1. a."Un audioprothésiste compte parmi ses clients 75% de personnes âgées de plus de 50 ans" .
Donc P (A ) = 0,75. "Le taux des personnes souffrant de problèmes d'audition aux deux oreilles chute à 40% parmi les clients de moins de 50 ans."
Donc
1. b. Arbre pondéré de probabilités traduisant la situation :
2. a. Nous devons déterminer
Par conséquent, la probabilité que le client choisi ait plus de 50 ans et souffre de problèmes auditifs aux deux oreilles est égale à 0,6.
2. b. Nous devons calculer P (D ).
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :
3. Nous devons calculer
Par conséquent, sachant que le client choisi ne souffre pas de problème auditif aux deux oreilles, la probabilité qu'il soit âgé de plus de 50 ans est égale à 0,5.
8 points
exercice 2
Partie A
1. En 2017, le nombre d'habitants de cette région exposés à un DVLA est de 1,3 million parmi les 12,2 millions d'habitants de la région.
D'où la proportion d'habitants exposés à un DVLA est égale à
2. a. Le taux d'évolution global en pourcentage du nombre d'habitants de cette région exposés à un DVLA entre l'année 2010 et l'année 2017 est donné par le calcul suivant :
Donc entre l'année 2010 et l'année 2017, le nombre d'habitants de cette région exposés à un DVLA a baissé d'environ 55,2 %
2. b. La formule à saisir dans la cellule C4 est
Partie B
1. Déterminons les coordonnées (xG ; yG ) du point moyen G du nuage.
D'où les coordonnées du point G sont (3,5 ; 2,2).
Plaçons le point G sur le graphique ci-dessous.
2. Soit la droite (d ) d'ajustement du nuage de points d'équation y = -0,26x + 3,11.
Solution graphique :
Nous devons déterminer les abscisses des points de la droite (d ) situés sous la droite en pointillés bleus dont l'équation est y = 0,5.
Ces abscisses paraissent être supérieures à 10.
Le rang x = 10 représente l'année 2010 + 10 = 2020.
Donc, nous pouvons estimer graphiquement que le nombre d'habitants exposés à un DVLA deviendra inférieur à 500 000 au cours de l'année 2020.
Le rang x = 10 représente l'année 2010 + 10 = 2020.
Par conséquent, nous pouvons estimer que le nombre d'habitants exposés à un DVLA deviendra inférieur à 500 000 au cours de l'année 2020.
Partie C
1. a. Chaque année, le nombre d'habitants exposés à un DVLA diminue de 10 %.
Une diminution de 10 % correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 - 0,1 = 0,9.
Dès lors, pour tout n 0,
Nous en déduisons que la suite (un ) est une suite géométrique de raison q = 0,9 et dont le premier terme est u0 = 1,6.
1. b. Le terme général de la suite (un ) est .
Donc, pour tout n 0,
2. Le rang correspondant à l'année 2019 est n = 4 car 2019 = 2015 + 4.
D'où
Par conséquent, en 2019, le nombre d'habitants risquant d'être exposés à un DVLA s'élève à environ 1 million.
3. Déterminons le plus petit entier naturel n vérifiant l'inéquation un < 0,5.
Puisque n est un nombre entier naturel, la plus petite valeur de n vérifiant l'inéquation est n = 12.
Le rang n = 12 représente l'année 2015 + 12 = 2027.
Par conséquent, à partir de l'année 2027, moins de 500 000 habitants de la région seront exposés à un DVLA.
7 points
exercice 3
Partie A
Soit f la fonction définie sur par
2. a. Expression de la dérivée f' (x )
3. Etudions le signe de f' (x ) sur l'intervalle [0 ; 15].
Tableau de signes de f' (x )
4. Nous en déduisons le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 15].
Partie B
1. Les autorités sanitaires considèrent que les microalgues deviennent dangereuses pour la santé lorsque leur concentration dépasse 200mg/L. Il faut alors prendre des mesures comme l'interdiction de la baignade.
Graphiquement, nous observons que la courbe représentative de la fonction f est située au-dessus de la droite d'équation y = 200 pour une durée de 5 jours complets (à partir du début du 2ème jour jusqu'à la fin du 6ème jour).
Par conséquent, la baignade sera interdite pendant 5 jours complets.
2. En nous basant sur le tableau de variations de la fonction f (voir Partie A - 4), le maximum de la fonction est égal à 258.
Ce maximum est atteint pour x = 4.
D'où, la concentration maximale en microalgues durant les 10 jours suivant l'orage est égale à 258 mg/L. Cette concentration maximale surviendra au bout de 4 jours.
3. Nous savons que f (10)= 150.
Cela signifie que 10 jours après l'orage, la concentration des microalgues est de 150 mg/L.
Or une concentration normale est comprise entre 0 et 100 milligrammes par litre.
Puisque 150 est supérieur à 100, la situation n'est pas revenue à la normale 10 jours après l'orage.
Publié par malou
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=0,40.})
.)
=P(A)\times P_A(D) \\\phantom{P(A\cap D)}=0,75\times0,8 \\\phantom{P(A\cap D)}= 0,6 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(A\cap D)=0,6})
= P(A\cap D)+P(\overline{A}\cap D) \\\phantom{P(D)}=0,6+P( \overline{A})\times P_{\overline{A}}(D)\\\phantom{P(D)}=0,6+0,25\times0,4\\\phantom{P(D)}=0,7 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(D)=0,7})
.)
=\dfrac{P(A\cap\overline{D})}{P(\overline{D})} \\\\\phantom{P_{\overline{D}}(A)}=\dfrac{P(A)\times P_A(\overline{D})}{1-P(D)} \\\\\phantom{P_{\overline{D}}(A)}=\dfrac{0,75\times 0,2}{1-0,7} =\dfrac{0,15}{0,3} =\dfrac{1}{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_{\overline{D}}(A)=\dfrac{1}{2}})
/B3}}})
0, 
.
})
<\ln(\dfrac{0,5}{ 1,6}) \\\\\phantom{u_n<0,5}\Longleftrightarrow n\times\ln(0,9)<\ln(\dfrac{0,5}{ 1,6}) \\\\\phantom{u_n<0,5}\Longleftrightarrow n>\dfrac{\ln(\dfrac{0,5}{ 1,6})}{\ln(0,9)}\ \ \ \ \text{(Changement du sens de l'inégalité car }\ln(0,9)<0) \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln(\dfrac{0,5}{ 1,6})}{\ln(0,9)}\approx11,0397)
par =x^3-21x^2+120x+50)
=4^3-21\times4^2+120\times4+50\ \ \ \ \ \\f(10)=10^3-21\times10^2+120\times10+50\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}f(4)=258\\f(10)=150\end{matrix}\right.})
=(x^3)'-(21x^2)'+(120x)'+50'} \\\phantom{f'(x)}=3x^2-21\times2x+120+0 \\\phantom{f'(x)}=3x^2-42x+120 \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=3x^2-42x+120})
(x-10)=3x^2-30x-12x+120 \\\phantom{{\red{2.\ \text{b. }}}\ (3x-12)(x-10)}=3x^2-42x+120 \\\phantom{{\red{2.\ \text{b. }}}\ (3x-12)(x-10)}=f'(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=(3x-12)(x-10)})
&&-&0&+&+&+&\\\hline \text{Signe de }(x-10)&&-&-&-&0&+&\\\hline&&&&&&&& \text{Signe de }f'(x)&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline \end{array})
=0^3-21\times0^2+120\times0+150=150\\f(4)=258\ \ \ (\text{voir question 1})\\f(10)=150\ \ \ (\text{voir question 1})\\f(15)=15^3-21\times15^2+120\times15+150=500\ \ \ \ \ \ \ \\\\\underline{\text{Tableau de signes de }f'(x)\text{ et variations de }f}\\ \\\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&&0&0&&4&&10&&15\\&&&&&&& \\\hline \text{Signe de }f'(x)&&+&0&-&0&+&\\\hline &&&258&&&&500\\f(x)&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\&150&&&&150&&\\\hline \end{array})
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