Dans tout ce chapitre :
désigne un plan affine muni d'un repère (éventuellement orthonormé direct) .
On note l'ensemble des vecteurs du plan.
désigne un intervalle (ou union d'intervalles) non vide et non réduit à un point de , un intervalle fermé (ou union d'intervalles fermés) de mêmes extrémités que .
.
I. Généralités
1. Fonctions vectorielles
Définition: (fonction vectorielle)
Une fonction vectorielle est une fonction .
Pour , on note les coordonnées de dans la base où , on a donc .
Les fonctions réelles et s'appellent les fonctions coordonnées de .
Remarque : Définir une fonction vectorielle revient à définir deux fonctions réelles.
Définition : (limite)
Soit une fonction vectorielle, soit et soit , on dit que admet pour limite le vecteuren lorsque: .
Dans ce cas, on note: ou
Proposition :
Soient une fonction vectorielle, ses fonctions coordonnées, de coordonnées et . On a :
2. Continuité et dérivation
Définition : (continuité)
Soient une fonction vectorielle et .
On dit que est continue en si et seulement si
On dit que est continue sur si et seulement si elle est continue en tout point de
Proposition :
Soient une fonction vectorielle, ses fonctions coordonnées et .
est continue en si et seulement si et sont continues en .
est continue sur si et seulement si et sont continues sur .
Définition : (dérivabilité)
Soient une fonction vectorielle et .
On dit que est dérivable en si et seulement si existe dans , dans ce cas, cette limite est notée et est appelée la dérivée deen .
On dit que est dérivable sur si et seulement si elle est dérivable en tout point de .
Proposition :
Soient une fonction vectorielle, ses fonctions coordonnées et .
est dérivable en si et seulement si et sont dérivables en , de plus dans ce cas : .
est dérivable sur si et seulement si et sont dérivables sur .
Définition: (fonction vectorielle dérivée)
Soit une fonction vectorielle dérivable sur .
On appelle dérivée de , la fonction vectorielle notée qui, à chaque , associe
Proposition :
Soient une fonction vectorielle dérivable sur et ses fonctions coordonnées.
On a alors : : où (resp. ) est la fonction dérivée de (resp. ).
Remarque : D'une manière analogue, on définit les dérivées successives et les fonctions vectorielles dérivées successives, ainsi que la classe d'une fonction vectorielle...
3. Courbe paramétrée
Définition :
Soit une fonction vectorielle de classe sur de fonctions cordonnées et ,on note .
On appelle courbe paramétrée (ou arc paramétré), et on note , la donnée du triplet .
est appelé domaine de définition de la courbe paramétrée , c'est l'intersection des domaines de définition de et .
Le couple est appelé paramétrage de la courbe .
est appelé support (ou trajectoire) de la courbe , c'est l'ensemble des points de cette dernière.
Définition :
Soit une courbe paramétrée de classe et soit . Le point de est dit :
Régulier si et seulement si .
Birégulier si et seulement si : est libre.
Stationnaire (ou singulier) si et seulement s'il n'est pas régulier.
II. Étude d'une courbe paramétrée
Dans cette partie, est une courbe paramétrée de classe .
1. Tangente en un point
Soit un point régulier et soit tel que : .
Alors, le vecteur : est un vecteur directeur de la droite .
Donc, lorsque , cette droite tend vers la droite passante par et dirigée par .
Définition :
Si est régulier. La droite passante par et dirigée par est appelée la tangente à la courbe paramétréeau point .
Proposition : (Tangentes particulières)
Soit un point régulier.
Si et , la courbe admet une tangente verticale en .
Si et , la courbe admet une tangente horizontale en .
Définition :
Un point de est dit particulier si :
2. Tableau de variation
Pour les valeurs de décrivant le domaine d'étude de la courbe paramétrée , on étudie (lorsque c'est possible) le signe des dérivées et .
Définition :
Comme pour les fonctions d'une seule variable, on présente les résultats d'étude des signes de et sous forme d'un tableau appelé tableau de variation de la courbe paramétrée , qui est constitué des deux tableaux de variations de et accolés.
3. Branches infinies
Définition :
Soit un élément de .
On dit que la courbe admet une branche infinie en lorsque : ou
Étude des branches infinies : Si et , alors on dit qu'il y a une asymptote horizontale d'équation .
Si et , alors on dit qu'il y a une asymptote verticale d'équation .
Si et , alors on étudie la limite en du rapport :
Si , on dit qu'il y a une branche parabolique dans la direction de l'axe .
Si , on dit qu'il y a une branche parabolique dans la direction de l'axe .
Si , on étudie la limite en de :
4. Étude au voisinage des points singuliers
Soit tel que est un point singulier. On se demande quel est l'aspect de la courbe au voisinage de ce point.
Soit le plus petit entier de tel que et soit q le plus petit entier tel que soit libre.
Au voisinage de , a l'allure suivante, selon les parités de et :
5. Plan d'étude d'une courbe paramétrée
1) Détermination du domaine de définition .
2) Branches infinies.
3) Dérivées et tableau de variation.
4) Points particuliers: tangentes verticales et horizontales, points singuliers.
5) Intersection avec les axes: détermination des qui vérifient : ou .
6) Représentation graphique.
6. Exemple
Tracer la courbe de représentation paramétrique :
1- Domaine de définition
2- Branches infinies Asymptote verticale quand :
et
Asymptote verticale d'équation :
Asymptote horizontale quand :
et
et
Asymptote horizontale d'équation : au voisinage de et de .
Asymptote d'équation quand :
et
3- Dérivées et tableau de variation :
:
4- Points particuliers Il n'y a pas de points singuliers, mais deux points à tangente verticale ( et ).
5- Intersection avec les axes Il n'y a qu'une seule intersection, en . Le point d'intersection est .
6- Graphique
Publié par Panter
le
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