Fiche de mathématiques

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Géométrie vectorielle euclidienne en dimension 2 et 3

Prérequis :
Espaces vectoriels euclidiens

On abrège dans ce cours :
Base orthonormée en b.o.n
Base orthonormée directe en b.o.n.d

0. Rappels : Orientation d'un espace vectoriel réel de dimension finie

Cette partie consiste à rappeler la notion d'orientation d'un $\mathbb{R}-$ ev de dimension finie, pour plus de détailles, voir cours : "Déterminants"
$E$ désigne un $\mathbb{R}-$ espace vectoriel de dimension $n\in\mathbb{N}^{*}$ .

Définition :

Soient $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}^{'}$ deux bases de $E$ .
On dit que la base $\mathcal{B}^{'}$ a même orientation que la base $\mathcal{B}$ si et seulement si: $det_{\mathcal{B}}\mathcal{B}^{'}>0$
Sinon, on dit que $\mathcal{B}^{'}$ est d'orientation opposée à celle de $\mathcal{B}$ .

Définition :

Orienter $E$ à partir du choix d'une base $\mathcal{B}$ c'est adopter le vocabulaire suivant :
Toute base de $E$ de même orientation que $\mathcal{B}$ est dite directe.
Toute base de $E$ d'orientation opposée à celle de $\mathcal{B}$ est dite indirecte.
La base $\mathcal{B}$ est dite base orientée de référence.

Remarques :
Il n'y a que deux orientations possibles sur l'espace $E$ . En effet l'ensemble des bases de $E$ "se scinde" en deux sous-ensembles formés de bases qui sont de même orientation. Orienter $E$ revient à choisir l'un de ces sous-ensembles et de qualifier de directes les bases de celui-ci et d'indirectes les bases de l'autre sous-ensemble.
L'espace $E$ ne possède pas d'orientation privilégiée a priori.

I. Géométrie vectorielle euclidienne plane (en dimension 2)

On note $E_{2}$ un espace vectoriel euclidien de dimension $2$ orienté, et on note " $.$ " le produit scalaire sur $E_{2}$

Rappel :

Soit $n\in\mathbb{N}^{*}$ .
L'ensemble des matrices orthogonales de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ est noté $\mathcal{O}_{n}(\mathbb{R})$ , c'est un groupe pour la multiplication, appelé groupe orthogonal d'ordre $n$ .
L'ensemble des matrices orthogonales droites d'ordre $n$ (c'est-à-dire les matrices de $\mathcal{O}_{n}(\mathbb{R})$ de déterminant $1$ ) est un sous-groupe de $\mathcal{O}_{n}(\mathbb{R})$ , appelé groupe spécial orthogonal d'ordre $n$ , noté $\mathcal{SO}_{n}(\mathbb{R})$

Proposition :

$\begin{cases}\mathcal{O}_{2}(\mathbb{R})=\lbrace R_{\theta} / \theta \in \mathbb{R} \rbrace \cup \lbrace S_{\phi} / \phi \in \mathbb{R} \rbrace \\ \mathcal{SO}_{2}(\mathbb{R})=\lbrace R_{\theta} / \theta \in \mathbb{R} \rbrace \end{cases}$ où : $R_{\theta}=\begin{pmatrix} cos(\theta) &-sin(\theta) \\sin(\theta) & cos(\theta) \end{pmatrix}$ et $S_{\phi}=\begin{pmatrix} cos(\phi) &sin(\phi) \\sin(\phi) & -cos(\phi) \end{pmatrix}$

1. Étude des rotations

Proposition :

$\forall\theta,\theta^{'}\in\mathbb{R}$ : $\begin{cases} R(\theta)=R(\theta^{'})\Longleftrightarrow \theta=\theta^{'} [2\pi]\\ R(\theta)R(\theta^{'})=R(\theta+\theta^{'})=R(\theta^{'})R(\theta)\\ R(\theta)^{-1}=^{t}R(\theta)=R(-\theta) \end{cases}$

Définition :

Soient $\mathcal{B}$ une b.o.n.d de $E_{2}$ et $\theta \in \mathbb{R}$ .
L'endomorphisme de $E_{2}$ dont la matrice dans $\mathcal{B}$ est $R_{\theta}$ est appelé la rotation d'angle $\theta$ , et noté $Rot_{\theta}$

Proposition-définition :

Soient $u,v\in E_{2}-\lbrace 0 \rbrace$ , $U= \dfrac{u}{||u||}$ et $V= \dfrac{v}{||v||}$
Il existe $\theta \in \mathbb{R}$ , unique, modulo $2\pi$ , tel que $Rot_{\theta}(U)=V$ , ce réel $\theta$ est appelé l'angle de $u$ et $v$ , et noté $\widehat{(u,v)}$

Remarque :
Attention, La notion d'angle orienté ne peut être introduite que dans un plan euclidien et celui-ci doit être préalablement orienté.

Exemples :
Pour tout vecteur non nul $u$ de $E_{2}$ , on a $\widehat{(u,Rot_{\theta}(u))}=\theta [2\pi]$ .
En particulier : $\widehat{(u,u)}=0[2\pi]$ et $\widehat{(u,-u)}=\pi[2\pi]$ .

Définition :

Soit $\mathcal{B}=(i,j)$ une b.o.n.d de $E_{2}$ .
Pour $u\in E_{2}-\lbrace 0\rbrace$ , on appelle angle polaire de $u$ dans $\mathcal{B}$ , l'angle $\widehat{(i,u)}$ , défini modulo $2\pi$ .
On appelle angle polaire d'une droite vectorielle l'angle polaire d'un vecteur directeur de cette dernière, défini modulo $\pi$ .

Proposition :

$\forall (u,v)\in (E_{2}-\lbrace 0\rbrace)^{2}$ : $u.v=||u|| ||v|| cos\widehat{(u,v)}$

Proposition :

$\forall (\theta,\theta^{'})\in\mathbb{R}^{2}$ : $\begin{cases}Rot_{\theta}o Rot_{\theta^{'}}=Rot_{\theta+\theta^{'}}\\ Rot_{\theta}=Rot_{\theta^{'}}\Longleftrightarrow \theta=\theta^{'} [2\pi]\end{cases}$

Proposition : (Relation de Chasles pour les angles)

$\forall u,v,w\in E_{2}-\lbrace 0\rbrace$ : $\widehat{(u,w)}=\widehat{(u,v)}+\widehat{(v,w)} [2\pi]$

2. Étude des réflexions

Proposition :

Soient $\mathcal{B}=(i,j)$ une b.o.n.d de $E_{2}$ et $\phi\in\mathbb{R}$ .
L'endomorphisme de $E_{2}$ , dont la matrice par rapport à $\mathcal{B}$ est $S_{\phi}$ , est la réflexion par rapport à la droite vectorielle $D$ d'angle polaire $\displaystyle\frac{\phi}{2}$ , et est noté $Ref_{D}$

Proposition :

$\mathcal{O}(E_{2})-\mathcal{SO}(E_{2})=\lbrace Ref_{D} / D\in\mathcal{D}\rbrace$ où $\mathcal{D}$ est l'ensemble des droites vectorielles de $E_{2}$

Proposition :

Toute rotation de $E_{2}$ est décomposable, en produit de deux réflexions. Plus précisément, pour toute rotation $R$ de $E_{2}$ et toute réflexion S de $E_{2}$ , il existe une unique réflexion $S^{'}$ de $E_{2}$ telle que : $R=S^{'}oS$

II. Géométrie vectorielle euclidienne en dimension 3

On note $E_{3}$ un espace vectoriel euclidien orienté de dimension $3$ , " $.$ " le produit scalaire sur $E_{3}$ .

Définitions :

Soient $u\in E_{3}$ unitaire, $\vec{\Delta}$ l'axe dirigé et orienté par $u$ , et $\theta \in \mathbb{R}$ .
On appelle rotation d'axe $\vec{\Delta}$ et d'angle $\theta$ , et on note $Rot_{\vec{\Delta},\theta}$ , l'endomorphisme de $E_{3}$ dont la matrice dans une b.o.n.d $(u,v,w)$ , commençant par $u$ , est: $\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&cos(\theta)&-sin(\theta)\\0&sin(\theta)&cos(\theta)\end{pmatrix}$ .
On appelle retournement de $E_{3}$ toute rotation de $E_{3}$ d'angle $\pi$ (modulo $2\pi$ ).

Proposition :

Soient $u\in E_{3}$ unitaire, $\vec{\Delta}$ l'axe dirigé et orienté par $u$
$\forall \theta, \theta^{'} \in\mathbb{R}$ : $Rot_{\vec{\Delta},\theta}=Rot_{\vec{\Delta},\theta^{'}}\Longleftrightarrow \theta = \theta^{'} [2\pi]$ .
$\forall \theta, \theta^{'} \in\mathbb{R}$ : $Rot_{\vec{\Delta},\theta}oRot_{\vec{\Delta},\theta^{'}} = Rot_{\vec{\Delta},\theta+\theta^{'}}$ .
$\forall \theta, \in\mathbb{R}$ : $Rot^{-1}_{\vec{\Delta},\theta}=Rot_{\vec{\Delta},-\theta}.$

1. Classification des endomorphismes orthogonaux de $E_{3}$

Théorème :

Soit $f\in\mathcal{O}(E_{3})-\lbrace Id_{E_{3}} \rbrace$ .
Si $det(f)=1$ , alors: $f$ est une rotation de $E_{3}$ .
Si $det(f)=-1$ , alors : $\begin{cases} \text{ ou bien } f \text{ est une réflexion de } E_{3} \\ \text{ ou bien } f \text{ est la composée d'une rotation de } E_{3} \\ \text{ et de la réflexion par rapport au plan orthogonal à l'axe de cette rotation }\end{cases}$

Détermination de la nature et des éléments caractéristiques d'un endomorphisme orthogonal de $E_{3}$ :
Soient $A\in\mathcal{O}_{3}(\mathbb{R})-\lbrace I_{3} \rbrace$ , $f$ l'endomorphisme orthogonal de $E_{3}$ représenté par $A$ dans une b.o.n.d $\mathcal{B}$ de $E_{3}$ .

Supposons que $det(A)=1$ :
Alors $f$ est une rotation de $E_{3}$ .
1) La droite supportant l'axe $\vec{\Delta}}$ de $f$ est l'ensemble des invariants de $f$ , obtenue en résolvant l'équation matricielle $AX=X$ , d'inconnue $X\in\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$
2) On détermine l'angle $\theta$ par:
$\bullet$ $tr(A)=1+2cos(\theta)$
$\bullet$ $sin(\theta)$ est du signe du produit mixte $[x,f(x),I]$ pour n'importe quel $x$ non colinéaire à $I$ , où $I$ est le vecteur normé dirigeant et orientant l'axe de $f$ .

Supposons que $det(A)=-1$
Alors $f$ est soit une réflexion , soit la composée d'une rotation et d'une réflexion.
a) Supposons que $A$ est symétrique.
Puisque $A^{2}=I_{3}$ , $f$ est une symétrie orthogonale. Comme de plus $det(A)=-1$ , si $A\not{=}-I_{3}$ , alors $f$ est une réflexion . Le plan de la réflexion $f$ est l'ensemble des invariants de $f$ .
b) Supposons que $A$ est non symétrique.
Alors $f$ est la composée commutative d'une rotation $Rot_{\vec{\Delta},\theta}$ et d'une réflexion $Ref_{P}$ par rapport au plan $P$ orthogonal à $\vec{\Delta}$ .
1) Les éléments de $\vec{\Delta}$ sont caractérisés par $AX=-X$
2) $\theta$ est déterminé par:
$\bullet$ $tr(A)=1+2cos(\theta)$
$\bullet$ $sin(\theta)$ est du signe du produit mixte $[x,f(x),I]$ pour n'importe quel $x$ non colinéaire à $I$ , où $I$ est le vecteur normé dirigeant et orientant l'axe $\vec{\Delta}$ .

2. Produit vectoriel

Définition:

Soient $u,v\in E_{3}-\lbrace 0\rbrace$ . On définit l'angle de $u$ et $v$ , noté $\widehat{(u,v)}$ , par:
$\begin{cases} \widehat{(u,v)}=0 \text{ si } \exists \alpha\in\mathbb{R}_{+}^{*} : v=\alpha u \\ \widehat{(u,v)}=\pi \text{ si } \exists \alpha\in\mathbb{R}_{-}^{*} : v=\alpha u \\ \widehat{(u,v)} \text{ est la valeur absolue de l'angle de l'angle de } u \text{ et } v \text{ compté dans } ]-\pi,\pi[ \\ \text{ dans le plan euclidien orienté par } u \text{ et } v \text{ si } (u,v) \text{ est libre }\end{cases}$ .

Proposition :

$\forall (u,v)\in (E_{3}-\lbrace 0\rbrace)^{2}$ : $u.v=||u|| ||v|| cos\widehat{(u,v)}$

Proposition-définiton : (Produit vectoriel)

Soit $(u,v)\in (E_{3})^{2}$ . Il existe un élément unique $x \text{ de } E_{3}$ tel que: $\forall w\in E_{3}$ : $[u,v,w]=x.w$
Cet élément s'appelle le produit vectoriel de $u$ par $v$ , et est noté $u\wedge v$

Remarque :
On a donc: $\forall u,v,w\in E_{3}$ : $[u,v,w]= (u\wedge v).w$

Proposition :

$\forall u,v\in E_{3}$ : $(u\wedge v =0 \Longleftrightarrow (u,v) \text{ lié })$
$\forall u,v\in E_{3}$ : $u\wedge v \perp u \text{ et } u\wedge v \perp v$

Proposition :

Soit $u,v \in E_{3}$ .
Si $(u,v)$ est libre, alors $(u,v,u\wedge v)$ est une base directe de $E_{3}$

Proposition :

Double produit vectoriel : $\forall u,v,w\in E_{3}$ : $u\wedge (v\wedge w)=(u.w).v-(u.v).w$
Identité de Lagrange : $\forall u,v\in E_{3}$ : $||u\wedge v||^{2}+(u.v)^{2} = ||u||^{2} ||v||^{2}$
$\forall u,v\in E_{3}-\lbrace 0\rbrace$ : $||u\wedge v||= ||u|| ||v|| |sin\widehat{(u,v)}|$

Publié par Panter le 30-11--0001

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