Fiche de mathématiques
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Fonctions exponentielles

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Activités rapides sur la fonction exponentielle
Exercices
1. Déterminer les limites en -\infty et +\infty des fonctions f définies sur R suivantes :

(a) f(x)=e^{-3x} (b) f(x)=e^{2x}+x (c) f(x)=e^{x^2+1}


2. Étudier le sens de variation de la fonction f définie sur R par f(x)=\frac{e^{2x}}{e^x+1}

3. Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes définie sur R :

(a) f(x)=x+1+e^{-x} (b) g(x)=e^{sin x} (c) h(x)=\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}



Correction



1.
a) \lim\limits_{x\to -\infty}-3x=+\infty \text { et } \lim\limits_{X\to +\infty}e^X=+\infty donc \lim\limits_{x\to -\infty}e^{-3x}=+\infty par la propriété de la composition de limites.

De même, \lim\limits_{x\to +\infty}-3x=-\infty \text { et } \lim\limits_{X\to -\infty}e^X=0 \text{ donc } \lim\limits_{x\to +\infty}e^{-3x}=0 par la propriété de la composition de limites.

b) \lim\limits_{x\to -\infty}2x=-\infty \text{et } \lim\limits_{X\to -\infty}e^X=0 \text{ donc } \lim\limits_{x\to -\infty}e^{2x}=0 par la propriété de la composition de limites.
On déduit que \lim\limits_{x\to -\infty}e^{2x}+x=-\infty par somme des limites.

De même, \lim\limits_{x\to +\infty}2x=+\infty \text{ et } \lim\limits_{X\to +\infty}e^X=+\infty \text{ donc } \lim\limits_{x\to +\infty}e^{2x}=+\infty par la propriété de la composition de limites.
On déduit que \lim\limits_{x\to +\infty}e^{2x}+x=+\infty par somme des limites.

c) \lim\limits_{x\to -\infty}x^2+1=+\infty \text{ et } \lim\limits_{X\to +\infty}e^X=+\infty \text{ donc } \lim\limits_{x\to -\infty}e^{x^2+1}=+\infty par la propriété de la composition de limites.

De même, \lim\limits_{x\to +\infty}x^2+1=+\infty \text{ et } \lim\limits_{X\to +\infty}e^X=+\infty \text{ donc } \lim\limits_{x\to +\infty}e^{x^2+1}=+\infty par la propriété de la composition de limites.

2. On considère la fonction f définie sur R par f(x)=\frac{e^{2x}}{e^x+1}.

quelquesoitx\in R,e^x>0 \text{ donc }e^x+1\geq1>0, ainsi, f est dérivable sur R comme quotient de deux fonctions dérivables sur R dont le dénominateur ne s'annule pas sur R.

quelquesoitx\in R, f'(x)=\frac{2e^{2x}(e^x+1)-e^x e^{2x}}{(e^x+1)^2}=\frac{2e^{3x}+2e^{2x}-e^{3x}}{(e^x+1)^2}=\frac{e^{3x}+2e^{2x}}{(e^x+1)^2}

Or quelquesoit x\in R, e^{3x}>0 \text{ et } e^{2x}>0 \text{ donc } f'(x)>0 donc f est strictement croissante sur R.

3.
a) On considère la fonction f définie par f(x)=x+1+e^{-x}
f est dérivable sur R comme somme de fonctions dérivables sur R.
quelquesoitx\in R, f'(x)=1-e^{-x}

b) On considère la fonction g définie par g(x)=e^{sin x}
g est dérivable sur R comme composée de fonctions dérivables sur R.
quelquesoitx\in R, g'(x)=cos x \times e^{sin x}

c) On considère la fonction h définie par h(x)=\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}
La fonction u:x \to e^{2x} est dérivable sur R comme composée de fonctions dérivables sur R et
quelquesoitx\in R, e^{2x}+1>0 donc h est dérivable sur R comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas sur R.

quelquesoitx\in R, h'(x)=\frac{2e^{2x}(e^{2x}+1)-2e^{2x}e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}=\frac{2e^{4x}+2e^{2x}-2e^{4x}}{(e^{2x}+1)^2}=\frac{2e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}
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