantom{|z|}=2\sqrt{3} \\\\\Longrightarrow\boxed{|z|=2\sqrt{3}}

Un argument \theta de z :

 \left\lbrace\begin{matrix}\cos\theta=\dfrac{-3}{2\sqrt{3}}\\\\\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} \end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\cos\theta=\dfrac{-3{\red{\sqrt{3}}}}{2\sqrt{3}{\red{\sqrt{3}}}}\\\\\sin\theta=\dfrac{1}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\cos\theta=\dfrac{-3\sqrt{3}}{2\times3}\\\\\sin\theta=\dfrac{1}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\cos\theta=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\\\\\sin\theta=\dfrac{1}{2}\ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{\theta=\dfrac{5\pi}{6}\ [2\pi]}

Par conséquent, une forme exponentielle du nombre complexe  -3+\sqrt{3}\text{i} est   2\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}} .
D'où la réponse c  est correcte.

{\red{\text{2. }}\blue{\mathbf{Réponse\ b: un\ nombre\ complexe\ de\ partie\ réelle\ nulle}}

Soit z= \dfrac{1}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}

 \text{Alors }z^2= \left(\dfrac{1}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}\right)^2 \\\\\phantom{\text{Alors }z^2}= \left(\dfrac{1}{2}\right)^2\text{e}^{2\times(-\text{i}\frac{\pi}{4})} \\\\\phantom{\text{Alors }z^2}= \dfrac{1}{4}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{2}} \\\\\phantom{\text{Alors }z^2}= \dfrac{1}{4}\times(-\text{i}) \\\\\Longrightarrow\boxed{z^2= -\dfrac{1}{4}\text{i}}

Par conséquent, le nombre z^2 est un nombre complexe de partie réelle nulle.
D'où la réponse b  est correcte.

{\red{\text{3. }}\blue{\mathbf{Réponse\ b: 6}}

L'intervalle [2 ; 3] est inclus dans l'intervalle de la forme [2 ; x] avec x > 2.
La variable aléatoire T suit la loi uniforme sur l'intervalle [2 ; x].

\text{Donc }\ P(2\le T\le 3)=\dfrac{1}{4}\Longleftrightarrow\dfrac{3-2}{x-2}=\dfrac{1}{4} \\\\\phantom{\text{Donc }\ P(2\le T\le 3)=\dfrac{1}{4}}\Longleftrightarrow\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{1}{4} \\\\\phantom{\text{Donc }\ P(2\le T\le 3)=\dfrac{1}{4}}\Longleftrightarrow x-2=4 \\\phantom{\text{Donc }\ P(2\le T\le 3)=\dfrac{1}{4}}\Longleftrightarrow \boxed{x=6}
D'où la réponse b  est correcte.

{\red{\text{4. }}\blue{\mathbf{Réponse\ c: 3\text{e}}}

Notons \mathscr{A} l'aire de la surface grisée.

\mathscr{A}=\int\limits_\text{e}^a\dfrac{1}{x}\,dx \\\\\phantom{A}=[\ln(x)]\limits_\text{e}^a \\\\\phantom{A}=\ln(a)-\ln(\text{e}) \\\\\Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}=\ln(a)-1}

\text{Donc }1<\mathscr{A}<1,5\Longleftrightarrow1<\ln(a)-1<1,5 \\\\\phantom{ .............................}\Longleftrightarrow2<\ln(a)<2,5 \\\\\phantom{ .............................}\Longleftrightarrow\text{e}^2<a<\text{e}^{2,5} \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\text{e}^{2}\approx7,4\\\text{e}^{2,5}\approx12,2\end{matrix}\right.
La seule réponse proposée vérifiant les inégalités \text{e}^2<a<\text{e}^{2,5} est la réponse c  puisque 3e environegal 8,2.
D'où la réponse c  est correcte.

6 points

exercice 2

Partie A - Élimination du benzène de façon naturelle

1. a. La concentration de benzène à la surface du bassin observée le 10 juin 2018 est de 68 microgrammes par litre.
68 appartient [50 ; 5000[
Selon le tableau, la qualité de l'eau est médiocre.

1. b. Le responsable estime que la concentration de benzène à la surface du bassin diminue de manière naturelle de 7 % par jour,
Une diminution de 7 % par jour correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,07 = 0,93.
Donc le 11 juin 2018, la concentration de benzène est égale à 0,93 multiplie 68 = 63,24 microgrammes par litre.
63,24 appartient [50 ; 5000[
Selon le tableau, la qualité de l'eau est médiocre.

2. a. Une diminution de 7 % par jour correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,07 = 0,93.
Donc pour tout entier n naturel, u_{n+1}=0,93\times u_n
Par conséquent, la suite (un ) est une suite géométrique de raison q = 0,93 dont le premier terme est u 0 = 68.

2. b. u_n=u_0\times q^n\Longrightarrow\boxed{u_n=68\times0,93^n}

2. c. Le rang correspondant au 15 juin est n = 5.
\overset{.}{u_5=68\times0,93^5\approx47,3}
Donc le 15 juin 2018, la concentration de benzène est environ égale à 47,3 microgrammes par litre.
47,3 appartient [5 ; 50[
Selon le tableau, la qualité de l'eau est moyenne.

{\red{2.\ \text{d}.}}\ \ 0<0,93<1\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}0,93^n=0 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{d}.}}\ \ 0<0,93<1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}(68\times0,93^n)=0 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{d}.}}\ \ 0<0,93<1}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0}

Par conséquent, après un certain laps de temps, la concentration de benzène sera proche de 0, ce qui signifie que la qualité de l'eau deviendra excellente.

3. a. L'algorithme permettant de déterminer le nombre de jours de fermeture avant que la qualité de l'eau soit devenue excellente est le suivant :

         \begin{array}{|c|}\hline \mathbf{Algorithme\ 1}\\\\u\longleftarrow68\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\n\longleftarrow0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Tant que }\ u\ge0,5\ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\ \ \ \ |u\longleftarrow 0,93u\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\ \ \ |n\longleftarrow n+1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\text{Fin Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline \end{array}

3. b. Déterminons le plus petit entier naturel n vérifiant l'inéquation 68 multiplie 0,93n < 0,5.

68\times0,93^n<0,5\Longleftrightarrow 0,93^n<\dfrac{0,5}{68}  \\\\\phantom{68\times0,93^n<0,5}\Longleftrightarrow \ln(0,93^n)<\ln\left(\dfrac{0,5}{68}\right) \ \ \ \ \text{(stricte croissance de la fonction ln) } \\\\\phantom{68\times0,93^n<0,5}\Longleftrightarrow n\times\ln(0,93)<\ln\left(\dfrac{0,5}{68}\right) \ \ \ \ \text{(propriété de la fonction ln) } \\\\\phantom{68\times0,93^n<0,5}\Longleftrightarrow n>\dfrac{\ln\left(\dfrac{0,5}{68}\right)}{\ln(0,93)}\ \ \ \ \text{(Changement du sens de l'inégalité car }\ln(0,93)<0) \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln\left(\dfrac{0,5}{68}\right)}{\ln(0,93)}\approx67,7

Puisque n est un nombre entier naturel, l'inéquation est vérifiée pour n supegal 68.
Par conséquent, le plus petit entier naturel n vérifiant l'inéquation 68 multiplie 0,93n < 0,5 est n = 68.

3. c. Interprétation du résultat : La qualité de l'eau deviendra excellente à partir du 68ième jour suivant le 10 juin 2018.

3. d. La fermeture de la base nautique entraîne une perte de recette de 750 euros par jour.
Calcul de la perte financière en euros : 68 multiplie 750 = 51 000.
D'où si la solution retenue est l'élimination du benzène de façon naturelle, la perte financière résultant de la fermeture de la base nautique s'élèverait à 51 000 euros.

Partie B - Élimination du benzène par traitement au charbon actif

1. Résoudre sur [0 ; +infini[ l'équation différentielle (E ) : y'+\dfrac{1}{4}y=0.
La solution générale d'une équation différentielle de la forme y'=ay est y=k\,\text{e}^{at}\ \ \ \ \ (k\in\R).
Or (E ) equivaut y'=-\dfrac{1}{4}y equivaut y'=-0,25y.
Dans ce cas, a=-0,25.
D'où les solutions de l'équation (E) sont \boxed{y=k\,\text{e}^{-0,25t}\ \ \ \ \ (k\in\R)}

2. A la mise en service, à l'instant t=0, le responsable estime que la concentration de benzène à la surface du bassin serait de 54,7 microgrammes par litre.

. \text{Donc } f(0)=54,7\Longleftrightarrow k\,\text{e}^{-0,25\times0}=54,7 \\\phantom{\text{Donc } f(0)=54,7}\Longleftrightarrow k\,\text{e}^0=54,7 \\\phantom{\text{Donc } f(0)=54,7}\Longleftrightarrow k\times1=54,7 \\\phantom{\text{Donc } f(0)=54,7}\Longleftrightarrow k=54,7

Par conséquent, la fonction f est définie sur [0 ; +infini[ par \boxed{f(t)=54,7\,\text{e}^{-0,25t}}

{\red{3.\ }}\ f(19)=54,7\,\text{e}^{-0,25\times19}=54,7\,\text{e}^{-4,75} \\\\\Longrightarrow\boxed{f(19)\approx0,47}
Par conséquent, la qualité de l'eau serait excellente 19 jours après la mise en service du filtre.

Partie C - Comparaison des deux solutions étudiées

Déterminons la perte financière résultant de la fermeture de la base si l'élimination du benzène s'effectuait par traitement au charbon actif.
Après 18 jours, la qualité de l'eau est moyenne car f(18)=54,7\,\text{e}^{-0,25\times18}=54,7\,\text{e}^{-4,5}\approx0,61\in[0,5\,;\,5[.
En utilisant le résultat de la question 3 de la Partie B, nous concluons qu'il faudra au minimum 19 jours pour que la qualité de l'eau soit excellente.

La fermeture de la base nautique au-delà du 10 juin 2018 entraîne une perte de recette de 750 euros par jour.
L'action du filtre commence le 13 juin 2018.
Donc la qualité de l'eau sera excellente après 19 + 3 = 22 jours.
Perte financière due à la fermeture de la base : 22 multiplie 750 = 16 500 euros.
Le coût total de l'installation est de 20 000 euros.
16 500 + 20 000 = 36 500.
D'où la perte financière totale résultant de la fermeture de la base si l'élimination du benzène s'effectuait par traitement au charbon actif s'élève à 36 500 euros.

En résumé, la première solution aboutirait à une perte financière de 51 000 euros
                          la seconde solution aboutirait à une perte financière de 36 500 euros
Par conséquent, l'élimination du benzène par traitement au charbon actif est financièrement la plus judicieuse pour la base nautique.

6 points

exercice 3

Soit  f(x)=(0,2x^2+30x)\,\text{e}^{-0,01x}\ \ \ \ \text{où }x\in[0\,;600]

Partie A

1. a. Calcul de f' (x ).

f'(x)=(0,2x^2+30x)'\times \text{e}^{-0,01x}+(0,2x^2+30x)\times (\text{e}^{-0,01x})' \\\phantom{f'(x)}=(0,2\times2x+30)\times \text{e}^{-0,01x}+(0,2x^2+30x)\times (-0,01x)'\,\text{e}^{-0,01x} \\\phantom{f'(x)}=(0,4x+30)\times \text{e}^{-0,01x}+(0,2x^2+30x)\times (-0,01\,\text{e}^{-0,01x}) \\\phantom{f'(x)}=(0,4x+30)\times \text{e}^{-0,01x}-(0,002x^2+0,3x)\times \,\text{e}^{-0,01x} \\\phantom{f'(x)}=(0,4x+30-0,002x^2-0,3x)\times \text{e}^{-0,01x}  \\\phantom{f'(x)}=(-0,002x^2+0,1x+30)\times \text{e}^{-0,01x} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=(-0,002x^2+0,1x+30)\,\text{e}^{-0,01x}}

{\red{1.\ \text{b. }}}\ 0,002(-x+150)(x+100)\,\text{e}^{-0,01x}=0,002(-x^2-100x+150x+15\,000)\,\text{e}^{-0,01x} \\\phantom{{\red{1.\ \text{b. }}}\ 0,002(-x+150)(x+100)\,\text{e}^{-0,01x}}=0,002(-x^2+50x+15\,000)\,\text{e}^{-0,01x} \\\phantom{{\red{1.\ \text{b. }}}\ 0,002(-x+150)(x+100)\,\text{e}^{-0,01x}}=(-0,002x^2+0,1x+30)\,\text{e}^{-0,01x} \\\phantom{{\red{1.\ \text{b. }}}\ 0,002(-x+150)(x+100)\,\text{e}^{-0,01x}}=f'(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=0,002(-x+150)(x+100)\,\text{e}^{-0,01x}}

2. a.  Pour tout x dans l'intervalle [0 ; 600], nous savons que 0,02(x  + 100) > 0 et e-0,01x > 0.
Le signe de f' (x ) est donc le signe de -x  + 150.

\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}-x+150=0\Longleftrightarrow x=150\\\\-x+150>0\Longleftrightarrow x<150\\\\-x+150<0\Longleftrightarrow x>150\end{matrix}\right.

Tableau de signes de f' (x ) sur l'intervalle [0 ; 600] :

           \begin{array}{|c|ccccc|}\hline&&&&&&x&0&&150&&600\\&&&&& \\\hline -x+150&&+&0&-&\\\hline&&&&&& f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline \end{array}

2. b.  Tableau de variation de la fonction f   sur l'intervalle [0 ; 600].

\underline{\text{Calculs préliminaires }}\\\\ f(0)=(0,2\times0^2+30\times0)\,\text{e}^{-0,01\times0}=0\\\\f(150)=(0,2\times150^2+30\times150)\,\text{e}^{-0,01\times150}=9\,000\,\text{e}^{-1,5}\approx2008,17\\\\f(600)=(0,2\times600^2+30\times600)\,\text{e}^{-0,01\times600}=90\,000\,\text{e}^{-6}\approx223,1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\\underline{\text{Tableau de signes de }f'(x)\text{ et variations de }f}\\ \\\ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccc|}\hline&&&&&&x&0&&150&&600\\&&&&& \\\hline f'(x)&&+&0&-&\\\hline&&&9\,000\,\text{e}^{-1,5}\approx2008,17&&& f(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&0&&&&90\,000\,\text{e}^{-6}\approx223,1\\\hline \end{array}

2. c.   Nous en déduisons que la masse journalière de gravier extraite sera maximale au bout de 150 jours.
Cette masse sera alors égale à environ 2008 tonnes.


3.  Courbe représentative de la fonction f 

Bac STI2D et STL spé SPCL Métropole Remplacement 2018 : image 13


Avec la précision permise par le graphique, nous lisons qu'après avoir atteint son maximum, la masse journalière de gravier extraite deviendra inférieure à 1 000 tonnes au bout de 360 jours.

Partie B

1. a.  En ligne 2, le logiciel fournit une expression d'une primitive de la fonction f.

1. b.  En utilisant le résultat fourni par le logiciel en ligne 4, nous obtenons : \int\limits_0^{600}f(x)\,dx\approx670\ 007.
Donc entre le début de l'exploitation et le 600e jour d'exploitation, la masse totale de gravier extraite est environ égale à 670 000 tonnes.
Cette quantité est supérieure aux 550 000 tonnes figurant dans la commande.
Par conséquent, la commande pourra être satisfaite au bout de 600 jours.

2.  Une valeur approchée de la masse totale de gravier extraite, en tonnes, entre le début de l'exploitation et le 400e jour d'exploitation est donnée par : \overset{.}{\int\limits_0^{400}f(x)\,dx.}

\int\limits_0^{400}f(x)\,dx=\left[\overset{}{(-20x^2-7\,000x-700\,000)\text{e}^{-0,01x}}\right]\limits_0^{400} \\\phantom{\int\limits_0^{400}f(x)\,dx}=(-20\times400^2-7\,000\times400-700\,000)\text{e}^{-0,01\times400}-(-20\times0^2-7\,000\times0-700\,000)\text{e}^{-0,01\times0} \\\phantom{\int\limits_0^{400}f(x)\,dx}=(-6\,700\,000)\text{e}^{-4}-(-700\,000)\text{e}^{0} \\\phantom{\int\limits_0^{400}f(x)\,dx}=-6\,700\,000\,\text{e}^{-4}+700\,000 \\\phantom{\int\limits_0^{400}f(x)\,dx}\approx577\,285 Donc entre le début de l'exploitation et le 400e jour d'exploitation, la masse totale de gravier extraite est environ égale à 577 285 tonnes.
Cette quantité est supérieure aux 550 000 tonnes figurant dans la commande.
Par conséquent, l'estimation du responsable du chantier est correcte car la commande pourra être satisfaite au bout de 400 jours.

4 points

exercice 4

Partie A

1. a.   A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :  P(48\le L\le62)\approx0,838.

1. b.  Nous devons calculer   P(L>67).

La variable aléatoire L   suit la loi normale de moyenne mu = 55.

Nous savons que   P(L\ge\mu)=0,5, soit que  P(L\ge55)=0,5

Dès lors,  P(L\ge55)=P(55\le L \le67)+P(L>67)\Longleftrightarrow 0,5=P(55\le L \le67)+P(L>67)

Or, par la calculatrice, nous obtenons :  P(55\le L\le67)\approx0,492

\text{D'où }\ 0,5\approx 0,492+P(L>67) \Longrightarrow P(L>67)\approx0,5- 0,492 \\\phantom{\text{D'où }\ 0,5\approx 0,492+P(L>67)}\Longrightarrow \boxed{P(L>67\approx0,008}
Par conséquent, la probabilité que l'espace minimal de confort de ce passager soit supérieur à 67 cm est environ égale à 0,008 (valeur arrondie au millième).

2. a.   On admet que la variable aléatoire X  suit une loi binomiale de paramètres n  = 334 et p  = 0,977.

2. b. L'espérance mathématique de la variable aléatoire X  est E(X)=n\times p=334\times0,977=326,318.
D'où dans un tel avion, 326 personnes en moyenne pourraient s'asseoir confortablement.

2. c. Nous savons que P(X\ge330)=1-P(X<330)=1-P(X\le329).
Par la calculatrice, nous obtenons P(X\le329)\approx0,884.
\overset{.}{\text{D'où }\ P(X\ge330)\approx1-0,884} \\\\\phantom{\text{D'où }\ }\boxed{P(X\ge330)\approx0,116}

Nous pouvions également trouver ce résultat par calcul direct :

P(X\ge330)=P(X=330)+P(X=331)+P(X=332)+P(X=333)+P(X=334) \\\\P(X\ge330)=\begin{pmatrix}334\\330\end{pmatrix}\times0,977^{330}\times0,023^{4}+\begin{pmatrix}334\\331\end{pmatrix}\times0,977^{331}\times0,023^{3}\\\\\phantom{............................}+\begin{pmatrix}334\\332\end{pmatrix}\times0,977^{332}\times0,023^{2}+\begin{pmatrix}334\\333\end{pmatrix}\times0,977^{333}\times0,023+0,977^{334} \\\\\boxed{P(X\ge330)\approx0,116}

Partie B

1. La variable aléatoire Y  suit la loi binomiale de paramètres n  = 356 et p  = 0,9.
\overset{.}{\text{D'où }\ p_{356}=P(Y>334)} \\\\\phantom{\text{D'où }\ p_{356}}=1-P(Y\le334) \\\\\phantom{\text{D'où }\ p_{356}}\approx1-0,9959\ \ \ \ (\text{à l'aide de la calculatrice}) \\\\\phantom{\text{D'où }\ p_{356}}\approx0,0041
Donc la valeur manquante de la cellule B5 de ce tableau est 0,0041 (valeur approchée à 10-4).

2.   D'après le tableau, la plus grande valeur de n  telle que pn  infegal 0,025 est n  = 359.
Par conséquent, la compagnie peut vendre au maximum 359 billets si elle souhaite que le risque d'avoir plus de passagers que de sièges le jour de l'embarquement soit inférieur à 2,5 %.
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