Fiche de mathématiques
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Exercice sur les suites

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exercice

1 Les suites (u_n) et (v_n) sont définies sur \mathbb{N} par :
u_0 = 3 et u_{n+1} = 2u_n - 1.
v_0 = 1 et v_{n+1} = 2v_n+3.
a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u_n = 2^{n+1}+1.
b. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 2u_n-v_n = 5.
c. En déduire l'expression de v_n en fonction de n.
d. Les suites (u_n) et (v_n) sont-elles convergentes?

2 Dans chacun des cas, déterminer la limite de la suite \left(u_n\right).
a. u_n=n^2-5n+2.
b. u_n=\dfrac{-3n^2+1}{2n^2-4n+5}.
c. u_n = 6^n-3^{2n}.
d. u_n=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\ldots+\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n.



Correction


1.a Initialisation : Si n=0 alors u_0 = 3 et 2^{0+1}+1 = 2+1=3.
La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang p : u_p = 2^{p+1}+1.
\begin{array}{rl} u_{p+1} &=2u_p-1 \\ &=2\left(2^{p+1}+1 \right) - 1\\ &=2^{(p+1)+1} + 2 - 1 \\ &=2^{(p+1)+1}+1 \end{array}
La propriété est donc vraie au rang p+1.
Conclusion : La propriété est vraie au rang 0. En la supposant vraie au rang p elle est encore vraie au rang suivant. Par conséquent, pour tout entier naturel n, u_n = 2^{n+1}+1.

1.b Initialisation : Si n=0 alors 2u_0-v_0=6-1 = 5.
La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang p : 2u_p-v_p = 5.
\begin{array}{rl} 2u_{p+1}-v_{p+1} &= 2\left(2u_p-1 \right) - \left(2v_p + 3 \right)\\ & = 4u_p-2-2v_p-3 \\ &=2\left(2u_p - v_p \right) - 5 \\ &= 2 \times 5 - 5\\ &=5 \end{array}
La propriété est donc vraie au rang p+1.
Conclusion : La propriété est vraie au rang 0. En la supposant vraie au rang p elle est encore vraie au rang suivant. Par conséquent, pour tout entier naturel n on a 2u_n-v_n=5.

1.c 2u_n-v_n = 5 donc v_n=2u_n-5 = 2\times \left(2^{n+1}+1 \right) - 5 = 2^{n+2} - 3

1.d 2 > 1 donc \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} 2^{n+1} = +\infty et \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} u_n = +\infty.
Puisque v_n = u_n - 5 on a également \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} v_n = +\infty.
Les deux suites sont donc divergentes.

2.a Pour n > 0 , u_n = n^2\left(1 - \dfrac{5}{n}+\dfrac{2}{n^2}\right).
Or \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{5}{n} = 0 et \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{2}{n^2}=0.
Par conséquent \lim\limits_{n \to +\infty} 1 - \dfrac{5}{n}+\dfrac{2}{n^2} = 1 et \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty.

2.b Pour n > 0 , u_n = \dfrac{n^2\left(-3 + \dfrac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(2 - \dfrac{4}{n} + \dfrac{5}{n^2}\right)} = \dfrac{-3 + \dfrac{1}{n^2}}{2 - \dfrac{4}{n} + \dfrac{5}{n^2}}
Or \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n^2} = 0, \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{4}{n} = 0 et \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{5}{n^2}=0.
Par conséquent \lim\limits_{n \to +\infty} -3 + \dfrac{1}{n^2} = -3 et \lim\limits_{n \to +\infty} 2 - \dfrac{4}{n} + \dfrac{5}{n^2} = 2.
Donc \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\dfrac{3}{2}.

2.c u_n = 6^n - \left(3^2\right)^n = 6^n - 9^n = 9^n\left(\dfrac{6^n}{9^n}-1\right) = 9^n\left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^n-1\right).
Or -1<\dfrac{2}{3} <1 Par conséquent \lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^n = 0.
Comme 9>1 alors \lim\limits_{n \to +\infty} 9^n = +\infty.
Donc \lim\limits_{n \to +\infty} u_n = -\infty.

2.d u_n est la somme des n+1 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison -\dfrac{1}{3}.
Ainsi u_n = \dfrac{1 - \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}}{1 - \left(-\dfrac{1}{3}\right)} = \dfrac{3}{4}\left(1 - \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right).
Or -1<-\dfrac{1}{3} <1 Par conséquent \lim\limits_{n \to +\infty} \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n = 0 et \lim\limits_{n \to +\infty} u_n= \dfrac{3}{4}.


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