Fiche de mathématiques

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

SESSION 2021

MATHÉMATIQUES

Épreuve prévue à l'origine les 15 et 16 mars 2021

Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

5 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

Dans une école de statistique, après étude des dossiers des candidats, le recrutement se fait de deux façons :
$\bullet {\white{w}}$ 10 % des candidats sont sélectionnés sur dossier. Ces candidats doivent ensuite passer un oral à l'issue duquel 60 % d'entre eux sont finalement admis à l'école.
$\bullet {\white{w}}$ Les candidats n'ayant pas été sélectionnés sur dossier passent une épreuve écrite à l'issue de laquelle 20 % d'entre eux sont admis à l'école.

Bac général Épreuve de Spécialité 1-Mars 2021 : image 6

Bac général Épreuve de Spécialité 1-Mars 2021 : image 3

5 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; + infini

[ par : $f(x)=\dfrac {\text e ^x}{x}.$
On note C_f la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé.

Bac général Épreuve de Spécialité 1-Mars 2021 : image 2

5 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Bac général Épreuve de Spécialité 1-Mars 2021 : image 1

SABCD est une pyramide régulière à base carrée ABCD dont toutes les arêtes ont la même longueur.
Le point I est le centre du carré ABCD. On suppose que : IC = IB = IS = 1.
Les points K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [SD], [SC] et [SB].

Bac général Épreuve de Spécialité 1-Mars 2021 : image 4

5 points

exercice Au choix du candidat

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.

Exercice A

$\begin{tabular}{|l|} \hline \textbf{ Principaux domaines abordés :} \\ \textbf{ Suites numériques ; raisonnement par récurrence ; suites géométriques } \\ \hline \end{tabular}$

La suite (u_n) est définie sur N par u₀=1 et pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\dfrac 3 4 u_n+\dfrac 1 4 n +1.$

Bac général Épreuve de Spécialité 1-Mars 2021 : image 5

Exercice B

$\begin{tabular}{|l|} \hline \textbf{ Principaux domaines abordés :} \\ \textbf{ Fonction logarithme ; convexité } \\ \hline \end{tabular}$

On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; + infini

[ par : $f(x)=x+4-4\ln (x) - \dfrac 3 x$
où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
On note C la représentation graphique de f dans un repère orthonormé.

Voir la correction

Bac général Épreuve de Spécialité 1-Mars 2021

5 points

exercice 1 : commun à tous les candidats

Partie I

$\bullet {\white{w}}$ 10 % des candidats sont sélectionnés sur dossier. Ces candidats doivent ensuite passer un oral à l'issue duquel 60 % d'entre eux sont finalement admis à l'école.
$\bullet {\white{w}}$ Les candidats n'ayant pas été sélectionnés sur dossier passent une épreuve écrite à l'issue de laquelle 20 % d'entre eux sont admis à l'école.

1. Arbre pondéré traduisant la situation.

Bac général Épreuve de Spécialité 1-Mars 2021 : image 8

2. Nous devons déterminer $P(D\cap A).$

$P(D\cap A)=P(D)\times P_D(A) \\\phantom{P(D\cap A)}=0,1\times 0,6 \\\phantom{P(D\cap A)}=0,06$
Par conséquent, la probabilité que le candidat soit sélectionné sur dossier et admis à l'école est égale à 0,06.

3. Les événements $D$ et $\overline{D}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(A)=P(D\cap A)+P(\overline{D}\cap A) \\\phantom{P(A)}=0,06+P(\overline{D})\times P_{\overline{D}}(A) \\\phantom{P(A)}=0,06+0,9\times0,2 \\\phantom{P(A)}=0,06+0,18 \\\phantom{P(A)}=0,24 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(A)=0,24}$

2. Nous devons déterminer $P_A(\overline{D}).$

$P_A(\overline{D})=\dfrac{P(\overline{D}\cap A)}{P(A)} \\\\\phantom{P_A(\overline{D})}=\dfrac{P(\overline{D})\times P_{\overline{D}}(A)}{0,24} \\\\\phantom{P_A(\overline{D})}=\dfrac{0,9\times0,2}{0,24}=\dfrac{0,18}{0,24}=\dfrac{18}{24}=\dfrac{3}{4} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_A(\overline{D})=\dfrac{3}{4}=0,75}$
D'où, sachant que le candidat est admis à l'école, la probabilité que son dossier n'ait pas été sélectionné est égale à 0,75.

Partie II

1. a) La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n = 7 et p = 0,24.

1. b) Nous devons déterminer la probabilité qu'un seul des sept candidats tirés au sort soit admis à l'école,
soit P (X = 1).

$P(X=1)=\begin{pmatrix}7\\1\end{pmatrix}\times0,24^1\times(1-0,24)^{7-1} \\\phantom{P(X=1)}=7\times0,24\times0,76^6 \\\phantom{P(X=1)}\approx0,32 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=1)\approx0,32}$
Par conséquent, la probabilité qu'un seul des sept candidats tirés au sort soit admis à l'école est environ égale à 0,32 (valeur arrondie au centième).

1. c) Nous devons déterminer la probabilité qu'au moins deux des sept candidats tirés au sort soient admis à cette école, soit P (X supegal

2).

L'événement contraire de l'événement "au moins deux des sept candidats tirés au sort sont admis à cette école" est "moins de deux des sept candidats tirés au sort sont admis à cette école", soit 0 candidat ou 1 candidat.

D'où $P(X\ge2)=1-[P(X=0)+P(X=1]$

$P(X=0)=\begin{pmatrix}7\\0\end{pmatrix}\times0,24^0\times(1-0,24)^{7-0} \\\phantom{P(X=0)}=1\times1\times0,76^7 \\\phantom{P(X=0)}\approx0,15 \\\\\text{et }P(X=0)\approx0,32 {\white{wwww}}(\text{voir question 1. b)}$
Nous obtenons ainsi : $P(X\ge2)\approx1-(0,15+0,32)\Longrightarrow\boxed{P(X\ge2)\approx0,53}$
Par conséquent, la probabilité qu'au moins deux des sept candidats tirés au sort soient admis à cette école est environ égale à 0,53 (valeur arrondie au centième).

2. a) On admet que la probabilité pour un candidat quelconque du lycée d'être admis à l'école est égale à 0,24.
Donc la probabilité pour un candidat quelconque du lycée de ne pas être admis à l'école est égale à 1 - 0,24 = 0,76.
On admet également que les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres.
Dès lors, la probabilité qu'aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis à l'école est égale à $\overset{{\white{w}}}{0,76^n.}$

2. b) L'événement contraire de l'événement "au moins un élève de ce lycée est admis à l'école" est "aucun élève de ce lycée n'est admis à l'école".
Or nous avons montré dans la question précédente que la probabilité qu'aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis à l'école est égale à $\overset{{\white{w}}}{0,76^n.}$
Donc la probabilité qu'au moins un élève de ce lycée soit admis à l'école est égale à $\overset{{\white{w}}}{1-0,76^n.}$

Pour déterminer à partir de quelle valeur de l'entier n la probabilité qu'au moins un élève de ce lycée soit admis à l'école soit supérieure ou égale à 0,99, nous devons déterminer la plus petite valeur entière de n
telle que $\overset{{\white{w}}}{1-0,76^n\ge0,99.}$

$1-0,76^n\ge0,99\Longleftrightarrow1-0,99\ge0,76^n \\\phantom{1-0,76^n\ge0,99}\Longleftrightarrow0,76^n\le0,01 \\\phantom{1-0,76^n\ge0,99}\Longleftrightarrow\ln(0,76^n)\le\ln(0,01) \\\phantom{1-0,76^n\ge0,99}\Longleftrightarrow n\times\ln(0,76)\le\ln(0,01) \\\\\phantom{1-0,76^n\ge0,99}\Longleftrightarrow n\ge\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,76)}{\white{wwwww}}(\text{Changement de sens de l'inégalité car }\ln(0,76)<0) \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,76)}\approx16,78$
D'où la plus petite valeur entière de n vérifiant l'inégalité est n = 17.
Par conséquent, pour que la probabilité qu'au moins un élève de ce lycée soit admis à l'école soit supérieure ou égale à 0,99, le lycée doit présenter au moins 17 candidats au recrutement dans cette école.

5 points

exercice 2 : commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; + infini

[ par : $f(x)=\dfrac{\text{e}^x}{x}.$

${\red{1.\ \text{a)}}}\ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x}=+\infty{\white{wwwww}}(\text{par les croissances comparées}) \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}$

1. b) L'axe des ordonnées admet comme équation : x = 0.
Déterminons $\overset{{\white{w}}}{\lim\limits_{x\to0^+}f(x).}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\text{e}^x=\text{e}^0=1\\\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ \lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\text{e}^x}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\left(\text{e}^x\times\dfrac{1}{x}\right)=+\infty\ \ \Longrightarrow\ \ \boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty}$

Puisque $\overset{{\white{w}}}{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty}$ , nous déduisons que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe $\overset{{\white{w}}}{\mathscr{C}_f.}$

2. Déterminons l'expression de f' (x ).

$f'(x)=\left(\dfrac{\text{e}^x}{x}\right)'=\dfrac{(\text{e}^x)'\times x -\text{e}^x\times x'}{x^2}=\dfrac{\text{e}^x\times x -\text{e}^x\times 1}{x^2}=\dfrac{\text{e}^x(x-1)}{x^2} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in\ ]0\,;\,+\infty[,\ f'(x)=\dfrac{\text{e}^x(x-1)}{x^2}}$

3. Etudions le signe de la dérivée f' sur l'intervalle ]0 ; + infini

[.
Pour tout x appartenant à ]0 ; + infini

[, e^x > 0 et x ² > 0.
Donc le signe de f' (x ) sera le signe de (x - 1).

Nous obtenons ainsi le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; + infini

[.

${\white{wwwwww}}\begin{matrix}x-1<0\Longleftrightarrow x<1\\\\x-1=0\Longleftrightarrow x=1\\\\x-1>0\Longleftrightarrow x>1\\\\f(1)=\dfrac{\text{e}^1}{1}=\text{e}\end{matrix} \ \ \begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&1&&+\infty\\&&&&&\\\hline x-1&&-&0&+&\\\hline&&&&&\\f'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline &+\infty&&&&+\infty \\ f(x)&&\searrow&&\nearrow& \\ &&&\text{e}&& \\ \hline \end{array}\end{matrix}$

4. Soit m un nombre réel. Nous devons préciser, en fonction des valeurs du nombre réel m , le nombre de solutions de l'équation f (x ) = m .

Dans la question 3, nous avons montré que la fonction f admet un minimum égal à e pour x = 1.
Dès lors,
$\bullet {\white{w}}$ si m < e, alors l'équation f (x ) = m n'admet pas de solution.
$\bullet {\white{w}}$ si m = e, alors l'équation f (x ) = m admet une solution unique : x = 1.
$\bullet {\white{w}}$ si m > e, alors l'équation f (x ) = m admet deux solutions distinctes.
En effet,
D'une part, la fonction f est continue et strictement décroissante sur l'intervalle ]0,1[.

${\white{wwwwww}}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\\f(1)=\text{e}{\white{wwwww}}\end{matrix}\right.$

De plus, $\overset{{\white{.}}}{m>\text{e}\Longleftrightarrow m\in\,]\text{e}\,;\,+\infty[}.$
Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous en déduisons que l'équation f (x ) = m admet une unique solution appartenant à l'intervalle ]0 ; 1[.

D'autre part, la fonction f est continue et strictement croissante sur l'intervalle ]1 ; + infini

[.

${\white{wwwwww}}\left\lbrace\begin{matrix}f(1)=\text{e}{\white{wwwww}}\\\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\end{matrix}\right.$

De plus, $\overset{{\white{.}}}{m>\text{e}\Longleftrightarrow m\in\,]\text{e}\,;\,+\infty[}.$
Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous en déduisons que l'équation f (x ) = m admet une unique solution appartenant à l'intervalle ]1 ; + infini

[.

Par conséquent, si m > e, alors l'équation f (x ) = m admet deux solutions distinctes, l'une appartenant à l'intervalle ]0 ; 1[ et l'autre appartenant à l'intervalle ]1 ; + infini

[.

5. a) Nous savons que deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Le coefficient directeur de la droite deltamaj

: y = -x est égal à -1.
La tangente à la courbe $\overset{{\white{w}}}{\mathscr{C}_f}$ au point d'abscisse a est parallèle à la droite deltamaj

.
Donc son coefficient directeur f' (a ) est égal à -1.
Dès lors, a est solution de l'équation f' (x ) = -1.

$\text{Or }\ f'(x)=-1\Longleftrightarrow\dfrac{\text{e}^x(x-1)}{x^2}=-1\Longleftrightarrow\text{e}^x(x-1)=-x^2 \\\\\phantom{\text{Or }\ f'(x)=-1}\Longleftrightarrow\text{e}^x(x-1)+x^2=0$
Donc a est solution de l'équation $\overset{{\white{.}}}{\text{e}^x(x-1)+x^2=0}.$

5. b) Soit g la fonction définie sur l'intervalle [0 ; + infini

[ par : $g(x)=\text{e}^x(x-1)+x^2.$

$g'(x)=[\text{e}^x(x-1)]'+(x^2)' \\\phantom{g'(x)}=(\text{e}^x)'\times(x-1)+\text{e}^x\times(x-1)'+2x \\\phantom{g'(x)}=\text{e}^x\,(x-1)+\text{e}^x\times1+2x \\\phantom{g'(x)}=\text{e}^x\,(x-1)+\text{e}^x+2x \\\phantom{g'(x)}=x\,\text{e}^x-\text{e}^x+\text{e}^x+2x \\\phantom{g'(x)}=x\,\text{e}^x+2x \\\phantom{g'(x)}=x\,(\text{e}^x+2) \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in[0\,;\,+\infty[,\ \ g'(x)=x\,(\text{e}^x+2)}$

Etudions les variations de la fonction g sur [0 ; + infini

[.

$\forall\ x\in[0\,;\,+\infty[,\ \ \left\lbrace\begin{matrix}x\ge0\\\text{e}^x+2>0\end{matrix}\right.{\white{www}}\Longrightarrow{\white{www}}x\,(\text{e}^x+2)\ge0 \\\\ {\white{wwwwwwwwwwwwwwwwwwww}}\Longrightarrow \ \ \boxed{g'(x)\ge0}$

Nous obtenons ainsi le tableau de variations de la fonction g sur l'intervalle [0 ; + infini

[.

${\white{wwwwww}}\begin{matrix}g'(x)=0\Longleftrightarrow x\,(\text{e}^x+2)=0\\\ \Longleftrightarrow x=0\\\\g(0)=\text{e}^0(0-1)+0=-1\\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^x=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}(x-1)=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}x^2=+\infty\end{matrix}\right.\\\\\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\end{matrix}{\white{www}} \ \ \begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{www}}\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\g'(x)&0&+&+&+&\\&&&&&\\\hline &&&&&+\infty \\ g(x)&&\nearrow&\nearrow&\nearrow& \\ &-1&&&& \\ \hline \end{array}\end{matrix}$

5. c) La fonction g est continue et strictement croissante sur l'intervalle [0 ; + infini

[.

${\white{wwwwww}}\left\lbrace\begin{matrix}g(0)=-1{\white{wwwww}}\\\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\end{matrix}\right.$

De plus, $\overset{{\white{.}}}{0\in\,]-1;\,+\infty[}.$
Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous en déduisons que l'équation g (x ) = 0 admet une unique solution a appartenant à l'intervalle [0 ; + infini

[.

Par conséquent, il existe un unique point A en lequel la tangente à $\overset{{\white{w}}}{\mathscr{C}_f}$ est parallèle à la droite .

5 points

exercice 3 : commun à tous les candidats

${\red{\text{1. }}{\blue{\text{Réponse\ c.\,:\ les\ droites\ (AC)\ et\ (SB)\ ne\ sont\ pas\ coplanaires.}}}}$

$\bullet {\white{w}}$ La réponse a. est inexacte car les droites (DK) et (SD) sont confondues.
$\bullet {\white{w}}$ La réponse b. est inexacte car les droites (AS) et (IC) sont sécantes en A.
En effet, le point A appartient à la droite (AS).
La droite (IC) n'est autre que la droites (AC).
Il s'ensuit que le point A appartient à la droite (IC).
$\bullet {\white{w}}$ La réponse d. est inexacte car les droites (LM) et (AD) sont parallèles et donc coplanaires.
En effet, la droite (LM) est parallèle à la droite (BC) (en vertu du théorème des milieux dans le triangle SCB) et la droite (BC) est parallèle à la droite (AD) (car ABCD est un carré).
Puisque deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles, nous en déduisons que les droites (LM) et (AD) sont parallèles.
Par conséquent, la réponse correcte est la réponse c : les droites (AC) et (SB) ne sont pas coplanaires.

${\red{\text{2. }}{\blue{\text{Réponse\ b\,:\ les coordonnées du milieu N de [KL] sont }\left(\dfrac{1}{4}\,;\,-\dfrac{1}{4}\,;\,\dfrac{1}{2}\right).}}}$

$\bullet {\white{w}}$ Le point K est le milieu de l'arête [SD].

$\left\lbrace\begin{matrix}S(0\,;\,0\,;\,1)\\D(0\,;\,-1\,;\,0)\end{matrix}\right.{\white{ww}}\Longrightarrow{\white{ww}}K(\dfrac{0+0}{2}\,;\,\dfrac{0+(-1)}{2}\,;\,\dfrac{1+0}{2})\ \ \Longrightarrow{\white{ww}}\boxed{K(0\,;\,-\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2})}$
$\bullet {\white{w}}$ Le point L est le milieu de l'arête [SC].

$\left\lbrace\begin{matrix}S(0\,;\,0\,;\,1)\\C(1\,;\,0\,;\,0)\end{matrix}\right.{\white{ww}}\Longrightarrow{\white{ww}}L(\dfrac{0+1}{2}\,;\,\dfrac{0+0}{2}\,;\,\dfrac{1+0}{2})\ \ \Longrightarrow{\white{ww}}\boxed{L(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,\dfrac{1}{2})}$
$\bullet {\white{w}}$ Le point N est le milieu de l'arête [KL].

$\left\lbrace\begin{matrix}K(0\,;\,-\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2})\\\\L(\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,\dfrac{1}{2})\end{matrix}\right.{\white{ww}}\Longrightarrow{\white{ww}}N(\dfrac{0+\dfrac{1}{2}}{2}\,;\,\dfrac{-\dfrac{1}{2}+0}{2}\,;\,\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}{2})\ \ \Longrightarrow{\white{ww}}\boxed{{\blue{N(\dfrac{1}{4}\,;\,-\dfrac{1}{4}\,;\,\dfrac{1}{2})}}}$
${\red{\text{3. }}{\blue{\text{Réponse\ b\,:\ les coordonnées du vecteur }\overrightarrow{AS}\text{ sont}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}.}}}$

$\left\lbrace\begin{matrix}A(-1\,;\,0\,;\,0)\\S(0\,;\,0\,;\,1)\end{matrix}\right.{\white{ww}}\Longrightarrow{\white{ww}}\overrightarrow{AS}\begin{pmatrix}x_S-x_A\\y_S-y_A\\z_S-z_A\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0-(-1)\\0-0\\1-0\end{pmatrix}\ \ \Longrightarrow{\white{ww}}\boxed{{\blue{\overrightarrow{AS}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}}}$

${\red{\text{4. }}{\blue{\text{Réponse\ c\,:\ une représentation paramétrique de la droite (AS) est}\left\lbrace\begin{matrix}x=t{\white{ ww}}\\y=0{\white{ ww}}\\z=1+t\end{matrix}\right.{\white{ ww}}(t\in\R).}}}$
La droite (AS) est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{AS}\begin{pmatrix}{\red{1}}\\ {\red{0}}\\ {\red{1}}\end{pmatrix}$ .
La droite (AS) passe par le point $\overset{{\white{.}}}{S({\blue{0}}\,;\,{\blue{0}}\,;\,{\blue{1}})}.$
D'où une représentation paramétrique de la droite (AS) est donnée par :

$\left\lbrace\begin{array}l x={\blue{0}}+{\red{1}}\times t\\y={\blue{0}}+{\red{0}}\times t\\z={\blue{1}}+{\red{1}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})$
soit $\boxed{(AS):\left\lbrace\begin{array}l x=t\\y=0\\z=1+t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}$

${\red{\text{5. }}{\blue{\text{Réponse\ b\,:\ une équation cartésienne du plan (SCB) est }x+y+z-1=0.}}}$
$\bullet {\white{w}}$ La réponse a. est inexacte car les coordonnées (1 ; 0 ; 0) du point C ne vérifient pas l'équation $\overset{{\white{.}}}{y+z-1=0.}$
En effet, 0 + 0 - 1 different

0.
$\bullet {\white{w}}$ La réponse b. est correcte car les coordonnées des points S, C et B vérifient l'équation $x+y+z-1=0.$
En effet : 0 + 0 + 1 - 1 = 0.
${\white{en effet}}$ 1 + 0 + 0 - 1 = 0.
${\white{en effet}}$ 0 + 1 + 0 - 1 = 0.

5 points

exercice Au choix du candidat

Exercice A

$\begin{tabular}{|l|} \hline \textbf{ Principaux domaines abordés :} \\ \textbf{ Suites numériques ; raisonnement par récurrence ; suites géométriques } \\ \hline \end{tabular}$

La suite (u_n ) est définie sur

par u₀=1 et pour tout entier naturel n , $u_{n+1}=\dfrac 3 4 u_n+\dfrac 1 4 n +1.$

${\red{1.}}\ \boxed{u_0=1} \\\\\phantom{{\red{1.}}\ }u_{1}=\dfrac 3 4 u_0+\dfrac 1 4 \times0 +1=\dfrac 3 4 \times1+0 +1=\dfrac 3 4+1=\dfrac74 \\\\\phantom{{\red{1.}}\ }\Longrightarrow \boxed{u_{1}=\dfrac74} \\\\\phantom{{\red{1.}}\ }u_{2}=\dfrac 3 4 u_1+\dfrac 1 4 \times1 +1=\dfrac 3 4 \times\dfrac 74+\dfrac 14 +1=\dfrac {21}{16}+\dfrac {4}{16}+\dfrac {16}{16}=\dfrac{41}{16} \\\\\phantom{{\red{1.}}\ }\Longrightarrow \boxed{u_{2}=\dfrac{41}{16}}$

2. a) Pour obtenir les termes successifs de (u_n ) dans la colonne B, nous pouvons écrire la formule suivante dans la cellule B3, étirée ensuite vers le bas : $\boxed{{\blue{=3/4*B\,2+1/4*A\,2+1}}}$

2. b) La lecture des premiers éléments de la colonne B permet de conjecturer que la suite (u_n ) est strictement croissante.

3. a) Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n , nous avons : $\overset{{\white{.}}}{n\le u_n\le n+1}.$

$\bullet {\white{w}}$ Initialisation : Démontrons la propriété pour n = 0, soit $\overset{{\white{.}}}{0\le u_0\le0+1}$ .

Évident car $u_0=1\Longrightarrow\boxed{0\le u_0\le0+1}$
L'initiation est donc vraie.

$\bullet {\white{w}}$ Hérédité : Démontrons que si pour une valeur entière naturelle fixée de n , la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang n + 1.
Supposons donc que si pour tout entier naturel n , nous avons $\overset{{\white{.}}}{n\le u_n\le n+1}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{n+1\le u_{n+1}\le n+2}.$

Nous savons que $u_{n+1}=\dfrac 3 4 u_n+\dfrac 1 4 n +1.$

$\text{Or }\ n\le u_n\le n+1\Longrightarrow \dfrac34n\le \dfrac34u_n\le \dfrac34(n+1){\white{nnn}}(\text{en multipliant par }\dfrac34) \\\\\phantom{\text{Or }\ n\le u_n\le n+1}\Longrightarrow \dfrac34n\le \dfrac34u_n\le \dfrac34n+\dfrac34 \\\\\phantom{\text{Or }\ n\le u_n\le n+1}\Longrightarrow \dfrac34n\,{\blue{+\dfrac14n+1}}\le \dfrac34u_n\,{\blue{+\dfrac14n+1}}\le \dfrac34n+\dfrac34\,{\blue{+\dfrac14n+1}} \\\\\phantom{\text{Or }\ n\le u_n\le n+1}\Longrightarrow n+1\le u_{n+1}\le n+\dfrac74\,{\red{\le n+2}} \\\\\phantom{\text{Or }\ n\le u_n\le n+1}\Longrightarrow \boxed{n+1\le u_{n+1}\le n+2}$
L'hérédité est donc vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel n , nous avons : $\overset{{\white{.}}}{n\le u_n\le n+1}.$

${\red{3.\ \text{b) }}}\ \forall\ n\in\N,\ u_{n+1}-u_n=\dfrac 3 4 u_n+\dfrac 1 4 n +1-u_n \\\\\phantom{{\red{3.\ \text{b) }}}\ \forall\ n\in\N,\ u_{n+1}-u_n}=\dfrac 1 4 n-\dfrac 1 4 u_n +1 \\\\\phantom{{\red{3.\ \text{b) }}}\ \forall\ n\in\N,\ u_{n+1}-u_n}=\dfrac 1 4 (n- u_n )+1 \\\\\phantom{{\red{3.\ \text{b) }}}\ \forall\ n\in\N,\ u_{n+1}-u_n}\ge\dfrac 1 4 \times(-1)+1{\white{nnn}}(\text{car }u_n\le n+1\Longrightarrow n-u_n\ge-1) \\\\\phantom{{\red{3.\ \text{b) }}}\ \forall\ n\in\N,\ u_{n+1}-u_n}\ge-\dfrac 1 4 +1 \\\\\phantom{{\red{3.\ \text{b) }}}\ \forall\ n\in\N,\ u_{n+1}-u_n}\ge\dfrac 3 4>0 \\\\\Longrightarrow\boxed{ \forall\ n\in\N,\ u_{n+1}-u_n>0}$

Par conséquent, la suite (u_n ) est strictement croissante.

De plus, par le théorème de comparaison, nous obtenons : $\left\lbrace\begin{matrix}n\le u_n\\\lim\limits_{n\to+\infty}n=+\infty\end{matrix}\right.{\white{www}}\Longrightarrow{\white{www}}\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty}$

3. c) Nous savons par la question 3. a) que pour tout entier naturel n , $n\le u_n\le n+1.$

Dès lors, pour tout entier naturel n non nul,

$n\le u_n\le n+1\Longrightarrow\dfrac{n}{n}\le \dfrac{u_n}{n}\le \dfrac{n+1}{n} \\\\\phantom{n\le u_n\le n+1}\Longrightarrow1\le \dfrac{u_n}{n}\le 1+\dfrac{1}{n}$
Par le "théorème des gendarmes", nous obtenons : $\left\lbrace\begin{matrix}1\le \dfrac{u_n}{n}\le 1+\dfrac{1}{n}\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=1\end{matrix}\right.{\white{www}}\Longrightarrow{\white{www}}\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{n}=1}$

4. Soit la suite (v_n ) définie sur

par $\overset{{\white{.}}}{v_n=u_n-n}.$

4. a) Pour tout entier naturel n ,

$v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)\Longleftrightarrow v_{n+1}=u_{n+1}-n-1 \\\\\phantom{v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)}\Longleftrightarrow v_{n+1}=(\dfrac 3 4 u_n+\dfrac 1 4 n +1)-n-1 \\\\\phantom{v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)}\Longleftrightarrow v_{n+1}=\dfrac 3 4 u_n+\dfrac 1 4 n +1-n-1 \\\\\phantom{v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)}\Longleftrightarrow v_{n+1}=\dfrac 3 4 u_n-\dfrac 3 4 n \\\\\phantom{v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)}\Longleftrightarrow v_{n+1}=\dfrac 3 4 (u_n-n) \\\\\phantom{v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)}\Longleftrightarrow \boxed{v_{n+1}=\dfrac 3 4 v_n} \\\\\underline{\text{Remarque}}\ :\ v_0=u_0-0=1-0\Longrightarrow\boxed{v_0=1}$
Par conséquent, la suite (v_n ) est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{3}{4}$ dont le premier terme est $\overset{{\white{.}}}{v_0=1}.$

4. b) Le terme général de la suite (v_n ) est $\overset{{\white{.}}}{v_n=v_0\times q^{n}}.$
Donc, pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{w}}}{v_n=1\times\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}}$ , soit $\overset{{\white{w}}}{v_n=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}}$ .
Or $v_n=u_n-n\Longrightarrow u_n=v_n+n.$
D'où, pour tout entier naturel n , nous obtenons : $\boxed{u_n=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n}+n}$

Exercice B

$\begin{tabular}{|l|} \hline \textbf{ Principaux domaines abordés :} \\ \textbf{ Fonction logarithme ; convexité } \\ \hline \end{tabular}$

Soit la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; + infini

[ par : $f(x)=x+4-4\ln(x)-\dfrac{3}{x}.$

1. Pour tout x appartenant à l'intervalle ]0 ; + infini

[,

$f(x)=x+4-4\ln(x)-\dfrac{3}{x}\Longleftrightarrow \boxed{f(x)=x\left(1+\dfrac{4}{x}-\dfrac{4\ln(x)}{x}-\dfrac{3}{x^2}\right)}$

$\bullet {\white{w}}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{4}{x}=0.$
$\bullet {\white{w}}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{4\ln(x)}{x}=0$ par les croissances comparées.
$\bullet {\white{w}}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3}{x^2}=0.$
$\text{D'où }\ \lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{4}{x}-\dfrac{4\ln(x)}{x}-\dfrac{3}{x^2}\right)=1+0-0-0=1\\\\\phantom{\text{D'où }}\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\left[x\left(1+\dfrac{4}{x}-\dfrac{4\ln(x)}{x}-\dfrac{3}{x^2}\right)\right]=+\infty \\\\\phantom{\text{D'où }}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}$

2. Déterminons l'expression de f' (x ).

$f'(x)=\left(x+4-4\ln(x)-\dfrac{3}{x}\right)' \\\phantom{f'(x)}=x'+4'-4\times(\ln(x))'-3\times\left(\dfrac{1}{x}\right)' \\\phantom{f'(x)}=1+0-4\times\dfrac{1}{x}-3\times\left(\dfrac{-1}{x^2}\right) \\\phantom{f'(x)}=1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{x^2} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{x^2-4x+3}{x^2} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x>0,\ \ f'(x)=\dfrac{x^2-4x+3}{x^2}}$

3. a) Etudions le signe de la dérivée f' et déduisons-en les variations de f .
Nous savons que x ² > 0 pour tout x > 0.
Donc le signe de f' (x ) est le signe de x ² - 4x + 3.

$\text{Discriminant : }\Delta=(-4)^2-4\times1\times3=16-12=4>0\\ \\\text{Racines : }x_1=\dfrac{4-\sqrt{4}}{2}=\dfrac{4-2}{2}=\dfrac{2}{2}=1 \\\phantom{\text{Racines : }}x_2=\dfrac{4+\sqrt{4}}{2}=\dfrac{4+2}{2}=\dfrac{6}{2}=3$

Le trinôme x ² - 4x + 3 est du signe du coefficient de x ² (soit positif) pour toutes les valeurs de x sauf entre les racines.
Nous obtenons ainsi le tableau de signes de la dérivée et les variations de f sur l'intervalle ]0 ; + infini

[.

$\text{Calculs préliminaires :}\ f(1)=1+4-4\ln(1)-\dfrac{3}{1}=1+4-0-3=2 \\\phantom{\text{Calculs préliminaires }\ }f(3)=3+4-4\ln(3)-\dfrac{3}{3}=6-4\ln(3)\approx1,61 \\\phantom{\text{Calculs préliminaires }\ }\lim\limits_{x\to0}f=-\infty\ (\text{admis dans l'énoncé})\\\phantom{\text{Calculs préliminaires }\ }\lim\limits_{x\to+\infty}f=+\infty\ (\text{voir question 1.}) \\\\ {\white{wwwwwwww}}\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x&0&&1&&3&&+\infty \\\hline&&&&&&&&x^2-4x+3&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline &&&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline &&&2&&&&+\infty \\ f(x)&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\ &-\infty&&&&6-4\ln(3)\approx1,61&& \\ \hline \end{array}$

3. b) Nous savons que $\left\lbrace\begin{matrix}6-4\ln(3)\approx1,61\\\dfrac{5}{3}\approx1,67{\white{wwwww}}\end{matrix}\right.{\white{www}}\Longrightarrow{\white{www}}\boxed{6-4\ln(3)<\dfrac{5}{3}<2}$ .
Dès lors, par une simple lecture du tableau de variations de f , nous déduisons que l'équation $f(x)=\dfrac{5}{3}$ admet exactement trois solutions, la première $\overset{{\white{.}}}{x_1\in\,]-\infty\,;\,1]}$ , la deuxième $\overset{{\white{.}}}{x_2\in\,[1\,;\,3]}$ et la troisième $\overset{{\white{.}}}{x_3\in\,[3\,;\,+\infty[}.$

4. La convexité de la fonction f dépend du signe de la dérivée seconde f'' .

$\forall\ x>0,\ \ f''(x)=\left(\dfrac{x^2-4x+3}{x^2}\right)'=\left(1-\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{x^2}\right)' \\\phantom{\forall\ x>0,\ \ f''(x)}=1'-4\left(\dfrac{1}{x}\right)'+3\left(\dfrac{1}{x^2}\right)' \\\phantom{\forall\ x>0,\ \ f''(x)}=0-4\left(\dfrac{-1}{x^2}\right)+3\left(\dfrac{-2}{x^3}\right){\white{www}}\left[\text{car }\left(\dfrac{1}{x^2}\right)'=(x^{-2})'=-2x^{-3}=\dfrac{-2}{x^3}\right] \\\phantom{\forall\ x>0,\ \ f''(x)}=\dfrac{4}{x^2}-\dfrac{6}{x^3} \\\\\phantom{\forall\ x>0,\ \ f''(x)}=\dfrac{4x-6}{x^3} \\\\\Longrightarrow\boxed{f''(x)=\dfrac{4x-6}{x^3}}$

Etudions le signe de la dérivée seconde f'' et déduisons-en la convexité de f .
Nous savons que x ³ > 0 pour tout x > 0.
Donc le signe de f'' (x ) est le signe de 4x - 6.

$\begin{matrix}4x-6<0\Longleftrightarrow 4x<6\\\phantom{4x-6<0}\Longleftrightarrow x<\dfrac{6}{4}\\\\\phantom{4x-6<0}\Longleftrightarrow x<\dfrac{3}{2}\\\\4x-6=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\\\\4x-6>0\Longleftrightarrow x>\dfrac{3}{2}\end{matrix} \ \ \ \ \begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&\dfrac{3}{2}&&+\infty\\&&&&&\\\hline 4x-6&&-&0&+&\\\hline&&&&&& f''(x)&&-&0&+&&&&&&&\\\hline&&&&&\\\text{Convexité de }f&&\text{f est concave}&&\text{f est convexe}&\\&&&&& \\ \hline \end{array}\end{matrix}$

Par conséquent, f est concave sur l'intervalle $]-\infty\,;\,\dfrac{3}{2}]$ et est convexe sur l'intervalle $[\dfrac{3}{2}\,;\,+\infty[.$

Nous constatons que la convexité de f ne change qu'une seule fois sur l'intervalle ]0 ; + infini

[.
Donc la courbe $\mathscr{C}$ admet un unique point d'inflexion en $x=\dfrac{3}{2}.$

$f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{3}{2}+4-4\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)-\dfrac{3}{\dfrac{3}{2}} \\\phantom{f(\dfrac{3}{2})}=\dfrac{3}{2}+4-4\left\ln(\dfrac{3}{2}\right)-2{\white{wwww}}(\text{car }\dfrac{3}{\dfrac{3}{2}}=3\times\dfrac{2}{3}=2) \\\phantom{f(\dfrac{3}{2})}=\dfrac{7}{2}-4\ln\left(\dfrac{3}{2}\right) \\\\\Longrightarrow\boxed{f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{7}{2}-4\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)}$
D'où les coordonnées de l'unique point d'inflexion de $\mathscr{C}$ sont $\left(\dfrac{3}{2}\,;\,\dfrac{7}{2}-4\ln(\dfrac{3}{2})\right).$

Publié par malou le 25-04-2021

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