Fiche de mathématiques
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Courbes Paramétrées

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Dans tout ce chapitre :
\mathcal{P} désigne un plan affine muni d'un repère (éventuellement orthonormé direct) \mathcal{R}=(O,\vec{i},\vec{j}).
On note \vec{P}=\lbrace a\vec{i}+b\vec{j}/(a,b)\in\mathbb{R}^{2}\rbrace l'ensemble des vecteurs du plan.
I désigne un intervalle (ou union d'intervalles) non vide et non réduit à un point de \mathbb{R}, \bar{I} un intervalle fermé (ou union d'intervalles fermés) de mêmes extrémités que I.
k\in\mathbb{N}^{*}.


I. Généralités

1. Fonctions vectorielles

Définition: (fonction vectorielle)
Une fonction vectorielle est une fonction \vec{f} : I \rightarrow \vec{P}.
Pour t\in\mathbb{R}, on note (x(t), y(t)) les coordonnées de \vec{f}(t) dans la base (\vec{i},\vec{j})x,y :I \rightarrow \mathbb{R}, on a donc \vec{f}(t) = x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}.
Les fonctions réelles x et y s'appellent les fonctions coordonnées de \vec{f}.

Courbes paramétrées - supérieur : image 4


Remarque :
Définir une fonction vectorielle revient à définir deux fonctions réelles.
Définition : (limite)
Soit \vec{f}:I\rightarrow \vec{P} une fonction vectorielle, soit \vec{l}\in\vec{P} et soit t_{0}\in\bar{I}, on dit que \vec{f} admet pour limite le vecteur \vec{l} en t_{0} lorsque: \displaystyle\lim_{t\to t_{0}} ||\vec{f}(t)-\vec{l}||=0 .
Dans ce cas, on note: \displaystyle \lim_{t\to t_{0}} \vec{f}(t)=\vec{l} ou \displaystyle \vec{f}(t) \longrightarrow_{t\to t_{0}} \vec{l}
Courbes paramétrées - supérieur : image 1


Proposition :
Soient \vec{f}:I\rightarrow \vec{P} une fonction vectorielle, x,y:I\rightarrow \mathbb{R} ses fonctions coordonnées, \vec{l}\in\vec{P} de coordonnées (a,b)\in\mathbb{R}^{2} et t_{0} \in \bar{I}. On a :
\displaystyle\lim_{t\to t_{0}} \vec{f}(t)=\vec{l} \Longleftrightarrow \begin{cases}\displaystyle \lim_{t\to t_{0}}x(t)=a \\\displaystyle\lim_{t\to t_{0}}y(t)=b\end{cases}




2. Continuité et dérivation

Définition : (continuité)
Soient \vec{f}:I\rightarrow \vec{P} une fonction vectorielle et t_{0}\in I.
On dit que \vec{f} est continue en t_{0} si et seulement si \displaystyle\lim_{t\to t_{0}} \vec{f}(t)=\vec{f}(t_{0})
On dit que \vec{f} est continue sur I si et seulement si elle est continue en tout point de I


Proposition :
Soient \vec{f}:I\rightarrow \vec{P} une fonction vectorielle, x,y:I\rightarrow \mathbb{R} ses fonctions coordonnées et t_{0}\in I.
\vec{f} est continue en t_{0} si et seulement si x et y sont continues en t_{0}.
\vec{f} est continue sur I si et seulement si x et y sont continues sur I.


Définition : (dérivabilité)
Soient \vec{f}:I\rightarrow \vec{P} une fonction vectorielle et t_{0}\in I.
On dit que \vec{f} est dérivable en t_{0} si et seulement si \displaystyle \lim_{t\to t_{0}} \frac{\vec{f}(t)-\vec{f}(t_{0})}{t-t_{0}} existe dans \vec{P}, dans ce cas, cette limite est notée \vec{f'}(t_{0}) et est appelée la dérivée de \vec{f} en t_{0}.
On dit que \vec{f} est dérivable sur I si et seulement si elle est dérivable en tout point de I.


Proposition :
Soient \vec{f}:I\rightarrow \vec{P} une fonction vectorielle, x,y:I\rightarrow \mathbb{R} ses fonctions coordonnées et t_{0}\in I.
\vec{f} est dérivable en t_{0} si et seulement si x et y sont dérivables en t_{0}, de plus dans ce cas : \vec{f'}(t_{0})=x'(t_{0})\vec{i}+y'(t_{0})\vec{j}.
\vec{f} est dérivable sur I si et seulement si x et y sont dérivables sur I.


Définition: (fonction vectorielle dérivée)
Soit \vec{f}:I\rightarrow \vec{P} une fonction vectorielle dérivable sur I.
On appelle dérivée de \vec{f}, la fonction vectorielle notée \vec{f'} qui, à chaque t\in I, associe \vec{f'}(t)


Proposition :
Soient \vec{f}:I\rightarrow \vec{P} une fonction vectorielle dérivable sur I et x,y:I\rightarrow \mathbb{R} ses fonctions coordonnées.
On a alors : \forall t\in I : \vec{f'}(t)=x'(t)\vec{i}+y'(t)\vec{j}x' (resp. y') est la fonction dérivée de x (resp. y).


Remarque :
D'une manière analogue, on définit les dérivées successives et les fonctions vectorielles dérivées successives, ainsi que la classe d'une fonction vectorielle...


3. Courbe paramétrée

Définition :
Soit \vec{f}:I\rightarrow \vec{P} une fonction vectorielle de classe \mathcal{C}^{k} sur I de fonctions cordonnées x et y,on note \Gamma(t)=\lbrace M(t)/ t\in I \text{ et } \vec{f}(t)=\vec{OM}(t)\rbrace.
On appelle courbe paramétrée (ou arc paramétré), et on note C, la donnée du triplet (I,\vec{f},\Gamma).
I est appelé domaine de définition de la courbe paramétrée C, c'est l'intersection des domaines de définition de x et y.
Le couple (I,\vec{f}) est appelé paramétrage de la courbe C.
\Gamma est appelé support (ou trajectoire) de la courbe C, c'est l'ensemble des points M(t) de cette dernière.


Définition :
Soit C=(I,\vec{f},\Gamma) une courbe paramétrée de classe \mathcal{C}^{k} et soit t_{0}\in I. Le point M(t_{0}) de \Gamma est dit :
Régulier si et seulement si \vec{f'}(t_{0})\neq \vec{0}.
Birégulier si et seulement si : (\vec{f'}(t_{0}),\vec{f^{''}}(t_{0})) est libre.
Stationnaire (ou singulier) si et seulement s'il n'est pas régulier.




II. Étude d'une courbe paramétrée


Dans cette partie, C=(I,\vec{f},\Gamma) est une courbe paramétrée de classe \mathcal{C}^{k}.

1. Tangente en un point


Soit M(t_{0}) un point régulier et soit h\in\mathbb{R}^{*} tel que : t_{0}+h\in I.
Alors, le vecteur : \dfrac{1}{h}\vec{M(t_{0})M(t_{0}+h)} =  \dfrac{x(t_{0}+h)-x(t_{0})}{h} \vec{i}+\dfrac{y(t_{0}+h)-y(t_{0})}{h}\vec{j} est un vecteur directeur de la droite (M(t_{0})M(t_{0}+h)).
Donc, lorsque h \to 0, cette droite tend vers la droite passante par M(t_{0}) et dirigée par \vec{f'}(t_{0}).
Définition :
Si M(t_{0}) est régulier. La droite passante par M(t_{0}) et dirigée par \vec{f'}(t_{0}) est appelée la tangente à la courbe paramétrée C au point M(t_{0}).


Proposition : (Tangentes particulières)
Soit M(t_{0}) un point régulier.
Si x'(t_{0})=0 et y'(t_{0})\neq 0, la courbe admet une tangente verticale en M(t_0).
Si x'(t_{0})\neq 0 et y'(t_{0})=0, la courbe admet une tangente horizontale en M(t_0).


Définition :
Un point M(t_{0}) de \Gamma est dit particulier si :
\begin{cases} M(t_{0}) \text{ est singulier } \\ \text{ ou } \\ \text{ la courbe paramétrée } C \text{ admet une tangente particulière en } M(t_{0}) \end{cases}




2. Tableau de variation


Pour les valeurs de t décrivant le domaine d'étude de la courbe paramétrée C, on étudie (lorsque c'est possible) le signe des dérivées x' et y'.
Définition :
Comme pour les fonctions d'une seule variable, on présente les résultats d'étude des signes de x' et y' sous forme d'un tableau appelé tableau de variation de la courbe paramétrée C, qui est constitué des deux tableaux de variations de x et y accolés.




3. Branches infinies

Définition :
Soit t_0 un élément de \bar{I}.
On dit que la courbe C admet une branche infinie en t_0 lorsque : \displaystyle \lim_{t\to t_{0}} x(t)=\infty ou \displaystyle \lim_{t\to t_{0}} y(t)=\infty



Étude des branches infinies :
\bullet Si \displaystyle \lim_{t\to t_{0}} x(t)=\infty et \displaystyle \lim_{t\to t_{0}} y(t)=y_{0}, alors on dit qu'il y a une asymptote horizontale d'équation y=y_{0}.
\bullet Si \displaystyle \lim_{t\to t_{0}} x(t)=x_{0} et \displaystyle \lim_{t\to t_{0}} y(t)=\infty, alors on dit qu'il y a une asymptote verticale d'équation x=x_{0}.
\bullet Si \displaystyle \lim_{t\to t_{0}} x(t)=\infty et \displaystyle \lim_{t\to t_{0}} y(t)=\infty, alors on étudie la limite en t_0 du rapport \displaystyle \frac{y(t)}{x(t)}:
Si \displaystyle \lim_{t\to t_{0}} \dfrac{y(t)}{x(t)}=0, on dit qu'il y a une branche parabolique dans la direction de l'axe (Ox).
Si \displaystyle \lim_{t\to t_{0}} \dfrac{y(t)}{x(t)}=\infty, on dit qu'il y a une branche parabolique dans la direction de l'axe (Oy).
Si \displaystyle \lim_{t\to t_{0}} \dfrac{y(t)}{x(t)}=a\in\mathbb{R}^{*}, on étudie la limite en t_0 de y(t)- ax(t) :
\begin{cases} \text{ si } : \displaystyle \lim_{t\to t_{0}} y(t)-ax(t)=b\in\mathbb{R}  \text{ alors : on dit qu'il y a une asymptote d'équation } y=at+b \\ \text{ si } :\displaystyle \lim_{t\to t_{0}} y(t)-ax(t)=\infty \text{ alors on dit qu'il y a une branche parabolique dans la direction  asymptotique } y = ax\end{cases}


4. Étude au voisinage des points singuliers


Soit t_{0} \in I tel que M(t_{0}) est un point singulier. On se demande quel est l'aspect de la courbe au voisinage de ce point.
Soit p le plus petit entier de \mathbb{N}^{*} tel que \vec{f^{p}}(t_{0})\neq \vec{0} et soit q le plus petit entier > p tel que (\vec{f^{p}}(t_{0}), \vec{f^{q}}(t_{0}) ) soit libre.
Au voisinage de M(t_{0}), \Gamma a l'allure suivante, selon les parités de p et q:

Courbes paramétrées - supérieur : image 2
Courbes paramétrées - supérieur : image 3



5. Plan d'étude d'une courbe paramétrée


1) Détermination du domaine de définition I.
2) Branches infinies.
3) Dérivées et tableau de variation.
4) Points particuliers: tangentes verticales et horizontales, points singuliers.
5) Intersection avec les axes: détermination des t\in I qui vérifient : x(t)=0 ou y(t)=0.
6) Représentation graphique.


6. Exemple


Tracer la courbe C de représentation paramétrique : \begin{cases} x(t)=\dfrac{t^{2}}{t-1} \\ y(t)=\dfrac{t}{t^{2}-1} \end{cases}


1- Domaine de définition I
\mathcal{D}_{x}=\lbrace{x\in\mathbb{R} / t-1\neq 0 \rbrace = ]-\infty,1[\cup ]1,+\infty[
\mathcal{D}_{y}=\lbrace{x\in\mathbb{R} / t^{2}-1\neq 0 \rbrace = ]-\infty,-1[\cup ]-1,1[\cup[1,+\infty[

I= ]-\infty,-1[\cup ]-1,1[\cup[1,\infty[

2- Branches infinies
Asymptote verticale quand t=-1:
\displaystyle \lim_{t\to -1} x(t)=\dfrac{1}{2} et \begin{cases}\displaystyle \lim_{t\to -1^{-}} y(t)=-\infty\\ \displaystyle \lim_{t\to -1^{+}} y(t)=+\infty \end{cases}
Asymptote verticale d'équation : x=\displaystyle\frac{1}{2}

Asymptote horizontale quand t\to\infty:
\displaystyle \lim_{t\to -\infty} y(t)=0 et \displaystyle \lim_{t\to -\infty} x(t)=-\infty
\displaystyle \lim_{t\to +\infty} y(t)=0 et \displaystyle \lim_{t\to +\infty} x(t)=+\infty
Asymptote horizontale d'équation : y=0 au voisinage de -\infty et de +\infty.

Asymptote d'équation \displaystyle y=\dfrac{1}{2}x-\frac{3}{4} quand t=1:
\begin{cases}\displaystyle \lim_{t\to 1^{-}} x(t)=-\infty \\ \displaystyle \lim_{t\to 1^{+}} x(t)=+\infty \end{cases} et \begin{cases}\displaystyle \lim_{t\to 1^{-}} y(t)=-\infty \\ \displaystyle \lim_{t\to 1^{+}} y(t)=+\infty \end{cases}
\displaystyle \lim_{t\to 1} \dfrac{y(t)}{x(t)}=\lim_{t\to 1} \frac{t}{t+1}=\frac{1}{2}
\displaystyle \lim_{t\to 1} y(t)-\frac{1}{2} x(t)=\frac{1}{2}\displaystyle \lim_{t\to 1} \frac{-t^{2}-2t}{t+1}=\dfrac{-3}{4}

3- Dérivées et tableau de variation
\forall t\in I : x'(t)= \dfrac{t(t-2)}{(t-1)^{2}}
\forall t\in I : y'(t)= -\dfrac{t^{2}+1}{(t-1)^{2}}
\begin{array}{|c|ccccccccccc|} \hline  t&-\infty&&-1&&0&&1&&2&&+\infty \\ \hline x'(t)& &+&||&+&0&-&||&-&0&+& \\ x&-\infty&\nearrow&\frac{-1}{2}&\nearrow&0&\searrow&||&\searrow&4&\nearrow&+\infty\\ \hline  y'(t)&&-&||&-&-1&-&||&-&-5&-&\\ y&0&\searrow&||&\searrow&0&\searrow&||&\searrow &-5&\searrow& 0 \\ \hline \end{array}

4- Points particuliers
Il n'y a pas de points singuliers, mais deux points à tangente verticale (t=0 et t=2).

5- Intersection avec les axes
Il n'y a qu'une seule intersection, en t = 0. Le point d'intersection est (0,0).

6- Graphique
Courbes paramétrées - supérieur : image 5
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