Fiche de mathématiques
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Bac ES-L obligatoire et spécialité

Nouvelle Calédonie novembre 2019

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Durée : 3 heures

Obligatoire ES : coefficient 5

Spécialité L : coefficient 4

Spécialité ES : coefficient 7

4 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

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5 points

exercice 2 : Candidats de ES n'ayant pas suivi la spécialité ou candidats de L

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5 points

exercice 2 : Candidats de ES ayant suivi la spécialité

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5 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

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6 points

exercice 4 : Commun à tous les candidats


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4 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

{\red{\text{1. }}\blue{\mathbf{Réponse\ d)\ }{\red{3.}}}
Graphiquement, nous observons que
la courbe Cf  coupe la droite horizontale             
d'équation y  = 2 en trois points.
          
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{\red{\text{2. }}\blue{\mathbf{Réponse\ b)\ }{\red{29.}}}
L'inconnue n  est un nombre entier naturel.
Les réponses c) et d) sont donc à exclure.
Testons les valeurs n  = 28 et n  = 29 afin de déterminer une des solutions de l'inéquation.

\left\lbrace\begin{matrix}1-0,85^{28}\approx0,9894\ {\red{<0,99}} \\1-0,85^{29}\approx0,9910\ {\red{>0,99}} \end{matrix}\right.
Par conséquent, 29 est une des solutions de l'inéquation 1 - 0,85n > 0,99.

{\red{\text{3. }}\blue{\mathbf{Réponse\ b)\ }{\red{0,07.}}}
Considérons la variable aléatoire X  dont les valeurs représentent le nombre de jours où Esteban oublie sa trousse.
Nous répétons 162 fois la même expérience aléatoire.
Tous les oublis sont indépendants les uns des autres.
Chaque expérience possède exactement deux issues :
 la réussite T  : "Esteban oublie sa trousse" dont la probabilité est p  = 0,2.
 l'échec  \overline{T}  "Esteban n'oublie pas sa trousse" dont la probabilité est 1 - p = 0,8.
Dans, ce cas, la variable aléatoire X  suit la loi binomiale de paramètres n  = 162 et p  = 0,2.

Nous devons calculer P (X  = 30).

P(X=30)=\begin{pmatrix}162\\30\end{pmatrix}\times0,2^{30}\times(1-0,2)^{162-30} \\\phantom{P(X=30)}=\begin{pmatrix}162\\30\end{pmatrix}\times0,2^{30}\times0,8^{132} \\\phantom{P(X=30)}\approx0,07184173732 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=30)\approx0,07}
D'où la probabilité qu'Esteban oublie sa trousse 30 fois exactement dans l'année est environ égale à 0,07 (valeur arrondie au centième).

{\red{\text{4. }}\blue{\mathbf{Réponse\ a)\ }{\red{4\,000\,000.}}}
Une enquête a pour objectif d'estimer la proportion de personnes partant en vacances à l'étranger durant la semaine de Noël.
Si la taille de l'échantillon est n  et la fréquence observée est f , alors l'intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 est de la forme  [f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;\,f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}].

L'amplitude de cet intervalle est égale à  (f+\dfrac{1}{\sqrt{n}})-(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}})=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\boxed{\dfrac{2}{\sqrt{n}}}
Cette amplitude doit être égale à 0,001.
\text{Dès lors, }\ \dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,001\Longrightarrow\dfrac{2}{0,001}=\sqrt{n} \\\phantom{\text{Dès lors, }\ \dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,001}\Longrightarrow\sqrt{n}=2\,000 \\\phantom{\text{Dès lors, }\ \dfrac{2}{\sqrt{n}}=0,001}\Longrightarrow\boxed{n=4\,000\,000}

5 points

exercice 2 : Candidats de ES n'ayant pas suivi la spécialité et candidats de L

Partie A

Pour tout entier naturel n , on note un  le nombre de poissons au 1er janvier de l'année 2018 + n  avec u 0 = 150.
1.  Le nombre de poissons u 1 au 1er janvier 2019 se calcule comme suit :
d'abord une augmentation de 20 % du nombre u 0 , ce qui revient à calculer 1,2 multiplie u 0
ensuite une diminution fixe de 28 poissons à la fin de l'année 2018, ce qui revient à calculer 1,2 multiplie u 0 - 28.
\overset{.}{\text{D'où }u_1=1,2\times u_0-28} \\\phantom{\text{D'où }u_1}=1,2\times150-28\\\phantom{\text{D'où }u_1}=152 \\\\\Longrightarrow\boxed{u_1=152}

Par une démarche analogue, nous obtenons :
\overset{.}{u_2=1,2\times u_1-28} \\\phantom{u_2}=1,2\times152-28\\\phantom{u_2}=154,4 \\\\\Longrightarrow\boxed{u_2=154,4}

2.  On note un  le nombre de poissons au 1er janvier de l'année 2018 + n .
Le nombre de poissons u n +1  au 1er janvier "2018 + (n +1)" se calcule comme suit :
d'abord une augmentation de 20 % du nombre un , ce qui revient à calculer 1,2 multiplie un
ensuite une diminution fixe de 28 poissons à la fin de l'année 2018 + n , ce qui revient à calculer 1,2 multiplie un - 28.
D'où pour tout entier naturel n ,  \boxed{u_{n+1}=1,2\times u_n-28}.

3.  Pour tout entier naturel n , on pose : wn  = un  - 140.

3. a.  Montrons que la suite (wn ) est une suite géométrique.

w_{n+1}=u_{n+1}-140 \\\phantom{w_{n+1}}=(1,2\times u_{n}-28)-140 \\\phantom{w_{n+1}}=1,2\times u_{n}-168 \\\phantom{w_{n+1}}=1,2\times u_{n}-1,2\times140 \\\phantom{w_{n+1}}=1,2\times (u_{n}-140) \\\phantom{v_{n+1}}=1,2\times w_{n} \\\\\Longrightarrow\boxed{w_{n+1}=1,2\times w_{n}} \\\\\text{Remarque :}\ w_0=u_0-140=150-140\Longrightarrow \boxed{w_0=10}
Nous en déduisons que la suite (wn ) est une suite géométrique de raison q  = 1,2 dont le premier terme
est w 0 = 10.


3. b.  Le terme général de la suite (wn ) est  w_n=w_0\times q^{n} .
Donc, pour tout n  supegal 0,  \overset{.}{\boxed{w_n=10\times1,2^{n}}}

w_{n}=u_{n}-140\Longleftrightarrow u_n=w_n+140 \\\overset{\frac{}{}}{\text{Or }\ w_n=10\times1,2^n} \\\overset{\frac{}{}}{\Longrightarrow\boxed{ u_n=10\times1,2^n+140}}

4.  Déterminons le plus grand entier naturel n  vérifiant l'inéquation un  infegal 200.

u_n\le200\Longleftrightarrow 10\times1,2^n+140\le200 \\\phantom{u_n\le200}\Longleftrightarrow 10\times1,2^n\le200-140 \\\phantom{u_n\le200}\Longleftrightarrow 10\times1,2^n\le60 \\\phantom{u_n\le200}\Longleftrightarrow 1,2^n\le6 \\\phantom{u_n\le200}\Longleftrightarrow \ln(1,2^n)\le\ln(6) \\\phantom{u_n\le200}\Longleftrightarrow n\times\ln(1,2)\le\ln(6) \\\\\phantom{u_n\le200}\Longleftrightarrow n\le\dfrac{\ln(6)}{\ln(1,2)}\ \ \ \< \ (\text{conservation du sens de  l'inégalité car }\ln(1,2)>0)} \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln(6)}{\ln(1,2)}\approx9,827
Donc le plus grand entier naturel n  vérifiant l'inéquation est n  = 9.
2018 + 9 = 2027.
Par conséquent, la responsable doit prévoir l'achat d'un autre aquarium en 2027.

Partie B

1.  Algorithme complété.

       \begin{array}{|c|}\hline S\longleftarrow0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\V\longleftarrow1350\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Pour }N\ \text{allant de 1 à }{\red{6}}\ \ \ \  \\|S\longleftarrow{\red{S+V}}\\\ \ \ \ \ \ |V\longleftarrow 1,12V\ \ \ \ \ \  \\\text{Fin Pour}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\S\longleftarrow8S\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline\end{array}

2.  Tableau reprenant les valeurs contenues dans les variables N , S et V  en exécutant l'algorithme :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline N &&1&2&3&4&5&6&\\\hline S&0&1350&2862&4555,44&6452,0928&8576,343936&10955,50521&{\red{ 87644,04166}}\\\hline V&1350&1512&1693,44&1896,6528&2124,251136&2379,161272&2664,660625&\\\hline\end{array}

Nous en déduisons que la recette totale accumulée durant les six premiers mois s'élève à environ 87 644 euros.

5 points

exercice 2 : Candidats de ES ayant suivi la spécialité

Partie A

1.  Etudions le degré de chaque sommet.

                       \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Sommets}&A&B&C&D&E&F&G&H&I \\\hline \text{Degrés}&4&2&4&6&2&4&4&4&2\\\hline \end{array}

Le graphe est connexe car on peut relier, directement ou non, n'importe quel sommet à n'importe quel autre sommet du graphe par une chaîne d'arêtes, par exemple en utilisant le cycle suivant : A - B - C - D - I - H - F - G - E - D - A.
De plus, chaque sommet du graphe est de degré pair.
Nous en déduisons que ce graphe admet un cycle eulérien.
Par conséquent, Inaé pourra explorer tous les sentiers en ne passant qu'une fois sur chacun d'entre eux.

2.  Utilisons l'algorithme de Dijkstra afin de déterminer la distance minimale pour aller du point A au point I.

                     
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D'où le chemin le plus court pour aller du point A au point I est A - B - C - F - D - I.
La longueur de ce trajet est de 18 km.

Partie B

1.  Graphe probabiliste représentant la situation :
            
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2.  En 2018, seulement 10% des clients ont loué des vélos électriques.
D'où, e 0 = 0,1 et par conséquent, c 0 = 1 - e 0 = 0,9.
Dès lors, la matrice traduisant l'état probabiliste initial est  \boxed{P_0=\begin{pmatrix}c_0 & e_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,9 & 0,1\end{pmatrix}}.

La matrice de transition M  du graphe probabiliste dans l'ordre C - E est  \boxed{M=\begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,15&0,85\end{pmatrix}}

{\red{3.\ }}\ P_{1}=P_0\times M\\\phantom{{\red{3.\ }}\ P_{1}}=\begin{pmatrix}0,9&0,1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,15&0,85\end{pmatrix}\\\\\phantom{{\red{3. \ }} \ P_{1}}=\begin{pmatrix}0,9\times0,7+0,1\times0,15 & 0,9\times0,3+0,1\times0,85\end{pmatrix}\\\\\Longrightarrow\boxed{P_{1}=\begin{pmatrix}0,645 &0,355\end{pmatrix}}

4.  La matrice M  de transition ne comporte pas de 0.
L'état probabiliste Pn  à l'étape n  converge vers un état P  indépendant de l'état initial P0 .
Cet état P  est l'état probabiliste stable du système et vérifie la relation PmultiplieM = P.

Soit   P=\begin{pmatrix}c & e\end{pmatrix}\ \ \ \text{avec }c+e=1
Alors

 P\times M=P

\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}c&e\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,7&0,3 \\ 0,15 & 0,85\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c&e\end{pmatrix}\ \ \ \text{avec }c+e=1

\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}0,7c+0,15e & 0,3c+0,85e\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c & e\end{pmatrix}\ \ \ \text{avec }c+e=1

\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l 0,7c+0,15e=c\\0,3c+0,85e=e\\c+e=1 \end{array} \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l 0,7c-c+0,15e=0\\0,3c+0,85e-e=0\\c+e=1 \end{array} \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l -0,3c+0,15e=0\\0,3c-0,15e=0\\c+e=1 \end{array}

\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{array}l -0,3c+0,15e=0\\c+e=1 \end{array}}
Par conséquent, c  et e  sont solutions du système  \boxed{\left\lbrace\begin{array}l -0,3c+0,15e=0\\c+e=1 \end{array}}

Résolvons ce système.

\left\lbrace\begin{array}l-0,3c+0,15e=0\\c+e=1\end{array} \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l-0,3c+0,15e=0\\e=1-c \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l-0,3c+0,15(1-c)=0\\e=1-c \end{array}

\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l-0,3c+0,15-0,15c=0\\e=1-c  \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l-0,45c+0,15=0\\e=1-c \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l0,45c=0,15\\e=1-c \end{array}

 \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array} l c=\dfrac{0,15}{0,45}\\\\e=1-c \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l c=\dfrac{1}{3}\\\\e=1-\dfrac{1}{3} \end{array}\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{array}lc=\dfrac{1}{3}\\\\e=\dfrac{2}{3} \end{array}}

D'où l'état probabiliste stable est   \boxed{P=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3}\end{pmatrix}}
Nous en déduisons qu'à long terme, chaque année, un tiers des clients loueront des vélos classiques et deux tiers des clients loueront des vélos électriques.

5 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

Partie A

1.  Selon l'énoncé, "la probabilité d'observer des bébés éléphants mais pas d'adultes éléphants dans la journée est de 0,015" .
D'où,  \overset{.}{\boxed{p(\overline{A}\cap B)=0,015}}.

2.  Arbre pondéré de probabilités traduisant la situation à ce stade de l'exercice :
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3.   En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

p(B)= p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B) \\\phantom{p(B)}=p(A)\times p_A(B)+0,015\ \\\phantom{p(B)}=0,85\times0,5+0,015 \\\phantom{p(B)}=0,425+0,015 \\\phantom{p(B}=0,44 \\\\\Longrightarrow\boxed{p(B)=0,44}
D'où la probabilité que le touriste ait vu des bébés éléphants dans la journée est égale à 0,44.

4. a.  Nous devons déterminer  p_{\overline{A}}(B) .

p_{\overline{A}}(B)=\dfrac{p(\overline{A}\cap B)}{p(\overline{A})} \\\\\phantom{p_{\overline{A}}(B)}=\dfrac{0,015}{0,15} \\\\\phantom{p_{\overline{A}}(B)}=0,1 \\\\\Longrightarrow\boxed{p_{\overline{A}}(B)=0,1}

L'arbre de probabilité pondéré peut alors être complété comme suit :

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4. b.  Sachant que le touriste n'a pas vu d'éléphant adulte durant la journée, la probabilité qu'il ait vu des bébés éléphants est égale à 0,1.

Partie B

1.  Soit T  une variable aléatoire associée au temps d'attente, qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [0 ; 90].
La probabilité que le groupe attende plus de 60 minutes avant d'apercevoir les éléphants se détermine par P (60 infegal T  infegal 90).

P(60\le T\le90)=\dfrac{90-60}{90-0}=\dfrac{30}{90}=\boxed{\dfrac{1}{3}}
D'où la probabilité que le groupe attende plus d'une heure avant d'apercevoir les éléphants est égale à  \dfrac{1}{3}.

2.  Calculons l'espérance de la variable aléatoire T .

E(T)=\dfrac{0+90}{2}\Longrightarrow\boxed{E(T)=45}
Le temps d'attente moyen nécessaire pour observer les éléphants est donc de 45 minutes.
Par conséquent, l'heure moyenne d'arrivée des éléphants est 20 h 45.

Partie C

1. a)  Puisque les tailles des éléphants d'Afrique sont généralement supérieures à celles des éléphants d'Asie, nous en déduisons que : mu > mu'.
Dès lors, la courbe  \mathscr{C}_1  est associée à la variable aléatoire X  et la courbe  \mathscr{C}_2  est associée à la variable aléatoire Y .

1. b.  Par une lecture graphique, nous observons que : \boxed{\mu\approx330\ \text{et }\mu '\approx270}

2.  Sur le graphique ci-dessous, p (X  > 300) est représenté graphiquement par le domaine hachuré en vert tandis que p (Y  > 300) est représenté graphiquement par le domaine hachuré en rouge.
Manifestement, nous obtenons : p (X  > 300) > p (Y  > 300).

                  
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3. a.  Nous devons déterminer p (Y  > 330) en sachant que mu' = 268 et sigma' = 50.
Nous savons que  \overset{.}{p(Y\ge\mu ')=0,5} , soit que  \overset{.}{\boxed{p(Y\ge268)=0,5.}}
\text{Dès lors, }p(Y>330)=p(Y\ge268)-p(268\le Y\le330) \\\phantom{\text{Dès lors, }p(Y>330)}\approx0,5-0,3925123\\\phantom{\text{Dès lors, }p(Y>330)}\approx0,1074877 \\\\\Longrightarrow\boxed{p(Y>330)\approx0,11}

3. b.  La probabilité que la taille d'un éléphant d'Asie soit supérieure à 330 cm est environ égale à 0,11.

6 points

exercice 4 : Commun à tous les candidats

Soit  f(x)=(-5x^2+5)\,\text{e}^x\ \ \ \ \text{avec }x\in\R

1. a.  Puisque le point A est l'intersection de la courbe  \mathscr{C}  avec l'axe des ordonnées, son abscisse est nulle.
L'ordonnée du point A sera égale à f (0).

f(0)=(-5\times0+5)\times\text{e}^0=5\times1\Longrightarrow \boxed{f(0)=5}
D'où, les coordonnées du point A sont (0 ; 5).

1. b.  Les éventuels points d'intersection de la courbe  \mathscr{C}  avec l'axe des abscisses ont une ordonnée nulle.
Si ces points existent, leurs abscisses sont les solutions de l'équation f (x ) = 0.

f(x)=0\Longleftrightarrow(-5x^2+5)\,\text{e}^x=0 \\\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow-5x^2+5=0\ \ \ \ (\text{car }\text{e}^x>0\Longrightarrow\text{e}^x\neq0) \\\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow-5(x^2-1)=0 \\\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow x^2-1=0 \\\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow (x-1)(x+1)=0 \\\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow x-1=0\ \ \text{ou }\ \ x+1=0 \\\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow \boxed{x=1\ \ \text{ou }\ \ x=-1}

Par conséquent, la courbe  \mathscr{C} coupe l'axe des abscisses en deux points dont les abscisses sont -1 et 1.
Les coordonnées de ces points sont (-1 ; 0) et (1 ; 0).

1. c.  Calcul de f' (x ).

f'(x)=(-5x^2+5)'\times\text{e}^{x}+(-5x^2+5)\times\left(\text{e}^{x})'
             =(-10x+0)\times\text{e}^{x}+(-5x^2+5)\times \text{e}^{x}
             =-10x\times\text{e}^{x}+(-^{}5x^2+5)\times \text{e}^{x}
             =(-10x-5x^2+5)\times \text{e}^{x}

\Longrightarrow\boxed{f'(x)=(-5x^2-10x+5)\,\text{e}^{x}}

1. d.  Etudions le signe de f' (x ) sur l'intervalle [-5 ; 2].
Puisque l'exponentielle est strictement positive sur R, le signe de f' (x ) sera le signe de  -5x^2-10x+5 .

\text{Discriminant : }\Delta=(-10)^2-4\times(-5)\times5=100+100=200>0 \\\\\text{Racines : }x_1=\dfrac{10+\sqrt{200}}{2\times(-5)}=\dfrac{10+10\sqrt{2}}{-10}=\dfrac{10(1+\sqrt{2})}{-10}=-1-\sqrt{2} \\\\\phantom{WWWW}x_2=\dfrac{10-\sqrt{200}}{2\times(-5)}=\dfrac{10-10\sqrt{2}}{-10}=\dfrac{10(1-\sqrt{2})}{-10}=-1+\sqrt{2}
D'où le tableau de signes de f' (x ) sur [-5 ; 2] en plaçant le signe du coefficient de x² à l'extérieur des racines :

          \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x&-5&&-1-\sqrt{2}\approx-2,4&&-1+\sqrt{2}\approx0,4&&2\\\hline{\red{-}}5x^2-10x+5&&{\red{-}}&0&+&0&{\red{-}}&\\\hline f'(x)&&-&0&+&0&-&\\\hline \end{array}

Par conséquent, la fonction f est décroissante sur l'intervalle  [-5\,;\,-1-\sqrt{2}]
                                                                          croissante sur l'intervalle [-1-\sqrt{2}\,;\,-1+\sqrt{2}]
                                                                          décroissante sur l'intervalle [-1+\sqrt{2}\,;\,2].

2. a.  Une équation de la tangente deltamaj à la courbe  \mathscr{C}  au point d'abscisse 0 est de la forme y  = f' (0)(x  - 0) + f (0).

\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}f(0)=5\ \ \ \ (\text{voir question 1. a.)}\\f'(0)=(-5\times0-10\times0+5)\,\text{e}^{0}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=5\\f'(0)=5\,\text{e}^{0}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=5\\f'(0)=5\end{matrix}\right. }

Par conséquent, une équation de la tangente deltamaj est  \boxed{y=5x+5}.

2. b.  Représentation graphique de la droite deltamaj : voir graphique ci-dessous.

 Bac ES-L obligatoire et spécialité Nouvelle caledonie novembre 2019 : image 20


3. a.  D'après le logiciel de calcul formel, nous obtenons :  f''(x)=-20\,x\,\text{e}^x-5x^2\,\text{e}^x-5\,\text{e}^x

\text{Dès lors, }f''(x)=-5x^2\,\text{e}^x-20\,x\,\text{e}^x-5\,\text{e}^x \\\phantom{\text{Dès lors, }f''(x)}=(-5x^2-20x-5)\,\text{e}^x \\\\\Longrightarrow\boxed{f''(x)=-(5x^2+20x+5)\,\text{e}^x}

3. b.  Etudions le signe de f'' (x ) sur l'intervalle [-5 ; 2].
Puisque l'exponentielle est strictement positive sur R, le signe de f'' (x ) sera le signe de  -(5x^2+20x+5) .
Le logiciel fournit les racines de  -(5x^2+20x+5) , à savoir  x_1=-\sqrt{3}-2\ \ \ \text{et }\ \ x_2=\sqrt{3}-2.

D'où le tableau de signes de f'' (x ) sur [-5 ; 2] en plaçant le signe du coefficient de x² à l'extérieur des racines, soit le signe négatif :

          \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x&-5&&-\sqrt{3}-2\approx-3,7&&\sqrt{3}-2\approx-0,27&&2\\\hline{\red{-}}(5x^2+20x+5)&&{\red{-}}&0&+&0&{\red{-}}&\\\hline f''(x)&&-&0&+&0&-&\\\hline \end{array}

Par conséquent, la fonction f est concave sur l'intervalle  [-5\,;\,-\sqrt{3}-2[
                                                                          convexe sur l'intervalle ]-\sqrt{3}-2\,;\,\sqrt{3}-2[
                                                                          concave sur l'intervalle ]\sqrt{3}-2\,;\,2].

4. a.  Le domaine délimité par  \mathscr{C} , l'axe des abscisses et les droites d'équations x  = -1 et x  = 0 est coloré sur le graphique ci-dessus.

4. b.  Puisque la droite deltamaj est au-dessus de la courbe  \mathscr{C} , l'aire  \mathscr{A}  sera inférieure à l'aire du triangle AOB.

\text{Or, }\ \ \text{Aire}_{\text{triangle AOB}}=\dfrac{OA\times OB}{2}=\dfrac{5\times1}{2}=2,5\ (\text{u.a.})

Par conséquent,  \boxed{\mathscr{A}\le2,5\ \text{u.a.}}

{\red{4.\ \text{c. }}} \int\limits_{-1}^0 f(x)\,dx=\left[\overset{}{F(x)}\right]\limits_{-1}^0=\left[\overset{}{(-5x^2+10x-5)\,\text{e}^x}\right]\limits_{-1}^0 \\\phantom{{\red{4.\ \text{c. }}} \int\limits_{-1}^0 f(x)\,dx}=(-5\times0+10\times0-5)\,\text{e}^0-\left(\overset{}{-5\times(-1)^2+10\times(-1)-5}\right)\,\text{e}^{-1} \\\phantom{{\red{4.\ \text{c. }}} \int\limits_{-1}^0 f(x)\,dx}=-5\times1-\left(\overset{}{-5-10-5}\right)\,\text{e}^{-1}=-5+20\,\text{e}^{-1} \\\\\Longrightarrow\boxed{\int\limits_{-1}^0 f(x)\,dx=-5+20\,\text{e}^{-1}\approx2,36}
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