Fiche de mathématiques
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Bac STMG Nouvelle Calédonie 2018

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Durée : 3 heure

Coefficient : 3


4 points

exercice 1

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5 points

exercice 2

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6 points

exercice 3

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5 points

exercice 4

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Bac STMG Nouvelle Calédonie 2018

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4 points

exercice 1

{\red{\text{1. }}\blue{\mathbf{Réponse\ b)}\ 14,52\%}}
Le taux d'évolution global en pourcentage des ventes d'insecticides entre 2011 et 2015 est donné par

\dfrac{\text{Valeur en 2015}-\text{Valeur en 2011}}{\text{Valeur en 2011}}\times100=\dfrac{2469,030-2156,069}{2156,069}\times100\approx14,51535

Donc le taux d'évolution global en pourcentage des ventes d'insecticides entre 2011 et 2015 est environ de 14,52 % (valeur arrondie à 0,01 % près).
D'où la réponse b) est correcte.

{\red{\text{2. }}\blue{\mathbf{Réponse\ b)}\ 3,45\%}}
En utilisant la réponse de l'exercice 1, nous déduisons que le coefficient multiplicateur global Cg  pour la période allant de l'année 2011 à l'année 2015 est Cg  = 1 + 0,1452 = 1,1452.
Puisque 4 années se sont écoulées entre 2011 et 2015, le coefficient multiplicateur annuel moyen est  \overset{.}{C_m=1,1452^{\frac{1}{4}}\approx1,0345}  (valeur arrondie au dix-millième).
Le taux d'évolution annuel moyen est égal à   C_m-1=0,0345  (valeur arrondie au dix-millième).

Par conséquent, le taux d'évolution annuel moyen (en pourcentage) des ventes d'insecticides entre 2011 et 2015 est égal à 0,0345 multiplie 100 %, soit 3,45 %.
D'où la réponse b) est correcte.

{\red{\text{3. }}\blue{\mathbf{Réponse\ a)}\ \boxed{=(B3-B2)/B2}}

{\red{\text{4. }}\blue{\mathbf{Réponse\ d)}\ 2231,808}}
Une diminution de 2 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,02 = 0,98.
Soit n  un nombre entier naturel.
Désignons par un  le nombre de tonnes d'insecticides vendus en 2015 + n
En 2015 + (n + 1), le nombre de tonnes d'insecticides vendus a diminué de 2 %.
Ce nombre est alors u_{n+1}=0,98\times u_n.
Nous en déduisons que la suite (un ) est une suite géométrique de raison q = 0,98 et dont le premier terme
est u 0 = 2469,030.
Le terme général de cette suite (un ) est   u_n=u_0\times q^n , soit  u_n=2469,030\times0,98^n.
2020 = 2015 + 5 implique la valeur de n   correspondant à 2020 est égale à 5.
\overset{.}{u_5=2469,030\times0,98^5\approx2231,807565}

Par conséquent, la quantité d'insecticides vendus en 2020 sera d'environ 2231,808 tonnes (valeur arrondie à 0,001 près).
D'où la réponse d) est correcte.

5 points

exercice 2

1. a.   Déterminons les charges de production de 12 000 pneus.
Dans l'expression algébrique de la fonction C , la variable x représente le nombre de milliers de pneus vendus.
12 000 pneus correspondent donc à x = 12.
\overset{.}{C(x)=4x^2+4x+574\Longrightarrow C(12)=4\times12^2+4\times12+574} \\\phantom{C(x)=4x^2+4x+574\Longrightarrow C(12)}=1198.
C (x ) représente les charges de production en milliers d'euros.
Donc les charges de production de 12 000 pneus s'élèvent à 1 198 000 euros.

Remarque : Le graphique ci-dessous nous donne 1200 comme valeur approchée lue, ce qui correspond approximativement à 1 200 000 euros.

1. b.  Déterminons le nombre de pneus à produire pour obtenir un chiffre d'affaires de 2 500 000 euros.
Résolvons l'équation R (x ) = 2 500.
R(x)=2\,500\Longleftrightarrow130x=2\,500\Longleftrightarrow x=\dfrac{2\,500}{130}\approx19,231
D'où le chiffre d'affaires de 2 500 000 euros sera atteint pour une production de 19 231 pneus.

Remarque : Le graphique ci-dessous nous donne 19,2 comme valeur approchée lue, ce qui correspond approximativement à 19 200 pneus.
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2.   Calculons les charges de production et le chiffre d'affaires pour 4 000 pneus vendus.
\overset{.}{\left\lbrace\begin{matrix}C(4)=4\times4^2+4\times4+574\\R(4)=130\times4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}C(4)=654\\R(4)=520\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{{\red{C(4)>R(4)}}}}
Puisque les charges de production sont supérieures au chiffre d'affaires, l'entreprise est déficitaire
en vendant 4 000 pneus.


Remarque : Nous pouvions prévoir ce résultat par le graphique puisque la courbe représentant la fonction C   est "au-dessus" de la droite représentant la fonction R  pour x = 4.

3.   B(x)=-4x^2+126x-574\ \ \ \ \text{avec }\ x\in[0\,;30]

{\red{\text{3. a. }}}\ B'(x)=(-4x^2+126x-574)' \\\phantom{{\red{\text{3. a. }}}\ B'(x)}=(-4x^2)'+(126x)'-574' \\\phantom{{\red{\text{3. a. }}}\ B'(x)}=-4\times2x+126\times1-0 \\\phantom{{\red{\text{3. a. }}}\ B'(x)}=-8x+126 \\\\\Longrightarrow\boxed{B'(x)=-8x+126}

3. b.   Signe de la fonction dérivée B'  sur l'intervalle [0 ; 30].

\text{Si }x\in\R,\text{ alors :}-8x+126\ge0\Longleftrightarrow 8x\le126\Longleftrightarrow x\le\dfrac{126}{8}\Longleftrightarrow x\le15,75\\\\\phantom{\text{Si }x\in\R,\text{ alors :}}-8x+126\le0\Longleftrightarrow 8x\ge126\Longleftrightarrow x\ge\dfrac{126}{8}\Longleftrightarrow x\ge15,75 \\\\\text{D'où si }x\in[0\,;30],\text{ alors : }{\red{0\le x\le15,75}}\Longrightarrow -8x+126\ge0 \Longrightarrow {\red{f'(x)\ge0}} \\\phantom{\text{D'où si }x\in[0\,;25],\text{ alors : }}{\red{ 15,75\le x\le30}}\Longrightarrow -8x+126\le0 \Longrightarrow {\red{f'(x)\le0}}

3. c.  Tableau de variation de la fonction B  sur l'intervalle [0 ; 30].

\underline{\text{Calculs préliminaires }}\\\\\begin{array}{|c|}\hline B(0)=-4\times0^2+126\times0-574=-574\ \ \ \ \ \ \ \ \\B(15,75)=-4\times15,75^2+126\times15,75-574=418,25\\B(30)=-4\times30^2+126\times30-574=-394\ \ \ \ \ \ \ \\ \hline \end{array}\\\\\underline{\text{Tableau de signes de }B'(x)\text{ et variations de }B}\\\\\ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&15,75&&30\\&&&&&\\\hline&&&&&\\ B'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline &&&418,25&& \\ B(x)&&\nearrow&&\searrow& \\ &-574&&&&-394 \\ \hline \end{array}

Par conséquent, B est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 15,75]
                                     B est strictement décroissante sur l'intervalle [15,75 ; 30].

3. d.  En nous référant au tableau de variations de la fonction B , nous en déduisons que le bénéfice est maximal pour une production de 15 750 pneus.
Dans ce cas, le bénéfice est de 418 250 euros.

6 points

exercice 3

Partie A

1.   Puisque 500 ordinateurs parmi les 2000 sont considérés comme neufs, nous obtenons :  \overset{\ \ .}{P(N)=\dfrac{500}{2000}\Longrightarrow\boxed{P(N)=0,25}}.

2.   Arbre pondéré représentant la situation.
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3.   L'événement N\cap S peut se traduire par : "l'ordinateur est neuf et a un problème de sécurité".
\overset{.}{P(N\cap S)=P(N)\times P_N(S)} \\\phantom{P(N\cap S)}=0,25\times0,05 \\\phantom{P(N\cap S)}=0,0125 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(N\cap S)=0,0125}

4.   En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :
\overset{.}{P(S)= P(N\cap S)+P(\overline{N}\cap S)} \\\phantom{P(S)}=0,0125+P(\overline{N})\times P_{\overline{N}}(S) \\\phantom{P(S)}=0,0125+0,75\times0,4 \\\phantom{P(S)}=0,3125 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(S)=0,3125}

Partie B

1.   A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :   P(12\le T\le24)\approx0,82.

Interprétation du résultat :
La probabilité que le temps nécessaire pour que le service informatique de l'entreprise intervienne afin de réparer un ordinateur défaillant soit compris entre 12h et 24h est environ égale à 0,82.

2.   Nous devons calculer   P(T>24).

La variable aléatoire T   suit la loi normale de moyenne mu = 20 et d'écart-type sigma = 4.

Nous savons que   P(T\ge\mu)=0,5, soit que  P(T\ge20)=0,5

Dès lors,  P(T\ge20)=P(20\le T \le24)+P(T>24)\Longrightarrow 0,5=P(20\le T \le24)+P(T>24)

Or, par la calculatrice, nous obtenons :  P(20\le T\le24)\approx0,34134474

\text{D'où }\ 0,5\approx 0,3413+P(T>24) \Longrightarrow P(T>24)\approx0,5- 0,3413 \\\phantom{\text{D'où }\ 0,5\approx 0,3413+P(T>24)}\Longrightarrow \boxed{P(T>24)\approx0,1587}
Par conséquent, la probabilité d'attendre plus d'une journée pour une intervention sur un ordinateur défaillant est environ égale à 0,16 (valeur arrondie au centième).

Partie C

Déterminons un intervalle de fluctuation I120  au seuil de 95 % de la proportion de salariés satisfaits de la maintenance informatique au sein de l'entreprise dans cet échantillon de 120 employés pris au hasard.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

\left\lbrace\begin{array}l n=120\ge30 \\ p=0,85\Longrightarrow np=120\times0,85=102>5 \\n(1-p)= 120\times(1-0,85)= 120\times0,15=18>5 \end{array}

Donc un intervalle de fluctuation I120  au seuil de 95% est :

I_{120}=\left[0,85-\dfrac{1}{\sqrt{120}}\ ;\ 0,85+\dfrac{1}{\sqrt{120}}\right]\\\\\Longrightarrow\boxed{I_{120}\approx[0,75;0,95]}

D'autre part, nous savons que 94 employés sur les 120 répondent qu'ils sont satisfaits du service de maintenance informatique.
La fréquence observée des employés satisfaits du service de maintenance informatique est \overset{.}{\boxed{f=\dfrac{94}{120}\approx0,78}}
Nous remarquons que   f\in I_{120}.
Par conséquent au risque de se tromper de 5%, l'affirmation du directeur du personnel est correcte.

5 points

exercice 4

Partie A - Premier modèle

1. L'équation réduite de la droite D   d'ajustement affine de y en x est de la forme y = ax + b .
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons a environegal 167,142857 et b = 4980.
Donc en arrondissant les coefficients à 0,1 près, l'équation réduite de la droite d'ajustement affine de y en x
est y = 167,1x + 4980.


2. a. 2021 = 2010 + 11.
Le rang de l'année 2010 est 1.
En 2021, le rang de l'année est alors égal à 12.
Dans l'équation de la droite D , remplaçons x par 12 et calculons la valeur de y .
y = 167,1 multiplie 12 + 4980 = 6985,2
Par conséquent, selon ce premier modèle, le prix d'un hectare de terre en 2021 est estimé à 6985,20 euros.

2. b.  Nous devons déterminer le plus petit entier naturel x  vérifiant l'inéquation 167,1x + 4980 supegal 7000.

167,1x+4980\ge7000\Longleftrightarrow167,1x\ge7000-4980 \\\phantom{167,1x+4980\ge7000}\Longleftrightarrow167,1x\ge2020 \\\\\phantom{167,1x+4980\ge7000}\Longleftrightarrow x\ge\dfrac{2020}{167,1} \\\\\text{Or }\dfrac{2020}{167,1}\approx12,0886

D'où le plus petit entier naturel x  vérifiant l'inéquation est x  = 13.
Le rang x  = 13 correspond à l'année 2022.
Par conséquent, selon ce premier modèle, le prix d'un hectare de terre dépassera 7000 euros à partir de 2022.

Partie B - Second modèle

1.   Une augmentation de 3 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,03 = 1,03.

u_1=1,03\times u_0\Longrightarrow u_1=1,03\times 6030 \\\phantom{u_1=1,03\times u_0}\Longrightarrow \boxed{u_1=6210,9}

2.   Une augmentation de 3 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,03 = 1,03.
Lors du passage d'une année à la suivante, le prix en euros d'un hectare de terre est multiplié par 1,03.
Donc pour tout n  entier naturel,  u_{n+1}=1,03\times u_n.
Par conséquent, la suite (un ) est une suite géométrique de raison q  = 1,03 dont le premier terme est u 0 = 6030.

3.   u_n=u_0\times q^n\Longrightarrow\boxed{u_n=6030\times1,03^n}
2021 = 2016 + 5.
Donc la valeur de n  correspondant à l'année 2021 est 5.
Le prix en euros d'un hectare de terre en 2021 est u 5.
u_{5}=6030\times1,03^{5}\approx6990,42

Par conséquent, en 2021, le prix d'un hectare de terre est estimé à 6990,42 euros.

4.   Soit l'algorithme suivant :

\begin{array}{|c|}\hline U\longleftarrow6030\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\N\longleftarrow0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Tant que }\ U<7000\ \ \text{faire} \\\ \ \ \ |U\longleftarrow U\times1,03\ \ \ \ \ \ \ \ \\\ \ \ |N\longleftarrow N+1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\text{Fin Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline \end{array}

Selon l'énoncé, la valeur de la variable N après l'exécution complète de l'algorithme égale à 6.
Dans le contexte de l'exercice, cela signifie que le prix d'un hectare dépassera 7000 euros après un laps de temps de 6 ans.
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