Fiche de mathématiques
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Bac Mathématiques STMG Polynésie 2018

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durée : 3 heures

Coefficient : 3

4 points

exercice 1

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3 points

exercice 2

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5 points

exercice 3

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8 points

exercice 4

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Bac Mathématiques STMG Polynésie 2018

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4 points

exercice 1

{\red{\text{1. }}\blue{\mathbf{Réponse\ A:\ 291\ oiseaux}
Une diminution de 3 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,03 = 0,97.
En 2017, le nombre d'oiseaux de cette espèce est  u_0=300.
En 2018, le nombre d'oiseaux de cette espèce a diminué de 3 %.
Ce nombre est alors  u_1=0,97\times u_0=0,97\times300=291.
Donc, en 2018, la population sera de 291 oiseaux.

{\red{\text{2. }}\blue{\mathbf{Réponse\ C:\ géométrique\ de\ raison\ 0,97}
Une diminution de 3 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,03 = 0,97.
En 2017 + n , le nombre d'oiseaux de cette espèce est un
En 2017 + (n + 1), le nombre d'oiseaux de cette espèce a diminué de 3 %.
Ce nombre est alors  u_{n+1}=0,97\times u_n.
Nous en déduisons que la suite (un ) est une suite géométrique de raison 0,97.

{\red{\text{3. }}\blue{\mathbf{Réponse\ D:\ =\ B2\ *\ 0,97}

{\red{\text{4. }}\blue{\mathbf{Réponse\ B:\ 2040}
Nous devons déterminer le plus petit entier n  vérifiant l'inéquation  u_n\le 150.
En utilisant les valeurs données par le tableur, nous trouvons que ce plus petit entier n est égal à 23.
Puisque 2017 + 23 = 2040, nous en déduisons que la population aura diminué de moitié par rapport à 2017 à partir de 2040.

3 points

exercice 2

1.   En utilisant la calculatrice, nous obtenons : P(35 infegal X infegal 50) environegal 0,81859461.
D'où la probabilité que le salarié ait entre 35 et 50 ans est environ égale à 0,82 (valeur arrondie à 10-2).

2.   En utilisant la calculatrice, nous obtenons : P(X supegal 45) environegal 0,15865525.
D'où la probabilité que l'âge du salarié soit supérieur à 45 ans est environ égale à 0,16 (valeur arrondie à 10-2).

Nous pouvions également trouver ce résultat comme suit :
La variable aléatoire X  suit la loi normale d'espérance mu = 40.
Nous savons alors que  p(X\ge40)=p(X\ge \mu)=0,5.

\text{Dès lors, }\ p(X\ge40)=p(40\le M\le45)+p(M\ge45) \\\\\Longrightarrow p(X\ge45)=p(M\ge40)-p(40\le M\le45) \\\phantom{\Longrightarrow p(X\ge45)}=0,5-p(40\le M\le45) \\\phantom{\Longrightarrow p(X\ge45)}\approx0,5-0,34134474 \\\phantom{\Longrightarrow p(X\ge45)}\approx0,15865526 \\\\\Longrightarrow\boxed{ p(X\ge45)\approx0,16}

3.   Si une variable aléatoire Y  suit la loi normale de moyenne mu et d'écart-type sigma,
nous savons alors que   \overset{.}{P(Y\ge\mu)=0,5}  et  \overset{.}{P(\mu-2\sigma\le Y\le\mu+2\sigma)\approx0,95.}

\left\lbrace\begin{matrix}P(Y\ge\mu)=0,5\\P(Y\ge45)=0,5\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \ \boxed{\mu=45} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}P(\mu-2\sigma\le Y\le\mu+2\sigma)\approx0,95\\P(37\le Y\le53)\approx0,95\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \ \boxed{\mu-2\sigma=37}. \\\\\text{Résolvons le système }\left\lbrace\begin{matrix} \mu=45\\\mu-2\sigma=37 \end{matrix}\right. \\\\\left\lbrace\begin{matrix} \mu=45\\\mu-2\sigma=37 \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\mu=45\\45-2\sigma=37\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix} \mu=45\\\mu-2\sigma=37 \end{matrix}\right.}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\mu=45\\2\sigma=8\end{matrix}\right.  \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix} \mu=45\\\mu-2\sigma=37 \end{matrix}\right.}\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}\mu=45\\\sigma=4\end{matrix}\right.}

5 points

exercice 3

Tableau donnant le nombre de catastrophes naturelles dans le monde en 1955, 1966, 1977, 1988 et 1999 :

          \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Année}&\ \ 1955\ \  &\ \ 1966\ \  \ \ &\ \  1977\ \  &\ \ 1988\ \  &\ \  1999\ \  \\\hline\text{Rang de l'année }{\red{x_i}}& 0&11&22&33&44\\\hline\text{Nombre de catastrophes naturelles }{\red{y_i}}& 30&81&140&237&414\\\hline \end{array}

1.  Nuage de points Mi(x i ; y i)
 Le nuage de points est représenté par les cinq points bleus du graphique ci-dessous.

2. a.   L'équation réduite de la droite (d ) d'ajustement affine de y  en x  est  de la forme y  = ax  + b .
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons a  = 8,4 et b  =-4,4.
Donc l'équation réduite de la droite d'ajustement affine de y  en x  est y  = 8,4x  - 4,4.

       
Bac STMG Polynésie 2018 : image 11


2. b.   1990 = 1955 + 35.
En 1990, le rang de l'année est alors égal à 35.
Dans l'équation de la droite (d ), remplaçons x par 35 et calculons la valeur de y .
y = 8,4 multiplie 35 - 4,4 = 289,6
Par conséquent, nous pouvons estimer qu'il y a eu 290 catastrophes en 1990.
Ce résultat peut être visualisé en rouge sur le graphique.


3.   Une augmentation de 27 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,27 = 1,27.
En 1999, il y a eu 414 catastrophes.
1,27 multiplie 414 = 525,78.
Nous pouvons donc compter 526 catastrophes durant l'année 2000.

4.   Le coefficient multiplicateur global Cg pour la période allant de l'année 2000 à l'année 2016 est  
Cg = 1 - 0,435 = 0,565.
Puisque 16 années se sont écoulées entre 2000 et 2016, le coefficient multiplicateur annuel moyen est  C_m=0,565^{\frac{1}{16}}\approx0,965  (valeur arrondie au millième).
Le taux d'évolution annuel moyen est égal à  C_m-1=-0,035  (valeur arrondie au millième).
Par conséquent, le taux annuel moyen (en pourcentage) d'évolution du nombre de catastrophes entre 2000 et 2016 est égal à  -0,035 multiplie 100 %, soit -3,5 %  (valeur arrondie au dixième), soit une baisse annuelle moyenne d'environ 3,5 %.

8 points

exercice 4

Partie A

1.   Arbre de probabilités permettant de modéliser la situation :
Bac STMG Polynésie 2018 : image 10


2.   Nous devons déterminer p(B).
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

p(B)=p(C\cap B)+p(\overline{C}\cap B) \\\phantom{p(B)}=p(C)\times p_C(B)+p(\overline{C})\times p_{\overline{C}}(B) \\\\\phantom{p(B)}=0,70\times\dfrac{4}{7}+0,30\times\dfrac{2}{3} \\\phantom{p(B)}=0,4+0,2 \\\phantom{p(B)}=0,6 \\\\\Longrightarrow\boxed{p(B)=0,6}
D'où, la probabilité que le véhicule choisi roule aux biocarburants est égale à 0,6.

3.   Nous devons déterminer  p_{B}(\overline{C})

p_{B}(\overline{C})=\dfrac{p(\overline{C}\cap B)}{p(B)} \\\\\phantom{p_{B}(\overline{C})}=\dfrac{p(\overline{C})\times p_{\overline{C}} (B)}{p(B)} \\\\\phantom{p_{B}(\overline{C})}=\dfrac{0,30\times \dfrac{2}{3}}{0,6}=\dfrac{0,2}{0,6}=\boxed{\dfrac{1}{3}}

Par conséquent, sachant que le véhicule choisi roule aux biocarburants, la probabilité que ce soit un véhicule sans chauffeur est égale à  \overset{.}{\dfrac{1}{3}}.

Partie B

        f(x)=\dfrac{8x^2-800x+30\,000}{x^2}\ \ \ \ \text{avec }\ x\in[30\;;130]

1.   Calculons f (30) et f (50).

\left\lbrace\begin{matrix}f(30)=\dfrac{8\times30^2-800\times30+30\,000}{30^2}=\dfrac{13\,200}{900}=\dfrac{44}{3} \\\\f(50)=\dfrac{8\times50^2-800\times50+30\,000}{50^2}=\dfrac{10\,000}{2500}=4\end{matrix}\right. \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}f(30)=\dfrac{44}{3}\approx14,67\\\\f(50)=4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.}

Donc lorsque le véhicule roule à 30 km/h, sa consommation est d'environ 14,67 litres pour 100 km
             et lorsqu'il roule à 50 km/h, sa consommation est de 4 litres pour 100 km.


2.   Calcul de la dérivée f'.

f'(x)=\left[\dfrac{8x^2-800x+30\,000}{x^2}\right]' \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{(8x^2-800x+30\,000)'\times x^2-(8x^2-800x+30\,000)\times(x^2)'}{(x^2)^2} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{(8\times2x-800+0)\times x^2-(8x^2-800x+30\,000)\times(2x)}{x^4} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{x^2(16x-800)-2x(8x^2-800x+30\,000)}{x^4} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{16x^3-800x^2-16x^3+1600x^2-60\,000x}{x^4} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{800x^2-60\,000x}{x^4}=\dfrac{x(800x-60\,000)}{x^4} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{800x-60\,000}{x^3} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{800x-60\,000}{x^3}}

3.   Etude du signe de f' (x ) sur [30 ; 130].
Puisque x  appartient à l'intervalle [30 ; 130], nous avons : x  > 0 et par conséquent, x 3 > 0.
D'où le signe de f' (x ) sera le signe du numérateur 800x  - 60 000.

{\red{\text{Si }x\in\R}},\text{ alors}\\\\\begin{matrix}\left f'(x)=0\Longleftrightarrow800x-60\,000=0 \\\phantom{f'(x)}\Longleftrightarrow800x=60\,000 \\\phantom{f'}\Longleftrightarrow x=\dfrac{60\,000}{800} \\\\\phantom{}\Longleftrightarrow x=75\ \ \ \end{matrix}\ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \begin{matrix} f'(x)<0\Longleftrightarrow800x-60\,000<0 \\\phantom{f'(x0}\Longleftrightarrow800x<60\,000 \\\phantom{f'(}\Longleftrightarrow x<\dfrac{60\,000}{800} \\\\\phantom{}\Longleftrightarrow x<75\ \end{matrix}\ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \begin{matrix} f'(x)>0\Longleftrightarrow800x-60\,000>0 \\\phantom{f'(x0}\Longleftrightarrow800x>60\,000 \\\phantom{f'(}\Longleftrightarrow x>\dfrac{60\,000}{800} \\\\\phantom{}\Longleftrightarrow x>75\ \end{matrix}

{\red{\text{Si }x\in[30\ ;130]}}\text{ alors}\ \left\lbrace\begin{matrix}f'(x)=0\Longleftrightarrow x=75\ \ \ \ \ \ \ \ \\f'(x)<0\Longleftrightarrow30\le x<75\ \\ f'(x)>0\Longleftrightarrow75<x\le130\end{matrix}\right.

Tableau de variations de f  sur [30 ; 130].

\text{Calculs préliminaires : }f(30)=\dfrac{44}{3}\approx14,67\ \ \ \text{(voir question 1.)}\\\\\phantom{\text{Calculs préliminaires : }}f(75)=\dfrac{8\times75^2-800\times75+30\,000}{75^2}=\dfrac{15\,000}{5625}=\dfrac{8}{3}\approx2,67 \\\\\phantom{\text{Calculs préliminaires : }}f(130)=\dfrac{8\times130^2-800\times130+30\,000}{130^2}=\dfrac{61\,200}{16\ 900}=\dfrac{612}{169}\approx3,62\\\\\underline{\text{Tableau de variations de }f\text{ sur [30 ; 130]}} :\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&30&&75&&130 \\\hline f'(x)&&-&0&+&\\\hline &\dfrac{44}{3}\approx14,67&&&&\dfrac{612}{169}\approx3,62&f(x)&&\searrow&&\nearrow&\\&&&\dfrac{8}{3}\approx2,67&&\\\hline \end{array}

4.   Nous pouvons déduire du tableau de variations de la fonction f  que la consommation est minimale pour une vitesse de 75 km/h.
Cette consommation est alors d'environ 2,67 litres pour 100 km.

5.   On considère l'algorithme suivant :

\begin{array}{|c|}\hline x\longleftarrow30\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\y\longleftarrow\dfrac{44}{3}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\\text{Tant que  }y\ge4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\\x\longleftarrow x+1\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y\longleftarrow \dfrac{8x^2-800x+30\,000}{x^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\\\text{Fin Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\hline\end{array}

A la fin de l'exécution de l'algorithme, la valeur de la variable x  est 51.
Cela signifie que la consommation du véhicule sera deviendra strictement inférieure à 4 litres pour 100 km dès que la vitesse de ce véhicule atteint 51 km/h en partant de 30 km/h.
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