exercice
1 Les suites
et
sont définies sur
par :
et
.
et
.
a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n,
.
b. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n,
.
c. En déduire l'expression de
en fonction de
n.
d. Les suites
et
sont-elles convergentes?
2 Dans chacun des cas, déterminer la limite de la suite
.
a. .
b. .
c. .
d. .
1.a Initialisation : Si
alors
et
.
La propriété est vraie au rang
.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang
p :
.
La propriété est donc vraie au rang
p+1.
Conclusion : La propriété est vraie au rang
. En la supposant vraie au rang
p elle est encore vraie au rang suivant.
Par conséquent, pour tout entier naturel
n,
.
1.b Initialisation : Si
alors
.
La propriété est vraie au rang
.
Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang
p :
.
La propriété est donc vraie au rang
p+1.
Conclusion : La propriété est vraie au rang
. En la supposant vraie au rang
p elle est encore vraie au rang suivant.
Par conséquent, pour tout entier naturel
n on a
.
1.c donc
1.d donc
et
.
Puisque
on a également
.
Les deux suites sont donc divergentes.
2.a Pour
n > 0 ,
.
Or
et
.
Par conséquent
et
.
2.b Pour
n > 0 ,
Or
,
et
.
Par conséquent
et
.
Donc
.
2.c .
Or
Par conséquent
.
Comme
alors
.
Donc
.
2.d est la somme des
premiers termes de la suite géométrique de premier terme
et de raison
.
Ainsi
.
Or
Par conséquent
et
.