Fiche de mathématiques
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Bac STMG Centres étrangers 2019

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Durée : 3 heures

Coefficient : 3



4 points

exercice 1

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5 points

exercice 2

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6 points

exercice 3

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5 points

exercice 4

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Annexe à rendre avec la copie


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4 points

exercice 1

{\red{\text{1. }}\blue{\mathbf{Réponse\ b.\ }}{\red{1\,930}}
Une baisse annuelle de 5 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,05 = 0,95.
Une durée de 4 années sépare le 1er mars 2018 du 1er mars 2022.
Le 1er mars 2018, la population compte 2 375 individus.
0,954 multiplie 2 375 = 1934,45234375
Par conséquent, Le 1er mars 2022, la population est estimée à environ 1 930 individus (à la dizaine près).

{\red{\text{2. }}\blue{\mathbf{Réponse\ c.\ }}{\red{2\,500}}
Notons P le nombre d'individus au 1er mars 2017.
Puisque le nombre d'individus au 1er mars 2018 est de 2 375, nous obtenons :

0,95\times P=2\,375\Longleftrightarrow P=\dfrac{2\,375}{0,95}\\\\\phantom{0,95\times P=2\,375}\Longleftrightarrow \boxed{P=2\,500}

{\red{\text{3. }}\blue{\mathbf{Réponse\ b.\ }\\ {\red{\begin{array}{|c|}\hline n\longleftarrow2\,018\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\v\longleftarrow2\,375\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Tant que }v\ge0,75\times2\ 375\ \ \ \ \ \ \\v\longleftarrow\,0,95\, v\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\n\longleftarrow n+1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Fin Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline\end{array}}}}
L'algorithme a  ne convient pas car la condition v  supegal 0,75 multiplie v  est toujours réalisée.
La boucle tournera sans s'arrêter et, de ce fait, l'algorithme ne se terminera jamais.
L'algorithme c  ne convient pas car la condition v infegal 0,75 multiplie 2375 n'est pas réalisée dès le premier passage dans la boucle qui ne se réalisera donc pas.
De ce fait, l'algorithme affichera la valeur initiale de n , soit n  = 2018.
L'algorithme d  ne convient pas car le calcul v  - 0,05 n'a pas de sens dans le cadre de cet exercice.
Par conséquent, l'algorithme correct est l'algorithme b .

5 points

exercice 2

Partie A

Une tablette est commercialisable lorsque 198 infegal X  infegal202.
Or P (198 infegal X  infegal 202) = P (198 infegal X  infegal 200) + P (200 infegal X  infegal 202).
Nous savons que la courbe de densité de la variable aléatoire X  est symétrique par rapport à la droite d'équation x  = mu, soit par rappport à la droite d'équation x  = 200.
Dès lors, P (200 infegal X  infegal 202) = P (198 infegal X  infegal 200) = 0,34
D'où P (198 infegal X  infegal 202) = 0,34 + 0,34 = 0,68.
Par conséquent, la probabilité qu'une tablette soit commercialisable est égale à 0,68.

Partie B

1.  Arbre pondéré de probabilités traduisant la situation :
         
Bac STMG Centres étrangers 2019 : image 11


2.  Nous devons déterminer  P(A\cap C).

P(A\cap C)=P(A)\times P_A(C) \\\phantom{P(A\cap C)}=0,4\times 0,68 \\\phantom{P(A\cap C)}=0,272 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(A\cap C)=0,272}
Par conséquent, la probabilité que la tablette choisie provienne de l'ancienne chaîne et soit commercialisable est égale à 0,272.

3.  Déterminons P (C ).
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

P(C)= P(A\cap C)+P(N\cap C) \\\phantom{P(C)} =0,272+P(N)\times P_N(C)\ \\\phantom{P(C)}=0,272+0,6\times0,9 \\\phantom{P(C)}=0,812 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(C)=0,812}
Puisque P (C ) supegal 0,8, nous en déduisons qu'au moins 80 % de la production totale de tablettes est commercialisable.

6 points

exercice 3

Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille automatisée de calcul, donne l'évolution de la fréquentation annuelle d'un parc de loisirs entre 2010 et 2017.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D}&\text{E}&\text{F}&\text{G}&\text{H}&\text{I}\\\hline 1&\text{Année} &2010&2011&2012&2013&2014&2015&2016&2017\\\hline \text{2}&\text{Rang de l'année : }x_i&0&1&2&3&4&5&6&7\\\hline 3&\text{Nombre de visiteurs (en million) : }y_i&1,47&1,49&1,60&1,74&1,91&2,10&2,20&2,26\\\hline 4&\text{Taux d'évolution annuel }&\cellcolor{black}{}&1,36\ \%&&&&&&\\\hline\end{array}

Partie A

1.  La formule à saisir dans la cellule C4 qui, par recopie vers la droite, permet de compléter la ligne 4 est  =(C3 - B3)/B3

2.  Le taux d'évolution global en pourcentage du nombre de visiteurs du parc entre l'année 2012 et l'année 2015 est donné par le calcul suivant : \overset{.}{\dfrac{\text{Valeur en 2015}-\text{Valeur en 2012}}{\text{Valeur en 2012}}\times100}=\dfrac{2,10-1,60}{1,60}\times100\approx31,25.

Donc entre l'année 2012 et l'année 2015, le nombre de visiteurs du parc a augmenté de 31,25 %.

3.  En utilisant la réponse de l'exercice 2, nous déduisons que le coefficient multiplicateur global Cg pour la période allant de l'année 2012 à l'année 2015 est Cg = 1 + 0,3125 = 1,3125.
Puisque 3 années se sont écoulées entre 2012 et 2015, le coefficient multiplicateur annuel moyen est \overset{.}{C_m=1,3125^{\frac{1}{3}}\approx1,095}  (valeur arrondie au millième).
Le taux d'évolution annuel moyen est égal à  C_m-1=0,095  (valeur arrondie au millième).

Par conséquent, le taux d'évolution annuel moyen (en pourcentage) du nombre de visiteurs du parc entre l'année 2012 et l'année 2015 est environ égal à 0,095 multiplie 100 = 9,5 % (arrondi au dixième).

Partie B

1.  L'équation réduite de la droite (D ) d'ajustement affine de y  en x  est  de la forme y  = ax  + b .
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons a  = 0,12797619 et b  = 1,3983333.
Donc l'équation réduite de la droite d'ajustement affine de y  en x  est y  = 0,128x  + 1,398 (les coefficients sont arrondis au millième).

2.  Dans la suite, nous choisirons la droite D  d'équation y  = 0,13x  + 1,40 comme ajustement affine du nuage de points.
En 2019, le rang de l'année est égal à 9.

Solution algébrique :
Remplaçons x  par 9 dans l'équation de la droite (D ).
y  = 0,13 multiplie 9 + 1,40 = 2,57.
Par conséquent, d'après ce modèle, nous pouvons estimer qu'en 2019 le nombre de visiteurs du parc de loisirs s'élèvera à 2,57 millions.

3.  Résolvons l'inéquation 0,13x + 1,40 supegal 2,75.

0,13x+1,40\ge2,75\Longleftrightarrow0,13x\ge2,75-1,40 \\\phantom{0,13x+1,40\ge2,75}\Longleftrightarrow0,13x\ge1,35 \\\\\phantom{0,13x+1,40\ge2,75}\Longleftrightarrow x\ge\dfrac{1,35}{0,13} \\\\\text{Or }\ \dfrac{1,35}{0,13}\approx10,3846
Dès lors, le plus petit nombre entier vérifiant cette inéquation est x  = 11.
Par conséquent, la fréquentation annuelle atteindra au moins 2 750 000 visiteurs dès la 11ième année au-delà de 2010, soit à partir de l'année 2021.

5 points

exercice 4

Le coût moyen quotidien de production (exprimé en centaine d'euros) de cet engrais est modélisé par la fonction f  définie sur l'intervalle [5 ; 60] par  f(x)=x-15+\dfrac{400}{x}  où x  est le volume quotidien d'engrais fabriqué, exprimé en m3.

La représentation graphique Cf  de la fonction f  est donnée dans le repère ci-dessous :

Bac STMG Centres étrangers 2019 : image 12


Partie A

1.  Le coût moyen quotidien pour la production de 50 m3 est la valeur de f (50).

f(50)=50-15+\dfrac{400}{50}\Longrightarrow\boxed{f(50)=43}
D'où le coût moyen quotidien pour la production de 50 m3 d'engrais est de 4 300 euros.

2.  Résolvons l'inéquation f (x ) infegal 35.

x-15+\dfrac{400}{x}\le35\Longleftrightarrow x-15+\dfrac{400}{x}-35\le0 \\\\\phantom{WWWWWWW..}\Longleftrightarrow x-50+\dfrac{400}{x}\le0 \\\\\phantom{WWWWWWW..}\Longleftrightarrow \dfrac{x^2-50x+400}{x}\le0 \\\\\phantom{WWWWWWW..}\Longleftrightarrow x^2-50x+400\le0\ \ \ \ \ (\text{car }x\in[5\,;60]\Longrightarrow x>0)

\text{Discriminant : }\ \Delta=(-50)^2-4\times1\times400=2500-1600=900>0 \\\\\text{Racines : }\ x_1=\dfrac{50-\sqrt{900}}{2}=\dfrac{50-30}{2}=10 \\\\\phantom{\text{Racines : }\ }x_2=\dfrac{50+\sqrt{900}}{2}=\dfrac{50+30}{2}=40
Le coefficient de x 2 du trinôme x 2 - 50x  + 400 est positif.
D'où le trinôme x 2 - 50x  + 400 sera positif pour les valeurs de x  extérieures aux racines et sera négatif pour les valeurs de x  comprises entre les racines.
Nous obtenons ainsi le tableau de signes de x 2 - 50x  + 400 sur l'intervalle [5 ; 60]

           \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x&5&&10&&40&&60 \\\hline\text{Signe de } x^2-50x+400&&+&0&-&0&+&\\\hline \end{array}
Par conséquent, l'ensemble S  des solutions de l'inéquation x 2 - 50x  + 400 infegal 0 est S  = [10 ; 40].

Nous en déduisons que le coût moyen de production de cet engrais est inférieur ou égal à 3 500 euros pour une production d'engrais se situant entre 10 m3 et 40 m3.

Partie B

1.  Calcul de la dérivée f' (x ).

f'(x)=(x-15+\dfrac{400}{x})'=x'-15'+400\times(\dfrac{1}{x})' \\\\\phantom{f'(x)}=1-0+400\times(\dfrac{-1}{x^2})=1-\dfrac{400}{x^2}=\dfrac{x^2-400}{x^2} \\\\\Longrightarrow \boxed{f'(x)=\dfrac{x^2-400}{x^2}}

2.  Etudions le signe de x2 - 400 sur l'intervalle [5 ; 60].

x^2-400=0\Longleftrightarrow x^2-20^2=0 \\\phantom{x^2-400=0}\Longleftrightarrow (x-20)(x+20)=0 \\\phantom{x^2-400=0}\Longleftrightarrow x-20=0\ \ \text{ou }\ \ x+20=0 \\\phantom{x^2-400=0}\Longleftrightarrow x=20\ \ \text{ou }\ \ x=-20

Le coefficient de x 2 du trinôme x 2 - 400 est positif.
D'où le trinôme x 2 - 400 sera positif pour les valeurs de x  extérieures aux racines et sera négatif pour les valeurs de x  comprises entre les racines.
Nous obtenons ainsi le tableau de signes de x 2 - 400 sur R.

           \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x&-\infty&&-20&&20&&+\infty \\\hline&&&&&&&&\text{Signe de } x^2-400&&+&0&-&0&+&&&&&&&&&\\\hline \end{array}
Par conséquent, le tableau de signes de x 2 - 400 sur l'intervalle [5 ; 60] est le suivant :

           \begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&5&&20&&60\\\hline&&&&&&\text{Signe de } x^2-400&&-&0&+&&&&&&&\\\hline \end{array}

3.  Puisque x 2 > 0 sur l'intervalle [5 ; 60], le signe de f' (x ) sera le même que celui de x 2 - 400.
Nous obtenons alors le tableau de variations de la fonction f  sur l'intervalle [5 ; 60] :

           \underline{\text{Calculs préliminaires }} \\\\f(5)=5-15+\dfrac{400}{5}=70\\f(20)=20-15+\dfrac{400}{20}=25\\\\f(60)=60-15+\dfrac{400}{60}=\dfrac{155}{3}\approx51,7\\\\\underline{\text{Tableau de signes de }f'(x)\text{ et variations de }f}\\\\\ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&5&&20&&60\\&&&&&\\\hline&&&&&\\ f'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline &70&&&&\approx51,7 \\ f(x)&&\searrow&&\nearrow& \\ &&&25&& \\ \hline \end{array}
D'où, la fonction f  est décroissante sur l'intervalle [5 ; 20] et est croissante sur l'intervalle [20 ; 60].

4.  En nous référant au tableau de variations de la fonction f , nous en déduisons que le coût moyen quotidien de production est minimal pour un volume d'engrais fabriqué de 20 m3.
Dans ce cas, le coût moyen est 2 500 euros.

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