Fiche de mathématiques
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Bac STL Biotechnologies Métropole 2018

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Durée : 4 heures Coefficient : 4
4 points

exercice 1

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exercice 2

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exercice 3


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exercice 4


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4 points

exercice 1

1.   "Avant déshydratation, cet abricot frais a une masse de 45g dont 85 % d'eau."
Masse d'eau en grammes : 85% de 45 = 0,85 multiplie 45 = 38,25.
Donc cet abricot frais contient 38,25 g d'eau.

2.  "Le processus de déshydratation s'achève lorsque cet abricot a une masse de 9g dont 25 % d'eau, il bénéficie alors de l'appellation « abricot sec »."
Masse d'eau en grammes : 25% de 9 = 0,25 multiplie 9 = 2,25.
Donc cet abricot ayant l'appellation « abricot sec » ne contient plus que 2,25 g d'eau.

3. a.   La fonction f  définie sur l'intervalle [0 ; 13] par  f(t) = 38,25\,\text{e}^{-0,26t} associe toute durée t  exprimée en heures à la masse d'eau (en grammes) contenue dans cet abricot placé dans le séchoir depuis t  heures.
Après deux heures passées dans le séchoir, la masse d'eau présente dans cet abricot se détermine par f (2).

f(2) = 38,25\,\text{e}^{-0,26\times2}= 38,25\,\text{e}^{-0,52}\approx22,74
Par conséquent, après deux heures passées dans le séchoir, cet abricot contient 22,74 g d'eau. (arrondi à 10-2 g.)

3. b.  Déterminons la masse d'eau présente dans cet abricot après huit heures passées dans le séchoir.

f(8) = 38,25\,\text{e}^{-0,26\times8}= 38,25\,\text{e}^{-2,08}\approx4,78.
Donc après huit heures passées dans le séchoir, la masse d'eau présente dans cet abricot est de 4,78 g.
Pour bénéficier de l'appellation « abricot sec », la masse d'eau ne doit pas être supérieure à 2,25 g (voir question 2).
Puisque 4,78 g est supérieur à 2,25 g, nous en déduisons qu'après huit heures passées dans le séchoir, cet abricot ne pourra pas bénéficier de l'appellation « abricot sec ».

3. c.  Nous devons résoudre l'équation f (t ) = 2,25.

f(t)=2,25\Longleftrightarrow 38,25\,\text{e}^{-0,26t}=2,25 \\\phantom{f(t)=2,25}\Longleftrightarrow \text{e}^{-0,26t}=\dfrac{2,25}{38,25} \\\phantom{f(t)=2,25}\Longleftrightarrow \ln\left(\text{e}^{-0,26t}\right)=\ln\left(\dfrac{2,25}{38,25}\right) \\\phantom{f(t)=2,25}\Longleftrightarrow -0,26t=\ln\left(\dfrac{2,25}{38,25}\right) \\\\\phantom{f(t)=2,25}\Longleftrightarrow t=\dfrac{\ln\left(\dfrac{2,25}{38,25}\right)}{-0,26}\approx10,8969744
D'où pour que l'abricot placé dans le séchoir puisse bénéficier de l'appellation « abricot sec », le temps de séchage nécessaire est environ de 10,9 heures, soit 10 h 54 minutes (à la minute près).

4.   Courbe représentative C  de la fonction f .

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La masse d'eau contenue dans cet abricot frais est de 38,25 g (correspondant graphiquement à t  = 0).
L'élimination des 5 premiers grammes porte cette masse d'eau à 38,25 - 5 = 33,25 g.
Nous observons par le graphique que 33,25 est l'image par la fonction f  de t  = 0,5.
Donc le temps nécessaire pour l'élimination des 5 premiers grammes d'eau est de 0,5 heure.

La masse d'eau contenue dans cet abricot sec est de 2,25 g (correspondant graphiquement à t  = 10,9 [voir question 3.c.]).
Avant l'élimination des 5 derniers grammes, cette masse d'eau était de 2,25 + 5 = 7,25 g.
Nous observons par le graphique que 7,25 est l'image par la fonction f  de t  = 6,4.
Donc le temps nécessaire pour l'élimination des 5 derniers grammes d'eau est de 10,9 - 6,4 = 4,5 heures.

Si l'affirmation de Camille était exacte, nous aurions l'égalité suivante : 4,5 = 15 multiplie 0,5 qui est évidemment incorrecte puisque 15 multiplie 0,5 = 7,5.
Par conséquent, l'affirmation de Camille n'est pas exacte.

4 points

exercice 2

1.  Tableau donnant l'épaisseur de la glace en fonction du temps de congélation :

          \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Temps }{\red{t_i}}&&&&&&&\\\text{de congélation}&\ \ 1\ \  &\ \ 2\ \ &\ \  4\ \ & 8& 12& 18&26\\\text{ (en heures)}&&&&&&&\\\hline \text{Epaisseur }{\red{y_i}}\text{ de la}&&&&&&&\\\text{glace}& 4&8&11&16,5&20,5&24,5&28,5\\\text{(en cm)}&&&&&&&\\\hline \end{array}

On pose   x_i=\ln t_i
D'où le tableau ci-dessous :

          \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline&&&&&&&\\ {\red{x_i}}&\ \ 0\ \  &0,7&1,4& 2,1& 2,5& 2,9&3,3\\&&&&&&&\\\hline \text{Epaisseur }{\red{y_i}}\text{ de la}&&&&&&&\\\text{glace}& 4&8&11&16,5&20,5&24,5&28,5\\\text{(en cm)}&&&&&&&\\\hline \end{array}

2.   Nuage de points de coordonnées (xi ; yi ) :

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3.  L'équation réduite de la droite (d ) d'ajustement affine de y  en x  est  de la forme y  = ax  + b .
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons a  environegal 7,38173999 et b  environegal 2,53936486.
En arrondissant les coefficients à 10-2 près, l'équation réduite de la droite d'ajustement affine de y  en x  
est y  = 7,38x  + 2,54.


Pour la suite, on prend comme modèle d'ajustement, la droite (d ) d'équation y  = 7,4x  +2,5.

4. Représentation graphique de la droite (d ) :

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5.   Dans l'équation de la droite (d ), remplaçons y  par 32 et calculons la valeur de x .

32=7,4x+2,5\Longleftrightarrow7,4x=32-2,5 \\\phantom{32=7,4x+2,5}\Longleftrightarrow7,4x=29,5 \\\phantom{32=7,4x+2,5}\Longleftrightarrow x=\dfrac{29,5}{7,4} \\\\\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}x=\ln(t)\\\\x=\dfrac{29,5}{7,4}\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \ln(t)=\dfrac{29,5}{7,4} \\\phantom{\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}y=\ln(n)\\y=7,75\end{matrix}\right.\ \ \ \ }\Longrightarrow\ \ \ \ \boxed{t=\text{e}^{\frac{29,5}{7,4}}\approx53,865}

Par conséquent, le temps nécessaire pour fabriquer un bloc de glace de 32 cm d'épaisseur est
d'environ 54 heures (valeur arrondie à l'heure près).


6 points

exercice 3

1.   Une augmentation de 26 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,26 = 1,26.
Pendant la 1re période de 10 minutes, la masse de glucose absorbé par la colonie de bactéries est égale à 18,3 fg.
1,26 multiplie 18,3 = 23,058.
D'où la masse de glucose absorbé pendant la 2e période de 10 minutes est égale à 23,058 femtogrammes.

2. a.   u 1 représente la masse, en femtogrammes, de glucose absorbé pendant la 1re période de 10 minutes.
\Longrightarrow\boxed{u_1=18,3}
u 2 représente la masse, en femtogrammes, de glucose absorbé pendant la 2e période de 10 minutes.
\Longrightarrow\boxed{u_2=23,058}

2. b.   La masse de glucose u n +1 absorbé par la colonie de bactéries pendant la (n +1)-ième période de 10 minutes est obtenue en multipliant par 1,26 la masse de glucose un  absorbé pendant la n -ième période de 10 minutes précédente.
Nous obtenons ainsi la relation  \red{u_{n+1} = 1,26\times u_n}
Par conséquent, la suite (un )  est une suite géométrique de raison q = 1,26 et dont le premier terme
est u 1 = 18,3.


2. c.  u_n=u_1\times(\text{raison})^{n-1}\Longrightarrow\boxed{u_n=18,3\times1,26^{n-1}}

2. d.  L'indice n  correspondant à la 7e période de 10 minutes est n  = 7.

u_{7}=18,3\times1,26^{7-1}=18,3\times1,26^{6}\approx73,2.
Donc, la masse de glucose absorbé pendant la 7e période de 10 minutes est environ de 73,2 femtogrammes (valeur arrondie à 0,1 femtogramme).

3.   Soit l'algorithme suivant :

                 \begin{array}{|c|}\hline n\longleftarrow1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\u\longleftarrow18,3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Tant que  }u\le100\ \  \\n\longleftarrow n+1\\\ \ \ \ u\longleftarrow 1,26\times u \\\text{Fin Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \  \\\hline\end{array}

Tableau reprenant les premières valeurs successives prises par les variables n  et u .

                 \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Valeurs de }n&1&2&3&4&5&6&7&8&9& \hline \text{Valeurs de }u&18,3&23,1&29,1&36,6&46,1&58,1&73,2&92,3\ {\green{\le100}}&116,3\ {\red{>100}}\\\hline \end{array}

La valeur de la variable n  à la fin de l'exécution de l'algorithme est n  = 9.
La masse de glucose absorbé sera inférieure à 100 femtogrammes jusqu'à la 9e période de 10 minutes à partir de laquelle cette masse deviendra supérieure à 100 femtogrammes.

4. a.  La valeur de la cellule C4 représente la masse totale de glucose absorbé durant les trois premières périodes.

4. b.   Une formule entrée dans la celle C3 peut être : \boxed{=\$C2+\$B3}

5.   En exploitant la feuille de calcul suivante obtenue à l'aide d'un tableur, nous déduisons que 132 périodes de 10 minutes sont nécessaires à l'absorption de 1 gramme ( soit 1015 femtogrammes) de glucose par colonie de bactéries, soit  \overset{.}{\dfrac{132}{6}=\boxed{22\ \text{heures.}}}

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Nous pouvons retrouver ce résultat par les calculs suivants en sachant que la somme des n  premiers termes d'une suite géométrique de raison q  = 1,26 et de premier terme u 1 = 18,3 est donnée par :

S_n = u_1\times\dfrac{1-q^n}{1-q}=18,3\times\dfrac{1-1,26^n}{1-1,26} \\\\\phantom{S_n}=18,3\times\dfrac{1-1,26^n}{-0,26} \\\\\phantom{S_n}=\dfrac{18,3}{0,26}\times(1,26^n-1)

Nous devons alors résoudre l'équation S n = 1015.

S_n=10^{15}\Longleftrightarrow\dfrac{18,3}{0,26}\times(1,26^n-1)=10^{15} \\\\\phantom{S_n=10^{15}}\Longleftrightarrow1,26^n-1=10^{15}\times\dfrac{0,26}{18,3} \\\\\phantom{S_n=10^{15}}\Longleftrightarrow1,26^n=10^{15}\times\dfrac{0,26}{18,3}+1 \\\\\phantom{S_n=10^{15}}\Longleftrightarrow\ln(1,26^n)=\ln\left(10^{15}\times\dfrac{0,26}{18,3}+1\right) \\\\\phantom{S_n=10^{15}}\Longleftrightarrow n\times\ln(1,26)=\ln\left(10^{15}\times\dfrac{0,26}{18,3}+1\right) \\\\\phantom{S_n=10^{15}}\Longleftrightarrow n=\dfrac{\ln\left(10^{15}\times\dfrac{0,26}{18,3}+1\right)}{\ln(1,26)} \\\\\phantom{S_n=10^{15}}\Longrightarrow\boxed{ n\approx131,0396615}

Nous retrouvons ainsi la valeur donnée par le tableur, à savoir que 132 périodes de 10 minutes sont nécessaires à l'absorption de 1 gramme ( soit 1015 femtogrammes) de glucose par colonie de bactéries,
soit  \overset{.}{\dfrac{132}{6}=\boxed{22\ \text{heures.}}}

6 points

exercice 4

Partie A

1. a.  En utilisant la calculatrice, nous obtenons : P(130 infegal T infegal 140) environegal 0,44090194.
D'où la probabilité que la tension artérielle de cette femme soit comprise entre 130 et 140 mmHg est environ égale à 0,441 (valeur arrondie au millième).

1. b.  En utilisant la calculatrice, nous obtenons : P(T supegal 140) environegal 0,24013065.
D'où la probabilité que la tension artérielle de cette femme soit supérieure 140 mmHg est environ égale à 0,240 (valeur arrondie au millième).

2.   Si une variable aléatoire X  suit la loi normale de moyenne mu et d'écart-type sigma,
nous savons alors que  \overset{.}{P(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\approx0,95.}

La variable aléatoire T  suit la loi normale d'espérance mu = 134 et d'écart type sigma = 8,5.

D'où, nous obtenons :

\left\lbrace\begin{matrix}P({\red{134}}-{\blue{h}}\le T\le{\red{134}}+{\blue{h}})\approx0,95\\P({\red{\mu}}-{\blue{2\sigma}}\le T\le{\red{\mu}}+{\blue{2\sigma}})\approx0,95\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}P({\red{134}}-{\blue{h}}\le T\le{\red{134}}+{\blue{h}})\approx0,95\\P({\red{134}}-{\blue{2\times8,5}}\le T\le{\red{134}}+{\blue{2\times8,5}})\approx0,95\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}P({\red{134}}-{\blue{h}}\le T\le{\red{134}}+{\blue{h}})\approx0,95\\P({\red{\mu}}-{\blue{2\sigma}}\le T\le{\red{\mu}}+{\blue{2\sigma}})\approx0,95\end{matrix}\right.}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}P({\red{134}}-{\blue{h}}\le T\le{\red{134}}+{\blue{h}})\approx0,95\\P({\red{134}}-{\blue{17}}\le T\le{\red{134}}+{\blue{17}})\approx0,95\end{matrix}\right.

Dès lors, nous pouvons prendre h  = 17.
Nous obtenons ainsi :  P(134-17\le T\le134+17)\approx0,95 , soit  P(117\le T\le151)\approx0,95
Par conséquent, la probabilité que cette femme ait une tension artérielle comprise entre 117 et 151 mmHg est environ égale à 0,95.

Partie B

1.   Nous sommes en présence d'une expérience comportant une répétition de 7 épreuves indépendantes et identiques n'ayant chacune que deux issues possibles :
le succès : "la femme est atteinte d'hypertension artérielle" dont la probabilité est p  = 0,24
l'échec : "la femme n'est pas atteinte d'hypertension artérielle" dont la probabilité est 1 - p  = 1 - 0,24 = 0,76.
Nous en déduisons que la variable aléatoire X  suit la loi binomiale de paramètres n  = 7 et p  = 0,24.

2. a.   Soit ci-dessous la représentation graphique de la loi suivie par X .

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A l'aide du graphique, nous devons déterminer la valeur de P (X  supegal 4).
Nous pouvons lire graphiquement que P (X  = 4) environegal 0,05,
                                                                                      P (X  = 5) environegal 0,01,
                                                                                      P (X  = 6) = 0
                                                                                et P (X  = 7) = 0.

D'où P (X  supegal 4) = 0,05 + 0,01 + 0 + 0 = 0,06.
Par conséquent, la probabilité pour qu'il y ait au moins 4 dossiers médicaux de femmes atteintes d'hypertension artérielle dans un échantillon de 7 dossiers médicaux est environ égale à 0,06 (au centième près).

2. b.  A l'aide de la calculatrice, nous obtenons les résultats suivants :
P (X  = 6) environegal 0,0010167 et P (X  = 7) environegal 0,000045865.
Ces résultats sont manifestement trop petits pour être visibles sur le graphique dans le repère proposé.
C'est la raison pour laquelle nous lisons graphiquement que P (X  = 6) = 0 et P (X  = 7) = 0.

Partie C

1.   Groupe des femmes ayant suivi le régime A :
La fréquence observée est  \overset{.}{f_1=\dfrac{15}{200}=0,075.}
Les conditions d'utilisation de l'intervalle de confiance sont remplies.  
En effet,   \overset{.}{\left\lbrace\begin{array}l n=200\ge30 \\ f_1=0,075\Longrightarrow nf_1=200\times0,075=15>5 \\n(1-f_1)= 200\times(1-0,075)= 200\times0,925=185>5 \end{array}}

Donc un intervalle de confiance I 1 au seuil de 95% est :

 I_{1}=\left[0,075-1,96\sqrt{\dfrac{0,075 (1-0,075)}{200}};0,075+1,96\sqrt{\dfrac{0,075 (1-0,075)}{200}}\right]\\\\\Longrightarrow\boxed{I_{1}\approx[0,039\,;\,0,111]}

Groupe des femmes ayant suivi le régime B :
La fréquence observée est  \overset{.}{f_2=\dfrac{50}{200}=0,25.}
Les conditions d'utilisation de l'intervalle de confiance sont remplies.  
En effet,   \overset{.}{\left\lbrace\begin{array}l n=200\ge30 \\ f_2=0,25\Longrightarrow nf_2=200\times0,25=50>5 \\n(1-f_2)= 200\times(1-0,25)= 200\times0,75=150>5 \end{array}}

Donc un intervalle de confiance I 2 au seuil de 95% est :

 I_{2}=\left[0,25-1,96\sqrt{\dfrac{0,25 (1-0,25)}{200}};0,25+1,96\sqrt{\dfrac{0,25 (1-0,25)}{200}}\right]\\\\\Longrightarrow\boxed{I_{2}\approx[0,190\,;\,0,310]}

Nous observons que les deux intervalles de confiance I 1 et I 2 sont disjoints.
Par conséquent, il y a une différence significative d'efficacité entre les deux régimes alimentaires en termes de réduction d'hypertension artérielle.
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