Fiche de mathématiques
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Bac ST2S Métropole 2018

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7 points

exercice 1

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exercice 2

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8 points

exercice 3

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Bac ST2S Métropole 2018

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7 points

exercice 1

Partie A

1.   Déterminons les coordonnées (xG  ; yG ) du point moyen G  du nuage.

\left\lbrace\begin{matrix}x_G=\dfrac{0+1+2+3+4+5}{6}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\y_G=\dfrac{3,98+4,22+4,39+4,64+4,9+5,17}{6}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x_G=2,5\\\\y_G=4,55 \end{matrix}\right.

D'où les coordonnées du point G  sont (2,5 ; 4,55).

Plaçons le point G sur le graphique.

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2. a.  Soit la droite (D ) d'équation y  = 0,24x  + 3,95.
Dans cette équation, remplaçons x  par 2,5 et vérifions que y  = 4,55.
0,24 multiplie 2,5 + 3,95 = 0,6 + 3,95 = 4,55.
Puisque les coordonnées du point G  vérifient l'équation de la droite, nous en déduisons que ce point G  appartient bien à la droite (D ).

2. b.  Pour construire la droite (D ) nous utiliserons le point G (2,5 ; 4,55) et le point A  dont l'abscisse est nulle.
Dans l'équation de (D ), remplaçons x  par 0.
0,24 multiplie 0 + 3,95 = 0 + 3,95 = 3,95
D'où le point A (0 ; 3,95) appartient à la droite (D ).
La droite (D ) passera donc par les points A (0 ; 3,95) et G (2,5 ; 4,55).

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3.   En utilisant le graphique, nous observons qu'une part d'au moins 6 % des salariés handicapés est obtenue pour x  supegal 8,5.
Comme le rang x  de l'année est un nombre entier, nous en déduisons qu'une part d'au moins 6 % des salariés handicapés est obtenue pour x  supegal 9, soit à partir de l'année 2019.

Nous pouvons également retrouver cette valeur de x en résolvant l'équation 0,24x  + 3,95 = 6.

0,24x+3,95 = 6\Longleftrightarrow0,24x = 6-3,95 \\\phantom{0,24x+3,95 = 6}\Longleftrightarrow0,24x = 2,05 \\\\\phantom{0,24x+3,95 = 6}\Longleftrightarrow x = \dfrac{2,05}{0,24} \\\\\phantom{0,24x+3,95 = 6}\Longleftrightarrow \boxed{x\approx8,5}

Partie B

1.  Le taux d'évolution du nombre de salariés handicapés dans cette entreprise est donné en pourcentage par :  

\dfrac{\text{valeur finale - valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}\times100=\dfrac{65-62}{62}\times100\approx4,8

Donc le taux d'évolution de 2016 à 2017 du nombre de salariés handicapés dans cette entreprise est d'environ 4,8 % (arrondi à 0,1% près).

2.   Une augmentation de 5 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,05 = 1,05.
Donc pour tout entier n  naturel,  u_{n+1}=1,05\times u_n
Par conséquent, la suite (un ) est une suite géométrique de raison 1,05.

3.   Dans la cellule C2, nous saisirons la formule  \boxed{=1,05\star B2}

4.   Etude de la suite (un ).

4. a.  u_n=u_0\times q^n\Longrightarrow\boxed{u_n=65\times1,05^n}

4. b.  u_3=65\times1,05^3=75,245625\Longrightarrow\boxed{u_3\approx75\ \ \text{(arrondi à l'unité)}}
Ce résultat signifie qu'en 2020, il y aura 75 salariés handicapés dans cette entreprise.

5.   Sachant qu'en 2020, il y aura 75 salariés handicapés parmi un total de 1850 salariés, nous déduisons que la proportion des salariés handicapés est  \dfrac{75}{1850}\approx0,04.

Cette proportion correspond à 4 %, ce qui est bien inférieur au minimum de 6 % prévu par la loi de 2005.
Par conséquent, l'obligation d'emploi des travailleurs handicapés ne sera pas respectée en 2020.

5 points

exercice 2

1.  Un arbre de probabilité

1. a.  9 % des personnes sont atteintes d'une maladie cardio-vasculaire.

Donc  \boxed{P(M)=0,09}

Parmi les personnes atteintes d'une maladie cardio-vasculaire, 45 % pratiquent une activité physique régulière.

Donc  \boxed{P_M(S)=0,45}

1. b.  Arbre de probabilité représentant la situation :

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2.  Un calcul de probabilité

{\red{2.\  \text{a. }}}\ P(M\cap S)=P(M)\times P_M(S) \\\phantom{{\red{2.\  \text{a. }}}\ P(M\cap S)}=0,09\times0,45 \\\phantom{{\red{2.\  \text{a. }}}\ P(M\cap S)}=0,0405 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(M\cap S)=0,0405}

Donc la probabilité que la personne interrogée soit atteinte d'une maladie cardio-vasculaire et pratique une activité physique régulière est égale à 0,0405.

2. b.  Nous devons déterminer P (S ).

En utilisant la formule des probabilités totales, nous avons :

P(S)=P(M\cap S)+P(\overline{M}\cap S) \\\phantom{P(S)}=0,0405+P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(R) \\\phantom{P(S)}=0,0405+0,91\times 0,6 \\\phantom{P(R)}=0,0405+0,546 \\\phantom{P(R)}=0,5865 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(S)\approx0,59}

3.  Nous devons déterminer  P_S(M) .

P_S(M)=\dfrac{P(M\cap S)}{P(S)} \\\\\phantom{P_S(M)}=\dfrac{0,0405}{0,59} \\\\\phantom{P_S(M)}\approx0,06864 \\\\\Longrightarrow\boxed{P_S(M)\approx0,07}

Par conséquent, sachant que la personne choisie pratique une activité physique régulière, la probabilité qu'elle soit atteinte d'une maladie cardio-vasculaire est environ égale à 0,07 (arrondie au centième).

 {\red{4.\  }}\ P_{\overline{S}}(M)=\dfrac{P(M\cap \overline{S})}{P(\overline{S})} \\\\\phantom{{\red{4.\  }}\ P_{\overline{S}}(M)}=\dfrac{P(M)\times P_M(\overline{S})}{1-P(S)} \\\\\phantom{{\red{4.\  }}\ P_{\overline{S}}(M)}=\dfrac{0,09\times0,55}{1-0,59} \\\\\phantom{{\red{4.\  }}\ P_{\overline{S}}(M)}\approx0,12 \\\\\Longrightarrow\boxed{P_{\overline{S}}(M)\approx0,12}

5.  Nous avons montré dans les deux questions précédentes que la probabilité qu'une personne soit atteinte d'une maladie cardio-vasculaire est égale à 0,12 si cette personne ne pratique pas d'activité physique régulière et est égale à 0,07 si cette personne pratique une activité physique régulière.

Déterminons le taux d'évolution de ces probabilités lors du passage de l'absence d'activité physique régulière à la présence de cette activité.
Le taux d'évolution en pourcentage est donné par :  

\dfrac{\text{valeur finale - valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}\times100=\dfrac{0,07-0,12}{0,12}\times100\approx-41,7
Nous remarquons que la présence d'une activité physique régulière fait baisser d'environ 41,6 % la probabilité d'être atteint par une maladie cardio-vasculaire.

Le message de la campagne de sensibilisation est bien confirmé.

8 points

exercice 3

Partie A

1.  Par lecture graphique, il semble que la fréquence cardiaque dépasse 140 battements par minute au-delà de 3 minutes.

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2.  Tableau de variations de la fonction f  définie sur l'intervalle [0; 13].

                           \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ t&0&&8&&13\\&&&&&\\\hline &&&180&& \\ f(t)&&\nearrow&&\searrow& \\ &80&&&&90 \\ \hline \end{array}

3.   En utilisant le tableau de variations de la fonction f , nous déduisons que la fréquence maximale atteinte est de 180 battements par minute.

Partie B

Soit  g(t) = 660\times0,85^t\ \ \ \ \text{où }\ t\in[8\,;\,13]

1.  Nous savons que si un réel a  est strictement compris entre 0 et 1, la fonction exponentielle de base a  est strictement décroissante.
Donc la fonction définie par :  t\mapsto0,85^t est strictement décroissante car 0 < 0,85 < 1.
Puisque en outre, 660 est positif, nous en déduisons que la fonction g  est décroissante.

2.  Tableau de valeurs de la fonction g

          \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline t&8&8,5&9&9,5&10&11&12&13 \\\hline g(t)&180&166&153&141&130&110&94&80\\\hline \end{array}

3.   Courbe représentative C1  de la fonction g  sur l'intervalle [8 ; 13]

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4.  Résolution d'une inéquation

{\red{4.\ \text{a. }}}\ 660\times0,85^t\le115\Longleftrightarrow0,85^t\le\dfrac{115}{660} \\\phantom{{\red{4.\ \text{a. }}}\ 660\times0,85^t\le115}\Longleftrightarrow\ln(0,85^t)\le\ln\left(\dfrac{115}{660}\right) \\\phantom{{\red{4.\ \text{a. }}}\ 660\times0,85^t\le115}\Longleftrightarrow t\times\ln(0,85)\le\ln\left(\dfrac{115}{660}\right) \\\phantom{{\red{4.\ \text{a. }}}\ 660\times0,85^t\le115}\Longleftrightarrow t\ge\dfrac{\ln\left(\dfrac{115}{660}\right)}{\ln(0,85)}\\\frac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{(Changement du sens de l'inégalité car }\ln(0,85)<0) \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln(\dfrac{115}{660})}{\ln(0,85)}\approx10,75

\\\\\text{D'où }\ \left\lbrace\begin{matrix}660\times0,85^t\le115\\\\t\in[8\,;\,13]\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow  \boxed{t\in\left[\dfrac{\ln(\dfrac{115}{660})}{\ln(0,85)}\ ;\ 13\right]\widetilde{\Longleftrightarrow} t\in[10,75\ ;\ 13]}

4. b.  Pendant la phase de récupération, nous pouvons déterminer au bout de combien de minutes la fréquence cardiaque est inférieure ou égale à 115 battements par minute en utilisant la solution de l'inéquation résolue dans l'exercice 4a.

Cette fréquence cardiaque est inférieure ou égale à 115 battements par minute à partir de 10,75 minutes (soit 10 min 45 s.).
Or la phase de récupération débute après 8 minutes.
10,75 - 8 = 2,75 minutes, soit 2 min 45 s.

Par conséquent, la fréquence cardiaque est inférieure ou égale à 115 battements par minute
à partir de 2 min 45 s de récupération.


5.   Une diminution de la fréquence cardiaque inférieure à 12 battements lors de la première minute de récupération est considérée comme anormale.

Or g (8) - g (9) = 180 - 153 = 27 > 12.

Puisque la diminution de la fréquence cardiaque est supérieure à 12 battements lors de la première minute de récupération, la fréquence cardiaque de récupération est considérée comme étant normale.

6.   Comparaison de la fréquence de récupération de deux individus

Le graphique nous montre que la courbe C1 est située sous la courbe C2 sur l'intervalle [8 ; 13].
La fonction g  représentée par la courbe C1 décroît plus rapidement que la fonction représentée par la courbe C2.

Nous en déduisons donc que la récupération cardiaque est la plus efficace pour l'individu A.
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