Fiche de mathématiques
Ile mathématiques > maths Tale > Intégration
 \text{ d}t)
 \text{ d}t)
 \text{ d}t)
 \text{ d}t)
.
1. Calculer la dérivée de la fonction
.
2. En déduire la dérivée de la fonction
définie sur [0; 1] par  = \ln(x + \sqrt{x^2+2}))
.
3. Calculer
.
 \text{ d}x)
e^{-u} \text{ d}u)
![\displaystyle I_1 = \left[\sin t\right]_{0}^{\pi} = \sin \pi - \sin 0 = 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle I_1 = \left[\sin t\right]_{0}^{\pi} = \sin \pi - \sin 0 = 0)
![\displaystyle I_2 = \left[-\cos\left(t+\frac{\pi}{4}\right)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right) + \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle I_2 = \left[-\cos\left(t+\frac{\pi}{4}\right)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right) + \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2})
![\displaystyle I_3 = \left[\frac{1}{4}t^4+\frac{2}{3}t^3+2t^2+t\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 2 + 1 = \frac{47}{12}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle I_3 = \left[\frac{1}{4}t^4+\frac{2}{3}t^3+2t^2+t\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 2 + 1 = \frac{47}{12})
On remarque que la fonction
est impaire, donc 
.
![\displaystyle I_5 = \left[t - 2e^t\right] = \ln 3 - 2e^{\ln 3} - (- \ln 2 - 2e^{-\ln 2})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle I_5 = \left[t - 2e^t\right] = \ln 3 - 2e^{\ln 3} - (- \ln 2 - 2e^{-\ln 2}))
)
![\displaystyle I_6 = \left[2\sqrt{1+t^2}\right]_{0}^{1} = 2\sqrt{2}-2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle I_6 = \left[2\sqrt{1+t^2}\right]_{0}^{1} = 2\sqrt{2}-2)
' = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+2}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}})
2. À l'aide de la question précédente :
 = \dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}}{x+{\sqrt{x^2+2}}} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{x^2+2}+x}{\sqrt{x^2+2}}}{x+{\sqrt{x^2+2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+2}})
3. On déduit des questions précédentes que :
 \text{ d}x = f(1) - f(0) = \ln(1 + \sqrt{3}) - \ln(\sqrt{2}))
 = x)
et  = \sin x)
donc : = 1)
et  = - \cos x)
On a alors : \text{ d}x = \int_{0}^{\pi} (u(x) \times v'(x)) \text{ d}x)
et en faisant une intégration par parties, on obtient :
![\displaystyle \text{A} = \left[u(x).v(x)\right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} (u'(x) v(x)) \text{ d}x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \text{A} = \left[u(x).v(x)\right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} (u'(x) v(x)) \text{ d}x)
c'est-à-dire :![\displaystyle \text{A} = \left[-x \cos x\right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} (- \cos x) \text{ d}x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \text{A} = \left[-x \cos x\right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} (- \cos x) \text{ d}x)
![\Longleftrightarrow \displaystyle \text{A} = \pi + \left[\sin x\right]_{0}^{\pi}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\Longleftrightarrow \displaystyle \text{A} = \pi + \left[\sin x\right]_{0}^{\pi})
D'où :
En remarquant que
, on pose :
 = \ln t)
et  = 1)
donc : = \dfrac{1}{t})
et  = t)
Et en intégrant par parties, on obtient :
![\displaystyle \text{B} = \left[t \ln t\right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} t \times \frac{1}{t} \text{ d}t](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \text{B} = \left[t \ln t\right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} t \times \frac{1}{t} \text{ d}t)
![\displaystyle \text{B} = e - \left[t\right]_{1}^{e}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \text{B} = e - \left[t\right]_{1}^{e})
)
D'où :
On pose :
 = 2u + 1)
et  = e^{-u})
donc : = 2)
et  = -e^{-u})
En intégrant par parties, on obtient :
![\displaystyle \text{C} = \left[-(2u + 1)e^{-u} \right]_{-1}^0 - \displaystyle \int_{-1}^0 \left(-2e^{-x} \right) \text{ d}x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \text{C} = \left[-(2u + 1)e^{-u} \right]_{-1}^0 - \displaystyle \int_{-1}^0 \left(-2e^{-x} \right) \text{ d}x)
![\displaystyle \text{C} = -1 - e - \left[2e^{-x} \right]_{-1}^0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \text{C} = -1 - e - \left[2e^{-x} \right]_{-1}^0)
D'où :
Publié par Tom_Pascal
le
Calcul intégral
exercice 1
Calculer les intégrales suivantes :exercice 2
Soit1. Calculer la dérivée de la fonction
2. En déduire la dérivée de la fonction
3. Calculer
exercice 3
Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'une intégration par parties :exercice 1
On remarque que la fonction
exercice 2
1.2. À l'aide de la question précédente :
3. On déduit des questions précédentes que :
exercice 3
On posedonc :
On a alors :
et en faisant une intégration par parties, on obtient :
c'est-à-dire :
D'où :
En remarquant que
donc :
Et en intégrant par parties, on obtient :
D'où :
On pose :
donc :
En intégrant par parties, on obtient :
D'où :
ceci n'est qu'un extrait
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