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Bac STI2D et STL spé SPCL Nouvelle Calédonie 2018

Coefficient : 4

Durée : 4 heures

5 points

exercice 1

Bac STI2D et STL spé SPCL Nouvelle Calédonie 2018 : image 1

Bac STI2D et STL spé SPCL Nouvelle Calédonie 2018 : image 10

5 points

exercice 2

Bac STI2D et STL spé SPCL Nouvelle Calédonie 2018 : image 6

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Bac STI2D et STL spé SPCL Nouvelle Calédonie 2018 : image 9

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4 points

exercice 3 : Vrai-Faux

Bac STI2D et STL spé SPCL Nouvelle Calédonie 2018 : image 5

6 points

exercice 4

Bac STI2D et STL spé SPCL Nouvelle Calédonie 2018 : image 3

Bac STI2D et STL spé SPCL Nouvelle Calédonie 2018 : image 4

[corrigé]

Bac STI2D et STL spé SPCL Nouvelle Calédonie 2018

5 points

exercice 1

Partie A

1. Résoudre dans l'intervalle [0 ; + infini

[ l'équation différentielle (E ) : $y'=-0,124y.$
La solution générale d'une équation différentielle de la forme $y'=ay$ est $y=k\,\text{e}^{at}\ \ \ \ \ (k\in\R).$
Dans ce cas, a = -0,124.
D'où les solutions de l'équation (E) sont les fonctions f définies sur [0 ; +[ par $\boxed{y=k\,\text{e}^{-0,124t}\ \ \ \ \ (k\in\R)}$

${\red{2.}}\ f(0)=15,3\Longleftrightarrow k\,\text{e}^{-0,124\times0}=15,3 \\\phantom{\text{Donc } f(0)=54,7}\Longleftrightarrow k\,\text{e}^0=15,3 \\\phantom{\text{Donc } f(0)=54,7}\Longleftrightarrow k\times1=15,3 \\\phantom{\text{Donc } f(0)=54,7}\Longleftrightarrow k=15,3$

Par conséquent, la fonction f vérifiant la condition initiale f (0) = 15,3 est définie sur [0 ; + infini

[ par $\overset{.}{\boxed{f(t)=15,3\,\text{e}^{-0,124t}}}$

Partie B

1. Variations de f sur [0 ; + infini

[

$f(t)=15,3\,\text{e}^{-0,124t}\Longrightarrow f'(t)=15,3\times(\text{e}^{-0,124t} )' \\\phantom{f(t)=15,3\,\text{e}^{-0,124t}}\Longrightarrow f'(t)=15,3\times(-0,124t)'\times\text{e}^{-0,124t} \\\phantom{f(t)=15,3\,\text{e}^{-0,124t}}\Longrightarrow f'(t)=15,3\times(-0,124)\times\text{e}^{-0,124t} \\\\\phantom{f(t)=15,3\,\text{e}^{-0,124t}}\Longrightarrow\boxed{f'(t)=-1,8972\,\text{e}^{-0,124t}}$

Or pour tout t dans

[0 ; +

[, nous savons que e^-0,124t > 0.
D'où f' (t ) < 0 sur [0 ; + infini

[.
Nous en déduisons que la fonction f est strictement décroissante sur [0 ; +[

2. Limite de f au voisinage de l'infini.

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{t \to +\infty}(-0,124 t)=-\infty \\\\ \lim\limits_{T \to -\infty} \text{e} ^T=0\ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\text{ par composée }}{\Longrightarrow}\ \ \ \ \ \ \lim\limits_{t \to +\infty} \text{e} ^{-0,124t}=0 \\\\\phantom{..................................................}\Longrightarrow\lim\limits_{t \to +\infty} (15,3\,\text{e} ^{-0,124t})=0 \\\\\phantom{..................................................}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{t \to +\infty} f(t)=0}$

Interprétation : Au-delà d'un certain nombre de milliers d'années après la mort de l'organisme, la concentration en carbone 14 présent dans cet organisme tendra à disparaître.

Partie C

1. Résolvons l'équation 15,3 e^-0,124t = 7,27.

$15,3\,\text{e}^{-0,124t}=7,27\Longleftrightarrow\text{e}^{-0,124t}=\dfrac{7,27}{15,3} \\\\\phantom{15,3\,\text{e}^{-0,124t}=7,27}\Longleftrightarrow-0,124t=\ln\left(\dfrac{7,27}{15,3}\right) \\\\\phantom{15,3\,\text{e}^{-0,124t}=7,27}\Longleftrightarrow t=\dfrac{\ln\left(\dfrac{7,27}{15,3}\right)}{-0,124} \\\\\phantom{15,3\,\text{e}^{-0,124t}=7,27}\Longrightarrow \boxed{t\approx6}$

Par conséquent, on peut estimer l'âge de ces fragments d'os à environ 6 000 ans.

2. Déterminons le plus petit entier t vérifiant l'inéquation $f(t)<0,003\times15,3.$

$15,3\,\text{e}^{-0,124t}<0,003\times15,3\Longleftrightarrow\text{e}^{-0,124t}<0,003 \\\\\phantom{15,3\,\text{e}^{-0,124t}<0,003\times15,3}\Longleftrightarrow-0,124t<\ln(0,003) \\\\\phantom{15,3\,\text{e}^{-0,124t}<0,003\times15,3}\Longleftrightarrow t>\dfrac{\ln(0,003)}{-0,124} \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln(0,003)}{-0,124}\approx46,8$

Puisque t est un nombre entier naturel, l'inéquation est vérifiée pour t supegal

47.
D'où on ne peut pas dater raisonnablement à l'aide du carbone 14 un organisme datant de plus de 47 000 ans.

5 points

exercice 2

Partie A

1. On estime que 5% des cellules fabriquées par Héliocel présentent un défaut et sont donc inutilisables.
On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque lot de 80 cellules, associe le nombre de cellules inutilisables.
La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n = 80 et p = 0,05.

2. Nous devons déterminer P (X = 0).

$P(X=0)=\begin{pmatrix}80\\0\end{pmatrix}\times0,05^0\times(1-0,05)^{80-0} \\\phantom{P(X=0)}=1\times1\times0,95^{80} \\\phantom{P(X=0)}=0,95^{80} \\\phantom{P(X=0)}\approx0,017$

D'où la probabilité qu'un lot ne contienne aucune cellule inutilisable est environ égale à 0,017 (valeur arrondie au millième).

3. Pour pouvoir fabriquer un panneau solaire composé de 75 cellules, le lot de 80 cellules doit comporter au moins 75 cellules sans défaut, soit moins de 5 cellules inutilisables.
Nous devons donc calculer P (X < 5).

Par la calculatrice, nous obtenons $P(X<5)=P(X\le4)\approx0,629.$
Par conséquent, la probabilité d'avoir assez de cellules sans défaut dans un seul lot pour pouvoir fabriquer un panneau est environ égale à 0,629.

Partie B

Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I₁₈₀ au seuil de 95 % de la fréquence des cellules inutilisables dans un échantillon de 180 cellules prises au hasard.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

$\left\lbrace\begin{array}l n=180\ge30 \\ p=0,03\Longrightarrow np=180\times0,03=5,4>5 \\n(1-p)= 180\times(1-0,03)= 180\times0,97=174,6>5 \end{array}$

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I₁₈₀ au seuil de 95% est :

$I_{180}=\left[0,03-1,96\sqrt{\dfrac{0,03 (1-0,03)}{180}};0,03+1,96\sqrt{\dfrac{0,03 (1-0,03)}{180}}\right]\\\\\Longrightarrow\boxed{I_{180}\approx[0,005;0,055]}$

Le prélèvement du responsable qualité a révélé que, parmi 180 cellules, 9 sont inutilisables.
La fréquence observée des cellules inutilisables est $\overset{.}{\boxed{f=\dfrac{9}{180}=0,05}}$
Nous remarquons que $f\in I_{180}.$
Par conséquent au risque de se tromper de 5%, l'annonce de la société ne doit pas être remise en cause.

Partie C

La production électrique (en kWh) fournie par ces panneaux peut être modélisée par une variable aléatoire Y suivant une loi normale d'espérance

= 9 et d'écart-type sigma

= 3.

1. Par la calculatrice, nous obtenons $P(6\le Y\le12)\approx0,683$
D'où la probabilité que la production journalière de l'installation de cette famille soit comprise entre 6 kWh et 12 kWh est environ égale à 0,683 (arrondie à 10^-3).

Nous pouvions trouver ce résultat par la propriété suivante de la loi normale :
$\overset{.}{P(\mu-\sigma\le Y\le\mu+\sigma)\approx0,683.}$
En effet, nous obtenons alors :
$\overset{.}{P(6\le Y\le12)=P(9-3\le Y\le9+3)}\\\phantom{P(6\le Y\le12)}=P(\mu-\sigma\le Y\le\mu+\sigma)\\\phantom{P(6\le Y\le12)}\approx\boxed{0,683}$

2. La variable aléatoire Y suit la loi normale d'espérance

= 9.
La courbe $\mathscr{C}_3$ ne convient donc pas car son axe de symétrie n'est pas la droite d'équation : x = 9.

Nous avons montré dans la question 1 que $P(6\le Y\le12)}\approx0,683.$
Cela signifie que l'aire de la surface comprise entre la courbe représentative de la fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire Y , l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 6 et x = 12 est égale à 0,683.

Dans le graphique ci-contre, l'aire de chaque petit carreau est 0,1.
Nous avons coloré en vert 9 petits carreaux entre la courbe $\mathscr{C}_1$ ,
l'axe des abscisses et les droites d'équation
x = 6 et x = 12.
D'où l'aire totale de ces carreaux est égale à 0,9.
La courbe $\mathscr{C}_1$ ne convient donc pas car 0,9 est supérieur à 0,683.

Bac STI2D et STL spé SPCL Nouvelle Calédonie 2018 : image 12

Bac STI2D et STL spé SPCL Nouvelle Calédonie 2018 : image 11

Dans le graphique ci-contre, nous avons coloré
en rouge 6 petits carreaux entre la courbe $\mathscr{C}_2$ ,
l'axe des abscisses et les droites d'équation
x = 6 et x = 12.
D'où l'aire totale de ces carreaux est égale à 0,6.
La courbe $\mathscr{C}_2$ convient car 0,6 est proche de 0,683.

3. Nous devons calculer $P(Y>13).$
La variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne

= 9.
Nous savons que $P(Y\ge\mu)=0,5$ , soit que $P(Y\ge9)=0,5$

Dès lors, $P(Y\ge9)=P(9\le Y \le13)+P(Y>13)\Longleftrightarrow 0,5=P(9\le Y \le13)+P(Y>13)$

Or, par la calculatrice, nous obtenons : $P(9\le Y\le13)\approx0,409$

$\text{D'où }\ 0,5\approx 0,409+P(Y>13) \Longrightarrow P(Y>13)\approx0,5- 0,409 \\\phantom{\text{D'où }\ 0,5\approx 0,409+P(Y>13)}\Longrightarrow \boxed{P(Y>13\approx0,091}$
Par conséquent, la probabilité que la production journalière de son installation soit supérieure à sa consommation moyenne quotidienne de 13 kWh/jour est environ égale à 0,091 (valeur arrondie au millième).

4 points

exercice 3

${\red{\text{1. }}\blue{\mathbf{La\ proposition\ est\ vraie.}}$

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 1 est donné par le nombre dérivé f' (1).

$f'(x)=(3\ln x)'=3(\ln x)'=3\times\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{x} \Longrightarrow f'(1)=\dfrac{3}{1}=3 \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(1)=3}$

Par conséquent, le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 est 3.

${\red{\text{2. }}\blue{\mathbf{La\ proposition\ est\ fausse.}}$

$5\,\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}=5(\cos\dfrac{5\pi}{6}+\text{i}\sin\dfrac{5\pi}{6}) =5(-\cos\dfrac{\pi}{6}+\text{i}\sin\dfrac{\pi}{6}) =5(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i}) \\\\\Longrightarrow\boxed{5\,\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}=-\dfrac{5\sqrt{3}}{2}+\dfrac{5}{2}\text{i}} \\\\\text{Or }\ \overline{z}=\overline{\dfrac{5\sqrt{3}}{2}-\dfrac{5}{2}\text{i}}\Longrightarrow\boxed{\overline{z}=\dfrac{5\sqrt{3}}{2}+\dfrac{5}{2}\text{i}}$

D'où $\boxed{{\red{\overline{z}\neq5\,\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}}}}$

${\red{\text{3. }}\blue{\mathbf{La\ proposition\ est\ vraie.}}$

Nous savons que pour tout x réel, $\sin(x-\dfrac{\pi}{2})=-\sin(\dfrac{\pi}{2}-x)=-\cos x.$
La valeur moyenne de la fonction $x\mapsto \sin(x-\dfrac{\pi}{2})$ sur l'intervalle [0 ;

] est donnée par $\mu=\dfrac{1}{\pi-0}\int\limits_0^{\pi}\sin(x-\dfrac{\pi}{2})\,dx.$

$\text{D'où }\ \mu=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_0^{\pi}\sin(x-\dfrac{\pi}{2})\,dx \\\\\phantom{\text{D'où }\ \mu}=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_0^{\pi}-\cos x\,dx \\\\\phantom{\text{D'où }\ \mu}=\dfrac{1}{\pi}\left[\overset{}{-\sin x}\right]\limits_0^{\pi} \\\\\phantom{\text{D'où }\ \mu}=\dfrac{1}{\pi}\left[\left(\overset{}{-\sin\pi}\right)-\left(\overset{}{-\sin 0}\right)\right] \\\\\phantom{\text{D'où }\ \mu}=\dfrac{1}{\pi}\left(\overset{}{0-0}\right) \\\\\phantom{\text{D'où }\ \mu}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\mu=0}$

${\red{\text{4. }}\blue{\mathbf{La\ proposition\ est\ vraie.}}$

$f(x)=3\cos5x\Longrightarrow f'(x)=3\times(-5\sin5x) \\\phantom{f(x)=3\cos5x}\Longrightarrow \boxed{f'(x)=-15\sin5x} \\\\f'(x)=-15\sin5x\Longrightarrow f''(x)=-15\times(5\cos5x) \\\phantom{f'(x)=-15\sin5x}\Longrightarrow \boxed{f''(x)=-75\cos5x}$

$\text{Dès lors, }\ y''+25y=-75\cos5x+25\times3\cos5x \\\phantom{\text{Dès lors, }\ y''+25y}=-75\cos5x+75\cos5x \\\phantom{\text{Dès lors, }\ y''+25y}=0$
Par conséquent, la fonction définie pour tout réel x par $f(x)=3\cos(5x)$ vérifie l'équation
différentielle y'' + 25y = 0.

6 points

exercice 4

1. Une augmentation de 5 % par année correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,05 = 1,05.
La commune voit sa population augmenter de 5 % tous les ans.
Donc pour tout entier n naturel, $h_{n+1}=1,05\times h_n$
Par conséquent, la suite (h_n ) est une suite géométrique de raison q = 1,05 dont le premier terme est h ₀ = 2 000.

$h_n=h_0\times q^n\Longrightarrow\boxed{h_n=2\,000\times1,05^n}$

2. Le débit total de la connexion internet dont la commune dispose pour l'année 2018 + n est $\overset{.}{d_n=16\,000\times1,029^n.}$
Le débit par habitant pour l'année 2018 + n est $u_n=\dfrac{d_n}{h_n}.$

${\red{2.\ \text{a. }}}u_0=\dfrac{d_0}{h_0}=\dfrac{16\,000}{2\,000}\Longrightarrow\boxed{u_0=8} \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{a. }}}}u_1=\dfrac{d_1}{h_1}=\dfrac{16\,000\times1,029}{2\,000\times1,05}\Longrightarrow\boxed{u_1=7,84}$

${\red{2.\ \text{b. }}}u_n=\dfrac{d_n}{h_n}=\dfrac{16\,000\times1,029^n}{2\,000\times1,05^n} \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{a. }}}u_n=\dfrac{d_n}{h_n}}=\dfrac{16\,000}{2\,000}\times\dfrac{1,029^n}{1,05^n} \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{a. }}}u_n=\dfrac{d_n}{h_n}}=8\times\left(\dfrac{1,029}{1,05}\right)^n \\\phantom{{\red{2.\ \text{a. }}}u_n=\dfrac{d_n}{h_n}}=8\times0,98^n \\\\\Longrightarrow\boxed{u_n=8\times0,98^n\ \ \ \ \ (n\in\N)}$

2. c. Nous en déduisons que (u_n ) est une suite géométrique de raison q = 0,98 dont le premier terme est u ₀ = 8.

${\red{2.\ \text{d}.}}\ \ 0<0,98<1\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}0,98^n=0 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{d}.}}\ \ 0<0,93<1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}(8\times0,98^n)=0 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{d}.}}\ \ 0<0,93<1}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0}$

Par conséquent, après un certain laps de temps, le débit par habitant sera proche de 0 Mbit/s.

3. a. Algorithme complété :

$\begin{array}{|c|}\hline U\longleftarrow8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\N\longleftarrow0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Tant que }\ {\red{U\ge5}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\ \ \ \ \ \ \ |{\red{U\longleftarrow 0,98\times U}}\ \ \ \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |N\longleftarrow N+1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\ \ \text{Fin Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline \end{array}$

3. b. Déterminons le plus petit entier naturel n vérifiant l'inéquation 8 multiplie

0,98ⁿ < 5.

$8\times0,98^n<5\Longleftrightarrow 0,98^n<\dfrac{5}{8} \\\\\phantom{8\times0,98^n<5}\Longleftrightarrow 0,98^n<0,625 \\\\\phantom{8\times0,98^n<5}\Longleftrightarrow \ln(0,98^n)<\ln(0,625) \ \ \ \ \text{(stricte croissance de la fonction ln) } \\\\\phantom{8\times0,98^n<5}\Longleftrightarrow n\times\ln(0,98)<\ln(0,625) \ \ \ \ \text{(propriété de la fonction ln) } \\\\\phantom{8\times0,98^n<5}\Longleftrightarrow n>\dfrac{\ln(0,625)}{\ln(0,98)}\ \ \ \ \text{(Changement du sens de l'inégalité car }\ln(0,93)<0) \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln(0,625)}{\ln(0,98)}\approx23,3$

Puisque n est un nombre entier naturel, l'inéquation est vérifiée pour n supegal

24.
D'où le plus petit entier naturel n vérifiant l'inéquation 8 multiplie

0,98ⁿ < 5 est n = 24.
Par conséquent, le fournisseur d'accès sera dans l'obligation de changer sa technologie en l'année 2018 + 24, soit en 2042.

Remarque : Nous aurions également trouvé ce résultat en exécutant l'algorithme dont la valeur en sortie
est N = 24.

Publié par malou le 11-05-2019

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