Fiche de mathématiques
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Bac ES-L Nouvelle Calédonie Novembre 2018

Obligatoire et Spécialité

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4 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

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exercice 2 : Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L

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exercice 2 : Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

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exercice 3 : Commun à tous les candidats

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exercice 4 : Commun à tous les candidats

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Bac ES-L obligatoire et spécialité Nouvelle Calédonie Nov 2018

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4 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

{\red{\text{1. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ d)\ :\ }f'(x)=\ln(x)+1.}}

f'(x)=\left(\overset{}{x\ln(x)+1}\right)' \\\phantom{f'(x)}=\left(\overset{}{x\ln(x)}\right)'+0 \\\phantom{f'(x)}=x'\times\ln(x)+x\times\left(\overset{}{\ln(x)}\right)' \\\phantom{f'(x)}=1\times\ln(x)+x\times\dfrac{1}{x} \\\phantom{f'(x)}=\ln(x)+1 \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\ln(x)+1}

{\red{\text{2. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ c)\ :\ }\text{La courbe }\mathscr{C}\ \text{admet un point d'inflexion sur [0 ; 2].}}}

  La fonction g  n'est pas concave sur l'intervalle [0 ; 2].
En effet, sur l'intervalle [1,6 ; 2], la courbe  \mathscr{C}  est située au-dessus de ses tangentes, ce qui implique que la fonction g  est convexe sur l'intervalle [1,6 ; 2].
D'où la proposition a)  est fausse.
  L'affirmation "g"(x) supegal 0 pour tout x appartient [0 ; 2] " est fausse.
En effet, g"(x) supegal 0 pour tout x appartient [0 ; 2]  signifie que la fonction g est convexe sur l'intervalle [0 ; 2], ce qui n'est pas le cas puisque sur l'intervalle [0 ; 0,4], la courbe  \mathscr{C}  est située en dessous de ses tangentes, impliquant ainsi le fait que la fonction g  est concave sur l'intervalle [0 ; 0,4].
D'où la proposition b)  est fausse.
  L'affirmation "g'(1) > 0 " est fausse.
En effet, au point d'abscisse 1, le coefficient directeur de la tangente à la courbe  \mathscr{C}  est négatif puisque la fonction g  est décroissante.
Nous obtenons ainsi la relation g '(1) < 0.
D'où la proposition d)  est fausse.
  Par élimination, nous déduisons que la proposition c)  est vraie.

{\red{\text{3. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ a)\ :\ }I=3.}}

I=\int\limits_0^{\ln(2)}3\,\text{e}^x\,dx=\left[\overset{}{ 3\,\text{e}^x} \right]\limits_0^{\ln(2)} \\\phantom{WWWWW.....}=3\,\text{e}^{\ln(2)}-3\,\text{e}^{0} \\\phantom{WWWWW.....}=3\times2-3\times1 \\\phantom{WWWWW.....}=3 \\\\\Longrightarrow\boxed{I=3}

{\red{\text{4. }}}{\blue{\mathbf{Affirmation\ c)\ :\ }P(X\ge1)\approx0,972.}}

  Les propositions a) et b) sont fausses.
En effet :
P(X=3)=\begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix}\times0,3^3\times(1-0,3)^{10-3} \Longrightarrow\boxed{P(X=3)=120\times0,3^3\times0,7^{7}}
  La proposition d) est fausse.
En effet,  E(X)=10\times0,3\Longrightarrow\boxed{E(X)=3\ \red{\neq5,15}}
  Par élimination, nous déduisons que la proposition c)  est vraie.

5 points

exercice 2 : Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série S

1.  Le coefficient multiplicateur correspondant à une diminution de 37,5 % est égal à 1 - 0,375 = 0,625.
Au début du premier trimestre 2017, le nombre de demandeurs d'emploi était de 490.
Après en avoir retiré 37,5 % représentant les demandeurs ayant trouvé un emploi, il reste 0,625 multiplie 490 environegal 306 demandeurs.
Chaque trimestre, 123 nouveaux demandeurs s'inscrivent.
D'où, le nombre de demandeurs d'emploi au début du deuxième trimestre est égal à 306 + 123 = 429.

De même, au début du deuxième trimestre 2017, le nombre de demandeurs d'emploi était de 429.
Après en avoir retiré 37,5 % représentant les demandeurs ayant trouvé un emploi, il reste 0,625 multiplie 429 environegal 268 demandeurs.
Chaque trimestre, 123 nouveaux demandeurs s'inscrivent.
D'où, le nombre de demandeurs d'emploi au début du troisième trimestre est égal à 268 + 123 = 391.

2.  Le coefficient multiplicateur correspondant à une diminution de 37,5 % est égal à 1 - 0,375 = 0,625.
Au début du n ième trimestre après le 1er janvier 2017, le nombre de demandeurs d'emploi est un .
Après en avoir retiré 37,5 % représentant les demandeurs ayant trouvé un emploi, il reste 0,625 multiplie un  demandeurs.
Chaque trimestre, 123 nouveaux demandeurs s'inscrivent.
Par conséquent, le nombre de demandeurs d'emploi au début du (n +1)ième trimestre après le 1er janvier 2017 est u n +1 = 0,625un  + 123.

3.  Soit la suite (vn ) définie par  v_n=u_n-328\ \ \ \ \ (n\in\N^*)

{\red{3.\ \text{a)}}}\ v_{n+1}=u_{n+1}-328 \\\\\phantom{{\red{3.\ \text{a)}}}\ v_{n+1}}=(0,625u_n+123)-328 \\\\\phantom{{\red{3.\ \text{a)}}}\ v_{n+1}}=0,625u_n-205 \\\\\phantom{{\red{3.\ \text{a)}}}\ v_{n+1}}=0,625u_n-0,625\times328 \\\\\phantom{{\red{3.\ \text{a)}}}\ v_{n+1}}=0,625(u_n-328) \\\\\phantom{{\red{3.\ \text{a)}}}\ v_{n+1}}=0,625v_n \\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}=0,625v_n}  \\\\\text{Remarque : }v_1=u_1-328=490-328\Longrightarrow\boxed{v_1=162}

Nous en déduisons que la suite (vn ) est une suite géométrique de raison q  = 0,625 dont le premier terme est  v 1 = 162.

3. b.  Le terme général de la suite (vn ) est  v_n=v_1\times q^{n-1} .
Donc, pour tout entier naturel n  non nul,   \overset{.}{\boxed{v_n=162\times0,625^{n-1}}}

{\red{3.\ \text{c. }}}\left\lbrace\begin{matrix}v_{n}=u_{n}-328\ \ \ \ \ \ \\v_n=162\times0,625^{n-1}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}u_n=v_n+328\ \ \ \ \ \ \\v_n=162\times0,625^{n-1}\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow\boxed{ u_n=162\times0,625^{n-1}+328}\ \ \ \ (n\in\N^*)

4.  Le rang correspondant au deuxième trimestre de l'année 2019 est n  = 10.
D'où  u_{10}=162\times0,625^{9}+328\Longrightarrow\overset{.}{\boxed{u_{10}\approx330}\ \ \ \ (\text{arrondi à l'unité})}
Par conséquent, le nombre de demandeurs d'emploi au début du deuxième trimestre 2019 est estimé à 330.

5.  Le coefficient multiplicateur correspondant à une diminution de 30 % est égal à 1 - 0,3 = 0,7.
Le nombre maximal de demandeurs d'emploi souhaité par le directeur au premier trimestre 2017 est 0,7 multiplie 490 = 343.
Résolvons dans l'ensemble N l'inéquation un  infegal 343.
\overset{.}{u_n\le343\Longleftrightarrow162\times0,625^{n-1}+328\le343} \\\\\phantom{u_n\le343}\Longleftrightarrow 162\times0,625^{n-1}\le15 \\\\\phantom{u_n>400}\Longleftrightarrow 0,625^{n-1}\le\dfrac{15}{162} \\\\\phantom{u_n>400}\Longleftrightarrow 0,625^{n-1}\le\dfrac{5}{54}  \\\\\phantom{u_n>400}\Longleftrightarrow \ln(0,625^{n-1})\le\ln\left(\dfrac{5}{54}\right) \\\\\phantom{u_n>400}\Longleftrightarrow (n-1)\times\ln(0,625)\le\ln\left(\dfrac{5}{54}\right)\\\\\phantom{u_n>400}\Longleftrightarrow n-1\ge\dfrac{\ln\left(\dfrac{5}{54}\right)}{\ln(0,625)}\ \ \ \ (\text{changement de sens de l'inégalité car }\ln(0,625)<0)  \\\\\phantom{u_n>400}\Longleftrightarrow n\ge\dfrac{\ln\left(\dfrac{5}{54}\right)}{\ln(0,625)}+1 \\\\\text{Or }\dfrac{\ln\left(\dfrac{5}{54}\right)}{\ln(0,625)}+1\approx6,06
Puisque n  est un nombre entier naturel, la plus petite valeur de n  vérifiant l'inéquation est n  = 7.
Nous en déduisons que le directeur de l'agence atteindra son objectif à partir du troisième trimestre 2018.

5 points

exercice 2 : Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. a.  Le graphe n'est pas complet car aucune arête ne relie les sommets E et C.
Le graphe est connexe car à partir de chacun des sommets de ce graphe, nous pouvons nous rendre à n'importe quel autre sommet.
Pour ce faire, nous pouvons par exemple utiliser la chaîne A - S - D - C - B - E - A .

2.  Nous devons déterminer s'il existe une chaîne eulérienne reliant le sommet E au sommet S.
Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de sommets de degré impair est 0 ou 2.
Etudions le degré de chaque sommet.

                       \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Sommets}&A&B&C&D&E&S \\\hline \text{Degrés}&2&4&2&4&3&3\\\hline \end{array}

Nous observons qu'il y a exactement deux sommets de degré impair (les sommets E et S).
Donc il existe au moins une chaîne eulérienne dont les extrémités sont E et S.
Par conséquent, Naïma pourra déposer ses affiches sur tous les panneaux en allant de son école de musique à la salle de spectacle et en empruntant une et une seule fois chaque piste cyclable.
Par exemple, Naïma pourra utiliser le trajet : E - B - D - E - A - S - D - C - B - S .

3.   La matrice d'adjacence associée au graphe orienté dans laquelle les sommets seront classés dans l'ordre suivant : E, A, B, C, D, S est  M=\begin{pmatrix}0&1&1&0&1&0\\1&0&0&0&0&1\\1&0&0&1&1&1\\0&0&1&0&1&0\\1&0&1&1&0&1\\0&1&1&0&1&0\end{pmatrix}

4. a.  Calculons le coefficient m 1,4 de la première ligne quatrième colonne de la matrice M2 en calculant la somme des produits des coefficients de la première ligne de la matrice M par les coefficients homologues de la quatrième colonne de cette matrice M.
Nous obtenons ainsi : m_{1,4}=0\times0+1\times0+1\times1+0\times0+1\times1+0\times0\Longrightarrow\boxed{m_{1,4}=2}
Puisque le graphe n'est pas orienté, les matrices M et M2 sont symétriques.
D'où les coefficient m 1,4 et m 4,1 sont égaux.
Par conséquent, m 1,4 = m 4,1 = 2.
\text{D'où, }M^2=\begin{pmatrix}3&0&1&{\red{2}}&1&3\\0&2&2&0&2&0\\1&2&4&1&3&1\\ {\red{2}}&0&1&2&1&2\\1&2&3&1&4&1\\3&0&1&2&1&3\end{pmatrix}

4. b.  Dans l'ordre de classement des sommets, l'école de musique E est le premier sommet et la salle de spectacle S est le sixième sommet.
Le nombre de chemins permettant de se rendre de l'école de musique E à la salle de spectacle S en empruntant exactement deux pistes cyclables est le coefficient m 1,6 de la première ligne sixième colonne de la matrice M2.
Ce nombre de chemins est 3.
Par conséquent, il y a trois chemins permettant de se rendre de l'école de musique à la salle de spectacle en empruntant exactement deux pistes cyclables.

5.  Utilisons l'algorithme de Dijkstra afin de déterminer la durée minimale pour aller du point E au point S.

                       \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline E&A&B&C&D&S& \text{Sommet sélectionné} \\\hline 0&\infty&\infty&\infty&\infty&\infty&E_0\\\hline\cellcolor{magenta}&9_E&4_E&\infty&7_E&\infty&B_4\\\hline\cellcolor{magenta}&9_E&\cellcolor{magenta}&6_B&5_B&12_B&D_5\\\hline\cellcolor{magenta}&9_E&\cellcolor{magenta}&6_B&\cellcolor{magenta}&8_D&C_6\\\hline\cellcolor{magenta}&9_E&\cellcolor{magenta}&\cellcolor{magenta}&\cellcolor{magenta}&8_D&S_8\\\hline \end{array}

D'où le chemin permettant à Naïma de se rendre le plus rapidement possible de son école de musique à la salle de spectacle est E - B - D - S.
La durée minimale de ce trajet est de 8 minutes.

6 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

Partie A

1.  Arbre pondéré de probabilités traduisant la situation :

       
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{\red{2.\ \text{a) }}}P(C\cap R)=P(C)\times P_C(R) \\\phantom{{\red{2.\ \text{a) }}}P(C\cap R)}=0,6\times0,075 \\\phantom{{\red{2.\ \text{a) }}}P(C\cap R)}=0,045 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(C\cap R)=0,045}
Ce résultat signifie que 4,5 % des employés de l'entreprise viennent au travail en transports en commun et effectuent un trajet d'une durée inférieure à 30 minutes.

2. b)  En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

P(R)= P(C\cap R)+P(\overline{C}\cap R) \\\phantom{P(R)}=0,045+P(\overline{C})\times P_{\overline{C}}(R)\ \\\phantom{P(R)}=0,045+0,4\times0,285 \\\phantom{P(R)}=0,045+0,114 \\\phantom{P(R)}=0,159\\\\\Longrightarrow\boxed{P(R)=0,159}

3.  Nous devons déterminer PR (C ).

P_R(C)=\dfrac{P(C\cap R)}{P(R)} \\\\\phantom{P_R(C)}=\dfrac{0,045}{0,159} \\\\\phantom{P_R(C)}\approx0,283 \\\\\Longrightarrow\boxed{P_R(C)\approx0,283}
Par conséquent, sachant que l'employé effectue un trajet d'une durée inférieure à 30 minutes, la probabilité que cet employé utilise les transports en commun est environ égale à 0,283.

Partie B

La variable aléatoire X  suit la loi normale d'espérance mu = 40 et d'écart-type sigma = 10.

1.  Nous savons que  \overset{.}{P(X\le\mu)=0,5}, soit que  \overset{.}{P(X\le40)=0,5.}

\text{Dès lors, }\ P(X\le40)=P(X\le30)+P(30<X\le40)\Longleftrightarrow0,5=P(X\le30)+P(30<X\le40) \\\phantom{\text{Dès lors, }\ P(X\le40)=P(X\le30)+P(30<X\le40)}\Longleftrightarrow P(X\le30)=0,5-P(30< X\le40)

Or, par la calculatrice, nous obtenons :  P(30<X\le 40)\approx0,34134474

 \text{D'où }\ P(X\le30)=0,5-P(30<X\le40)\Longrightarrow  P(X\le30)\approx0,5-0,34134474 \\\phantom{\text{D'où }\ P(X\le30)=0,5-P(30<X\le40)}\Longrightarrow P(X\le30)\approx0,15865526\\\phantom{\text{D'où }\ P(X\le30)=0,5-P(30<X\le40)}\Longrightarrow\boxed{P(X\le30)\approx0,159}

Nous observons que ce résultat est parfaitement cohérent avec le résultat de la partie A.

2.  Nous savons que si X  suit la loi normale d'espérance mu et d'écart-type sigma, alors  
\overset{.}{P(\mu-2\sigma \le X\le\mu+2\sigma )\approx0,954.}

\text{Dès lors, }\ P(20\le X\le60)= P(40-20\le X \le40+20) \\\phantom{\text{Dès lors, }\ P(20\le X\le60)}= P(40-2\times10\le X \le40+2\times10) \\\phantom{\text{Dès lors, }\ P(20\le X\le60)}=P(\mu-2\times\sigma\le X \le\mu+2\times\sigma) \\\phantom{\text{Dès lors, }\ P(20\le X\le60)}\approx0,954 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(20\le X\le60)\approx0,954}

La fonction de densité de cette loi normale est symétrique par rapport à la droite : x  = 40.
Dès lors, P (X  < 20) = P (X  > 60).
D'où,

P(X<20)+P(20\le X\le60)+P(X>60)=1\Longleftrightarrow P(X>60)+P(20\le X\le60)+P(X>60)=1 \\\phantom{P(X<20)+P(20\le X\le60)+P(X>60)=1}\Longleftrightarrow2\times P(X>60)+P(20\le X\le60)=1 \\\phantom{P(X<20)+P(20\le X\le60)+P(X>60)=1}\Longleftrightarrow2\times P(X>60)+0,954\approx1 \\\phantom{P(X<20)+P(20\le X\le60)+P(X>60)=1}\Longleftrightarrow2\times P(X>60)\approx0,046 \\\phantom{P(X<20)+P(20\le X\le60)+P(X>60)=1}\Longleftrightarrow P(X>60)\approx0,023 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X>60)\approx0,023}

3. a)  Algorithme complété.

       \begin{array}{|c|}\hline a\longleftarrow60\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\Y\longleftarrow0,023\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Tant que  }Y>0,008\ \ \text{faire} \\a\longleftarrow{\red{a+1}}\ \ \ \ \\ \ \ Y\longleftarrow P(X\ge a) \\\text{Fin Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\hline\end{array}

3. b)  Tableau reprenant les valeurs contenues dans les variables a  et Y  en exécutant l'algorithme :

       \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a&60&61&62&63&64&65\\\hline Y&0,023&0,018&0,014&0,011&0,0082&{\red{ 0,006\ (<0,008)}}\\\hline\end{array}

4.  Après exécution de l'algorithme, la valeur de a  est 65.
Ce résultat signifie que moins de 0,8 % des employés de l'entreprise effectuent un trajet d'une durée supérieure à 65 minutes.

5 points

exercice 4 : Commun à tous les candidats

Partie A : Lecture graphique

          
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1.  La quantité de peinture est exprimée en centaine de litres et les montants du coût de production sont exprimés en dizaine d'euros.
A l'aide du graphique représenté en bleu, nous lisons que le coût de production de 200 litres de peinture s'élève à 3 000 euros.

2.  La quantité de peinture est exprimée en centaine de litres et les montants de la recette sont exprimés en dizaine d'euros.
A l'aide du graphique représenté en brun, nous lisons que pour obtenir une recette de 5 000 euros, l'entreprise doit produire 500 litres de peinture.

3.  L'entreprise réalise un bénéfice lorsque la recette est supérieure au coût de fabrication.
Graphiquement, l'entreprise réalisera un bénéfice lorsque la courbe représentant la recette (de couleur brune) est située au-dessus de la courbe représentant le coût de production (de couleur bleue).
Les deux courbes se croisent en un point dont l'abscisse est environ égale à 3,2.
Nous observons alors que le bénéfice existe pour des valeurs de x  supérieures à 3,2.
Par conséquent, l'entreprise réalise un bénéfice pour une production supérieure à 320 litres de peinture.

Partie B : Etude du bénéfice

Le bénéfice en dizaine d'euros correspondant à la vente de x  centaines de litres de peinture est donné par la fonction f  définie sur l'intervalle [0 ; 8] par :  f(x)=25x-150\,\text{e}^{-0,5x+1}.

{\red{1.\ }}\ f(0)=25\times0-150\,\text{e}^{-0,5\times0+1}\Longrightarrow\boxed{f(0)=-150\,\text{e}\approx-407,74} \\\phantom{{\red{1.\ }}\ }f(8)=25\times8-150\,\text{e}^{-0,5\times8+1}\Longrightarrow\boxed{f(8)=200-150\,\text{e}^{-3}\approx192,53}

2.  Déterminons l'expression de f' (x ) sur l'intervalle [0 ; 8].

        f'(x)=(25x)'-(150\,\text{e}^{-0,5x+1})' \\\phantom{f'(x)}=25-150\times(-0,5x+1)'\,\text{e}^{-0,5x+1} \\\phantom{f'(x)}=25-150\times(-0,5)\,\text{e}^{-0,5x+1} \\\phantom{f'(x)}=25+75\,\text{e}^{-0,5x+1} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=25+75\,\text{e}^{-0,5x+1}}

3.  Puisque l'exponentielle est strictement positive sur R, nous en déduisons que f' (x ) > 0 sur l'intervalle [0 ; 8].
Par conséquent, la fonction f  est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 8].

4. a)  La fonction f  est continue et strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 8].
f (0) environegal -407,74 < 0.
f (8) environegal 192,53 > 0.
En vertu du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons qu'il existe un et un seul réel alpha compris entre 0 et 8 tel que f (alpha) = 0.
Par conséquent, l'équation f (x ) = 0 admet une solution unique alpha sur l'intervalle [0 ; 8].

En utilisant le tableur de la calculatrice, nous obtenons :  \boxed{\alpha\approx3,24}

4. b)  La fonction f  est strictement croissante sur [0 ; 8].
Donc la fonction f  est strictement croissante sur [alpha ; 8].
Dès lors, pour tout x :  

\alpha\le x\le8\Longleftrightarrow f(\alpha)\le f(x)\le f(8)\ \ \ \ \ (\text{où }\alpha\approx3,24) \\\\ {\red{3,24\le x}}\le8\Longleftrightarrow {\red{0\le f(x)}}\le f(8).

Par conséquent, l'entreprise réalisera un bénéfice pour une production et une vente supérieures à 324 litres de peinture.
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