1 Les suites et sont définies sur par : et . et . a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, . b. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, . c. En déduire l'expression de en fonction de n. d. Les suites et sont-elles convergentes?
2 Dans chacun des cas, déterminer la limite de la suite . a.. b.. c.. d..
1.aInitialisation : Si alors et .
La propriété est vraie au rang .
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang p : .
La propriété est donc vraie au rang p+1.
Conclusion : La propriété est vraie au rang . En la supposant vraie au rang p elle est encore vraie au rang suivant.
Par conséquent, pour tout entier naturel n, .
1.bInitialisation : Si alors .
La propriété est vraie au rang .
Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang p : .
La propriété est donc vraie au rang p+1.
Conclusion : La propriété est vraie au rang . En la supposant vraie au rang p elle est encore vraie au rang suivant.
Par conséquent, pour tout entier naturel n on a .
1.c donc
1.d donc et .
Puisque on a également .
Les deux suites sont donc divergentes.
2.a Pour n > 0 , .
Or et .
Par conséquent et .
2.b Pour n > 0 ,
Or , et .
Par conséquent et .
Donc .
2.c .
Or Par conséquent .
Comme alors .
Donc .
2.d est la somme des premiers termes de la suite géométrique de premier terme et de raison .
Ainsi .
Or Par conséquent et .
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)
et )
sont définies sur 
par :
et 
. 
et 
. 
.
. 
en fonction de n.)
.
.
.
.^n)
.
alors 
.
.
. - 1\\ &=2^{(p+1)+1} + 2 - 1 \\ &=2^{(p+1)+1}+1 \end{array})
.
. - \left(2v_p + 3 \right)\\ & = 4u_p-2-2v_p-3 \\ &=2\left(2u_p - v_p \right) - 5 \\ &= 2 \times 5 - 5\\ &=5 \end{array})
. - 5 = 2^{n+2} - 3)
donc 
et 
.
on a également 
.)
.
et 
.
et 
.}{n^2\left(2 - \dfrac{4}{n} + \dfrac{5}{n^2}\right)} = \dfrac{-3 + \dfrac{1}{n^2}}{2 - \dfrac{4}{n} + \dfrac{5}{n^2}})
, 
et 
.
et 
.
.^n = 6^n - 9^n = 9^n\left(\dfrac{6^n}{9^n}-1\right) = 9^n\left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^n-1\right))
.
Par conséquent ^n = 0)
.
alors 
.
.
est la somme des 
premiers termes de la suite géométrique de premier terme 
et de raison 
.^{n+1}}{1 - \left(-\dfrac{1}{3}\right)} = \dfrac{3}{4}\left(1 - \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right))
.
Par conséquent ^n = 0)
et 
.
Voir la correction