Géométrie vectorielle euclidienne en dimension 2 et 3
Prérequis :
Espaces vectoriels euclidiens
On abrège dans ce cours :
Base orthonormée en b.o.n
Base orthonormée directe en b.o.n.d
0. Rappels : Orientation d'un espace vectoriel réel de dimension finie
Cette partie consiste à rappeler la notion d'orientation d'un
![\mathbb{R}-](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}-)
ev de dimension finie, pour plus de détailles, voir cours : "Déterminants"
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
désigne un
![\mathbb{R}-](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathbb{R}-)
espace vectoriel de dimension
![n\in\mathbb{N}^{*}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n\in\mathbb{N}^{*})
.
Définition :
Soient
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
et
![\mathcal{B}^{'}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B}^{'})
deux bases de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
.
On dit que la base
a même orientation que la base ![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
si et seulement si:
Sinon, on dit que
est d'orientation opposée à celle de
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
.
Définition :
Orienter
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
à partir du choix d'une base
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
c'est adopter le vocabulaire suivant :
Toute base de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
de même orientation que
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
est dite directe.
Toute base de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
d'orientation opposée à celle de
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
est dite indirecte.
La base
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
est dite
base orientée de référence.
Remarques :
Il n'y a que deux orientations possibles sur l'espace
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
. En effet l'ensemble des bases de
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
"se scinde" en deux sous-ensembles formés de bases qui sont de même orientation. Orienter
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
revient à choisir l'un de ces sous-ensembles et de qualifier de directes les bases de celui-ci et d'indirectes les bases de l'autre sous-ensemble.
L'espace
![E](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E)
ne possède pas d'orientation privilégiée a priori.
I. Géométrie vectorielle euclidienne plane (en dimension 2)
On note
![E_{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{2})
un espace vectoriel euclidien de dimension
orienté, et on note "
![.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?.)
" le produit scalaire sur
Rappel :
Soit
![n\in\mathbb{N}^{*}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n\in\mathbb{N}^{*})
.
L'ensemble des matrices orthogonales de
![\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}))
est noté
![\mathcal{O}_{n}(\mathbb{R})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{O}_{n}(\mathbb{R}))
, c'est un groupe pour la multiplication, appelé
groupe orthogonal d'ordre ![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
.
L'ensemble des matrices orthogonales
droites d'ordre
![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
(c'est-à-dire les matrices de
![\mathcal{O}_{n}(\mathbb{R})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{O}_{n}(\mathbb{R}))
de déterminant
![1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?1)
) est un sous-groupe de
![\mathcal{O}_{n}(\mathbb{R})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{O}_{n}(\mathbb{R}))
, appelé
groupe spécial orthogonal d'ordre ![n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n)
, noté
1. Étude des rotations
Proposition :
![\forall\theta,\theta^{'}\in\mathbb{R}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall\theta,\theta^{'}\in\mathbb{R})
:
Définition :
Soient
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
une b.o.n.d de
![E_{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{2})
et
![\theta \in \mathbb{R}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\theta \in \mathbb{R})
.
L'endomorphisme de
![E_{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{2})
dont la matrice dans
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
est
![R_{\theta}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?R_{\theta})
est appelé
la rotation d'angle ![\theta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\theta)
, et noté
Proposition-définition :
Soient
![u,v\in E_{2}-\lbrace 0 \rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u,v\in E_{2}-\lbrace 0 \rbrace)
,
![U= \dfrac{u}{||u||}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?U= \dfrac{u}{||u||})
et
Il existe
![\theta \in \mathbb{R}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\theta \in \mathbb{R})
, unique, modulo
![2\pi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?2\pi)
, tel que
![Rot_{\theta}(U)=V](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Rot_{\theta}(U)=V)
, ce réel
![\theta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\theta)
est appelé
l'angle de
et ![v](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?v)
, et noté
Remarque :
Attention, La notion d'angle orienté ne peut être introduite que dans un plan euclidien et celui-ci doit être préalablement orienté.
Exemples :
Pour tout vecteur non nul
![u](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u)
de
![E_{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{2})
, on a
![\widehat{(u,Rot_{\theta}(u))}=\theta [2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\widehat{(u,Rot_{\theta}(u))}=\theta [2\pi])
.
En particulier :
![\widehat{(u,u)}=0[2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\widehat{(u,u)}=0[2\pi])
et
![\widehat{(u,-u)}=\pi[2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\widehat{(u,-u)}=\pi[2\pi])
.
Définition :
Soit
![\mathcal{B}=(i,j)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B}=(i,j))
une b.o.n.d de
![E_{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{2})
.
Pour
![u\in E_{2}-\lbrace 0\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u\in E_{2}-\lbrace 0\rbrace)
, on appelle
angle polaire de
dans ![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
, l'angle
![\widehat{(i,u)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\widehat{(i,u)})
, défini modulo
![2\pi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?2\pi)
.
On appelle
angle polaire d'une droite vectorielle l'angle polaire d'un vecteur directeur de cette dernière, défini modulo
![\pi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\pi)
.
Proposition :
![\forall (u,v)\in (E_{2}-\lbrace 0\rbrace)^{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall (u,v)\in (E_{2}-\lbrace 0\rbrace)^{2})
:
Proposition :
![\forall (\theta,\theta^{'})\in\mathbb{R}^{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall (\theta,\theta^{'})\in\mathbb{R}^{2})
:
Proposition : (Relation de Chasles pour les angles)
![\forall u,v,w\in E_{2}-\lbrace 0\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall u,v,w\in E_{2}-\lbrace 0\rbrace)
:
2. Étude des réflexions
Proposition :
Soient
![\mathcal{B}=(i,j)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B}=(i,j))
une b.o.n.d de
![E_{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{2})
et
![\phi\in\mathbb{R}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\phi\in\mathbb{R})
.
L'endomorphisme de
![E_{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{2})
, dont la matrice par rapport à
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
est
![S_{\phi}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?S_{\phi})
, est la réflexion par rapport à la droite vectorielle
d'angle polaire ![\displaystyle\frac{\phi}{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle\frac{\phi}{2})
, et est noté
Proposition :
![\mathcal{O}(E_{2})-\mathcal{SO}(E_{2})=\lbrace Ref_{D} / D\in\mathcal{D}\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{O}(E_{2})-\mathcal{SO}(E_{2})=\lbrace Ref_{D} / D\in\mathcal{D}\rbrace)
où
![\mathcal{D}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{D})
est l'ensemble des droites vectorielles de
Proposition :
Toute rotation de
![E_{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{2})
est décomposable, en produit de deux réflexions. Plus précisément, pour toute rotation
![R](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?R)
de
![E_{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{2})
et toute réflexion S de
![E_{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{2})
, il existe une unique réflexion
![S^{'}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?S^{'})
de
![E_{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{2})
telle que :
II. Géométrie vectorielle euclidienne en dimension 3
On note
![E_{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{3})
un espace vectoriel euclidien orienté de dimension
![3](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?3)
, "
![.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?.)
" le produit scalaire sur
![E_{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{3})
.
Définitions :
Soient
![u\in E_{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u\in E_{3})
unitaire,
![\vec{\Delta}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\vec{\Delta})
l'axe dirigé et orienté par
![u](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u)
, et
![\theta \in \mathbb{R}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\theta \in \mathbb{R})
.
On appelle
rotation d'axe
et d'angle ![\theta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\theta)
, et on note
![Rot_{\vec{\Delta},\theta}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Rot_{\vec{\Delta},\theta})
, l'endomorphisme de
![E_{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{3})
dont la matrice dans une b.o.n.d
![(u,v,w)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(u,v,w))
, commençant par
![u](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u)
, est:
![\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&cos(\theta)&-sin(\theta)\\0&sin(\theta)&cos(\theta)\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&cos(\theta)&-sin(\theta)\\0&sin(\theta)&cos(\theta)\end{pmatrix})
.
On appelle
retournement de ![E_{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{3})
toute rotation de
![E_{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{3})
d'angle
![\pi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\pi)
(modulo
![2\pi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?2\pi)
).
Proposition :
Soient
![u\in E_{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u\in E_{3})
unitaire,
![\vec{\Delta}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\vec{\Delta})
l'axe dirigé et orienté par
![\forall \theta, \theta^{'} \in\mathbb{R}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall \theta, \theta^{'} \in\mathbb{R})
:
![Rot_{\vec{\Delta},\theta}=Rot_{\vec{\Delta},\theta^{'}}\Longleftrightarrow \theta = \theta^{'} [2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Rot_{\vec{\Delta},\theta}=Rot_{\vec{\Delta},\theta^{'}}\Longleftrightarrow \theta = \theta^{'} [2\pi])
.
![\forall \theta, \theta^{'} \in\mathbb{R}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall \theta, \theta^{'} \in\mathbb{R})
:
![Rot_{\vec{\Delta},\theta}oRot_{\vec{\Delta},\theta^{'}} = Rot_{\vec{\Delta},\theta+\theta^{'}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Rot_{\vec{\Delta},\theta}oRot_{\vec{\Delta},\theta^{'}} = Rot_{\vec{\Delta},\theta+\theta^{'}})
.
![\forall \theta, \in\mathbb{R}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall \theta, \in\mathbb{R})
:
1. Classification des endomorphismes orthogonaux de ![E_{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{3})
Théorème :
Soit
![f\in\mathcal{O}(E_{3})-\lbrace Id_{E_{3}} \rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f\in\mathcal{O}(E_{3})-\lbrace Id_{E_{3}} \rbrace)
.
Si
![det(f)=1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?det(f)=1)
, alors:
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est une rotation de
![E_{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{3})
.
Si
![det(f)=-1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?det(f)=-1)
, alors :
Détermination de la nature et des éléments caractéristiques d'un endomorphisme orthogonal de ![E_{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{3})
:
Soient
![A\in\mathcal{O}_{3}(\mathbb{R})-\lbrace I_{3} \rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A\in\mathcal{O}_{3}(\mathbb{R})-\lbrace I_{3} \rbrace)
,
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
l'endomorphisme orthogonal de
![E_{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{3})
représenté par
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
dans une b.o.n.d
![\mathcal{B}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{B})
de
![E_{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{3})
.
Supposons que
![det(A)=1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?det(A)=1)
:
Alors
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est une rotation de
![E_{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?E_{3})
.
1) La droite supportant l'axe
![\vec{\Delta}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\vec{\Delta}})
de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est l'ensemble des invariants de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
, obtenue en résolvant l'équation matricielle
![AX=X](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?AX=X)
, d'inconnue
2) On détermine l'angle
![\theta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\theta)
par:
![sin(\theta)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?sin(\theta))
est du signe du produit mixte
![[x,f(x),I]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[x,f(x),I])
pour n'importe quel
![x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x)
non colinéaire à
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
, où
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
est le vecteur normé dirigeant et orientant l'axe de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
.
Supposons que
Alors
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f )
est soit une réflexion , soit la composée d'une rotation et d'une réflexion.
a) Supposons que
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
est symétrique.
Puisque
![A^{2}=I_{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A^{2}=I_{3})
,
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est une symétrie orthogonale. Comme de plus
![det(A)=-1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?det(A)=-1)
, si
![A\not{=}-I_{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A\not{=}-I_{3})
, alors
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est une réflexion . Le plan de la réflexion
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est l'ensemble des invariants de
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
.
b) Supposons que
![A](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?A)
est non symétrique.
Alors
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est la composée commutative d'une rotation
![Rot_{\vec{\Delta},\theta}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Rot_{\vec{\Delta},\theta})
et d'une réflexion
![Ref_{P}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?Ref_{P})
par rapport au plan
![P](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P)
orthogonal à
![\vec{\Delta}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\vec{\Delta})
.
1) Les éléments de
![\vec{\Delta}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\vec{\Delta})
sont caractérisés par
2)
![\theta](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\theta)
est déterminé par:
![sin(\theta)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?sin(\theta))
est du signe du produit mixte
![[x,f(x),I]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[x,f(x),I])
pour n'importe quel
![x](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x)
non colinéaire à
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
, où
![I](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I)
est le vecteur normé dirigeant et orientant l'axe
![\vec{\Delta}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\vec{\Delta})
.
2. Produit vectoriel
Définition:
Soient
![u,v\in E_{3}-\lbrace 0\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u,v\in E_{3}-\lbrace 0\rbrace)
. On définit
l'angle de
et ![v](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?v)
, noté
![\widehat{(u,v)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\widehat{(u,v)})
, par:
![\begin{cases} \widehat{(u,v)}=0 \text{ si } \exists \alpha\in\mathbb{R}_{+}^{*} : v=\alpha u \\ \widehat{(u,v)}=\pi \text{ si } \exists \alpha\in\mathbb{R}_{-}^{*} : v=\alpha u \\ \widehat{(u,v)} \text{ est la valeur absolue de l'angle de l'angle de } u \text{ et } v \text{ compté dans } ]-\pi,\pi[ \\ \text{ dans le plan euclidien orienté par } u \text{ et } v \text{ si } (u,v) \text{ est libre }\end{cases}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{cases} \widehat{(u,v)}=0 \text{ si } \exists \alpha\in\mathbb{R}_{+}^{*} : v=\alpha u \\ \widehat{(u,v)}=\pi \text{ si } \exists \alpha\in\mathbb{R}_{-}^{*} : v=\alpha u \\ \widehat{(u,v)} \text{ est la valeur absolue de l'angle de l'angle de } u \text{ et } v \text{ compté dans } ]-\pi,\pi[ \\ \text{ dans le plan euclidien orienté par } u \text{ et } v \text{ si } (u,v) \text{ est libre }\end{cases})
.
Proposition :
![\forall (u,v)\in (E_{3}-\lbrace 0\rbrace)^{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall (u,v)\in (E_{3}-\lbrace 0\rbrace)^{2})
:
Proposition-définiton : (Produit vectoriel)
Soit
![(u,v)\in (E_{3})^{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(u,v)\in (E_{3})^{2})
. Il existe un élément unique
![x \text{ de } E_{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x \text{ de } E_{3})
tel que:
![\forall w\in E_{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall w\in E_{3})
:
Cet élément s'appelle
le produit vectoriel de
par ![v](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?v)
, et est noté
Remarque :
On a donc:
![\forall u,v,w\in E_{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall u,v,w\in E_{3})
:
Proposition :
Soit
![u,v \in E_{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u,v \in E_{3})
.
Si
![(u,v)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(u,v))
est libre, alors
![(u,v,u\wedge v)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(u,v,u\wedge v))
est une base directe de
Proposition :
Double produit vectoriel :
![\forall u,v,w\in E_{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall u,v,w\in E_{3})
:
Identité de Lagrange :
![\forall u,v\in E_{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall u,v\in E_{3})
:
![\forall u,v\in E_{3}-\lbrace 0\rbrace](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall u,v\in E_{3}-\lbrace 0\rbrace)
: