Fiche de mathématiques
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Probabilités

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Pour résoudre cet exercice, il est préférable de bien maîtriser le cours sur les Probabilités.

exercice 1

À la fête de son club sportif, Jean tient un stand dans lequel il propose le jeu suivant.
Le joueur tire une carte d'un jeu comportant 32 cartes dont 12 figures (4 rois, 4 dames, 4 valets).
S'il obtient une figure, il tire un billet dans la corbeille « Super Chance » qui contient 50 billets dont 20 gagnent un lot.
S'il n'obtient pas de figure, il tire un billet dans la corbeille « Petite Chance » qui contient 50 billets dont 10 gagnent un lot.
Le but de l'exercice est de déterminer la probabilité, pour le joueur, de gagner un lot.

1. On suppose que tous les tirages d'une carte du jeu de 32 cartes sont équiprobables.
Montrer que la probabilité de l'événement A « le joueur obtient une figure » est \dfrac{3}{8}.
En déduire la probabilité de l'événement B « le joueur n'obtient pas de figure ».

2. On suppose que, pour chaque corbeille, tous les tirages d'un billet sont équiprobables.
Soit G l'événement « le joueur gagne un lot ».
    a) On note pA(G), la probabilité pour que le joueur gagne un lot sachant qu'il a tiré une figure.
Calculer pA(G).
En déduire que p(A\capG), la probabilité de l'événement « le joueur a tiré une figure et gagne un lot », est égale à \dfrac{3}{20}.
    b) Par un raisonnement analogue à celui de a), montrer que p(B\capG), la probabilité de l'événement « le joueur n'a pas tiré de figure et gagne un lot », est égale à \dfrac{1}{8}.

3. Déduire des questions précédentes la probabilité de l'événement G « le joueur gagne un lot ».




exercice 2

Les résultats aux questions données seront données sous forme fractionnaire, puis en écriture décimale.
Un concours est organisé par un journal. Par jeu, un lecteur décide de répondre totalement au hasard aux questions proposées.

1. Première question du journal
Une liste de 10 romans, écrits à des époques différentes, est donnée. On demande de classer par ordre chronologique les 4 plus anciens.
    a) Combien y a-t-il de réponses possibles ?
    b) Quelle est la probabilité pour que notre lecteur donne le bon classement ?

2. Deuxième question du journal
On donne 6 titres de livres. Chaque titre correspond à un genre et un seul parmi les suivants : poésie, roman historique, science fiction. Le lecteur doit associer à chaque titre le genre auquel il appartient.
    a) Combien y a-t-il de réponses possibles ?
    b) Quelle est la probabilité pour que notre lecteur donne une réponse correcte ?

3. Troisième question du journal
Il est fourni une liste nominative de 8 auteurs et les portraits de 3 d'entre eux. Le lecteur doit cocher 4 noms de la liste donnée. La réponse est correcte si les 3 auteurs représentés sont parmi les 4 noms retenus.
    a) Combien y a-t-il de réponses possibles ?
    b) Calculer le nombre de réponses correctes possibles. Pour cela on pourra identifier les auteurs par une lettre A, B, ..., H et supposer que A, B, C sont les auteurs dont les portraits sont donnés ; au moyen de ces lettres identifier toutes les réponses exactes.
    c) Quelle est la probabilité pour que notre lecteur donne la réponse correcte ?




exercice 3

Un cirque possède 10 fauves dont 4 lions.
Pour chaque représentation, le dompteur choisit 5 fauves au hasard.
Soit X la variable aléatoire qui décompte le nombre de lions présentés au cours d'une représentation.

1. Déterminer la loi de probabilité de X.
On donnera les résultats sous forme de fractions.

2. Calculer l'espérance mathématique de X.



exercice 1

1. On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes ; tous les tirages sont équiprobables.
A désigne l'événement : « le joueur obtient une figure ».
Il y a 12 figures dans le jeu, donc p(A) = \dfrac{12}{32} = \dfrac{3}{8}.
B désigne l'événement « le joueur n'obtient pas de figure ». Nous avons B = \over{\text{A}}, et donc :
p(B) = 1 - p(A) = \dfrac{5}{8}.

2. a) Si le joueur a tiré une figure, alors il doit tirer un billet dans la corbeille « Super Chance ». Sur les 50 billets présents dans cette corbeille, 20 sont gagnants. Nous avons donc pA(G) = \dfrac{20}{50} = \dfrac{2}{5}.
A\cap G représente l'événement "le joueur a tire une figure et gagne un lot" et:
p(A\capG) = pA(G) × p(A) = \dfrac{3}{20}.

b) Calculons d'abord la probabilité pour que le joueur gagne un lot sachant qu'il n'a pas tiré une figure, que l'on notera pB(G).
Si le joueur n'a pas tiré une figure, il doit tirer un billet dans la corbeille « Petite Chance » qui contient 10 billets gagnants parmi les 50 présents dans la corbeille.
Ainsi, nous avons pB(G) = \dfrac{10}{50} = \dfrac{1}{5}.
B\capG est l'événement « le joueur n'a pas tiré de figure et gagne un lot » et :
p(B\capG) = pB(G) × p(B) = \dfrac{1}{8}.

3. Le joueur a gagné un lot lorsqu'il a:
soit tiré une figure et gagné un lot (dans la corbeille « Super Chance »), ce qui correspond à l'événement A\capG.
soit tiré une carte différente d'une figure et gagné un lot (dans la corbeille « Petite Chance »), c'est l'événement B\capG.
Ces deux événements (A\capG) et (B\capG) sont incompatibles, donc :
p(G) = p(A\capG) + p(B\capG) = \dfrac{11}{40}.
La probabilité qu'un joueur gagne un lot est égale à \dfrac{11}{40}.




exercice 2

1. Première question du journal
a) Nous avons 10 choix de romans pour le roman le plus ancien. L'un d'entre-eux étant choisi, il reste 9 romans à classer chronologiquement, puis 8 si l'un d'entre-eux a été choisi. Pour le dernier roman à choisir, il reste alors 7 possibilités.
Nous avons au total 10 × 9 × 8 × 7 = 5 040 réponses possibles.
b) Il n'y a qu'une seule bonne réponse, donc la probabilité que le lecteur donne le bon classement est égale à \dfrac{1}{5040}, soit 0,0002 à 10-5 près.

2. Deuxième question du journal
a) Il a 6 titres à classer suivants 3 genres distincts. Le lecteur a donc 3 choix possibles pour chacun des 6 ouvrages. Par suite, il y a 36 = 729 réponses possibles pour l'ensemble des 6 titres.
b) Ici encore, il n'y a qu'une seule bonne réponse parmi les 729 possibles, donc la probabilité que le lecteur donne la bonne réponse à la deuxième question est \dfrac{1}{729} soit, 0,00137 à 10-5 près.

3. Troisième question du journal
a) Le lecteur doit choisir 4 auteurs parmi les 8 donnés dans la liste. Il y a donc 8 \choose 4 = 70 réponses possibles.
b) Identifions les auteurs par les lettres A, B, C, D, E, F,G et H, et supposons que A, B, C soient les auteurs dont les portraits sont donnés.
Les réponses correctes possibles sont {A, B, C, D}, {A, B, C, E}, {A, B, C, F}, {A, B, C, G} et {A, B, C, H}.
Il y a cinq réponses correctes.
On peut retrouver ce résultat en considérant qu'on doit choisir les trois auteurs correspondant aux trois portraits (il n'y a qu'une seule possibilité) et un autre auteur parmi les 5 qui restent (5 choix possibles).

c) La probabilité pour que le lecteur donne la réponse correcte est \dfrac{5}{70} = \dfrac{1}{14}, soit 0,071 à 10-3 près.




exercice 3

1. Le cirque possède 10 fauves dont 4 lions, et le dompteur choisit au hasard 5 fauves à chaque représentation.
Le dompteur a 10 \choose 5 = 252 façons de choisir 5 fauves parmi les 10 présents.
Pour k entier compris entre 0 et 4, il y a 4 \choose k façons de choisir k lions et 6 \choose {5-k} façons de choisir (5 - k) autres fauves.
Ainsi, nous avons : p(X = k) = \dfrac{{4 \choose k} \times {6 \choose {5-k}}}{{10 \choose 5}}     (k entier compris entre 0 et 4).
Ce qui nous donne la loi de probabilité de X :

xi 0 1 2 3 4
p(X = xi) \dfrac{1}{42} \dfrac{5}{21} \dfrac{10}{21} \dfrac{5}{21} \dfrac{1}{42}


2. L'espérance mathématique de X est donné par :
E(X) = 0 × p(X = 0) + 1 × p(X = 1) + 2 × p(X = 2) + 3 × p(X = 3) + 4 × p(X = 4) = 2.
L'espérance mathématique de X est de 2 lions.
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