Fiche de mathématiques
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Bac STMG Polynésie 2019

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Durée : 3 heures

Coefficient : 3

5 points

exercice 1

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5 points

exercice 2

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6 points

exercice 3

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4 points

exercice 4

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Bac STMG Polynésie 2019

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5 points

exercice 1

{\red{\text{1. }}{\blue{\mathbf{Réponse\ A)\ 0,16}}}
La variable aléatoire X  suit la loi normale de moyenne mu = 12 et d'écart-type sigma = 2.
Nous savons que  \overset{.}{P(X\ge\mu)=0,5}, soit que  \overset{.}{\boxed{P(X\ge12)=0,5.}}
Nous savons également que  \overset{.}{P(\mu-\sigma \le X\le\mu+\sigma )\approx0,68}.
En utilisant la symétrie de la courbe de densité par rapport à la droite d'équation y  = mu, nous déduisons que

P(\mu-\sigma \le X\le\mu+\sigma )\approx0,68\Longleftrightarrow 2\times P(\mu\le X\le\mu+\sigma )\approx0,68 \\\phantom{P(\mu-\sigma \le X\le\mu+\sigma )\approx0,68}\Longleftrightarrow P(\mu\le X\le\mu+\sigma )\approx0,34 \\\phantom{P(\mu-\sigma \le X\le\mu+\sigma )\approx0,68}\Longleftrightarrow P(12\le X\le12+2)\approx0,34 \\\phantom{P(\mu-\sigma \le X\le\mu+\sigma )\approx0,68}\Longleftrightarrow\boxed{P(12\le X\le14)\approx0,34}
(Remarque : Nous pouvions également obtenir la valeur de P(12 infegal X  infegal 14) à l'aide de la calculatrice).
Dès lors,
\overset{.}{P(X\ge12)}=P(12\le X\le14)+P(X\ge14)\Longrightarrow 0,5\approx0,34+P(X\ge14) \\\phantom{P(X\ge12)=P(12\le X\le14)+P(X\ge14)}\Longrightarrow P(X\ge14)\approx0,5-0,34 \\\phantom{P(X\ge12)=P(12\le X\le14)+P(X\ge14)}\Longrightarrow \boxed{P(X\ge14)\approx0,16}
Par conséquent, la réponse A est correcte.

{\red{\text{2. }}{\blue{\mathbf{Réponse\ A)\ [0,230\,;0,330]}}}
Déterminons un intervalle de confiance I400   au seuil de 95 % de la proportion d'électeurs votant pour le candidat aux élections municipales, dans un échantillon aléatoire de 400 électeurs.
Les conditions d'utilisation de l'intervalle de confiance sont remplies.
En effet,

\left\lbrace\begin{array}l n=400\ge30 \\\\ f=\dfrac{112}{400}\Longrightarrow nf=400\times\dfrac{112}{400}=112>5\\ \\n(1-f)= 400\times(1-\dfrac{112}{400})= 400\times\dfrac{288}{400}=288>5 \end{array}
Donc un intervalle de confiance I400   au seuil de 95% est :

I_{400}=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]=\left[\dfrac{112}{400}-\dfrac{1}{\sqrt{400}}\,;\dfrac{112}{400}+\dfrac{1}{\sqrt{400}}\right]=\left[0,28-0,05\,;0,28+0,05\right]\\\\\Longrightarrow\boxed{I_{400}=[0,23\,;0,33]}
Par conséquent, la réponse A est correcte.

{\red{\text{3. }}{\blue{\mathbf{Réponse\ C)\ 14,9}}}
Soit (Vn ) une suite géométrique de raison q  = 1,2 et de premier terme V 1= 6.
Le terme général de cette suite est  \overset{.}{V_n=V_1\times q^{n-1}}
D'où  V_6=6\times1,2^5\Longrightarrow\boxed{V_6\approx14,9}
Par conséquent, la réponse C est correcte.

{\red{\text{4. }}{\blue{\mathbf{Réponse\ C)\ 11}}}
Première méthode :
En exécutant l'algorithme à la calculatrice, nous obtenons les premières valeurs de n  et de V  reprises dans ce tableau :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n&\ \ 1\ \ &\ \ 2\ \ &3&4&5&6&7&8&9&10&{\red{11}}\\\hline V&6&7,2&8,64&10,37&12,44&14,93&17,92&21,50&25,80&30,96\ (<31)&{\red{37,15\ (\ge31)}}\\\hline \end{array}
D'où la valeur de n  à la fin de cet algorithme est 11.
Par conséquent, la réponse C est correcte.

Deuxième méthode :
Déterminons le plus petit entier naturel n  vérifiant l'inéquation Vn supegal 31.

V_n\ge31\Longleftrightarrow 6\times1,2^{n-1}\ge31 \\\\\phantom{V_n\ge31}\Longleftrightarrow1,2^{n-1}\ge\dfrac{31}{ 6} \\\\\phantom{V_n\ge31}\Longleftrightarrow\ln(1,2^{n-1})\ge\ln(\dfrac{31}{6}) \\\\\phantom{V_n\ge31}\Longleftrightarrow (n-1)\times\ln(1,2)\ge\ln(\dfrac{31}{6}) \\\\\phantom{V_n\ge31}\Longleftrightarrow n-1\ge\dfrac{\ln(\dfrac{31}{6})}{\ln(1,2)}\ \ \ \ \text{(Conservation du sens de l'inégalité car }\ln(1,2)>0)  \\\\\phantom{V_n\ge31}\Longleftrightarrow n\ge1+\dfrac{\ln(\dfrac{31}{6})}{\ln(1,2)} \\\\\text{Or }\ 1+\dfrac{\ln(\dfrac{31}{6})}{\ln(1,2)}\approx10,007
Puisque n  est un nombre entier naturel, la plus petite valeur de n  vérifiant l'inéquation est n  = 11.
D'où la valeur de n  à la fin de cet algorithme est 11.
Par conséquent, la réponse C est correcte.

{\red{\text{5. }}{\blue{\mathbf{Réponse\ C)\ 69}}}
Soit (Un ) la suite arithmétique de raison r = 3 et tell que U 4 = 81.
Nous pouvons déterminer la valeur de U 0 pas à pas.

\begin{matrix}U_3=U_4-r\\\phantom{U_3} =81-3\\ =78\\\Longrightarrow \boxed{U_3=78}\end{matrix}\right. \ \ \ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\end{matrix}\right. \ \ \ \begin{matrix}U_2=U_3-r\\\phantom{U_2} =78-3\\=75\\\Longrightarrow \boxed{U_2=75}\end{matrix}\right. \ \ \ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\end{matrix}\right. \ \ \ \begin{matrix}U_1=U_2-r\\\phantom{U_1} =75-3\\=72\\\Longrightarrow \boxed{U_1=72}\end{matrix}\right. \ \ \ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\end{matrix}\right. \ \ \ \begin{matrix}U_0=U_1-r\\\phantom{U_0} =72-3\\=69\\\Longrightarrow \boxed{U_0=69}\end{matrix}\right.
Par conséquent, la réponse C est correcte.

Nous aurions également pu trouver la valeur de U 0 en donnant une expression du terme général de la suite (Un ).

U_n=U_0+n\times r\Longrightarrow  U_4=U_0+4r\Longrightarrow 81=U_0+4\times3 \\\phantom{U_n=U_0+n\times r\Longrightarrow  U_4=U_0+4r}\Longrightarrow 81=U_0+12 \\\phantom{U_n=U_0+n\times r\Longrightarrow  U_4=U_0+4r}\Longrightarrow U_0=81-12 \\\phantom{U_n=U_0+n\times r\Longrightarrow  U_4=U_0+4r}\Longrightarrow \boxed{U_0=69}
Par conséquent, la réponse C est correcte.

5 points

exercice 2

Partie A

1) L'atelier A fabrique 60% des stylos.

D'où   \left\lbrace\begin{matrix}P(A)=0,6\ \ \ \ \ \ \ \ \\P(B)=1-P(A)\\\phantom{.....}=1-0,6\\=0,4\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}P(A)=0,6\\P(B)=0,4\end{matrix}\right.}
Parmi les stylos fabriqué dans l'atelier A, 5% possèdent un défaut de fabrication.
Donc  \overset{.}{\boxed{P_A(D)=0,05}}
De plus, 1% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
Donc  \overset{.}{\boxed{P(B\cap D)=0,01}}

2)  Arbre pondéré décrivant la situation à ce stade de l'énoncé :
Bac STMG Polynésie 2019 : image 12


2) a)  La probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication est notée  P(A\cap D).

P(A\cap D)=P(A)\times P_A(D) \\\phantom{P(A\cap D)}=0,6\times 0,05 \\\phantom{P(A\cap D)}=0,03 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(A\cap D)=0,03}
Par conséquent, la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication est égale à 0,03.

2) b)  La probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est notée P (D ).
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

P(D)= P(A\cap D)+P(B\cap D) \\\phantom{P(D)}=0,03+0,01 \\\phantom{P(D)}=0,04 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(D)=0,04}
D'où la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est égale à 0,04.

3)  Nous devons déterminer PB (D ).

P_B(D)=\dfrac{P(B\cap D)}{P(B)}=\dfrac{0,01}{0,4}=0,025 \Longrightarrow\boxed{P_B(D)=0,025}
Par conséquent, sachant que le stylo provient de l'atelier B, la probabilité qu'il possède un défaut est égale à 0,025.

Partie B

1)  La variable aléatoire X  suit une loi binomiale de paramètres n  = 25 et p  = 0,04.

2)   Calculons la probabilité qu'aucun stylo ne soit défectueux et observons si cette probabilité est inférieure ou supérieure à 0,5.

P(X=0)=\begin{pmatrix}25\\0\end{pmatrix}\times0,04^0\times(1-0,04)^{25-0} \\\phantom{P(X=0)}=1\times1\times0,96^{25} \\\phantom{P(X=0)}=0,96^{25} \\\\\Longrightarrow\boxed{{P(X=0)}=0,96^{25}\approx0,36\ {\red{<0,5}}}
Puisque la probabilité demandée est inférieure à 0,5, le directeur de l'entreprise n'a pas raison.

6 points

exercice 3

Partie A : Lectures graphiques

1)  Par lecture graphique, nous obtenons : Cm (7) environegal 500.

2)  Graphiquement, il semble que la fonction Cm  est décroissante sur l'intervalle [1 ; 5] et croissante sur l'intervalle [5 ; 10].
Tableau de variations de la fonction Cm  sur [1 ; 10] (par lecture graphique) :

              \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&1&&5&&10\\&&&&&\\\hline &1150&&&&880 \\ C_m(x)&&\searrow&&\nearrow& \\ &&&420&& \\ \hline \end{array}

3)  Par le tableau de variation de la fonction Cm , nous en déduisons que le coût moyen sera minimal pour une fabrication quotidienne de 5 kilomètres de tissus.

Partie B : étude du bénéfice

1)  Le prix de vente d'un kilomètre de tissu est de 680 euros.
L'entreprise vend x kilomètres de tissu.
D'où la recette R (x ) se calcule par la relation :  \boxed{R(x)=680x}

2)  Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût de production.

\text{D'où }\ B(x)= R(x)-C(x) \\\phantom{\text{D'où }\ B(x)}=680x-(15x^3-120x^2+500x+750) \\\phantom{\text{D'où }\ B(x)}=680x-15x^3+120x^2-500x-750 \\\phantom{\text{D'où }\ B(x)}=-15x^3+120x^2+180x-750 \\\\\Longrightarrow \boxed{B(x)=-15x^3+120x^2+180x-750}

{\red{3)\ }}\ B'(x)=(-15x^3)'+(120x^2)'+(180x)'-750' \\\phantom{{\red{3)\ }}\ B'(x)}=(-15)\times3x^2+120\times2x+180-0 \\\phantom{{\red{3)\ }}\ B'(x)}=-45x^2+240x+180 \\\\\Longrightarrow\boxed{B'(x)=-45x^2+240x+180}

4) a)  Etude du signe du trinôme -45x ² + 240x  + 180.

Le discriminant deltamaj = 2402 - 4 multiplie (-45) multiplie 180 = 576 000 + 32 400 = 90 000 > 0.
Puisque le discriminant du trinôme est strictement positif, ce trinôme admet deux racines distinctes :

x_1=\dfrac{-240-\sqrt{90\,000}}{2\times(-45)}=\dfrac{-240-300}{-90}=\dfrac{-540}{-90}=6 \\\\x_2=\dfrac{-240+\sqrt{90\,000}}{2\times(-45)}=\dfrac{-240+300}{-90}=\dfrac{60}{-90}=-\dfrac{2}{3}

Le signe du coefficient de x² étant négatif, le polynôme du second degré  -45x^2+240x+180  est négatif à l'extérieur des racines et positif entre les racines.

D'où le tableau de signes de  -45x^2+240x+180  :

              \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&& x&-\infty&&-\dfrac{2}{3}&&6&&+\infty\\&&&&&&& \\\hline&&&&&&&&-45x^2+240x+180&&-&0&+&0&-&&&&&&&&&\\\hline \end{array}

4) b)  A l'aide du tableau de signes de  -45x^2+240x+180 , nous déduisons le signe de la dérivée B'  sur l'intervalle [1 ; 10] :

 B' (x ) > 0 pour tout x  dans l'intervalle [1 ; 6[
 B' (6) = 0
 B' (x ) < 0 pour tout x  dans l'intervalle ]6 ; 10].

5)  Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction B  sur l'intervalle [1 ; 10].

              \underline{\text{Calculs prélinimaires }}: \\\\B(1)=-15\times1^3+120\times1^2+180\times1-750=-15+120+180-750=-465 \\B(6)=-15\times6^3+120\times6^2+180\times6-750=-3240+4320+1080-750=1410 \\B(10)=-15\times10^3+120\times10^2+180\times10-750=-15000+12000+1800-750=-1950 \\\\\underline{\text{Tableau de variations de la fonction }B\text{ sur [1 ; 10]}}: \\\\ \dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&1&&6&&10\\&&&&&\\\hline &&&&&\\ B'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline &&&1410&& \\ B(x)&&\nearrow&&\searrow&\\ &-465&&&&-1950\\\hline \end{array}

6)  A l'aide de la question précédente, nous déduisons que le bénéfice de l'entreprise sera maximal pour une production et une vente de 6 kilomètres de tissu par jour.
Ce bénéfice maximal sera alors égal à 1410 euros.


4 points

exercice 4

Tableau donnant le chiffre d'affaires mondial d'une entreprise entre 2010 et 2016 en millions d'euros.

          \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Année}&\ \ 2010\ \  &\ \ 2011\ \  \ \ &\ \  2012\ \  &\ \ 2013\ \  &\ \  2014\ \ &\ \  2015\ \ &\ \  2016\ \  \\\hline\text{Rang de l'année }{\red{x_i}}& 0&1&2&3&4&5&6\\\hline&&&&&&&\\\text{Chiffre d'affaires }{\red{y_i}}&18,3&20,1&23,3&25,3&27,8&30,6&32,4\\\text{(en millions d'euros)}& &&&&&&\\\hline \end{array}

Partie A : étude d'un premier modèle

1)  Nuage de points Mi(x i ; y i) pour i  variant de 0 à 6.
 Le nuage de points est représenté par les sept points bleus du graphique ci-dessous.

2) a)   L'équation réduite de la droite (d ) d'ajustement affine de y  en x  est  de la forme y  = ax  + b .
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons a  = 2,42 et b  = 18,14.
Donc l'équation réduite de la droite d'ajustement affine de y  en x  est y  = 2,42x  + 18,14.

Dans la suite, nous choisirons la droite d  d'équation y  = 2,4x  + 18,1 comme ajustement affine du nuage de points.

2) b)  Représentation graphique de la droite d  (et du nuage de points de la question 1).               
Bac STMG Polynésie 2019 : image 13


3)   2020 = 2010 + 10.
En 2020, le rang de l'année est alors égal à 10.
Graphiquement, nous observons que le point de la droite d  dont l'abscisse est 10 possède une ordonnée égale à environ 42.
Nous pouvons également trouver cette ordonnée en remplaçant x  par 10 dans l'équation de la droite d .
y  = 2,4 multiplie 10 + 18,1 = 42,1 environegal 42.
Par conséquent, selon ce premier modèle, nous pouvons estimer que le chiffre d'affaires de cette entreprise en 2020 s'élèvera à environ 42 millions d'euros (arrondi au million près).

Partie B : étude d'un second modèle

1)  Le taux d'évolution global en pourcentage du chiffre d'affaires de l'entreprise entre 2010 et 2016 est donné par le calcul suivant :  \overset{.}{\dfrac{\text{Valeur en 2016}-\text{Valeur en 2010}}{\text{Valeur en 2010}}\times100}=\dfrac{32,4-18,3}{18,3}\times100\approx77,05

Donc le taux d'évolution global en pourcentage du chiffre d'affaires de l'entreprise entre 2010 et 2016 est environ de 77,05 % (valeur arrondie à 0,01 % près).

2)  En utilisant la réponse de l'exercice 1, nous déduisons que le coefficient multiplicateur global Cg  pour la période allant de l'année 2010 à l'année 2016 est Cg  = 1 + 0,7705 = 1,7705.
Puisque 6 années se sont écoulées entre 2010 et 2016, le coefficient multiplicateur annuel moyen est  \overset{.}{C_m=1,7705^{\frac{1}{6}}\approx1,0999}  (valeur arrondie au dix-millième).
Le taux d'évolution annuel moyen est égal à   C_m-1=0,0999  (valeur arrondie au dix-millième).

Par conséquent, le taux d'évolution annuel moyen (en pourcentage) du chiffre d'affaires de l'entreprise entre 2010 et 2016 est égal à 0,0999 multiplie 100 = 9,99 %, soit environ 10 % (arrondi à l'entier le plus proche).

3)  Nous supposons que le taux d'évolution annuel sera de 10% entre 2016 et 2020.
D'où le chiffre d'affaires de l'entreprise en 2020 peut être estimé à 32,4 multiplie 1,104 millions d'euros, soit environ 47 millions d'euros.
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