Fiche de mathématiques
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Les primitives

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exercice 1

Primitives de fonctions polynômes
1. Déterminer des primitives sur \mathbb{R} des fonctions suivantes :
x \mapsto x
x \mapsto x2
x \mapsto x3
x \mapsto -5

2. Déterminer des primitives sur \mathbb{R} des fonctions :
x \mapsto 2x
x \mapsto -3x2
x \mapsto 8x3

3. Déterminer une primitive sur \mathbb{R} de la fonction :
x \mapsto 8x3 - 3x2 + 2x - 5




exercice 2

Primitives immédiates
1. Déterminer une primitive sur \mathbb{R} de chacune des fonctions suivantes :
f : x \mapsto 0
g : x \mapsto 2
h : x \mapsto x5

2. Déterminer toutes les primitives sur ]0,+\infty[ de chacune des fonctions suivantes :
i : x \mapsto \dfrac{1}{x^2}
j : x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}}

3. Déterminer deux primitives sur \mathbb{R} de la fonction :
f : x \mapsto 2x3 + 3x - 1




exercice 3

Fonctions simples
Déterminer deux primitives sur ]0,+\infty[ de chacune des fonctions suivantes :
f : x \mapsto \dfrac{3}{x^2} + \dfrac{1}{3}x^2
g : x \mapsto \dfrac{2}{\sqrt{x}} - x\sqrt{2}




exercice 4

Fonction rationnelle
Déterminer deux primitives sur ]0,+\infty[ de la fonction f : x \mapsto \dfrac{3x^3 + 2x^2 + 1}{x^2}.




exercice 5

Puissance
Déterminer deux primitives sur \mathbb{R} de f : x \mapsto 5 (4x - 1)6
et deux primitives sur ]1; +\infty[ de g : x \mapsto \dfrac{7}{(3x + 2)^5}.




exercice 6

Racine carrée
Déterminer une primitive sur ]-1; +\infty[ de f : x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{3x + 5}},
et une primitive sur ]2; +\infty[ de g : x \mapsto \dfrac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x - 8}}.




exercice 7

Primitives et dérivées
1. Soit g la fonction définie sur ]0; +\infty[ par g(x) = xracinex.
Calculer la dérivée de g sur ]0,+\infty[.

2. Soit f la fonction définie sur ]0; +\infty[ par f(x) = racinex.
Déduire de la première question une primitive de f sur ]0; +\infty[ .




exercice 8

Signe et variations d'une primitive
Soit f la fonction définie sur ]-3,+\infty[ par f(x) = \dfrac{x}{x + 3} et F la primitive de f sur ]-3,+\infty[ qui s'annule en zéro.
1. Etudier les variations de la fonction F sur ]-3; +\infty[.
2. Etudier le signe de F(x) sur [-3; +\infty[.
3. Soit g la fonction définie sur ]-3; +\infty[ par g(x) = F(x) - x.
    a) Démontrer que g est décroissante sur ]-3; +\infty[.
    b) En déduire que : si x > 0, alors F(x) < x.

Correction


exercice 1

1. Des primitives de x \mapsto x sont par exmple : x \mapsto \dfrac{1}{2} x2 + 4     ou encore     x \mapsto \dfrac{1}{2}x2 - 4,5
d'une manière générale : x \mapsto \dfrac{1}{2}x2 + \lambda où \lambda\in\mathbb{R}

Des primitives de x \mapsto x2 sont par exemple : x \mapsto \dfrac{1}{3} x3 + 89     ou encore     x \mapsto \dfrac{1}{3}x3 - 12,7
d'une manière générale : x \mapsto \dfrac{1}{3}x3 + \lambda où \lambda\in\mathbb{R}

Des primitives de x \mapsto x3 sont par exemple : x \mapsto \dfrac{1}{4} x4 + 8,7     ou encore     x \mapsto \dfrac{1}{4}x4 - 121,7
d'une manière générale : x \mapsto \dfrac{1}{4}x4 + \lambda où \lambda\in\mathbb{R}

Des primitives de x \mapsto -5 sont par exemple : x \mapsto -5x + 1,4     ou encore     x \mapsto -5x + 17
d'une manière générale : x \mapsto -5x + \lambda où \lambda\in\mathbb{R}

2. Des primitives de x \mapsto 2x sont de la forme x \mapsto x2 + \lambda où \lambda\in\mathbb{R}

Des primitives de x \mapsto -3x2 sont de la forme x \mapsto -x3 + \lambda où \lambda\in\mathbb{R}

Des primitives de x \mapsto 8x3 sont de la forme x \mapsto 2x4 + \lambda où \lambda\in\mathbb{R}

3. A l'aide des questions précédentes, une primitive sur \mathbb{R} de la fonction x \mapsto 8x3 - 3x2 + 2x - 5 est par exemple :
x \mapsto 2x4 - x3 + x2 - 5x





exercice 2

1. Une primitive sur \mathbb{R} de f : x \mapsto 0 est F : x \mapsto 4
D'une manière générale, les primitives de f sont x : \mapsto \lambda où \lambda\in\mathbb{R}
Une primitive de g : x \mapsto 2 est G : x \mapsto 2x
Une primitive de h : x \mapsto x5 est H : x \mapsto \dfrac{1}{6}x6

2. Les primitives de i : x \mapsto \dfrac{1}{x^2} sont I : x \mapsto -\dfrac{1}{x} + \lambda où \lambda\in\mathbb{R}
Les primitives de j : x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}} sont J : x \mapsto 2\sqrt{x} + \lambda où \lambda\in\mathbb{R}

3. Deux primitives sur \mathbb{R} de la fonction f sont :
x \mapsto \dfrac{1}{2} x4 + \dfrac{3}{2}x2 - x + 2     et     x \mapsto \dfrac{1}{2} x4 + \dfrac{3}{2}x2 - x + 18





exercice 3

Deux primitives de f sont par exemple :
x \mapsto -\dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{9}x^3     et     x \mapsto -\dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{9}x^3 - 12


Deux primitves de g sont par exemple :
x \mapsto 4\sqrt{x} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}x^2     et     x \mapsto 4\sqrt{x} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}x^2 - 3,5





exercice 4

La fonction f peut s'écrire : f : x \mapsto 3x + 2 + \dfrac{1}{x^2}
Deux primitives de la fonction f sont par exemple :
x \mapsto \dfrac{3}{2}x^2 + 2x - \dfrac{1}{x}     et     x \mapsto \dfrac{3}{2}x^2 + 2x - \dfrac{1}{x} - 3





exercice 5

On utilise la formule suivante \left(u^n\right)' = nu'u^{n-1}         avec u(x) = 4x - 1     et     n = 7.
Deux primitives de f sur \mathbb{R} sont donc :
x \mapsto \dfrac{5}{28}(4x - 1)^7     et     x \mapsto \dfrac{5}{28}(4x - 1)^7 - 1,4


On utilise la forumule suivant : \left(\dfrac{1}{u^n}\right)' = -\dfrac{nu'}{u^{n+1}}         avec u(x) = 3x + 2     et     n = 4.
Deux primitives de g sur ]1; +\infty[ sont donc :
x \mapsto -\dfrac{7}{12(3x + 2)^4}     et     x \mapsto -\dfrac{7}{12(3x + 2)^4} - 7





exercice 6

On utilise la formule (\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}

avec u(x) = 3x + 5
Une primitive sur ]-1; +\infty[ de f est donc : x \mapsto \dfrac{2}{3} \sqrt{3x + 5}

avec u(x) = x2 + 2x - 8
Une primitive sur ]2; +\infty[ de g est donc : x \mapsto \sqrt{x^2 + 2x - 8}




exercice 7

1. g est dérivable sur ]0; +\infty[ et :
g'(x) = \sqrt{x} + x \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{2x + x}{2\sqrt{x}} = \dfrac{3x}{2\sqrt{x}} = \dfrac{3}{2}\sqrt{x}

2. En remarquant, à l'aide de la question précédente que f(x) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{2} \sqrt{x} = \dfrac{2}{3} g'(x),
une primitive de f sur ]0; +\infty[ est : x \mapsto \dfrac{2}{3}x\sqrt{x}




exercice 8

1. Etude des variations de F sur ]-3; +\infty[ :
Pour tout x de ]-3; +\infty[, F'(x) = f(x).
Pour étudier les variations de F, étudions le signe de f :
\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x & -3 & & 0 & & +\infty\\\hline x & & - & 0 & + &\\\hline x + 3& 0 & + & & + & \\\hline\dfrac{x}{x + 3} & || & - & 0& + &\\\hline\end{array}

Donc : f'(x) < 0 pour x \in ]-3; 0[;
f'(x) = 0 pour x = 0;
f'(x) > 0 pour x \in ]0; +\infty[

D'où : F est décroissante sur ]-3; 0] et croissante sur [0; +\infty[

2. D'après les variations de F, F admet un minimum en 0. De plus, F(0) = 0 (puisque F est la primitive de f qui s'annule en 0).
D'où : pour tout x \in [-3; +\infty[, F(x) \ge 0.

3. a) Pour tout x appartenant à ]-3; +\infty[,
g'(x) = \text{F}'(x) - 1 = f(x) - 1 = \dfrac{x}{x + 3} - 1 = \dfrac{x - x - 3}{x + 3} = -\dfrac{3}{x + 3}
Pour tout x appartenant à ]-3; +\infty[, -\dfrac{3}{x + 3} < 0
Donc : pour tout x appartenant à ]-3; +\infty[, g'(x) < 0
D'où : g est décroissante sur ]-3; +\infty[.

3. b) D'après les variations de g, g est décroissante sur [0; +\infty[ et admet donc un maximum en 0.
De plus, g(0) = F(0) - 0 = 0.
Donc : pour tout x > 0, g(x) < 0
c'est-à-dire : pour tout x > 0, F(x) - x < 0
D'où : pour tout x > 0, F(x) < x.
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