c un pb de terminale S!!!

il suffit de remplacer la solution proposée dans l'équation

déja il faut dériver u(x) :
u'(x) = e^(2x) (1+2x)

e^(2x) (1+2x) -2(e^(2x)) = e^(2x) + 2xe^(2x) - 2xe^(2x)
= e^(2x)

donc u(x) = xe^(2x) est solution de (E)

forme générale de la solution d'une équa diff du style :
y' = ay      f(x) = ke^(ax)

donc ici :

y'-2y = 0
y' = 2y
donc la solution générale de l'équa diff est :
f(x) = ke^(2x)

tout d'abord, prouvons que si v-u est solution de (E0), alors
v est solution de (E) :

v-u solution de (E0)
SSI (v-u)' - 2(v-u) = 0
SSI v'-u'-2v+2u = 0
SSI v'-e^(2x)(1+2x) -2v + 2xe^(2x) = 0
SSI v'-2v = e^(2x)(1+2x) - 2xe^(2x)
SSI v'-2v = e^(2x)

prouvons ensuite que si v est solution de (E), alors (v-u) est solution de
(E0) :

v est solution de (E)
SSI v'-2v = e^(2x)
SSI v'-2v = e^(2x) + 2xe^(2x) - 2xe^(2x) (donc rien n'est changé)
SSI v'-2v = e^(2x)(1+2x) + 2xe^(2x)
SSI v'-2v - e^(2x)(1+2x) - 2xe^(2x) = 0
SSI v'-2v-u'-2u = 0
SSI (v-u)' - 2(v-u) = 0

(v-u) est solution de (E0) SSI (v-u)(x) = ke^(2x)
SSI v(x) - u(x) = ke^(2x)
SSI v(x) = u(x) + ke^(2x)
SSI v(x) = xe^(2x) + ke^(2x)
SSI v(x) = e^(2x) (x+k)   solution générale de (E)

La fonction solution de (E) prend la valeur 1 en 0
SSI v(0) = 1
SSI e^(0) (0+k) = 1
SSI 1 (k) = 1
SSI k = 1

Donc la fonction solution de (E) qui prend la valeur 1 en 0 est :
v(x) = e^(2x) (x+1)

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Sauf erreurs de calcul...
a+

3)   b)
SSI v'-2v = e^(2x)(1+2x) + 2xe^(2x)
SSI v'-2v - e^(2x)(1+2x) - 2xe^(2x) = 0
petite erreur de signe, mais qui ne change rien
aux réponses d'apres...

rectification :
SSI v'-2v = e^(2x)(1+2x) - 2xe^(2x)
SSI v'-2v - e^(2x)(1+2x) + 2xe^(2x) = 0

ct encore moi !!

merci tiou!!! chuis tchalé................

loooooooooooooooooooooooool
ca taquine les maths !!
vive lyon !