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Espaces affines

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I. Définitions et notations

Soient \cal E un ensemble et E un espace vectoriel réel. Une structure d'espace affine sur \cal E de direction E est une opération du groupe additif de E sur l'ensemble \cal E qui vérifie un axiome supplémentaire. Les éléments de \cal E sont appelés les points et sont notés par des majuscules. Les éléments de E sont des vecteurs et sont notés par des lettres surmontées de flèches. Par exemple, l'élément neutre de l'addition de E est noté \overrightarrow{0}. L'opération est notée +. Ceci signifie que pour tout (A \, , \, \vec v) \in {\cal E} \times E, on a défini un élément A + \vec v \in{\cal E}. Cette opération vérifie d'abord les axiomes usuels
      (i) (\forall A \in {\cal E}) \: A + \overrightarrow{0} = A
      (ii) \left(\forall A \in \cal{E}\right) \, (\forall (\overrightarrow{v} \, , \, \overrightarrow{w}) \in E^2) \; A + (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = (A + \vec v) + \vec w
et on impose en plus
      (iii) (\forall (A \, , \, B) \in {\cal E}^2) \; (\exists ! \overrightarrow{v} \in E) \; A + \overrightarrow{v} = B
L'unique vecteur \overrightarrow{v} tel que A + \overrightarrow{v} \, = \, B est noté \overrightarrow{AB}.
Soit \overrightarrow{v} \in E. L'application t_{\vec v} \: : \: {\cal{E}} \to {\cal{E}} définie par t_{\vec v}(A) \: = \: A + \overrightarrow{v} est appelée la translation de vecteur \overrightarrow{v}. Les translations sont bijectives et vérifient pour \overrightarrow{v} et \overrightarrow{w} vecteurs de E,
t_{\overrightarrow{v}} \circ t_{\overrightarrow{w}} = t_{\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}} = t_{\overrightarrow{w}} \circ t_{\overrightarrow{v}} \hspace{25pt} t_{\overrightarrow{0}} = Id_{\cal{E}} \hspace{25pt} t_{\overrightarrow{v}}^{-1} = t_{-\overrightarrow{v}}

Si E est de dimension finie n, on dit que l'espace affine \cal{E} est de dimension n et on ecrit \dim{\cal{E}} = n.
Un espace vectoriel E est muni naturellement d'une structure affine de direction E en le faisant opérer sur lui-même par sa propre addition. Ainsi, sur \mathbb{R}^n il existe une structure standard d'espace affine de direction \mathbb{R}^n mais il faut être conscient du fait qu'un élément de \mathbb{R}^n est parfois regardé comme un point et parfois comme un vecteur.
Règles de calcul :

Dans un espace affine \cal{E} de direction E, on a
(\forall (A \, , \, B \, , \, C) \in{\cal{E}}^3) \: \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} (relation de Chasles)
(\forall A \in {\cal{E}}) \; \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0} \: \text{ et } \: (\forall (A \, , \,B) \in{\cal{E}}^2) \: \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}
(\forall (A \, , \, B \, , \, C \, , \, D) \in {\cal{E}}^4) \: (\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \Longleftrightarrow \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}) (règle du parallélogramme)

Soit \cal{E}, un espace affine de dimension n et de direction E.
Si \left(\overrightarrow{e_1} \, , \, \cdots \, , \, \overrightarrow{e_n}\right) est une base de E et si A est un point de \cal{E}, pour tout point M \: \in \cal{E}, il existe une et une seule famille \left(x_1 \, , \, \cdots \, , \ x_n\right) \in \mathbb{R}^n telle que
M = A + x_1 \overrightarrow{e_1} + \cdots + x_n \overrightarrow{e_n}

On dit que \left(A \, , \, \overrightarrow{e_1} \, , \, \cdots \, , \, \overrightarrow{e_n}\right) est un repère cartésien de \cal{E} et que x_1 \, , \, \cdots \, , \ x_n sont les coordonnées cartésiennes de M dans le repère \left(A \, , \, \overrightarrow{e_1} \, , \, \cdots \, , \, \overrightarrow{e_n}\right).
On dit que des points A_0 \, , \, \cdots \, , \, A_n forment un repère affine de \cal{E} si et seulement si (A_0 \, , \, \overrightarrow{A_0A_1} \, , \, \cdots \, , \, \overrightarrow{A_0A_n}) est un repère cartésien de {\cal{E}}. Si c'est le cas, tout point M s'écrit de manière unique
M = A_0 + x_1 \overrightarrow{A_0A_1} + \cdots + x_n \overrightarrow{A_0A_n}

Si \left(A_0 \, , \, \cdots \, , \, A_n\right) est un repère affine de \cal{E} et si \sigma est une permutation de \lbrace 0 \, , \, \cdots \, , \, n \rbrace , alors \left(A_{\sigma(0)} \, , \, \cdots \, , \, A_{\sigma(n)}\right) est encore un repère affine de {\cal{E}}.
Un point pondéré de \cal{E} est un couple (A \, , \, t) \in \cal{E} \times \mathbb{R}. Soient \left(A_1 \, , \, t_1\right) \, \cdots \, \left(A_m \, , \, t_m\right) des points pondérés tels que t_1 + \cdots + t_m \neq 0. Alors il existe un et un seul point G \in \cal{E} tel que
t_1 \overrightarrow{GA_1} + \cdots + t_m\overrightarrow{GA_m} = \overrightarrow{0}.
Le point G est le barycentre de la famille \left(A_1 \, , \, t_1\right) \, \cdots \, \left(A_m \, , \, t_m\right). On le note
G = bar\left(\left(A_1 \, , \, t_1\right) \, , \, \cdots \, , \, \left(A_m \, , \, t_m\right)\right)
et on a pour tout M \in \cal{E}
\overrightarrow{MG} = \frac{t_1}{t_1 + \cdots + t_m} \overrightarrow{MA_1} + \cdots + \frac{t_m}{t_1 + \cdots + t_m}\overrightarrow{MA_m}
Il est clair que si on remplace t_1 \, , \, \cdots \, , \, t_m par ut_1 \, , \, \cdots \, , \, ut_mu \in \mathbb{R}^*, on ne change pas le point G. On peut donc éventuellement choisir t_1 \, , \, \cdots \, , \, t_m de manière à ce que t_1 + \cdots + t_m = 1. Si t_1 = \cdots = t_m \neq 0, on dit que G est l'isobarycentre des points A_1 \, , \, \cdots \, , \, A_m.

Soit \left(A_0 \, , \, \cdots \, , \, A_n\right) un repère affine. Pour chaque point M \in \cal{E}, il existe une famille unique \left(t_0 \, , \, \cdots \, , \, t_n\right) \in \mathbb{R}^{n+1} telle que t_0 + \cdots + t_n = 1 et que M soit le barycentre de la famille de points pondérés \left(A_0 \, , \, t_0\right) \, , \, \cdots \, , \, \left(A_n \, , \, t_n\right). On a donc
t_0 \overrightarrow{MA_0} + \cdots + t_n \overrightarrow{MA_n} = \overrightarrow{0}
Les réels t_0 \, , \, \cdots \, , \, t_n sont les coordonnées barycentriques du point M dans le repère affine \left(A_0 \, , \, \cdots \, , \, A_n\right).
Associativité des barycentres :

On donne pour 1 \leq i \leq m des familles de points pondérés \left(A_{1,i} \, , \, t_{1,i}) \, , \, \cdots \, , \, (A_{k_i,i} \, , \, t_{k_i,i}\right) telles que t_{1,i} + \cdots + t_{k_i,i} \neq 0 ; pour chaque i on pose
G_i = bar\left((A_{1,i} \, , \, t_{1,i}) \, , \, \cdots \, , \, (A_{k_i,i},t_{k_i,i})\right) \hspace{20pt} \text{ et } \hspace{20pt} u_i = t_{1,i} + \cdots + t_{k_i,i}
Alors, si u_1 + \cdots + u_m \neq 0, le barycentre de la famille (G_1,u_1) \, , \, \cdots \, , \, (G_m,u_m) est égal au barycentre de la famille
(A_{1,1},t_{1,1}) \, , \, \cdots \, , \, (A_{k_1,1},t_{k_1,1}) \, , \, \cdots \, , \, (A_{1,2},t_{1,2}) \, , \, \cdots \, , \, (A_{1,m},t_{1,m}) \, , \, \cdots,(A_{k_m,m},t_{k_m,m})



II. Sous-espaces affines

Soient \cal{E} un espace affine de dimension n et de direction E et \cal{F} une partie de \cal{E}. Pour chaque A \in \cal{F} on pose F_A = \lbrace \overrightarrow{v} \in E \mid A + \overrightarrow{v} \in \cal{F}\rbrace .
S'il existe A \in \cal{F} tel que F_A soit un sous-espace vectoriel de E, on montre que pour tout B \in \cal{F} on a F_B = F_A et que l'opération de F_A sur \cal{F} induite par l'opération de E sur \cal{E} munit \cal{F} d'une structure d'espace affine de direction F_A.
Soient \cal{F} une partie non vide de \cal{E} et F un sous-espace vectoriel de E. On dit que \cal{F} est un sous-espace affine de \cal{E} de direction F si et seulement s'il existe A \in \cal{F} tel que F_A = F (et alors F_B = F pour tout B \in \cal{F}). On a alors \dim \cal{F} = \dim F et pour tout point A \in \cal{F} on a
\cal{F} = \lbrace A + \overrightarrow{v} \mid \overrightarrow{v} \in F\rbrace


Un sous-espace affine de dimension 0 est un point. Un sous-espace affine de dimension 1 est une droite affine. Un sous-espace affine de dimension 2 est un plan affine. On convient que l'ensemble vide \empty est un sous-espace affine dont on ne définit ni la direction ni la dimension.
Proposition :

Une partie non vide \cal{F} de \cal{E} est un sous-espace affine si et seulement si pour toute famille (A_i)_{1\leq i\leq m} de points de \cal{F} et pour toute famille (t_i)_{1\leq i\leq m} de réels telle que t_1 + \cdots + t_m \neq 0, on a bar((A_1 \, , \, t_1) \, , \, \cdots \, , \, (A_m,t_m)) \in \cal{F}.

Si \left(\cal{F}_i\right)_{i\in I} est une famille de sous-espaces affines non vides de directions respectives F_i, alors \cal{F} = \bigcap \displaystyle \limits_{i \in I} \cal{F}_i est un sous-espace affine ; si \cal{F} est non vide, sa direction est \bigcap \displaystyle \limits_{i\in I} F_i.
Chaque partie X de \cal{E} est donc contenue dans un plus petit sous-espace affine qui est le sous-espace affine engendré par X et que l'on note \langle X \rangle. Il est clair que \langle X \rangle est l'ensemble de tous les barycentres de familles de points de X.
Soient A \, , \, B deux points distincts d'un espace affine {\cal{E}}. Alors
\langle A \, , \, B \rangle = \cal{D} = \lbrace A + t\overrightarrow{AB} \: \mid \: t \in \mathbb{R} \rbrace  = \lbrace bar((A,t) \, , \, (B,u)) \: \mid \: (t,u) \in \mathbb{R}^2 \text{ et } t + u \neq 0\rbrace
et {\cal{D} est l'unique droite affine qui contient A et B. Il nous arrivera de noter cette droite simplement AB. Sa direction est D = \lbrace t\overrightarrow{AB} \: \mid \: t \in \mathbb{R}\rbrace . On définit le segment [AB] par
[AB] = \lbrace A + t\overrightarrow{AB} \: \mid \: t\in [0,1]\rbrace  = \lbrace bar((A,t) \, , \, (B,u)) \: \mid \: (t,u) \in \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}_+ \text{ et } t+u \neq 0\rbrace
L'isobarycentre G de A et B, est appelé le milieu du segment [AB].

Soient A, B, C trois points distincts d'une droite affine {\cal{D} de direction D et soit \overrightarrow{v} un vecteur non nul de D. Alors il existe des réels t et u tels que \overrightarrow{AB} = t\overrightarrow{v} et \overrightarrow{AC} = u\overrightarrow{v}. On note \bar{AB} = t \text{ et } \bar{AC} = u les "longueurs algébriques" des segments [AB] et [AC]. Bien entendu, cette notation est abusive, puisqu'elle dépend du choix de \overrightarrow{v}. En revanche, le nombre réel
\frac{\bar{AB}}{\bar{AC}}
ne dépend pas du choix de \overrightarrow{v} et peut donc être utilisé sans préciser \overrightarrow{v}.
Soit \cal{E} est un espace affine de dimension supérieure à 2. On appelle triangle ABC la donnée de 3 points distincts A \, , \, B \, , \, C non alignés (c'est-à-dire tels que C \notin AB). Les points A \, , \, B \, , \, C sont les sommets du triangle et les segments [AB] \, , \, [BC] \text{ et } [AC] sont les côtés du triangle. Alors
\langle A \, , \, B \, , \, C \rangle = \cal{P} = \lbrace A + t\overrightarrow{AB} + u\overrightarrow{AC} \: \mid \: (t,u) \in \mathbb{R}^2\rbrace

et \cal{P} est l'unique plan affine contenant le triangle ABC. L'isobarycentre des sommets A \, , \, B \, , \, C d'un triangle est son centre de gravité.
Définition :

Deux sous-espaces affines \cal{F}_1 et \cal{F}_2 sont parallèles si et seulement s'ils ont la même direction F. On note \cal{F}_1 // \cal{F}_2.

Remarquons tout de suite que deux sous-espaces affines parallèles ont la même dimension. (En particulier, une droite et un plan ne sont jamais parallèles.)

Voici quelques propriétés générales:
Deux sous-espaces affines parallèles sont égaux ou disjoints.
Soient \cal{F}_1 et \cal{F}_2 deux sous-espaces affines. Alors
\cal{F}_1 // \cal{F}_2 \: \Longleftrightarrow \: \left(\exists \overrightarrow{v} \in E\right) \: \left(\cal{F}_2 = t_{\overrightarrow{v}} (\cal{F}_1))
Soient \cal{F} un sous-espace affine et M un point. Alors il existe un et un seul sous-espace affine \cal{F}' tel que M \in \cal{F}' et \cal{F} // \cal{F}' ; si M \in \cal{F}, on a \cal{F}' = \cal{F}.
Dans \mathbb{R}^2 l'intersection de deux droites affines non parallèles est un singleton.

III. Applications affines

Soient \cal{E} et \cal{E}' des espaces affines de directions E et E' et soit f \: : \: \cal{E} \to \cal{E}' une application. Pour chaque A \in \cal{E}, on définit \vec f_A \: : \: E \to E' par \overrightarrow{f}_A(\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{f(A)f(A+\vec v)}. On démontre que s'il existe A tel que \overrightarrow{f}_A soit une application linéaire, on a \overrightarrow{f}_A = \overrightarrow{f}_B pour tout B \in \cal{E}.

Soient f \: : \: \cal{E} \to \cal{E'} une application et \overrightarrow{f} \: : \: E \to E' une application linéaire. On dit que f est une application affine dirigée par \overrightarrow{f} si et seulement s'il existe A \in \cal{E} tel que \overrightarrow{f}_A = \overrightarrow{f} (et alors \overrightarrow{f}_B = \overrightarrow{f} pour tout B \in \cal{E}).

Si f est affine dirigée par \overrightarrow{f}, on a pour tout A \in \cal{E} et tout M \in \cal{E}
f(M) = f(A) + \overrightarrow{f}(\overrightarrow{AM}) ou encore \overrightarrow{f(A)f(M)} = \overrightarrow{f}(\overrightarrow{AM})

et ceci équivaut à
(\forall \overrightarrow{v} \in E) \: f \circ t_{\overrightarrow{v}} = t_{\overrightarrow{f}(\overrightarrow{v})} \circ f


On note \cal{L}(E,E') l'espace vectoriel des applications linéaires de E dans E' et \cal{A}(\cal{E}\, , \, \cal{E}') l'ensemble des applications affines de \cal{E} dans {\cal{E}'. De plus, on pose
\begin{array}{lll} \cal{L}(E) = \cal{L}(E,E) & \: \: & GL(E) = \lbrace \varphi \in \cal{L}(E) \: \mid \: \varphi \text{ bijective}\rbrace  \\ \cal{A}(\cal{E}) = \cal{A}(\cal{E},\cal{E}) & & GA(\cal{E}) = \lbrace f \in \cal{A}(\cal{E}) \: \mid \: f \text{ bijective}\rbrace  \end{array}
Proposition :

Une application f \: : \: \cal{E} \to \cal{E}' est affine si et seulement si pour toute famille (A_i \, , \, t_i)_{1 \leq i \leq m} de points pondérés de \cal{E} telle que t_1 + \cdots + t_m \neq 0, on a
f(bar((A_i \, , \, t_i)_{1\leq i\leq m})) = bar((f(A_i) \, , \, t_i)_{1\leq i\leq m})



Propriétés d'une application affine :
Soit f \: : \: \cal{E} \to \cal{E}' une application affine.
Si \cal{F} est un sous-espace affine non vide de \cal{E} de direction F, alors f({\cal{F}) est un sous-espace affine de \cal{E}' de direction \overrightarrow{f}(F). Si \cal{G} est un sous-espace de \cal{E} qui est parallèle à \cal{F}, alors f(\cal{F}) // f(\cal{G}).
Si A et B sont des points de \cal{E}, on a f\left([A \, , \, B]\right) = \left[f(A) \, , \, f(B)\right].
Si A \, , \, B \, , \, C sont des points distincts alignés de \cal{E}, les points f(A) \, , \, f(B) \, , \, f(C) sont alignés dans \cal{E}' ; de plus, si les points f(A) \, , \, f(B) et f(C) sont distincts, on a
\frac{\bar{f(A)f(B)}}{\bar{f(A)f(C)}} = \frac{\bar{AB}}{\bar{AC}}
(on dit qu'une application affine conserve le rapport des longueurs algébriques).
Si \cal{F}' est un sous-espace affine non vide de \cal{E}' de direction F', alors f^{-1}(\cal{F}') est un sous-espace affine de \cal{E} qui, s'il est non vide, a pour direction \overrightarrow{f}^{-1}(F'). En particulier, si M' est un point de \cal{E}', alors f^{-1}(M') est ou bien le sous-espace vide, ou bien un sous-espace affine de direction \ker \overrightarrow{f}.
Soient \cal{F}' et \cal{G}' des sous-espaces affines non vides de \cal{E}' ; on a
\cal{F}' // \cal{G}'  \: \text{ et } \: f^{-1}(\cal{F}') \neq \emptyset \: \text{ et } \: f^{-1}(\cal{G}') \neq \emptyset \: \Longrightarrow \: f^{-1}(\cal{F}') // f^{-1}(\cal{G}')
Règles de calcul :

Soient \cal{E} \, , \, \cal{E}' \, \text{ et } \cal{E}^{\prim \prim} des espaces affines de directions repectives E \, , \, E' \, , \, E^{\prim \prim} et soient f \in \cal{A}(\cal{E} \, , \, \cal{E})' et g \in \cal{A}(\cal{E}' \, , \, \cal{E}^{\prim \prim}). On a alors
      (i) g \circ f \in \cal{A}(\cal{E} \, , \, \cal{E}') \text{ et } \overrightarrow{g \circ f} = \vec g \circ \vec f
      (ii) f est injective (resp. surjective) si et seulement si \overrightarrow{f} est injective (resp. surjective)
      (iii) f est bijective si et seulement si \overrightarrow{f} est bijective ; si c'est le cas, f^{-1} est affine et \overrightarrow{f^{-1}} = \overrightarrow{f}^{-1}.

Il en résulte que (GA(\cal{E}) \, , \, \circ) est un groupe ; on l'appelle le groupe affine de \cal{E}.

Exemples :
Si \varphi \in \cal{L}(E \, , \, E'), A \in \cal{E} et A' \in \cal{E}', l'application f \: : \: \cal{E} \to \cal{E}' définie par f(M) = A' + \varphi(\overrightarrow{AM}) est la seule application affine telle que f(A) = A' et \overrightarrow{f} = \varphi. Si (A_0 \, , \, \cdots \, , \, A_n) est un repère affine de \cal{E} et si (A'_0 \, , \, \cdots \, , \, A'_n) est une famille de points de \cal{E}', il existe une et une seule application affine f \: : \: \cal{E} \to \cal{E}' telle que f(A_i) = A'_i pour 0 \leq i \leq n.
Pour chaque \overrightarrow{v} \in E la translation t_{\overrightarrow{v}} est une application affine bijective telle que \overrightarrow{t_{\overrightarrow{v}}} = Id_E. De plus, si f \in \cal{A}(E) est telle que \overrightarrow{f} = Id_E, alors f est une translation.
Soient A \in \cal{E} et \lambda \in \mathbb{R}^*. L'homothétie de centre A et de rapport \lambda est l'application h(A \, , \, \lambda) \: : \: \cal{E} \to \cal{E} définie par
h(A \, , \, \lambda)(M) = A + \lambda \overrightarrow{AM}
Il s'agit d'une application affine bijective et on a h(A \, , \, \lambda)^{-1} = h \left(A \, , \, \frac{1}{\lambda}\right).

Soient \cal{F} un sous-espace affine de \cal{E} de direction F et soit G un supplémentaire de F dans E. Comme E = F \oplus G, tout élément \overrightarrow{v} \in E s'écrit de manière unique \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v_1} + \overrightarrow{v_2} avec (\overrightarrow{v_1} \, , \, \overrightarrow{v_2}) \in F \times G. La projection linéaire de E sur F parallèlement à G est l'application \pi \: : \: E \to F définie par \pi(\overrightarrow{v}) = (\overrightarrow{v_1}). Soit A \in \cal{F}. L'application p \: : \: \cal{E} \to \cal{F} définie par
p(M) = A + \pi\left(\overrightarrow{AM}\right)
est une application affine qui ne dépend pas du choix de A \in \cal{F} et qui est appelée la projection affine sur \cal{F} parallèlement à G. On a p \circ p = p.
Soit maintenant \sigma \: : \: E \to E la symétrie vectorielle par rapport à F parallèlement à G, définie par \sigma(\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{v_1} - \overrightarrow{v_2}. Soit A\in \cal{F}. L'application s \: : \: \cal{E}} \to \cal{E} définie par
s(M) = A + \sigma(\overrightarrow{AM})
est une application affine qui ne dépend pas du choix de A \in \cal{F} et qui est appelée la symétrie affine par rapport à \cal{F} parallèlement à G. On a s \circ s = Id_{\cal{E}}, donc s \in GA(\cal{E}).

Une application f \: : \: \mathbb{R} \to \mathbb{R} (où \mathbb{R} est l'espace affine standard) est affine si et seulement si elle est de la forme f(x) = ax+b avec (a \, , \, b) \in \mathbb{R}^2.

Dans \mathbb{R}^2, soit \cal{D} une droite affine de direction D, soit D' un supplémentaire de D et soient p la projection sur \cal{D} parallèlement à D' et s la symétrie par rapport à \cal{D} parallèlement à D'. Pour chaque M \in \mathbb{R}^2, soit \cal{D}'_M la droite de direction D' qui passe par M ; on a alors p(M) = \cal{D} \cap \cal{D}'_M et s(M) = p(M) + \overrightarrow{Mp(M)}.
Dans le dessin ci-dessous, \overrightarrow{v'} est un vecteur non nul de D'.
Espaces affines - supérieur : image 1


IV. Un peu de géométrie

Théorème :

Soient ABC un triangle, M le milieu de [AB], N le milieu de [BC], P celui de [CA] et soit G le centre de gravité du triangle.
Les droites CM, AN et BM sont les médianes du triangle. Ces droites passent toutes trois par le point G et l'on a
\frac{\bar{CG}}{\bar{GM}} = \frac{\bar{AG}}{\bar{GN}} = \frac{\bar{BG}}{\bar{GP}}=2

Théorème de Thalès :

Dans \mathbb{R}^2, soient \cal{D} \, , \, \cal{D}' \, , \, \cal{D}^{\prim \prim} trois droites parallèles distinctes et soient \cal{D}_1 \, , \, \cal{D}_2 deux droites non parallèles aux premières. Pour i \in \lbrace 1 \, , \, 2\rbrace soient A_i = \cal{D} \cap \cal{D}_i, A'_i = \cal{D}' \cap \cal{D}_i et A_i^{\prim \prim} = \cal{D}^{\prim \prim} \cap \cal{D}_i. Alors on a
\frac{\bar{A_1A^{\prim \prim}_1}}{\bar{A_1A^{\prim}_1}} = \frac{\bar{A_2A^{\prim \prim}_2}}{\bar{A_2A^{\prim}_2}}
De plus, si B est un point de \cal{D}_1 tel que
\frac{\bar{A_1B}}{\bar{A_1A^{\prim}_1}} = \frac{\bar{A_2A^{\prim \prim}_2}}{\bar{A_2A^{\prim}_2}}
alors B \in \cal{D}^{\prim \prim} et B = A^{\prim \prim}_1.


Espaces affines - supérieur : image 2


Si dans ce théorème on prend A_1^{\prim \prim} = A_2^{\prim \prim} = \cal{D}_1 \cap \cal{D}_2, on trouve le corollaire suivant:
Soient ABC un triangle, A' \in [AC] et B' \in [BC] tels que A' et B' ne coïncident avec aucun des sommets. On a alors
AB \, // \, A' B' \Longleftrightarrow \frac{\bar{AC}}{\bar{A' C}} = \frac{\bar{BC}}{\bar{B' C}}

Espaces affines - supérieur : image 3
Théorème de Desargues :

Soient ABC et A' B' C' des triangles sans sommet commun. On suppose que AB \, // \, A' B', BC \, // \, B' C' et CA \, // \, C' A'.
Alors les trois droites AA', BB' et CC' sont ou bien parallèles, ou bien concourantes.


Espaces affines - supérieur : image 4


V. Quelques propriétés du groupe affine

Soient \cal{E} un espace affine de direction E et soit GA(\cal{E}) son groupe affine.
Si \dim \cal{E} = 1, le groupe affine GA(\cal{E}) est isomorphe au groupe multiplicatif de matrices suivant :
\lbrace  \left( \begin{array}{cc} 1 & b \\ 0 & a \end{array} \right) \| (a \, , \, b) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R} \rbrace

Dans la suite, on suppose que \dim \cal{E} \geq 2.

L'ensemble des translations T = \lbrace t_{\overrightarrow{v}} \: \mid \: \overrightarrow{v} \in \mathbb{R}\rbrace est un sous-groupe distingué de GA(\cal{E}). L'application \overrightarrow{v} fleche2 t_{\overrightarrow{v}} \: : \: E \to T est un isomorphisme de (E \, , \, +) sur (T \, , \, \circ).
L'application \Phi \: : \: GA(\cal{E}) \to GL(E) définie par \Phi(f) = \overrightarrow{f} est un morphisme surjectif de groupes, dont le noyau est T. On a donc
GA(\cal{E}) \: / \: T \simeq GL(E)


Pour chaque A \in \cal{E}, l'ensemble H_A = \lbrace h(A \, , \, \lambda) \: \mid \: \lambda \in \mathbb{R}^*\rbrace des homothéties de centre A est un sous-groupe non distingué de GA(\cal{E}), isomorphe au groupe multiplicatif \mathbb{R}^*. Si A et B sont des points, les sous-groupes H_A et H_B sont conjugués dans GA(\cal{E}). Précisément, si on note \overrightarrow{v} = \overrightarrow{BA}, on a
H_A = t_{\overrightarrow{v}} \, H_B \, t_{\overrightarrow{v}}^{-1}


L'ensemble H = \bigcup \displaystyle \limits_{A ^\in \cal{E}} H_A de toutes les homothéties n'est pas stable pour la composition, mais H \cup T est un sous-groupe de GA(\cal{E}) qui est appelé le groupe des homothéties-translations et est noté HT(\cal{E}). En fait on démontre qu'un élément f de GA(\cal{E}) est dans HT(\cal{E}) si et seulement si pour toute droite affine \cal{D} de \cal{E} on a f({\cal{D}) \, // \, \cal{D}.
Si X est une partie de \cal{E}, l'ensemble
GA_X(\cal{E}) = \lbrace f \in GA(\cal{E}) \: \mid \: f(X) = X\rbrace
est un sous-groupe de GA(\cal{E}) formé des bijections affines qui laissent fixe X.
Par exemple, si X = (A_0 \, , \, \cdots \, , \, A_n) est un repère affine de \cal{E}, le groupe GA_X(\cal{E}) est isomorphe au groupe symétrique \cal{S}_{n+1}.
Si \cal{E} = \mathbb{R}^2, si m est un entier supérieur à 3 et si
X = \lbrace  \left(\cos \frac{2k\pi}{m} \, , \, \sin \frac{2k\pi}{m} \right) \: \mid \: 0 \leq k \leq m-1 \rbrace
alors le groupe GA_X(\cal{E}) est isomorphe au groupe diédral \cal{D}_m.
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