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E3C - Epreuve 2 - Voie technologique

Sujet 1 de la banque nationale

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Durée : 2 heures



Ce sujet est extrait de la banque nationale des sujets E3C-épreuve 2- de la voie technologique. Ces sujets dans leur totalité sont consultables dans ce document



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E3C-Banque-Epreuve 2-Voie technologique

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Partie I

5 points

exercice 1 : sur les automatismes (Sans calculatrice)

Tableau "énoncé-réponse" des questions de 1 à 5.
Les détails du calcul sont donnés à la suite du tableau.

         \begin{array}{|c|c|c|}\hline &\ \ \ \ \ \ \text{Enoncé}\ \ \ \ \ \ &\ \ \ \ \ \ \text{Réponse}\ \ \ \ \ \ \\\hline&&\\ 1)&\text{ Calculer la fraction irréductible égale à }&\\&\dfrac{18}{25}\times\dfrac{5}{3}&{\red{\dfrac{6}{5}}}\\&&\\\hline&&\\ 2)&\text{ Développer }(7-3x)(7+3x)&{\red{49-9x^2}}\\&&\\\hline&&\\ 3)&\text{L'image de 1 par  }f\text{ définie sur }\R\text{ par }&\\&f(x)=-2x^2-3&{\red{-5}}\\&&\\\hline&&\\ 4)&\text{Résoudre l'équation }5x-7=3x-19&{\red{x=-6}}\\&&\\\hline&&\\  5)&\text{Un article vaut 44 euros et son prix subit une}&\\&\text{diminution de 25}\%.\text{ Calculer son nouveau prix.}&{\red{33\text{ euros}}}\\&&\\\hline \end{array}

Détails des 5 premières réponses :

1)\ \dfrac{18}{25}\times\dfrac{5}{3} =\dfrac{3\times6}{5\times5}\times\dfrac{5}{3}=\dfrac{3\times6\times5}{5\times5\times3}=\dfrac{\cancel{\blue{3}} \times6\times\cancel{\green{5}}}{\cancel{{\green{5}}}\times5\times\cancel{\blue{3}}}=\boxed{\red{\dfrac{6}{5}}}

2) Nous utilisons l'identité remarquable (a  - b )(a  + b ) = a 2 - b 2 avec a  = 7 et b  = 3x .  
(7-3x)(7+3x)=7^2-(3x)^2 \\\phantom{(7-3x)(7+3x)}=49-9x^2 \\\overset{\frac{}{}}{\Longrightarrow\boxed{(7-3x)(7+3x)=49-9x^2}}

3) L'image de 1 par f  est f (1).
Dans l'expression de f (x ), remplaçons x  par 1.  
f(1)=-2\times1^2-3 \\\phantom{f(1)}=-2\times1-3 \\\phantom{f(1)}=-2-3 \\\phantom{f(1)}=-5\\\overset{\frac{}{}}{\Longrightarrow\boxed{f(1)=-5}}
Par conséquent, l'image de 1 par f  est -5.

4)\ 5x-7=3x-19\Longleftrightarrow 5x-3x=-19+7 \\\phantom{4)\ 5x-7=3x-19}\Longleftrightarrow 2x=-12 \\\phantom{4)\ 5x-7=3x-19}\overset{\frac{}{}}{\Longleftrightarrow x=\dfrac{-12}{2}} \\\phantom{4)\ 5x-7=3x-19}\overset{\frac{}{}}{\Longleftrightarrow \boxed{x=-6}}
Donc la solution de l'équation 5x - 7 = 3x - 19 est x = -6.

5) Nous savons que l'écriture décimale de 25% est 0,25.
Dès lors, la calcul à réaliser est le suivant : 
44-0,25\times44=44-11=\boxed{33}
Par conséquent, le nouveau prix est 33 euros.

Tableau "énoncé-réponse" des questions 6 à 10.

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Détails des réponses 6 à 10 :

6) Un antécédent de -3 par h  est l'abscisse d'un point d'intersection entre la courbe Ch  et la droite horizontale d'équation : y  = -3.
Nous observons sur le graphique que la courbe Ch  coupe la droite horizontale d'équation : y  = -3 (représentée en rouge) en trois points dont les abscisses sont -6, -2 et 2.
Par conséquent, les antécédents de -3 par h  sont -6 , -2 et 2.

7)  Les solutions de l'inéquation h (x ) infegal 0 sont les abscisses des points de la courbe Ch  situés sur l'axe des abscisses ou au-dessous de cet axe des abscisses.
D'où l'ensemble des solutions de l'inéquation h (x ) infegal 0 est l'ensemble  [-6\,;\,-5]\cup [-3\,;\,3].

8) Voir graphique.

9) Une diminution de 20% correspond à un coefficient multiplicateur égal à  1-\dfrac{20}{100}=1 - 0,2 = {\red{0,8}}.

10) Nous devons résoudre l'équation  \dfrac{30}{100}\times Y=60.

\dfrac{30}{100}\times Y=60\Longleftrightarrow Y=60\times\dfrac{100}{30} \\\\\phantom{\dfrac{30}{100}\times Y=60}\Longleftrightarrow Y={\red{\overset{2}{\cancel{60}}}}\times\dfrac{100}{{\red{\underset{1}{\cancel{30}}}}} \\\phantom{\dfrac{30}{100}\times Y=60}\Longleftrightarrow Y=2\times100 \\\phantom{\dfrac{30}{100}\times Y=60}\Longleftrightarrow \boxed{{\red{Y=200}}}

5 points

exercice 2 (Calculatrice autorisée)

Soit la fonction f  définie sur R par  f(x)=x^2+2x-3.

1.  Le nombre réel r  est une racine de la fonction f  si f (r ) = 0.  
  f(a)=f(1)=1^2+2\times1-3=1+2-3=0\Longrightarrow\boxed{f(a)=0}.
      D'où le nombre réel a  est une racine de f . 
  f(b)=f(2)=2^2+2\times2-3=4+4-3=5\neq0\Longrightarrow\boxed{f(b)\neq0}.
      D'où le nombre réel b  n'est pas une racine de f . 
  f(c)=f(-3)=(-3)^2+2\times(-3)-3=9-6-3=0\Longrightarrow\boxed{f(-3)=0}.
      D'où le nombre réel c  est une racine de f . 
Par conséquent, les nombres a  = 1 et c  = -3 sont des racines de f .

{\red{2.\ }}\ (x-1)(x+3)=x^2+3x-x-3 \\\phantom{{\red{2.\ }}\ (x-1)(x+3)}=x^2+2x-3 \\\phantom{{\red{2.\ }}\ (x-1)(x+3)}=f(x) \\\overset{\frac{}{}}{\Longrightarrow\boxed{f(x)=(x-1)(x+3)}}

3.  Etudions le signe de la fonction f .

      \begin{matrix}{\red{x-1=0}}\Longleftrightarrow {\red{x=1}} \\ {\red{x-1<0}}\Longleftrightarrow {\red{x<1}} \\ {\red{x-1>0}}\Longleftrightarrow {\red{x>1}} \\\\ {\blue{x+3=0}}\Longleftrightarrow {\blue{x=-3}} \\ {\blue{x+3<0}}\Longleftrightarrow {\blue{x<-3}} \\ {\blue{x+3>0}}\Longleftrightarrow {\blue{x>-3}} \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} \\\dfrac{}{}\ \ \ \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&\\ x&-\infty&&-3&&1&&+\infty\\&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&{\red{x-1}}&&{\red{-}}&{\red{-}}&{\red{-}}&{\red{0}}&{\red{+}}&\\ {\blue{x+3}}&&{\blue{-}}&{\blue{0}}&{\blue{+}}&{\blue{+}}&{\blue{+}}&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&&f(x)=(x-1)(x+3)&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline \end{array}\end{matrix}

\text{Par conséquent, }f(x)<0\ \text{ si }\ x\in\,]-3\,;\,1[ \\\phantom{\text{Par conséquent, }}f(x)=0\ \text{ si }\ x=-3\ \text{ ou }\ x=1 \\\phantom{\text{Par conséquent, }}f(x)>0\ \text{ si }\ x\in\,]-\infty\,;\,-3[\,\cup\ ]1\,;\,+\infty[

4.  Déterminons la courbe représentant la fonction f . 
  Par la question1, nous savons que les racines de f  sont -3 et 1.
D'où, la courbe représentant la fonction f  coupe l'axe des abscisses aux points de coordonnées (-3 ; 0) et (1 ; 0).
Dès lors, la courbe B ne représente pas la fonction f . 
  f (0) = 0² + 2multiplie 0 - 3 = -3 equivaut f (0) = -3.
D'où, la courbe représentant la fonction f  coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; -3).
Dès lors, la courbe C ne représente pas la fonction f . 
  Par conséquent, seule, la courbe A représente la fonction f .

5 points

exercice 3

1)  Section du cube par MNP.

        
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{\red{2)\ \text{a) }}}\ MN=\sqrt{(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2+(z_N-z_M)^2} \\\\\phantom{{\red{2)\ \text{a) }}}\ MN}=\sqrt{(3,7-4,9)^2+(4,9-3,7)^2+(5,5-5,5)^2} \\\\\phantom{{\red{2)\ \text{a) }}}\ MN}=\sqrt{(-1,2)^2+1,2^2+0^2} =\sqrt{1,44+1,44+0} \\\\\phantom{{\red{2)\ \text{a) }}}\ MN}=\sqrt{2,88}\\\\\Longrightarrow\boxed{MN=\sqrt{2,88}}

MP=\sqrt{(x_P-x_M)^2+(y_P-y_M)^2+(z_P-z_M)^2} \\\\\phantom{MP}=\sqrt{(4,9-4,9)^2+(4,9-3,7)^2+(4,4-5,5)^2} \\\\\phantom{MP}=\sqrt{0^2+1,2^2+(-1,1)^2} =\sqrt{0+1,44+1,21} \\\\\phantom{MP}=\sqrt{2,65}\\\\\Longrightarrow\boxed{MP=\sqrt{2,65}}

NP=\sqrt{(x_P-x_N)^2+(y_P-y_N)^2+(z_P-z_N)^2} \\\\\phantom{NP}=\sqrt{(4,9-3,7)^2+(4,9-4,9)^2+(4,4-5,5)^2} \\\\\phantom{NP}=\sqrt{1,2^2+0^2+(-1,1)^2} =\sqrt{1,44+0+1,21} \\\\\phantom{NP}=\sqrt{2,65}\\\\\Longrightarrow\boxed{NP=\sqrt{2,65}}

2) b)  Vérifions si les longueurs MN, MP et NP sont supérieures à 1 cm.  
\left\lbrace\begin{matrix}MN=\sqrt{2,88}>1 \\MP=\sqrt{2,65}>1 \\NP=\sqrt{2,65}>1\end{matrix}\right.
Par conséquent, le bouton est conforme car chacune de ses dimensions mesure au moins 1 cm.

3.  Terminons la construction de la croix supérieure.
Les traits de construction sont en pointillés rouges.
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Représentons le haut-parleur de la deuxième face latérale visible.
Les traits de construction sont en pointillés colorés avec correspondance des couleurs selon les points.
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Nous obtenons ainsi la représentation de l'enceinte en perspective parallèle.
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5 points

exercice 4 (Calculatrice autorisée)

1.  Arbre pondéré de probabilités traduisant la situation :
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2.  Nous devons calculer  P(M\cap \overline{C}). 
P(M\cap \overline{C})=P(M)\times P_M(\overline{C}) \\\phantom{P(M\cap \overline{C})}=0,42\times0,45 \\\phantom{P(M\cap \overline{C})}=0,189 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(M\cap \overline{C})=0,189}
D'où la probabilité que la personne interrogée ait entre 25 et 60 ans et déclare ne pas connaître le produit est égale à 0,189.

3. a)  Nous devons calculer  P(S\cap C). 
P(S\cap C)=P(S)\times P_S(C) \\\phantom{P(S\cap C)}=0,28\times0,4 \\\phantom{P(S\cap C)}=0,112 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(S\cap C)=0,112}

3. b)  Nous devons calculer  P(C).
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons : 
P(C)= P(S\cap C)+P(M\cap C)+P(J\cap C) \\\phantom{P(C)}=0,112+P(M)\times P_M(C)+P(J)\times P_J(C)\ \\\phantom{P(C)}=0,112+0,42\times0,55+0,3\times0,75 \\\phantom{P(C)}=0,112+0,231+0,225 \\\phantom{P(C)}=0,568\\\\\Longrightarrow\boxed{P(C)=0,568}

4.  Nous devons calculer  P_C(S). 
P_C(S)=\dfrac{P(S\cap C)}{P(C)}=\dfrac{0,112}{0,568}\approx0,197.
Par conséquent, sachant que la personne déclare connaître le produit, la probabilité qu'elle ait plus de 60 ans est environ égale à 0,197 (valeur arrondie au millième).
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