Fiche de mathématiques
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Bac STMG Centres étrangers 2018

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4 points

exercice 1

1.   Arbre probabiliste représentant la situation :

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2.   F\cap R  représente l'événement : "la fiche est celle d'une personne ayant entre 26 et 45 ans et s'étant rendue au restaurant"

P(F\cap R)=P(F)\times P_F(R) \\\phantom{P(F\cap R)}=0,4\times0,42 \\\phantom{P(F\cap R)}=0,168 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(F\cap R)=0,168}

3.   En utilisant la formule des probabilités totales, nous avons :

P(R)=P(E\cap R)+P(F\cap R)+P(G\cap R) \\\phantom{P(R)}=P(E)\times P_E(R)+0,168+P(G)\times P_G(R) \\\phantom{P(R)}=0,15\times 0,28+0,168+0,45\times 0,63 \\\phantom{P(R)}=0,042+0,168+0,2835 \\\phantom{P(R)}=0,4935 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(R)=0,4935}

4.   Nous devons déterminer  P_R(G) .

P_R(G)=\dfrac{P(G\cap R)}{P(R)} \\\\\phantom{P_R(G)}=\dfrac{P(G)\times P_G(R)}{0,4935} \\\\\phantom{P_R(G)}=\dfrac{0,45\times0,63}{0,4935} \\\\\phantom{P_R(G)}=\dfrac{0,2835}{0,4935} \\\\\phantom{P_R(G)}\approx0,574

Par conséquent, sachant que la fiche choisie est celle d'une personne s'étant rendue au restaurant lors des festivités de 2017, la probabilité que cette fiche soit celle d'une personne ayant plus de 46 ans est environ égale à 0,574 (arrondie au millième).

4 points

exercice 2

1.   Le domaine correspondant à l'événement {X  > 80} est représenté en bleu sous la courbe de densité de la variable aléatoire X .

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Par la calculatrice, nous obtenons :  \boxed{P(X>80)\approx0,9772}

2.   L'aire du domaine hachuré représente la probabilité que la consommation d'eau soit comprise entre 41 et 49 litres.

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Par la calculatrice, nous obtenons : \boxed{P(41\le Y\le49)\approx0,9545}

Nous pouvions également obtenir ce résultat en utilisant la propriété suivante de la loi normale : P(\mu-2\sigma\le Y\le\mu+2\sigma)\approx0,9545.

En effet, la variable aléatoire Y  suit la loi normale d'espérance mu = 45 et d'écart type sigma = 2.

P(41\le Y\le49)=P(45-4\le Y\le45+4)\\\phantom{P(41\le Y\le49)}=P(45-2\times2\le Y\le45+2\times2)\\\phantom{P(41\le Y\le49)}=P(\mu-2\sigma\le Y\le\mu+2\sigma)\\\phantom{P(41\le Y\le49)}\approx0,9545\\\\\Longrightarrow\boxed{P(41\le Y\le49)\approx0,9545}

3.   Un intervalle de fluctuation I350  au seuil de 95 % de la proportion des clients sensibles aux questions environnementales est donnée par  I_{350}=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] où la taille de l'échantillon est n  = 350 et la proportion proposée est p  = 0,9.

I_{350}=\left[0,9-\dfrac{1}{\sqrt{350}}\,;\,0,9+\dfrac{1}{\sqrt{350}}\right]\Longrightarrow\boxed{I_{350}\approx[0,846\ ;\ 0,954]}

Le sondage réalisé par le gérant aurpès de 350 clients révèle que 290 clients sont sensibles aux questions environnementales.
La fréquence observée de ces clients est  f=\dfrac{290}{350}\approx0,829
Nous remarquons que  f\notin I_{350}.

Par conséquent au risque de se tromper de 5%, nous pouvons remettre en cause l'affirmation de la société de conseil.

7 points

exercice 3

Partie A : étude d'un premier modèle

1.   L'équation réduite de la droite d'ajustement de y  en x  est  de la forme y  = ax  + b .
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons a  = 37,2 et b  = 144,8.

D'où une équation réduite de la droite d'ajustement de y  en x  est  \boxed{y=37,2x+144,8}

2.   Soit  {\mathscr{D}}:y=37x+145.
Déterminons les coordonnées de deux points de la droite  {\mathscr{D}}.

\text{Par exemple, }\ x=0\Longrightarrow y=37\times0+145 \\\phantom{\text{Par exemple, }\ x=0\Longrightarrow}\ y=145 \\ \phantom{\text{Par exemple, }}\ x=5\Longrightarrow y=37\times5+145 \\\phantom{\text{Par exemple, }\ x=5\Longrightarrow}\ y=330 \\\\\text{D'où }\ \boxed{(0;145)\in\mathscr{D}}\ \ \text{et }\ \boxed{(5;330)\in\mathscr{D}}

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3.   Si x  = 10, alors y  = 37 multiplie 10 + 145, soit y  = 515.
Par conséquent, à la fin de la semaine de rang 10, il est attendu 515 téléchargements.

Partie B : étude d'un second modèle

1.   Le taux d'évolution global en pourcentage est donné par :  \dfrac{\text{valeur finale - valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}\times100

A la semaine de rang 4, le nombre de téléchargements est de 296.
A la semaine de rang 10, le nombre de téléchargements est de 1095.

\dfrac{1095-296}{296}\times100\approx270

Par conséquent, le taux d'évolution global du nombre de téléchargements entre la semaine de rang 4 et la semaine de rang 10 est de 270 %.

2.   Le coefficient multiplicateur global pendant les 6 semaines est Cg  = 1 + 2,70 = 3,7.
Le coefficient multiplicateur hebdomadaire moyen est  C_m=(C_g)^{\frac{1}{6}}.

C_m=3,7^{\frac{1}{6}}\Longrightarrow\boxed{C_m\approx1,244}

Ce coefficient multiplicateur correspond à un taux d'évolution hebdomadaire moyen de 1,244 - 1 = 0,244, soit 24,4 %.
Par conséquent, le taux d'évolution hebdomadaire moyen du nombre de téléchargements entre la semaine de rang 4 et la semaine de rang 10 est égal à 24,4 %.

3.  Nous supposons dorénavant que le taux d'évolution hebdomadaire du nombre de téléchargements est constant et égal à 24 %.
Ce taux correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,24 = 1,24.
Puisque lors du passage d'une semaine à la suivante, le nombre de téléchargements hebdomadaire est multiplié par 1,24, la suite (un ) est une suite géométrique de raison q  = 1,24.

4.   u_n=u_0\times q^n\Longrightarrow\boxed{u_n=1095\times1,24^n}

5.   Le terme un  resprésente le nombre de téléchargements hebdomadaires au cours de la semaine de rang (10 + n ).
Dès lors, le nombre de téléchargements lors de la semaine de rang 20 se détermine par u 10.
u_{10}=1095\times1,24^{10}\Longrightarrow\boxed{u_{10}\approx9\,411}
D'où lors de la semaine de rang 20, Julien peut espérer 9 411 téléchargements.

6.  Algorithme complété :

            \begin{array}{|c|}\hline N\longleftarrow0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\U\longleftarrow1\,095\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Tant que  }\ {\red{U\le20\,000}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\ \ \ U\longleftarrow1,24\times U\\\ \ \ {\red{N\longleftarrow N+1}}\ \ \ \ \  \\\text{Fin Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\N\longleftarrow 10+N\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline\end{array}

5 points

exercice 4

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Partie A

1.   Le coût moyen est minimal lorsqu'il est égal au coût marginal.
Graphiquement, il semble que le coût moyen minimal soit obtenu pour 5 tonnes de plastiques produites.

2.  Ce coût moyen minimal semble être égal à 400 euros.
Le coût total sera alors égal à 5 multiplie 400 = 2000 euros
.

Partie B

1.  L'entreprise réalise un profit lorsque le prix de vente unitaire est strictement supérieur au coût moyen.
Nous remarquons que le graphique représentant le prix de vente unitaire est au-dessus de la droite représentant le prix moyen sur l'intervalle ]2 ; 9[.
Par conséquent, pour que l'entreprise réalise un profit, les quantités exprimées en tonnes de plastique produites doivent appartenir à l'intervalle ]2 ; 9[.

2.   Le profit de l'entreprise est maximal lorsque le coût marginal est égal au prix de vente unitaire.
Graphiquement, il semble que le profit maximal soit obtenu pour 6 tonnes de plastiques produites.

3. Graphiquement, il semble que le coût moyen correspondant à 6 tonnes de plastiques produites soit d'environ 450 euros.

4.   Le coût total sera alors égal à 6 multiplie 450 = 2700 euros.

5.  Le chiffre d'affaires correspondant à 6 tonnes vendues est égal à 6 multiplie 700 = 4200 euros.
Le profit total maximal sera alors égal à 4200 - 2700 = 1500 euros.
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