Fiche de mathématiques
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Géométrie vectorielle euclidienne en dimension 2 et 3

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Prérequis :
Espaces vectoriels euclidiens

On abrège dans ce cours :
Base orthonormée en b.o.n
Base orthonormée directe en b.o.n.d


0. Rappels : Orientation d'un espace vectoriel réel de dimension finie


Cette partie consiste à rappeler la notion d'orientation d'un \mathbb{R}-ev de dimension finie, pour plus de détailles, voir cours : "Déterminants"
E désigne un \mathbb{R}-espace vectoriel de dimension n\in\mathbb{N}^{*}.
Définition :
Soient \mathcal{B} et \mathcal{B}^{'} deux bases de E.
On dit que la base \mathcal{B}^{'} a même orientation que la base \mathcal{B} si et seulement si: det_{\mathcal{B}}\mathcal{B}^{'}>0
Sinon, on dit que \mathcal{B}^{'} est d'orientation opposée à celle de \mathcal{B}.


Définition :
Orienter E à partir du choix d'une base \mathcal{B} c'est adopter le vocabulaire suivant :
Toute base de E de même orientation que \mathcal{B} est dite directe.
Toute base de E d'orientation opposée à celle de \mathcal{B} est dite indirecte.
La base \mathcal{B} est dite base orientée de référence.


Remarques :
Il n'y a que deux orientations possibles sur l'espace E. En effet l'ensemble des bases de E "se scinde" en deux sous-ensembles formés de bases qui sont de même orientation. Orienter E revient à choisir l'un de ces sous-ensembles et de qualifier de directes les bases de celui-ci et d'indirectes les bases de l'autre sous-ensemble.
L'espace E ne possède pas d'orientation privilégiée a priori.


I. Géométrie vectorielle euclidienne plane (en dimension 2)


On note E_{2} un espace vectoriel euclidien de dimension 2 orienté, et on note "." le produit scalaire sur E_{2}
Rappel :
Soit n\in\mathbb{N}^{*}.
L'ensemble des matrices orthogonales de \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) est noté \mathcal{O}_{n}(\mathbb{R}), c'est un groupe pour la multiplication, appelé groupe orthogonal d'ordre n.
L'ensemble des matrices orthogonales droites d'ordre n (c'est-à-dire les matrices de \mathcal{O}_{n}(\mathbb{R}) de déterminant 1) est un sous-groupe de \mathcal{O}_{n}(\mathbb{R}), appelé groupe spécial orthogonal d'ordre n, noté \mathcal{SO}_{n}(\mathbb{R})


Proposition :
\begin{cases}\mathcal{O}_{2}(\mathbb{R})=\lbrace R_{\theta} / \theta \in \mathbb{R} \rbrace \cup \lbrace S_{\phi} / \phi \in \mathbb{R} \rbrace  \\ \mathcal{SO}_{2}(\mathbb{R})=\lbrace R_{\theta} / \theta \in \mathbb{R} \rbrace \end{cases} où : R_{\theta}=\begin{pmatrix} cos(\theta) &-sin(\theta) \\sin(\theta) & cos(\theta) \end{pmatrix} et S_{\phi}=\begin{pmatrix} cos(\phi) &sin(\phi) \\sin(\phi) & -cos(\phi) \end{pmatrix}




1. Étude des rotations

Proposition :
\forall\theta,\theta^{'}\in\mathbb{R} : \begin{cases} R(\theta)=R(\theta^{'})\Longleftrightarrow \theta=\theta^{'} [2\pi]\\ R(\theta)R(\theta^{'})=R(\theta+\theta^{'})=R(\theta^{'})R(\theta)\\ R(\theta)^{-1}=^{t}R(\theta)=R(-\theta) \end{cases}


Définition :
Soient \mathcal{B} une b.o.n.d de E_{2} et \theta \in \mathbb{R}.
L'endomorphisme de E_{2} dont la matrice dans \mathcal{B} est R_{\theta} est appelé la rotation d'angle \theta , et noté Rot_{\theta}


Proposition-définition :
Soient u,v\in E_{2}-\lbrace 0 \rbrace, U= \dfrac{u}{||u||} et V= \dfrac{v}{||v||}
Il existe \theta \in \mathbb{R}, unique, modulo 2\pi, tel que Rot_{\theta}(U)=V, ce réel \theta est appelé l'angle de u et v, et noté \widehat{(u,v)}


Remarque :
Attention, La notion d'angle orienté ne peut être introduite que dans un plan euclidien et celui-ci doit être préalablement orienté.

Exemples :
Pour tout vecteur non nul u de E_{2}, on a \widehat{(u,Rot_{\theta}(u))}=\theta [2\pi].
En particulier : \widehat{(u,u)}=0[2\pi] et \widehat{(u,-u)}=\pi[2\pi].
Définition :
Soit \mathcal{B}=(i,j) une b.o.n.d de E_{2}.
Pour u\in E_{2}-\lbrace 0\rbrace, on appelle angle polaire de u dans \mathcal{B}, l'angle \widehat{(i,u)}, défini modulo 2\pi.
On appelle angle polaire d'une droite vectorielle l'angle polaire d'un vecteur directeur de cette dernière, défini modulo \pi.


Proposition :
\forall (u,v)\in (E_{2}-\lbrace 0\rbrace)^{2} : u.v=||u|| ||v|| cos\widehat{(u,v)}


Proposition :
\forall (\theta,\theta^{'})\in\mathbb{R}^{2} : \begin{cases}Rot_{\theta}o Rot_{\theta^{'}}=Rot_{\theta+\theta^{'}}\\ Rot_{\theta}=Rot_{\theta^{'}}\Longleftrightarrow \theta=\theta^{'} [2\pi]\end{cases}


Proposition : (Relation de Chasles pour les angles)
\forall u,v,w\in E_{2}-\lbrace 0\rbrace : \widehat{(u,w)}=\widehat{(u,v)}+\widehat{(v,w)} [2\pi]




2. Étude des réflexions

Proposition :
Soient \mathcal{B}=(i,j) une b.o.n.d de E_{2} et \phi\in\mathbb{R}.
L'endomorphisme de E_{2}, dont la matrice par rapport à \mathcal{B} est S_{\phi}, est la réflexion par rapport à la droite vectorielle D d'angle polaire \displaystyle\frac{\phi}{2}, et est noté Ref_{D}


Proposition :
\mathcal{O}(E_{2})-\mathcal{SO}(E_{2})=\lbrace Ref_{D} / D\in\mathcal{D}\rbrace\mathcal{D} est l'ensemble des droites vectorielles de E_{2}


Proposition :
Toute rotation de E_{2} est décomposable, en produit de deux réflexions. Plus précisément, pour toute rotation R de E_{2} et toute réflexion S de E_{2}, il existe une unique réflexion S^{'} de E_{2} telle que : R=S^{'}oS




II. Géométrie vectorielle euclidienne en dimension 3


On note E_{3} un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3, "." le produit scalaire sur E_{3}.
Définitions :
Soient u\in E_{3} unitaire, \vec{\Delta} l'axe dirigé et orienté par u, et \theta \in \mathbb{R}.
On appelle rotation d'axe \vec{\Delta} et d'angle \theta, et on note Rot_{\vec{\Delta},\theta}, l'endomorphisme de E_{3} dont la matrice dans une b.o.n.d (u,v,w), commençant par u, est: \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&cos(\theta)&-sin(\theta)\\0&sin(\theta)&cos(\theta)\end{pmatrix}.
On appelle retournement de E_{3} toute rotation de E_{3} d'angle \pi (modulo 2\pi).


Proposition :
Soient u\in E_{3} unitaire, \vec{\Delta} l'axe dirigé et orienté par u
\forall \theta, \theta^{'} \in\mathbb{R} : Rot_{\vec{\Delta},\theta}=Rot_{\vec{\Delta},\theta^{'}}\Longleftrightarrow \theta = \theta^{'} [2\pi].
\forall \theta, \theta^{'} \in\mathbb{R} : Rot_{\vec{\Delta},\theta}oRot_{\vec{\Delta},\theta^{'}} = Rot_{\vec{\Delta},\theta+\theta^{'}}.
\forall \theta, \in\mathbb{R} :  Rot^{-1}_{\vec{\Delta},\theta}=Rot_{\vec{\Delta},-\theta}.




1. Classification des endomorphismes orthogonaux de E_{3}

Théorème :
Soit f\in\mathcal{O}(E_{3})-\lbrace Id_{E_{3}} \rbrace.
Si det(f)=1 , alors: f est une rotation de E_{3}.
Si det(f)=-1 , alors : \begin{cases} \text{ ou bien } f \text{ est une réflexion de } E_{3} \\ \text{ ou bien } f \text{ est la composée d'une rotation de } E_{3} \\ \text{ et de la réflexion par rapport au plan orthogonal à l'axe de cette rotation }\end{cases}


Détermination de la nature et des éléments caractéristiques d'un endomorphisme orthogonal de E_{3} :
Soient A\in\mathcal{O}_{3}(\mathbb{R})-\lbrace I_{3} \rbrace , f l'endomorphisme orthogonal de E_{3} représenté par A dans une b.o.n.d \mathcal{B} de E_{3}.

Supposons que det(A)=1:
Alors f est une rotation de E_{3}.
1) La droite supportant l'axe \vec{\Delta}} de f est l'ensemble des invariants de f, obtenue en résolvant l'équation matricielle AX=X, d'inconnue X\in\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})
2) On détermine l'angle \theta par:
\bullet tr(A)=1+2cos(\theta)
\bullet sin(\theta) est du signe du produit mixte [x,f(x),I] pour n'importe quel x non colinéaire à I, où I est le vecteur normé dirigeant et orientant l'axe de f.

Supposons que det(A)=-1
Alors f est soit une réflexion , soit la composée d'une rotation et d'une réflexion.
a) Supposons que A est symétrique.
Puisque A^{2}=I_{3}, f est une symétrie orthogonale. Comme de plus det(A)=-1, si A\not{=}-I_{3}, alors f est une réflexion . Le plan de la réflexion f est l'ensemble des invariants de f.
b) Supposons que A est non symétrique.
Alors f est la composée commutative d'une rotation Rot_{\vec{\Delta},\theta} et d'une réflexion Ref_{P} par rapport au plan P orthogonal à \vec{\Delta}.
1) Les éléments de \vec{\Delta} sont caractérisés par AX=-X
2) \theta est déterminé par:
\bullet tr(A)=1+2cos(\theta)
\bullet sin(\theta) est du signe du produit mixte [x,f(x),I] pour n'importe quel x non colinéaire à I, où I est le vecteur normé dirigeant et orientant l'axe \vec{\Delta}.


2. Produit vectoriel

Définition:
Soient u,v\in E_{3}-\lbrace 0\rbrace. On définit l'angle de u et v, noté \widehat{(u,v)}, par:
\begin{cases} \widehat{(u,v)}=0 \text{ si } \exists \alpha\in\mathbb{R}_{+}^{*} : v=\alpha u \\ \widehat{(u,v)}=\pi \text{ si } \exists \alpha\in\mathbb{R}_{-}^{*} : v=\alpha u \\ \widehat{(u,v)} \text{ est la valeur absolue de l'angle de l'angle de } u \text{ et } v \text{ compté dans } ]-\pi,\pi[ \\ \text{ dans le plan euclidien orienté par } u \text{ et } v \text{ si } (u,v) \text{ est libre }\end{cases}.


Proposition :
\forall (u,v)\in (E_{3}-\lbrace 0\rbrace)^{2} : u.v=||u|| ||v|| cos\widehat{(u,v)}


Proposition-définiton : (Produit vectoriel)
Soit (u,v)\in (E_{3})^{2}. Il existe un élément unique x \text{ de } E_{3} tel que: \forall w\in E_{3} : [u,v,w]=x.w
Cet élément s'appelle le produit vectoriel de u par v, et est noté u\wedge v


Remarque :
On a donc: \forall u,v,w\in E_{3} : [u,v,w]= (u\wedge v).w
Proposition :
\forall u,v\in E_{3} : (u\wedge v =0 \Longleftrightarrow (u,v) \text{ lié })
\forall u,v\in E_{3} : u\wedge v \perp u  \text{ et } u\wedge v \perp v


Proposition :
Soit u,v \in E_{3}.
Si (u,v) est libre, alors (u,v,u\wedge v) est une base directe de E_{3}


Proposition :
Double produit vectoriel : \forall u,v,w\in E_{3} : u\wedge (v\wedge w)=(u.w).v-(u.v).w
Identité de Lagrange : \forall u,v\in E_{3} : ||u\wedge v||^{2}+(u.v)^{2} = ||u||^{2} ||v||^{2}
\forall u,v\in E_{3}-\lbrace 0\rbrace : ||u\wedge v||= ||u|| ||v|| |sin\widehat{(u,v)}|

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