Hello,

Une idee. Supposons que la suite converge. Appellons L sa limite.

Alors 0L2-1/L

et donc L^22L-1 qui donne L^2-2L+10

soit (L-1)^20 dont la seule solution est L=1.

Maintenant, essayons de montrer que la suite converge en utilisant le theoreme de convergence monotone.

Un est minoree par 0.

Un+1 - Un 2-1/Un -Un

Or comme tout a l'heure 2-1/Un -Un = (2Un-1-Un^2)/Un = -(Un-1)^2/Un

qui est donc negatif. La suite est donc decroissante.

salut,
je pense que le but de ce forum n'est pas de resoudre les exercices à la place de l'eleve

Je sais et j'ai hesite a amener vers la reponse pas une suite de questions mais j'ai considere qu'il avait deja fait pas mal de choses et aussi trouve la bonne limite.

A un moment ce n'est pas toujours facile  de guider sans trop dire, surtout quand on n'a pas l'eleve a cote de soi pour etre sur d'avoir une suite d'echanges.

Merci énormément j'étais aussi arrivé à un résultat de ce genre cependant à cause d'une erreur de calcul j'étais arrivé a -Un²+2Un+1 au lieu de -1 ...

Merci de m'avoir éclairé aussi simplement!

Je t'en prie. Le plus important est que tu aies passe du temps a chercher, surtout pour des exercices facultatifs.

Apres reflexion, fais attention car ma demo montre que Un est en fait decroissante. Cela ne l'empeche pas de converger vers 1 mais pas en montant comme on pourrait le penser.

Aussi ce qui est interessant c'est que tu peux montrer que si Un>1 alors Un+1>1 mais tu ne peux pas conclure car tu ne sais rien sur U0 par rapport a 1.

oui c'est que si u0 est plus grand que 1 alors on a bien une suite décroissante vers 1

mais il peut y avoir des u0 positifs qui donnent des débuts plus mouvementés

cela dit à partir d'un certain rang la suite finit par être décroissante et elle tend toujours vers 1

_{Pour le principe de ces visualisations graphiques qui sont très utiles pour se faire une idée du comportement des suites récurrentes, tu as la méthode expliquée là si tu veux
tu dessines la courbe (ici y= 2-1/x) et la droite y=x qui sert à rabattre les points de l'axe des y sur l'axe des x pour pouvoir continuer la récurrence. Les segments semblent rebondir un coup sur la courbe et un coup sur la droite; A chaque verticale bleue, il y a un terme de la suite.}

@Glapion
je ne comprends pas, u(n+1) n'est pas egal à u(n).

oups n'est pas egal à 2-1/u(n)

ha alors j'ai mal compris son u(n+1)?2-(1/u(n)) j'ai pensé que le ? était un =

on ne sait pas comment elle est définie alors cette suite ? on sait juste que 0 < u(n+1) < 2-(1/u(n)) c'est ça ?

En effet Glapion, et c'est assez original.

J'ai eu un doute aussi mais heureusement le titre du message est correct !

Il doit y avoir un moyen de le faire avec la definition et des epsilon mais ce n'est plus trop a la mode.

c'est ce que j'ai cru comprendre

Et d'ailleurs si on prend le cas d'egalite comme Glapion et que l'on choisit un U0 entre 0 et 1 on tombe rapidement sur des Un negatifs (des qu'un des termes passe en dessous de 1/2) et cela contredit l'inegalite 0<Un+1 valable pour tout n.

Meme si on retourne tout de suite dans le positif comme le montre les dessins de Glapion.

ha oui je n'avais pas vu le titre.
c'est vrai que je n'ai jamais rencontré d'énoncé qui parle d'inégalité entre les termes d'une suite récurrente comme 0 < U(N+1) ≤ 2-(1/U(N))

très original !

Le ? dans mon post était effectivement un signe inférieur ou égal, j'ai trouvé aussi que cet exo etait interresant car on ne peut pas simplement deduire la divergence de cette suite grâce à sa forme mais grâce à son encadrement, ça me fait plaisir de voir autant d'avis sur ce sujet!

question stupide peut etre, une telle existe-t-elle ?

Et pour ce que ca vaut robertdu59 je dois dire que tu fais preuve d'une bonne reflexion et aussi de recul par rapport a ce genre d'exercices. C'est pas n'importe quel eleve de TS qui ferait ca et j'imagine que c'est pour ca que ton prof doit te nourrir avec des exercices facultatifs. Continue comme ca

Et albi pour repondre a ta question, a priori une telle suite existe si tu choisis U0 > 1 comme le suggere le graphique de Glapion.

En prenant U0=2 et le cas d'egalite on obtient U1=3/2, U2=4/3 ce qui suggere tres rapidement  que Un=(n+2)/(n+1) pour tout n.

j'ai pense à 1+1/n qui doit marcher

C'est (n+1)/n et j'y ai pense aussi au debut mais alors U0 n'existe pas C'est pour ca qu'il faut decaler a 1 + 1/(n+1)

Une telle suite? Pour cela il faudrait que Un+1 ≤ 2-1/Un

or d'après ce qu'a démontré TheMathHatter (Un) est décroissante donc Un+1 ≤ Un

On a alors 0<Un+1 ≤ Un ≤ 2-1/Un, pour que Un, ainsi, pour que Un+1 ≤ 2-1/Un,

il faut déjà que Un ≤ 2-1/Un

soit Un²-2Un+1 ≤ 0

<=>(Un-1)² ≤ 0

<=> Un=1

Si je ne me suis trompé la suite constante Un=1 est une suite telle que 0<Un+1 ≤ 2-1/Un

Or cette suite n'est pas convergente... j'ai du me tromper quelque part.

Désolé pour le double post mais je vais me corriger

On a alors 0<Un+1 ≤ Un ≤ 2-1/Un, ainsi, pour que Un+1 ≤ 2-1/Un
....

Ensuite j'ai oublié de préciser que Un+1≤ Un est vérifié si Un=1

Quoique une suite converge en fait

Une suite constante converge je vais y arriver!

Comment sais-tu que Un est coincee entre les deux ?

Pourquoi pas Un+1U2-1/UnUn ?

TheMathHatter (Au fait merci du compliment) Merci de m'avoir débloqué je ne comprenais pourquoi votre suite Un=(n+2)/(n+1) marchait aussi chez moi.

En effet j'avais : Un+1=(n+3)/(n+2)

Un+1≤ 2-1/Un
<=> (n+3)/(n+2)≤ 2-1/[(n+2)/(n+1)]
<=>(n+3)/(n+2)≤ 2-(n+1)/(n+2)
<=>(n+3)/(n+2)≤(n+3)/(n+2) ce qui est vrai pour tout n€N

Est ce que je peux juste vous demander comment vous avez trouvé ce résultat? Par conjecture grâce au graphique de Glapion ou il y a une technique?

Ensuite j'aimerai savoir si on peut dire qu'une suite constante est convergeante?

Merci à vous tous pour votre aide précieuse je n'aime vraiment pas ne pas comprendre comment résoudre un exercice

Tout d'abord oui une suite constante est convergente (tu peux le voir en utilisant la definition de limite d'une suite) mais elle est surtout ennuyante

Ensuite c'est en effet par "conjecture" que j'ai trouve la suite. Je suis parti de "l'erreur" de Glapion avec le cas d'egalite en prenant U0=2 (la plus petite valeur entiere interessante car U0=1 donne une suite constante).

J'ai trouve U1=3/2, U2=4/3 etc... et j'ai donc conjecture (n+2)/(n+1) apres avoir rejete (n+1)/n.

J'ai ensuite verifie que Un+1=2-1/Un pour cette suite. C'est pour ca que ton truc est vrai pour tout n car c'est en fait egal

La prochaine question interessante est : existe t-il une suite verifiant l'inegalite stricte ?

la suite constante 1 marche

alb12 je ne sais pas si tu répondais à TheMathHatter mais la suite constante ne vérifie pas l'égalité stricte

C'est la première fois que j'utilise ce forum et franchement je suis pas déçu! Je me rend compte que j'adore vraiment les maths!

Merci à tout le monde de vous être dérangé pour moi et TheMathHatter pour m'avoir tant aidé

Et si quelqu'un trouve pour l'inégalité stricte je suis preneur.