Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Session 2020

Mathématiques Série C

Côte d'Ivoire

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Coefficient : 5

Durée : 4 heures


Tout modèle de calculatrice scientifique est autorisé.

Les tables trigonométriques, logarithmiques et les règles à calculs sont également autorisées.


exercice 1

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O\,;\vec i , \vec j). L'unité graphique est 2 cm.
On donne les points A, B et C d'affixes respectives a, b et c telles que :

a=2-2i\;, b=2+2i\;, \text{ et }c=-2+2i.

1. a) \; Place les points A,B et C dans le plan muni du repère (O\,;\vec i , \vec j).
{\white{iw}} b) \; Démontre que le triangle ABC est rectangle et isocèle.
{\white{iw}} c) \; Écris sous forme exponentielle, chacun des nombres complexes a, b et c.

2. Soit r la rotation de centre O telle que r(A)=B et (gammamaj) le cercle de centre omegamaj d'affixe 2 et de rayon 2.
{\white{iw}} a) \; Détermine l'application complexe associée à la rotation r.
{\white{iw}} b) \; Déduis de ce qui précède r(B).
{\white{iw}} c) \; Détermine la nature et les éléments caractéristiques de l'image (gammamaj ') de (gammamaj) par r.
{\white{iw}} d) \; Construis (gammamaj) et (gammamaj ') sur la même figure.

3. Soit alpha un nombre réel appartenant à l'intervalle ]0 ; 2pi[ , tel que : alphadifferentpi. On note M le point d'affixe z telle que z=2+2i\text e ^{i\alpha} et M' l'image de M par r. On note z' l'affixe de M' .
{\white{iw}} a) \; Démontre que le point M est un point de (gammamaj).
{\white{iw}} b) \; Démontre que z'=2i-2\text e ^{i\alpha}.
{\white{iw}} c) \; On note u et v les affixes respectives des vecteurs \overrightarrow{BM} et \overrightarrow{BM'} .
{\white{wvw}} \; Exprime u et v en fonction de alpha.

4. a) \; Démontre que :
\forall x \in \textbf R, \text e ^{2ix}+1=2\text e ^{ix} \cos x \quad \text{ et } \quad \text e ^{2ix}-1=2\text e ^{ix} \sin x.
{\white{iw}} b) \; Démontre que : \dfrac u v = \tan \dfrac{\alpha}{2}.
{\white{iw}} c) \; Déduis de ce qui précède que les points M, M' et B sont alignés.

5. On donne \alpha = \dfrac{\pi}{3}.
{\white{iw}} a) \; Détermine sous forme algébrique l'affixe du point M.
{\white{iw}} b) \; Construis les points M et r(M).

exercice 2

Le sujet de concours d'entrée dans une grande école est noté sur 20 points. Il comporte 5 questions à choix multiples. Pour un candidat donné, on attribue quatre (4) points à chaque réponse juste et zéro (0) point à chaque question non traitée ou à une réponse fausse.
On admet que lorsqu'un candidat répond au hasard à une question, la probabilité de donner une réponse juste est 1/4 .

1. Soit k le nombre exact de réponses justes données par un candidat à ce concours.
Exprime en fonction de k la note globale N de ce candidat.

2. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de réponses justes obtenues par un candidat qui a répondu au hasard à chacune des cinq questions.
{\white{iw}} a) \; Détermine les valeurs prises par X.
{\white{iw}} b) \; Démontre que : P(X=3)=\dfrac{45}{512}.
{\white{iw}} c) \; Justifie que la probabilité pour que le candidat ait une note globale supérieure à 10 est : \dfrac{53}{512}.

3. On suppose qu'à ce concours, n candidats ont répondu au hasard aux cinq questions.
On admet que lorsqu'un des n candidats répond au hasard à une question, la probabilité de donner une réponse juste est 1/4.
{\white{iw}} a) \; Justifie que la probabilité Pn qu'au moins un des n candidats ait une note globale supérieure à 10 est : 1-\left(\dfrac{459}{512}\right)^n
{\white{iw}} b) \; Détermine la valeur minimale de n pour que P_n\ge 0,99 .

probleme

le plan est muni d'un repère orthonormé (O; I, J). L'unité graphique est 2 cm.
Soit n un entier non nul et fn lafonction définie sur R par : f_n(x)=(1-x)^n \text e ^{\frac x 2 }
On désigne par (Cn) la corbe représentative de fn dans le plan muni du repère orthonormé (O; I, J).

Le but de ce problème est de calculer la limite de la suite (Sn) définie par :

\begin{aligned}S_n=\dfrac{1}{n!}\int\nolimits_{0}^{1} f_n(x)\, \text d x\end{aligned}


Partie A : Etude de la fonction f 1 et d'une fonction associée.

1. a) \; Calcule : \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f_1(x) \text{ et } \lim_{x \to +\infty}\dfrac{f_1(x) }{x}.
{\white{iw}} b) \; Interprète graphiquement les résultats précédents.

2. a) \; Calcule la limite de f_1 en -infini.
{\white{iw}} b) \; Interprète graphiquement le résultat précédent.

3. On suppose que f_1 est dérivable sur R.
{\white{iw}} a) \; Démontre que f_1 est strictement croissante sur ]-infini ; -1[ et strictement décroissante sur ]-1 ; +infini[.
{\white{iw}} b) \; Dresse le tableau de variations de f_1.
{\white{iw}} c) \; Trace dans le repère (O; I, J) la courbe (C1) et sa tangente à l'origine.

Partie B : Etude de la fonction fn.

1. a) \; Détermine suivant la parité de n, la limite de fn en +infini.
{\white{iw}} b) \; détermine, suivant la parité de n, \displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\dfrac{f_n(x) }{x}.
{\white{iw}} c) \; Interprète graphiquement les résultats précédents.

2. a) \; Calcule \displaystyle{\lim_{x \to -\infty}f_n(x) (On pourra poser X=1-x )
{\white{iw}} b) \; Interprète graphiquement le résultat précédent.

3. On suppose que pour tout entier naturel n non nul, fn est dérivable sur R.
{\white{iw}} a) \; Démontre que : \forall x \in \textbf R, f_n'(x)=\dfrac 1 2 (-x-2n+1)(1-x)^{n-1}\text e ^{\frac x 2 }
{\white{iw}} b) \; Étudie, suivant la parité de n, le signe de f_n'(x).
{\white{iw}} c) \; Dresse, suivant la parité de n, le tableau de variation de fn.

4. a) \; Résous dans R, l'équation f_n(x)=f_{n+1}(x).
{\white{iw}} b) \; Déduis de ce qui précède que toutes les courbes (Cn) passent par deux points fixes que l'on précisera.
{\white{iw}} c) \; Étudie, suivant la parité de n , les positions relatives des courbes (Cn) et (Cn+1).
{\white{iw}} d) \; Trace la courbe (C2) dans le repère (O; I, J).

Partie C : Calcul de la limite de la suite (Sn) définie sur N* par : \begin{aligned}S_n=\dfrac{1}{n!}\int\nolimits_{0}^{1} f_n(x)\, \text d x\end{aligned}.

1. Justifie que la fonction fn est décroissante sur [0 ; 1].
2. Démontre que : \forall x \in [0 ; 1], f_n(x)\in [0 \,; 1].
3. Déduis de ce qui précède que : \forall n \in \textbf N ^*, 0\le S_n \le \dfrac1 n .

4. Détermine \displaystyle{\lim_{n \to + \infty} S_n .
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