Fiche de mathématiques
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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Session 2021 - sujet 0

MATHÉMATIQUES

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Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège », est autorisé.


Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

5 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

1. On considère les suites (u_n) et (v_n) telles que, pour tout entier naturel n,

u_n=1-\left(\dfrac 1 4 \right)^n\quad \text{ et } v_n=1+\left(\dfrac 1 4 \right)^n

On considère de plus une suite (w_n) qui, pour tout entier naturel n, vérifie u_n\le w_n \le v_n
On peut affirmer que :
a. Les suites (u_n)et (v_n) sont géométriques. \white{wwwww}b. La suite(w_n) converge vers 1.

c. La suite (u_n) est minorée par 1. \white{wwvvwwwwwww}d. La suite (w_n) est croissante.

2. On considère la fonction f définie sur R par : f(x)=xe^{x²} .
La fonction dérivée de f est la fonction f ' définie sur R par :

a. f'(x)=2xe^{x²} \white{wwwwwwwwwww}b. f'(x)=(1+2x)e^{x²}.

c. f'(x)=(1+2x²)e^{x²} . \white{wwwvwww}d. f'(x)=(1+x²)e^{x²}.


3. Que vaut \displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x²-1}{2x²-2x+1}} ?

a. -1\white{wwwww} b. 0 \white{wwwww}c. \dfrac 1 2 \white{wwwww} d. +\infty

4. On considère une fonction h continue sur l'intervalle [-1; 1] telle que

{\white{wwwww} }h(-1) = 0	\quad h(0) = 2\quad 	h(1) = 0
On peut affirmer que :
a. \white{ww}La fonction h est croissante sur l'intervalle [-1 ; 0].
b. \white{ww}La fonction h est positive sur l'intervalle [-1 ; 1].
c. \white{ww}Il existe au moins un nombre réel a dans l'intervalle [0; 1] tel que h(a) = 1.
d. \white{ww}L'équation h(x) = 1 admet exactement deux solutions dans l'intervalle [-1 ; 1].

5. On suppose que g est une fonction dérivable sur l'intervalle [-4; 4].
Sujet 0 de la Spécialité Maths  : image 6


5 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

On considère le cube ABCDEFGH de côté 1, le milieu I de [EF] et J le symétrique de E par rapport à F.
Sujet 0 de la Spécialité Maths  : image 2


Dans tout l'exercice, l'espace est rapporté au repère orthonormé (A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})

1. a. Par lecture graphique, donner les coordonnées des points I et J.
\white{vi} b. En déduire les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{DJ}\;,\;\overrightarrow{BI}\;,\; \overrightarrow{BG}
\white{vi} c. Montrer que \overrightarrow{DJ}  est un vecteur normal au plan (BGI).
\white{vi} d. Montrer qu'une équation cartésienne du plan (BGI) est  2x-y+z-2= 0 .

2. On note d la droite passant par F et orthogonale au plan (BGI).
\white{vi} a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite d .
\white{vi} b. On considère le point L de coordonnées \left(\dfrac 2 3 \;;\dfrac 1 6 \;; \dfrac 5 6 \right)
Montrer que L est le point d'intersection de la droite d et du plan (BGI).

3. On rappelle que le volume V d'une pyramide est donné par la formule V=\dfrac 1 3 \times B \times hB est l'aire d'une base et h la hauteur associée à cette base.
\white{vi} a. Calculer le volume de la pyramide FBGI.
\white{vi} b. En déduire l'aire du triangle BGI.


5 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

Pour préparer l'examen du permis de conduire, on distingue deux types de formation :
\white{vi} - la formation avec conduite accompagnée ;
\white{vi} - la formation traditionnelle.
On considère un groupe de 300 personnes venant de réussir l'examen du permis de conduire. Dans ce groupe :
\white{vi} - 75 personnes ont suivi une formation avec conduite accompagnée ; parmi elles, 50 ont réussi l'examen à leur première présentation et les autres ont réussi à leur deuxième présentation.
\white{vi} - 225 personnes se sont présentées à l'examen suite à une formation traditionnelle ; parmi elles, 100 ont réussi l'examen à la première présentation, 75 à la deuxième et 50 à la troisième présentation.

On interroge au hasard une personne du groupe considéré. On considère les événements suivants :
A : « la personne a suivi une formation avec conduite accompagnée » ;
R1 : « la personne a réussi l'examen à la première présentation » ;
R2 : « la personne a réussi l'examen à la deuxième présentation » ;
R3 : « la personne a réussi l'examen à la troisième présentation ».


1. Modéliser la situation par un arbre pondéré.
Dans les questions suivantes, les probabilités demandées seront données sous forme d'une fraction irréductible.

2. a. Calculer la probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l'examen à sa deuxième présentation.
\white{vi} b. Montrer que la probabilité que la personne interrogée ait réussi l'examen à sa deuxième présentation est égale à \dfrac 1 3 .
\white{vi} c. La personne interrogée a réussi l'examen à sa deuxième présentation. Quelle est la probabilité qu'elle ait suivi une formation avec conduite accompagnée ?

3. On note X la variable aléatoire qui, à toute personne choisie au hasard dans le groupe, associe le nombre de fois où elle s'est présentée à l'examen jusqu'à sa réussite. Ainsi, { X = 1} correspond à l'événement R1.
\white{vi} a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
\white{vi} b. Calculer l'espérance de cette variable aléatoire. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

4. On choisit, successivement et de façon indépendante, n personnes parmi les 300 du groupe étudié, où n est un entier naturel non nul. On assimile ce choix à un tirage avec remise de n personnes parmi les 300 personnes du groupe.
On admet que la probabilité de l'événement R3 est égale à \dfrac 1 6.
\white{vi} a. Dans le contexte de cette question, préciser un événement dont la probabilité est égale à 1-\left(\dfrac 5 6 \right)^n

On considère la fonction Python seuil ci-dessous, où p est un nombre réel appartenant à l'intervalle ]0; 1[.

Sujet 0 de la Spécialité Maths  : image 5


\white{vi} b. Quelle est la valeur renvoyée par la commande seuil (0.9) ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.


5 points

exercice 4 : Au choix du candidat

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.

Exercice A (5 points)

\begin{array} {|ccc|} \hline \textbf{ Principaux domaines abordés} & & \\ \text{Logarithme} & & \\ {\phantom{wwwwwwwwww}}\text{Dérivation, convexité, limites} & & \\ \hline \end{array}

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé :
\white{vi} - la courbe représentative Cf d'une fonction f définie et dérivable sur ]0 ; +infini[ ;
\white{vi} - la tangente TA à la courbe Cf au point A de coordonnées \left(\dfrac {1}{\text{ e}}, \text{ e} \right) ;
\white{vi} - la tangente TB à la courbe Cf au point B de coordonnées (1 ; 2).
La droite TA est parallèle à l'axe des abscisses. La droite TB coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées (3 ; 0) et l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 3).

Sujet 0 de la Spécialité Maths  : image 4


On note f'la fonction dérivée de f.

Partie I
1. Déterminer graphiquement les valeurs de f'\left(\dfrac {1}{\text{ e}}\right) et de f'(1).
2. En déduire une équation de la droite TB .

Partie II
On suppose maintenant que la fonction f est définie sur ]0 ; +infini [par :

f(x)=\dfrac{2+\ln (x)}{x}


1. Par le calcul, montrer que la courbe Cf passe par les points A et B et qu'elle coupe l'axe des abscisses en un point unique que l'on précisera.
2. Déterminer la limite de f(x) quand x tend vers 0 par valeurs supérieures, et la limite de f(x) quand x tend vers +infini.
3. Montrer que, pour tout x \in ]0 ; +\infty[ ,

f'(x)=\dfrac{-1-\ln (x)}{x²}


4. Dresser le tableau de variations de f sur ]0 ; +infini[.
5. On note f'' la fonction dérivée seconde de f
On admet que, pour tout x \in ]0 ; +\infty[ ,

f''(x)=\dfrac{1+2\ln (x)}{x^3}
Déterminer le plus grand intervalle sur lequel f est convexe.


Exercice B

\begin{array} {|ccc|} \hline \textbf{ Principaux domaines abordés} & & \\ {\phantom{wwwww}}\text{Equations différentielles} & & \\ {\phantom{wwwwwwwww}}\text{Fonction exponentielle ; suites} & & \\ \hline \end{array}


Dans une boulangerie, les baguettes sortent du four à une température de 225 °C.
On s'intéresse à l'évolution de la température d'une baguette après sa sortie du four.
On admet qu'on peut modéliser cette évolution à l'aide d'une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; +infini[. Dans cette modélisation, f(t) représente la température en degré Celsius de la baguette au bout de la durée t, exprimée en heure, après la sortie du four.
Ainsi, f(0,5) représente la température d'une baguette une demi-heure après la sortie du four.
Dans tout l'exercice, la température ambiante de la boulangerie est maintenue à 25 °C. On admet alors que la fonction f est solution de l'équation différentielle y'+ 6y = 150.

1. a. Préciser la valeur de f(0).
\white{vi} b. Résoudre l'équation différentielle y'+ 6y = 150..
\white{vi} c. En déduire que pour tout réel t supegal0, on a f(t) = 200 e^{-6t}+ 25.

2. Par expérience, on observe que la température d'une baguette sortant du four :
\white{vi} - décroît ;
\white{vi} - tend à se stabiliser à la température ambiante.
La fonction f fournit-elle un modèle en accord avec ces observations ?

3. Montrer que l'équation f(t)= 40 admet une unique solution dans [0 ; +infini[.
Pour mettre les baguettes en rayon, le boulanger attend que leur température soit inférieure ou égale à 40 °C. On note T0 le temps d'attente minimal entre la sortie du four d'une baguette et sa mise en rayon.
On donne en page suivante la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthogonal.

4. Avec la précision permise par le graphique, lire T0 . On donnera une valeur approchée de T0 sous forme d'un nombre entier de minutes.

Sujet 0 de la Spécialité Maths  : image 3


5. On s'intéresse ici à la diminution, minute après minute, de la température d'une baguette à sa sortie du four. Ainsi, pour un entier naturel n, Dn désigne la diminution de température en degré Celsius d'une baguette entre la n-ième et la (n + 1)-ième minute après sa sortie du four.
On admet que, pour tout entier naturel n :

D_n=f\left(\dfrac{n}{60 }\right)- f\left(\dfrac{n+1}{60}\right)


\white{vi} a. Vérifier que 19 est une valeur approchée de D0 à 0,1 près, et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\white{vi} b. Vérifier que l'on a, pour tout entier naturel n : D_n=200\;\text{e}^{-0,1n}(1-\text{e}^{-0,1).
En déduire le sens de variation de la suite (Dn), puis la limite de la suite (Dn).
Ce résultat était-il prévisible dans le contexte de l'exercice ?




Sujet 0 du Bac Général Spécialité Mathématiques

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5 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

{\red{\text{1. Affirmation b. : }}\blue{\text{La suite }(w_n)\text{ converge vers 1.}}}

0<\dfrac{1}{4}<1\Longrightarrow\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\dfrac{1}{4}\right)^n=0 \\\phantom{0<\dfrac{1}{4}<1}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{n\to +\infty}\left[1-\left(\dfrac{1}{4}\right)^n\right]=1\\\\\lim\limits_{n\to +\infty}\left[1+\left(\dfrac{1}{4}\right)^n\right]=1\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=1\\\\\lim\limits_{n\to +\infty}v_n=1\end{matrix}\right. \\\\\\\text{D'où }\left\lbrace\begin{matrix}u_n\le w_n\le v_n\\\\\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=1\\\\\lim\limits_{n\to +\infty}v_n=1\end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\text{ théorème des gendarmes }}{\Longrightarrow}\ \ \ \boxed{\lim\limits_{n\to +\infty}w_n=1}
Par conséquent, la suite (wn ) converge vers 1.

{\red{\text{2. Affirmation c. : }}}\blue{f'(x)=(1+2x^2)\,\text{e}^{x^2}}

f'(x)=\left(x\,\text{e}^{x^2}\right)'=x'\times\text{e}^{x^2}+x\times\left(\text{e}^{x^2}\right)' \\\phantom{f'(x)=\left(x\,\text{e}^{x^2}\right)'}=1\times\text{e}^{x^2}+x\times(x^2)'\,\text{e}^{x^2} \\\phantom{f'(x)=\left(x\,\text{e}^{x^2}\right)'}=\text{e}^{x^2}+x\times2x\,\text{e}^{x^2} \\\phantom{f'(x)=\left(x\,\text{e}^{x^2}\right)'}=\text{e}^{x^2}+2x^2\,\text{e}^{x^2} \\\phantom{f'(x)=\left(x\,\text{e}^{x^2}\right)'}=(1+2x^2)\,\text{e}^{x^2} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=(1+2x^2)\,\text{e}^{x^2}}

{\red{\text{3. Affirmation c. : }}}\blue{\dfrac{1}{2}}

\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2-1}{2x^2-2x+1}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)}{2x^2\left(1-\dfrac{2x}{2x^2}+\dfrac{1}{2x^2}\right)} \\\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2-1}{2x^2-2x+1}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1-\dfrac{1}{x^2}}{2\left(1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x^2}\right)} \\\\\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^2}=0\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{2x^2}=0\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où}\ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1-\dfrac{1}{x^2}}{2\left(1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x^2}\right)}=\dfrac{1-0}{2(1-0+0)}=\dfrac{1}{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2-1}{2x^2-2x+1}=\dfrac{1}{2}}

{\red{\text{4. Affirmation c. : }}}\blue{\text{Il existe au moins un nombre réel }a\text{ dans l'intervalle [0 ; 1] tel que }h(a)=1.}

On considère une fonction h  continue sur l'intervalle [-1 ; 1] telle que h(-1) = 0, h(0) = 2 et h(1) = 0.
Donc la courbe  \mathscr{C}_h  représentant la fonction h  passe par les points de coordonnées (-1;0), (0;2) et (1;0).

Représentation graphique d'un exemple de fonction h  correspondant à la définition donnée :

Sujet 0 de la Spécialité Maths  : image 8

La proposition a : "la fonction h est croissante sur l'intervalle [-1 ; 0]"  n'est pas nécessairement vraie.
Sur le graphique ci-dessus, nous observons que la fonction h  est décroissante sur l'intervalle [-1 ; p], puis croissante sur [p ; r] et ensuite décroissante sur l'intervalle [r ; 0].

La proposition b : "la fonction h est positive sur l'intervalle [-1 ; 1]"  n'est pas nécessairement vraie.
Sur le graphique ci-dessus, nous observons que la fonction h  est négative sur l'intervalle [-1 ; e] et sur l'intervalle [m ; n].

La proposition d : "l'équation h(x) = 1 admet exactement deux solutions dans l'intervalle [-1 ; 1]"  n'est pas nécessairement vraie.
Sur le graphique ci-dessus, nous observons que l'équation h(x) = 1  admet quatre solutions sur [-1 ; 1].
Ces solutions sont : x  = b , x  = a , x  = c  et x  = d .

La proposition c : "il existe au moins un nombre réel a dans l'intervalle [0 ; 1] tel que h(a) = 1"  est vraie.
En effet, la fonction h est continue sur l'intervalle [0 ; 1] car, par définition, elle est continue sur [-1 ; 1].
h (0) = 2 et h (1) = 0.
D'où 1 est compris entre h (0) et h (1).
Par le théorème des valeurs intermédiaires, nous en déduisons qu'il existe au moins un nombre réel a  dans l'intervalle [0 ; 1] tel que h (a ) = 1.
Par conséquent, la proposition c  est exacte.

{\red{\text{5. Affirmation c. : }}}\blue{g\text{ est convexe sur l'intervalle [1 ; 2].}

On suppose que g  est une fonction dérivable sur l'intervalle [-4 ; 4].

Sujet 0 de la Spécialité Maths  : image 11


Par lecture graphique, nous observons que g' (x ) supegal 0 sur l'intervalle [-4 ; 0], g' (x ) infegal 0 sur [0 ; 2]
et g' (x ) supegal 0 sur [2 ; 4].
Nous pouvons dès lors dresser le tableau de variations de la fonction g.

\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&& x&-4&&0&&2&&4&&&&&&&& \\\hline&&&&&&&& g'(x)&0&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline &&&&&&& \\ g(x)&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow& \\ &&&&&&& \\ \hline \end{array}

Les propositions a , b  et d  sont fausses car nous remarquons par ce tableau de variations de la fonction g  que celle-ci n'admet pas de maximum en -2, qu'elle n'est pas croissante sur l'intervalle [1 ; 2] et qu'elle n'admet pas de minimum en 0.
Par contre, par le graphique, nous observons que la fonction g'  est croissante sur l'intervalle [1 ; 2].
Nous en déduisons que la fonction g  est convexe sur [1 ; 2].
Par conséquent, la proposition c  est exacte.

5 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

1. a)  Le point I est le milieu de [EF]. Les coordonnées du point I sont  (\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,1) .
Le point J est le symétrique de E par rapport à F. Les coordonnées du point J sont  (2\,;\,0\,;\,1) .

Sujet 0 de la Spécialité Maths  : image 13
1. b)  Nous devons déterminer les coordonnées des vecteurs  \overrightarrow{DJ},\ \overrightarrow{BI},\ \overrightarrow{BG}.

\left\lbrace\begin{matrix}D\ (0\,;1\,;\,0)\\J\ (2\,;0\,;\,1)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{DJ}\ \begin{pmatrix}2-0\\0-1\\1-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{DJ}\ \begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}B\ (1\,;0\,;\,0)\\I\ (\dfrac{1}{2}\,;0\,;\,1)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{BI}\ \begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}-1\\0-0\\1-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BI}\ \begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\\0\\1\end{pmatrix}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}B\ (1\,;0\,;\,0)\\G\ (1\,;1\,;\,1)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{BG}\ \begin{pmatrix}1-1\\1-0\\1-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BG}\ \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}

1. c)  Nous devons montrer que  \overrightarrow{DJ}  est un vecteur normal au plan (BGI).
Montrons que  \overrightarrow{DJ}  est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BGI).
Les vecteurs  \overrightarrow{BI}  et  \overrightarrow{BG}  ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont manifestement pas proportionnelles.
De plus,
\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{DJ}\ \begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\\\overrightarrow{BI}\ \begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\\0\\1\end{pmatrix}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\begin{matrix}\\\\\overrightarrow{DJ}.\overrightarrow{BI}=2\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)+(-1)\times0+1\times1\\=-1+0+1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix} \\\phantom{WWWWWW}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{DJ}\perp\overrightarrow{BI}}

\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{DJ}\ \begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\\\overrightarrow{BG}\ \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\begin{matrix}\\\\\overrightarrow{DJ}.\overrightarrow{BG}=2\times0+(-1)\times1+1\times1\\=0-1+1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix} \\\phantom{WWWWW}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{DJ}\perp\overrightarrow{BG}}

Le vecteur  \overrightarrow{DJ}  est orthogonal à deux vecteurs  \overrightarrow{BI}  et  \overrightarrow{BG}  non colinéaires du plan (BGI).
Par conséquent, le vecteur  \overrightarrow{DJ}  est un vecteur normal au plan (BGI).

1. d)  Nous savons que tout plan de vecteur normal  \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}   admet une équation cartésienne de la
forme ax  + by  + cz  + d  = 0.

Puisque le vecteur  \overrightarrow{DJ}\,\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}   est normal au plan (BGI), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (BGI) est de la forme 2x  - y  + z  + d  = 0.

Or le point B(1 ; 0 ; 0) appartient au plan (BGI).
Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où 2 - 0 + 0 + d   = 0  , soit d   = -2.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (BGI) est  \boxed{2x-y+z-2=0}.

2.  On note d  la droite passant par F et orthogonale au plan (BGI).

2. a)   Déterminons une représentation paramétrique de la droite d .

La droite d  est dirigée par le vecteur  \overrightarrow{DJ}\,\begin{pmatrix}{\red{2}}\\ {\red{-1}}\\ {\red{1}}\end{pmatrix}  car la droite d  est orthogonale au plan (BGI) et le vecteur  \overrightarrow{DJ}  est normal à ce plan (BGI).

La droite d  passe par le point F({\blue{1}}\,;\,{\blue{0}}\,;\,{\blue{1}}).

D'où une représentation paramétrique de la droite d  est donnée par :

 \left\lbrace\begin{array}l x={\blue{1}}+{\red{2}}\times t\\y={\blue{0}}+{\red{(-1)}}\times t\\z={\blue{1}}+{\red{1}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})

soit \boxed{d:\left\lbrace\begin{array}l x=1+2t\\y=-t\\z=1+t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}

2. b)  Les coordonnées du point L sont les solutions du système composé par les équations de la droite d  et du plan (BGI), soit du système :

\left\lbrace\begin{array}l x=1+2t\\y=-t \\z=1+t\\2x-y+z-2=0 \end{array}\ \ \ \  \left\lbrace\begin{array}l x=1+2t\\y=-t \\z=1+t\\2(1+2t)-(-t)+(1+t)-2=0 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=1+2t\\y=-t \\z=1+t\\2+4t+t+1+t-2=0\end{array}

\left\lbrace\begin{array}l x=1+2t\\y=-t \\z=1+t\\6t+1=0\end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=1+2t\\y=-t \\z=1+t\\t=-\dfrac{1}{6}\end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=1-\dfrac{2}{6}\\y=\dfrac{1}{6}\\z=1-\dfrac{1}{6}\\t=-\dfrac{1}{6} \end{array} \ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\\y=\dfrac{1}{6}\\z=\dfrac{5}{6}\\t=-\dfrac{1}{6} \end{array}
D'où les coordonnées de L, point d'intersection de la droite d  et du plan (BGI) sont  \boxed{(\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{6}\, ;\, \dfrac{5}{6})}.

3. a)  Nous devons déterminer le volume de la pyramide FBGI.
Choisissons le triangle rectangle FBI comme base de la pyramide.
Dans ce cas, la hauteur de cette pyramide est donnée par l'arête [FG].

\text{Aire}_{FBI}=\dfrac{FB\times FI}{2}=\dfrac{1\times\dfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{1}{4}\\\\ \text{Hauteur}=FG=1 \\\\\Longrightarrow\text{Volume}_{\text{pyramide FBGI}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{FBI}\times \text{hauteur}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}\times 1=\dfrac{1}{12} \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{Volume}_{\text{pyramide FBGI}}=\dfrac{1}{12}}

3. b)  Nous devons déterminer l'aire du triangle BGI.
Nous pouvons concevoir la pyramide FBGI comme suit :
  la base est le triangle BGI
  la hauteur est FL car nous déduisons de la question 2 que le point L est le projeté orthogonal de F sur le plan (BGI).

Dans ce cas,  \text{Volume}_{\text{pyramide FBGI}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{BGI}\times FL
Calculons la valeur de FL.

\left\lbrace\begin{matrix}F\ (1\,;\,0\,;\,1)\\L\ (\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{6}\,;\,\dfrac{5}{6})\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ FL=\sqrt{(\dfrac{2}{3}-1)^2+(\dfrac{1}{6}-0)^2+(\dfrac{5}{6}-1)^2} \\\phantom{WWWWWWWWWWv}=\sqrt{(-\dfrac{1}{3})^2+(\dfrac{1}{6})^2+(-\dfrac{1}{6})^2}=\sqrt{\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{36}} \\\phantom{WWWWWWWWWWv}=\sqrt{\dfrac{6}{36}}=\sqrt{\dfrac{1}{6}}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{6}}{6} \\\\\phantom{WWWWWWW}\Longrightarrow \boxed{FL=\dfrac{\sqrt{6}}{6}}
Nous avons montré dans la question 3. a) que le volume de la pyramide FBGI est égal à  \dfrac{1}{12}.
Dès lors,

\text{Volume}_{\text{pyramide FBGI}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{BGI}\times FL\Longleftrightarrow\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{3}\times\text{Aire}_{BGI}\times\dfrac{\sqrt{6}}{6} \\\\\phantom{\text{Volume}_{\text{pyramide FBGI}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{BGI}\times FL}\Longleftrightarrow\dfrac{1}{12}=\text{Aire}_{BGI}\times\dfrac{\sqrt{6}}{18} \\\\\phantom{\text{Volume}_{\text{pyramide FBGI}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{BGI}\times FL}\Longleftrightarrow\text{Aire}_{BGI}=\dfrac{18}{12\sqrt{6}}=\dfrac{3}{2\sqrt{6}}=\dfrac{3\sqrt{6}}{2\times6}=\dfrac{3\sqrt{6}}{12}=\dfrac{\sqrt{6}}{4} \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{Aire}_{BGI}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\ (\text{u.a.})}

5 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

1.  On considère un groupe de 300 personnes venant de réussir l'examen du permis de conduire.
75 personnes ont suivi une formation avec conduite accompagnée.
P(A)=\dfrac{75}{300}\Longrightarrow\boxed{P(A)=\dfrac{1}{4}} .

Parmi ces 75 personnes, 50 d'entre elles ont réussi l'examen à leur première présentation et les autres ont réussi à leur deuxième présentation.
P_A(R_1)=\dfrac{50}{75}\Longrightarrow\boxed{P_A(R_1)=\dfrac{2}{3}}  et  P_A(R_2)=\dfrac{25}{75}\Longrightarrow\boxed{P_A(R_2)=\dfrac{1}{3}}

225 personnes ont suivi une formation traditionnelle.
P(\overline{A})=\dfrac{225}{300}\Longrightarrow\boxed{P(\overline{A})=\dfrac{3}{4}} 

Parmi ces 225 personnes, 100 ont réussi l'examen à leur première présentation, 75 à leur deuxième présentation et 50 à leur troisième présentation.
P_{\overline{A}}(R_1)=\dfrac{100}{225}\Longrightarrow\boxed{P_{\overline{A}}(R_1)=\dfrac{4}{9}} ,

 P_{\overline{A}}(R_2)=\dfrac{75}{225}\Longrightarrow\boxed{P_{\overline{A}}(R_2)=\dfrac{1}{3}} 

et  P_{\overline{A}}(R_3)=\dfrac{50}{225}\Longrightarrow\boxed{P_{\overline{A}}(R_3)=\dfrac{2}{9}}

Nous obtenons ainsi l'arbre pondéré reprenant les données :
Sujet 0 de la Spécialité Maths  : image 10

2. a)  Nous devons déterminer  P(A\cap R_2).

P(A\cap R_2)=P(A)\times P_A(R_2) =\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{12} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(A\cap R_2)=\dfrac{1}{12}}
Par conséquent, la probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec conduite accompagnée et réussi l'examen à sa deuxième présentation est égale à  \dfrac{1}{12}.

2. b)  Nous devons déterminer  P(R_2).

En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

P(R_2)=P(A\cap R_2)+P(\overline{A}\cap R_2) \\\phantom{P(R_2)}=\dfrac{1}{12}+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(R_2) \\\\\phantom{P(R_2)}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{3}{4}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(R_2)=\dfrac{1}{3}}
D'où la probabilité que la personne interrogée ait réussi l'examen à sa deuxième présentation est égale à  \dfrac{1}{3}.

2. c)  Nous devons déterminer  P_{R_2}(A).

P_{R_2}(A)=\dfrac{P(A\cap R_2)}{P(R_2)}=\dfrac{\dfrac{1}{12}}{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{12}\times\dfrac{3}{1}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_{R_2}(A)=\dfrac{1}{4}}
Par conséquent, sachant que la personne interrogée a réussi l'examen à sa deuxième présentation, la probabilité qu'elle ait suivi une formation accompagnée est égale à  \dfrac{1}{4}.

3. a)  On note X  la variable aléatoire qui, à toute personnes choisie au hasard dans le groupe, associé le nombre de fois où elle s'est présentée à l'examen jusqu'à sa réussite.

La variable aléatoire X  peut prendre les valeurs 1, 2 et 3.

P(X=1)=P(R_1)=P(A\cap R_1)+P(\overline{A}\cap R_1) =P(A)\times P_A(R_1)+P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(R_1) \\\\\phantom{P(X=1)=P(R_1)}=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}\times\dfrac{4}{9}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}

P(X=2)=P(R_2)=\dfrac{1}{3}  (voir question 2. b).
Enfin,  P(X=3)=P(R_3)=P(\overline{A})\times P_{\overline{A}}(R_3)=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{9}=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}.
Par conséquent, la loi de probabilité de la variable aléatoire X  peut se résumer par le tableau :

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x_i&\ \ 1\ \ &\ \ 2\ \ &\ \ 3\ \ \\\hline&&&& P(X=x_i)&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{6}&&&&\\\hline \end{array}


3. b)  L'espérance mathématique de la variable aléatoire X  est donnée par  E(X)=\sum\limits_{i=1}^3\left(\overset{}{x_i\times P(X=x_i})\right).

E(X)=1\times\dfrac{1}{2}+2\times\dfrac{1}{3}+3\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}=1+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{3} \\\\\Longrightarrow\boxed{E(X)=\dfrac{5}{3}}
Dans le contexte de l'exercice, cela signifie que le nombre moyen de présentations à l'examen jusqu'à sa réussite est de  \dfrac{5}{3} , soit environ 1,7 passages.

4. a)  Notons Y  la variable aléatoire ayant comme valeur le nombre de personnes parmi les n  personnes choisies ayant réussi l'examen à la troisième reprise.
L'épreuve consiste à répéter avec remise et de manière indépendante n  fois le choix d'une personne.
Lors de chaque choix, deux résultats sont possibles :
  le "succès" : la personne a réussi l'examen à la troisième présentation  dont la probabilité est  p=P(X=3)=\dfrac{1}{6}
  l'"échec" : la personne n'a pas réussi l'examen à la troisième présentation  dont la probabilité est  1-p=1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}
Nous en déduisons que la variable aléatoire Y  suit la loi binomiale de paramètres n  et  p=\dfrac{1}{6} .

La probabilité qu'aucune personne parmi les n personnes choisies n'ait réussi l'examen à la troisième présentation est  P(Y=0)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\times\left(\dfrac{1}{6}\right)^0\times\left(\dfrac{5}{6}\right)^n\Longrightarrow\boxed{P(Y=0)=\left(\dfrac{5}{6}\right)^n}
Donc la probabilité qu'au moins une personne parmi les n personnes choisies a réussi l'examen à la troisième présentation est  \boxed{P(Y\ge1)=1-P(Y=0)=1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n}
Par conséquent, un événement dont la probabilité est égale à  1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n  est : "au moins une personne choisie par les n personnes a réussi l'examen à sa troisième présentation".

4. b)  On considère la fonction Python seuil ci-dessous, où p est un nombre réel appartenant à l'intervalle ]0 ; 1[.

Sujet 0 de la Spécialité Maths  : image 9
Dans cette fonction, la boucle "while" s'exécutera tant que  1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n\le 0,9 , la valeur initiale de n  étant 1.
Donc la valeur renvoyée par la commande seuil(0,9) est le plus petit entier n  vérifiant :  1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n> 0,9 .

Première méthode pour déterminer n  : le tableur de la calculatrice.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||>{\columncolor{green}}c|}\hline&&&&&&&&&&&&&\\ n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\&&&&&&&&&&&&&  \\\hline &&&&&&&&&&&&&&1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n&0,17&0,31&0,42&0,52&0,60&0,66&0,72&0,77&0,81&0,84&0,87&0,89&\cellcolor{red}{0,91}\\&&&&&&&&&&&&&\\\hline &&&&&&&&&&&&&&\underset{\red{?}}>}0,9&\text{Faux}&\text{Faux}&\text{Faux}&\text{Faux}&\text{Faux}&\text{Faux}&\text{Faux}&\text{Faux}&\text{Faux}&\text{Faux}&\text{Faux}&\text{Faux}&\cellcolor{red}{\text{Vrai}}\\&&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}
Ce tableau nous montre que le plus petit entier n  vérifiant :  1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n> 0,9  est n  = 13.
Par conséquent, la valeur renvoyée par la commande seuil(0,9) est 13.

Deuxième méthode pour déterminer n  : Résoudre l'inéquation  1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n> 0,9 .

1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n> 0,9\Longleftrightarrow\left(\dfrac{5}{6}\right)^n< 1-0,9 \\\phantom{1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n> 0,9}\Longleftrightarrow\left(\dfrac{5}{6}\right)^n< 0,1 \\\phantom{1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n> 0,9}\Longleftrightarrow\ln\left[\left(\dfrac{5}{6}\right)^n\right]< \ln(0,1) \\\phantom{1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n> 0,9}\Longleftrightarrow n\times\ln\left(\dfrac{5}{6}\right)< \ln(0,1) \\\\\phantom{1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n> 0,9}\Longleftrightarrow n> \dfrac{\ln(0,1)}{\ln\left(\dfrac{5}{6}\right)}\ \ \ \ (\text{Changement du sens de l'inéquation car }\ln\left(\dfrac{5}{6}\right)<0) \\\\\text{Or } \dfrac{\ln(0,1)}{\ln\left(\dfrac{5}{6}\right)}\approx12,6
D'où le plus petit entier n  vérifiant :  1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^n> 0,9  est n  = 13.
Par conséquent, la valeur renvoyée par la commande seuil(0,9) est 13.

Cela signifie qu'il faut choisir au moins 13 personnes parmi les 300 pour que la probabilité que l'une d'entre elles ait réussi l'examen au troisième essai soit supérieure à 0,9.

5 points

exercice 4 : Au choix du candidat

Exercice A (5 points)

\begin{array} {|ccc|} \hline \textbf{ Principaux domaines abordés} & & \\ \text{Logarithme} & & \\ {\phantom{wwwwwwwwww}}\text{Dérivation, convexité, limites} & & \\ \hline \end{array}

Partie I

1.   f'\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)  est le coefficient directeur de la tangente à la courbe  \mathscr{C}f  en son point d'abscisse  \dfrac{1}{\text{e}} .
Donc  f'\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)  est le coefficient directeur de la tangente TA .
Puisque TA  est parallèle à l'axe des abscisses, son coefficient directeur est nul.
Donc  \boxed{f'\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)=0} . 

f'(1)  est le coefficient directeur de la tangente à la courbe  \mathscr{C}f  en son point d'abscisse 1.
Donc  f'(1)  est le coefficient directeur de la tangente TB  passant par les points M de coordonnées (0 ; 3) et N de coordonnées (3 ; 0).
\Longrightarrow f'(1)=\dfrac{y_N-y_M}{x_N-x_M}=\dfrac{0-3}{3-0}=\dfrac{-3}{3}=-1.

Par conséquent,  \boxed{f'(1)=-1} .

2.  L'équation réduite de la tangente TB  est de la forme :  y=ax+b.
Nous avons montré à la question 1 que le coefficient directeur de TB  est a = -1
De plus nous savons que b = 3 puisque l'ordonnée à l'origine est 3.
Dès lors, une équation de la droite TB  est  \boxed{y=-x+3}

Partie II

Soit la fonction f  définie sur ]0 ; +infini[ par :  f(x)=\dfrac{2+\ln(x)}{x}.

1.  Nous devons montrer que la courbe  \mathscr{C}f  passe par les points A  et B .

f(x_A)=f\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)=\dfrac{2+\ln\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)}{\dfrac{1}{\text{e}}}=\dfrac{2-\ln\text{e}}{\dfrac{1}{\text{e}}}=\dfrac{2-1}{\dfrac{1}{\text{e}}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{\text{e}}}=1\times\dfrac{\text{e}}{1}=\text{e}=y_A \\\\\Longrightarrow f(x_A)=y_A \\\\\Longrightarrow\boxed{A\in\mathscr{C}_f}

f(x_B)=f(1)=\dfrac{2+\ln(1)}{1}=\dfrac{2-0}{1}=2=y_B \\\\\Longrightarrow f(x_B)=y_B \\\\\Longrightarrow\boxed{B\in\mathscr{C}_f}

Déterminons les coordonnées du point d'intersection unique de la courbe  \mathscr{C}f  avec l'axe des abscisses.
Nous devons résoudre dans l'intervalle ]0 ; +infini[ l'équation f (x ) = 0.
f(x)=0\Longleftrightarrow\dfrac{2+\ln(x)}{x}=0 \\\\\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow2+\ln(x)=0 \\\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow\ln(x)=-2 \\\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow\boxed{x=\text{e}^{-2}}
Par conséquent, la courbe  \mathscr{C}f  coupe l'axe des abscisses en un point unique de coordonnées  (\text{e}^{-2}\;,\;0) .

2.  Nous devons déterminer  \lim\limits_{x\to 0^+}f(x).

f(x)=\dfrac{2+\ln(x)}{x}\Longleftrightarrow f(x)=(2+\ln(x))\times\dfrac{1}{x} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty\\\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}(2+\ln(x))=-\infty\\\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWW}\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \lim\limits_{x\to0^+}\left[(2+\ln(x))\times\dfrac{1}{x}\right]=-\infty \\\\\phantom{WWWWWWWW}\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty}

Nous devons déterminer  \lim\limits_{x\to +\infty}f(x).

f(x)=\dfrac{2+\ln(x)}{x}\Longleftrightarrow f(x)=\dfrac{2}{x}+\dfrac{\ln(x)}{x} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2}{x}=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}=0\ \ \ (\text{croissances comparées})\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \lim\limits_{x\to+\infty}\left[\dfrac{2}{x}+\dfrac{\ln(x)}{x}\right]=0 \\\\\\\Longrightarrow\ \ \ \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0}

3.  Déterminons l'expression algébrique de la dérivée f' (x ).

f'(x)=\left(\dfrac{2+\ln(x)}{x}\right)'=\dfrac{(2+\ln(x))'\times x-(2+\ln(x))\times x'}{x^2} \\\phantom{f'(x)=\left(\dfrac{2+\ln(x)}{x}\right)'}=\dfrac{(\dfrac{1}{x})\times x-(2+\ln(x))\times 1}{x^2} \\\phantom{f'(x)=\left(\dfrac{2+\ln(x)}{x}\right)'}=\dfrac{1-2-\ln(x)}{x^2} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{-1-\ln(x)}{x^2}}

4.  Nous devons dresser le tableau de variations de f  sur ]0 ; +infini[.
Le signe la dérivée f' (x ) est le signe du numérateur -1 - ln(x ) car le dénominateur est strictement positif.
D'où le tableau de variations de f  sur ]0 ; +infini[.

\begin{matrix}-1-\ln(x)<0\Longleftrightarrow \ln(x)>-1\\\phantom{-1-\ln(x)}\Longleftrightarrow x>\text{e}^{-1}\\\\-1-\ln(x)=0\Longleftrightarrow \ln(x)=-1 \\\phantom{-1-\ln(x)}\Longleftrightarrow x=\text{e}^{-1}\\\\-1-\ln(x)>0\Longleftrightarrow \ln(x)<-1\\\phantom{-1-\ln(x)}\Longleftrightarrow x<\text{e}^{-1}\end{matrix} \ \ \begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&\text{e}^{-1}=\dfrac{1}{\text{e}}&&+\infty\\&&&&&\\\hline -1-\ln(x)&&+&0&-&\\\hline&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline &&&\text{e}&& \\ f(x)&&\nearrow&&\searrow& \\ &-\infty&&&&0 \\ \hline \end{array}\end{matrix}

5.  On admet que, pour tout x  appartient ]0 ; +infini[, l'expression de la dérivée seconde est  f''(x)=\dfrac{1+2\ln(x)}{x^3}.
Une fonction deux fois dérivable est convexe si et seulement si sa dérivée seconde est positive ou nulle.

\text{Donc }\ \forall\ x\in\,]0\ ;+\infty[,\ f''(x)\ge0\Longleftrightarrow\dfrac{1+2\ln(x)}{x^3}\ge0 \\\\\phantom{\text{Donc }\ \forall\ x\in\,]0\ ;+\infty[,\ f''(x)\ge0}\Longleftrightarrow 1+2\ln(x)\ge0\ \ \ (\text{car }x^3>0) \\\\\phantom{\text{Donc }\ \forall\ x\in\,]0\ ;+\infty[,\ f''(x)\ge0}\Longleftrightarrow \ln(x)\ge-\dfrac{1}{2} \\\\\phantom{\text{Donc }\ \forall\ x\in\,]0\ ;+\infty[,\ f''(x)\ge0}\Longleftrightarrow \boxed{x\ge\text{e}^{-\frac{1}{2}}}
Par conséquent, le plus grand intervalle sur lequel f  est convexe est  \left[\text{e}^{-\frac{1}{2}}\,;\,+\infty\right[.

Exercice B (5 points)

\begin{array} {|ccc|} \hline \textbf{ Principaux domaines abordés} & & \\ {\phantom{wwwww}}\text{Equations différentielles} & & \\ {\phantom{wwwwwwwww}}\text{Fonction exponentielle ; suites} & & \\ \hline \end{array}

1. a)  f (0) représente la température d'une baguette à sa sortie du four, soit 225°.

D'où  \boxed{f(0)=225} .

1. b)  Nous devons résoudre l'équation différentielle :  y'+6y=150 ,
soit l'équation différentielle :  y'=-6y+150.
La solution générale d'une équation différentielle de la forme  y'=ay+b  est  y=k\,\text{e}^{at}-\dfrac{b}{a}\ \ \ \ \ (k\in\R).
Dans ce cas, a  = -6 et b  = 150. 
D'où la solution générale de l'équation est de la forme  f(t)=k\,\text{e}^{-6t}-\left(\dfrac{150}{-6}\right) ,
soit  \boxed{f(t)=k\,\text{e}^{-6t}+25}\ \ \ \ \ (k\in\R).

1. c)  Dans cette modélisation, f (t ) vérifie la relation f(0) = 225.

f(0)=225\Longleftrightarrow k\,\text{e}^{0}+25=225 \\\phantom{f(0)=225}\Longleftrightarrow k\times1+25=225 \\\phantom{f(0)=225}\Longleftrightarrow k=200 \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,t\ge0,\ f(t)=200\,\text{e}^{-6t}+25}

2.  Etudions la croissance de la fonction f  sur l'intervalle [0 ; +infini[.

\forall\ t\ge0,\ f'(t)=(200\text{e}^{-6t}+25)' \\\phantom{\forall\ t\ge0,\ f'(t)}=200(\text{e}^{-6t})'+0 \\\phantom{\forall\ t\ge0,\ f'(t)}=200\times(-6t)'\,\text{e}^{-6t} \\\phantom{\forall\ t\ge0,\ f'(t)}=200\times(-6)\,\text{e}^{-6t} \\\phantom{\forall\ t\ge0,\ f'(t)}=-1200\,\text{e}^{-6t} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ t\ge0,\ f'(t)=-1200\,\text{e}^{-6t}}
Or pour tout t  appartient [0 ; +infini[,  \text{e}^{-6t}>0.
Nous en déduisons que pour tout t  appartient [0 ; +infini[, f' (t ) < 0.
Par conséquent, la fonction f  est strictement décroissante sur [0 ; +infini[.
La fonction f  fournit un modèle en accord avec l'observation courante montrant que la température d'une baguette sortant du four décroît.

Calculons  \lim\limits_{t\to+\infty}f(t).

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{t\to+\infty}(-6t)=-\infty\\\lim\limits_{T\to-\infty}\text{e}^T=0\end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\text{par composition }}{\Longrightarrow}\lim\limits_{t\to+\infty}\text{e}^{-6t}=0 \\\\\\\lim\limits_{t\to+\infty}\text{e}^{-6t}=0\Longrightarrow\lim\limits_{t\to+\infty}200\text{e}^{-6t}=0 \\\phantom{\lim\limits_{t\to+\infty}\text{e}^{-6t}=0}\Longrightarrow\lim\limits_{t\to+\infty}(200\text{e}^{-6t}+25)=25 \\\\\phantom{\lim\limits_{t\to+\infty}\text{e}^{-6t}=0}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=25}
Nous savons que la température ambiante de la boulangerie est maintenue à 25°C.
Puisque  \lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=25 , nous avons montré que la fonction f  fournit un modèle en accord avec l'observation courante montrant que la température d'une baguette sortant du four tend à se stabiliser à la température ambiante.

3.  La fonction f  est continue sur [0 ; +infini[ car elle est dérivable sur [0 ; +infini[ (voir la définition de f ).
Nous avons montré dans la question 2 que la fonction f  est strictement décroissante sur [0 ; +infini[.

\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=225>40\\\\ \lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=25<40 \end{matrix}\right.
Il s'ensuit que le nombre réel 40 est compris entre f (0) et  \lim\limits_{t\to+\infty}f(t) .
Par le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous en déduisons que l'équation f (t ) = 40 admet une unique solution dans [0 ; +infini[.

4.  Représentation graphique de la fonction f  dans un repère orthogonal.

Sujet 0 de la Spécialité Maths  : image 7

Avec la précision permise par le graphique, nous observons que 40 est l'image par f  de 0,43.
La température de 40°C de la baguette se produit donc 0,43h après la sortie du four.
Or 0,43h correspond à 0,43 multiplie 60 min, soit 25,8 min.
Par conséquent, le temps d'attente minimal entre la sortie du four d'une baguette et sa mise en rayon est d'environ 26 minutes.

5.  On s'intéresse ici à la diminution, minute par minute, de la température d'une baguette à sa sortie du four. Ainsi, pour un entier naturel n , Dn  désigne la diminution de la température en degré Celsius d'une baguette entre la n -ième et la (n +1)-ième minute après sa sortie du four.
On admet que pour tout entier naturel n  : D_n= f\left(\dfrac{n}{60}\right)-f\left(\dfrac{n+1}{60}\right).

{\red{5.\ \text{a)}}}\ D_0= f\left(\dfrac{0}{60}\right)-f\left(\dfrac{1}{60}\right) = f(0)-f\left(\dfrac{1}{60}\right)= 225-f\left(\dfrac{1}{60}\right)\ \ \ (\text{voir question 1. a}) \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{a)}}}\ D_0}=225-(200\,\text{e}^{-6\times\frac{1}{60}}+25)=225-200\,\text{e}^{-\frac{1}{10}}-25 \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{a)}}}\ D_0}=200-200\,\text{e}^{-\frac{1}{10}}\approx19,0325.
D'où nous avons vérifié que 19 est une valeur approchée de D 0 à 0,1 près.
Cela signifie que la température de la baguette a diminué de 19°C une minute après sa sortie du four.

{\red{5.\ \text{b)}}}\ D_n= f\left(\dfrac{n}{60}\right)-f\left(\dfrac{n+1}{60}\right) \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{a)}}}\ D_0}=(200\,\text{e}^{-6\times\frac{n}{60}}+25)-(200\,\text{e}^{-6\times\frac{n+1}{60}}+25) \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{a)}}}\ D_0}=200\,\text{e}^{-\frac{n}{10}}+25-200\,\text{e}^{-\frac{n+1}{10}}-25 \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{a)}}}\ D_0}=200\,\text{e}^{-0,1n}-200\,\text{e}^{-0,1n-0,1} \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{a)}}}\ D_0}=200\,\text{e}^{-0,1n}\left(1-\,\text{e}^{-0,1}\right) \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ n\in\N,\ D_n=200\,\text{e}^{-0,1n}\left(1-\,\text{e}^{-0,1}\right)}

\forall\ n\in\N,\ D_n=200\left(1-\,\text{e}^{-0,1}\right)\times(\text{e}^{-0,1})^n
D'où, (Dn ) est une suite géométrique de raison e- 0,1 dont le premier terme est 200(1 - e- 0,1).
Puisque  200\left(1-\,\text{e}^{-0,1}\right)>0  et  0<\text{e}^{-0,1}<1  , nous en déduisons que la suite (Dn ) est décroissante.

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{n\to+\infty}(-0,1n)=-\infty\\\lim\limits_{N\to-\infty}\text{e}^N=0\end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\text{par composition }}{\Longrightarrow}\lim\limits_{n\to+\infty}\text{e}^{-0,1n}=0 \\\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}\text{e}^{-0,1n}=0\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}200\left(1-\,\text{e}^{-0,1}\right)\times(\text{e}^{-0,1})^n=0 \\\\\phantom{\lim\limits_{n\to+\infty}\text{e}^{-0,1n}=0}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}D_n=0}

Ce résultat était prévisible car la température de la baguette diminue au fil du temps pour se stabiliser à la température ambiante de 25°C.
Donc la diminution de température de la baguette entre la n -ième et la (n  + 1)-ième minute tend à devenir nulle.
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