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1 plan, 2 cercles, 1 distance, 1 tangente et 2 coordonnées

Posté par
maximeneko
05-03-20 à 09:12

bonjour à tous.
je suis graphiste et je fais un peu de programmation. je viens vous demander votre aide.
j'aurais besoin de trouver les coordonnées de deux points (a et b) en fonction de la tangente commune de deux cercles et de leur distance.
d'avance merci

1 plan, 2 cercles, 1 distance,  1 tangente et 2 coordonnées

Posté par
ty59847
re : 1 plan, 2 cercles, 1 distance, 1 tangente et 2 coordonnées 05-03-20 à 09:28

J'ai la flemme de faire les calculs, mais voici le début.
Sur ta configuration, il y a un point essentiel, c'est le point d'intersection entre la droite verte et la droite AB. On le voit uniquement sur le 4ème exemple.
Il faut trouver les coordonnées de ce point (par Thales) ; Notons le C.
Ensuite, on va dire : le triangle AaC est rectangle en a, ce qui va nous donner les coordonnées de a.
et idem pour le triangle BbC.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : 1 plan, 2 cercles, 1 distance, 1 tangente et 2 coordonnées 05-03-20 à 11:09

Bonjour,

Citation :
en fonction de la tangente commune
Peux-tu expliciter ceci ?

Posté par
maximeneko
re : 1 plan, 2 cercles, 1 distance, 1 tangente et 2 coordonnées 05-03-20 à 11:55

heu leur tangente commune ... je m'exprime sans doute très mal. je suis un profane.
en fait:
- j'ai deux cercles:
      - un aux coordonees 0,0 (le rouge)
      - un autre qui ne bouge qu'en x (le bleu)
- les deux sont de tailles variables.
et j'aimerais trouver une solution qui me permette d'avoir les coordonnees des deux points (a et b) d'une tangente qui toucherait les deux cercles.

Posté par
alb12
re : 1 plan, 2 cercles, 1 distance, 1 tangente et 2 coordonnées 05-03-20 à 12:16

salut,

Posté par
maximeneko
re : 1 plan, 2 cercles, 1 distance, 1 tangente et 2 coordonnées 05-03-20 à 13:05

merci, ça me permet d'avancer. mais c'est je ne peux determiner O [puisque je ne peux pas tracer], du fait je ne peux obtenir E.

Posté par
alb12
re : 1 plan, 2 cercles, 1 distance, 1 tangente et 2 coordonnées 05-03-20 à 13:09

c'est quoi E ?

Posté par
maximeneko
re : 1 plan, 2 cercles, 1 distance, 1 tangente et 2 coordonnées 05-03-20 à 13:16

ha si, je viens de determiner O avec un simple ration.

Posté par
alb12
re : 1 plan, 2 cercles, 1 distance, 1 tangente et 2 coordonnées 05-03-20 à 18:19

je ne comprends pas bien ce que tu cherches, les coordonnees des points de tangence en fonction des rayons et de la distance entre les deux centres ?
J'ai fait un calcul rapide (logiciel) qui semble donner:
j'appelle r1 et r2 les rayons et d la distance


 \\ \left\{\dfrac{(d^{2}+\mathrm{r1}\cdot \mathrm{r2}-\mathrm{r2}^{2})}{d},\dfrac{\mathrm{r2} \sqrt{d^{2}-\mathrm{r1}^{2}+2\cdot \mathrm{r1}\cdot \mathrm{r2}-\mathrm{r2}^{2}}}{d}\right\}$ (sur le cercle de rayon r2)$
 \\


 \\ \left\{\dfrac{(\mathrm{r1}^{2}-\mathrm{r1}\cdot \mathrm{r2})}{d},\dfrac{\mathrm{r1} \sqrt{d^{2}-\mathrm{r1}^{2}+2\cdot \mathrm{r1}\cdot \mathrm{r2}-\mathrm{r2}^{2}}}{d}\right\}$ (sur le cercle de rayon r1)$
 \\

A confirmer (script non relu) !

Posté par
maximeneko
re : 1 plan, 2 cercles, 1 distance, 1 tangente et 2 coordonnées 05-03-20 à 18:23

holala ! je vais de suite voir si ça marche en pratique. merci

Posté par
alb12
re : 1 plan, 2 cercles, 1 distance, 1 tangente et 2 coordonnées 05-03-20 à 18:27

j'ai centré le cercle de rayon r1 en (0,0) et l'autre en (d,0)

Posté par
larrech
re : 1 plan, 2 cercles, 1 distance, 1 tangente et 2 coordonnées 05-03-20 à 18:43

Bonjour,

Si l'on appelle C le point de concours de la tangente commune avec l'axe des centres, le grand cercle est le transformé du petit dans l'homothétie de centre C et de rapport r1/r2.

On en déduit facilement que CO=d*r1/(r1-r2).

Soit , l'angle (OC, Oa), alors cos=r1/CO

puis les coordonnées (r1cos, r1sin) pour a

(r2 cos , r2 sin) pour b

En développant, on retrouve bien les formules données par le logiciel.

Posté par
alb12
re : 1 plan, 2 cercles, 1 distance, 1 tangente et 2 coordonnées 05-03-20 à 21:22

merci pour la confirmation

Posté par
maximeneko
re : 1 plan, 2 cercles, 1 distance, 1 tangente et 2 coordonnées 05-03-20 à 23:29

sublime ! merci merci merci. je ne vous raconte pas de quel état d'euphorie je suis.
c'est exactement ce que je voulais. la formule traduite python donne ceci.

Citation :
((math.pow(d,2)+r1*r2-math.pow(r2,2))/d), ((r2* math.sqrt(math.pow(d,2)-math.pow(r1,2)+2*r1*r2-math.pow(r2,2)))/d)
((math.pow(r1,2)-r1*r2)/d), (r1*math.sqrt(math.pow(d,2)-math.pow(r1,2)+2*r1*r2-math.pow(r2,2))/d)


encore merci

1 plan, 2 cercles, 1 distance,  1 tangente et 2 coordonnées

Posté par
larrech
re : 1 plan, 2 cercles, 1 distance, 1 tangente et 2 coordonnées 06-03-20 à 08:14

Parfait. J'en profite quand même pour corriger un oubli. Les coordonnées de b sont

(d+r2 cos , r2 sin)

Mais alb12 avait déjà tout dit.

Posté par
alb12
re : 1 plan, 2 cercles, 1 distance, 1 tangente et 2 coordonnées 06-03-20 à 09:52

Pour info ci dessous le script à executer dans un ecran de geometrie 2d du logiciel libre/gratuit Xcas
(on couple la geometrie dynamique et le calcul formel)
puis les commandes renvoyant les coordonnees des points de tangence


supposons(r1=[1,0,1,0.01]);
C1:=cercle(0,r1);
supposons(r2=[0.53,0,1,0.01]);
supposons(d=[2.5,0,10,0.1]);
C2:=cercle(d,r2);
D:=droite(i*r1,d+i*r2);
A:=inter_unique(D,droite(y=0));
C:=cercle(d,A);
M:=inter_unique(C,C2);
N:=inter_unique(droite(A,M),C1);

simplifier(coordonnees(M))
simplifier(coordonnees(N))

Posté par
maximeneko
re : 1 plan, 2 cercles, 1 distance, 1 tangente et 2 coordonnées 08-03-20 à 02:56

merci pour toutes ces précisions. c'est vraiment très intéressant. et très utile.



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