Bonjour,
Tu as montré que
10^(n+1) + 1 = 9 * 10^n + 10^n + 1
c'est à dire que
P(n+1)=9*P(n)+P(n).
Donc si P(n) est divisible par 9 il existe un entier k tel que P(n)=9*k
et donc P(n+1)=9*P(n)+9*k=9*(P(n)+k). Posons
q = P(n)+k. q est alors un entier et P(n+1)=9q.
P(n+1) est alors divisible par 9.
Ce qui prouve que si P(n) est divisible par 9 alors P(n+1) est aussi divisible par 9.


c) Pour que Pn soit vrai pour tout n entier il faut et il suffit que P0 soit vraie.
Or P0 est fausse. Donc Pn n'est pas vraie pour tout n.

Pn n'est d'ailleurs vraie pour aucune valeur de n.
En effet, on remarque que la somme des chiffres de P(n) est égale à 2 or un entier est divisible par deux ssi la somme de ses chiffres est egale à 9.
Dadou

merci bcp!!

meme s'il me semble qu il y a une petite erreur sans conséquence dans
"P(n+1)=9*P(n)+P(n)" car P(n) = 10^n +1 et non seulement 10^n .. on dervait donc avoir
"P(n+1) = 9*10^n + P(n)"
et avec cela jarrive a tout demontrer

En effet,
il manque un terme, il faut ecrire
P(n+1)=9*(P(n)-1) +P(n) ce qui donne
P(n+1)=9*(P(n)-1+k)=9q en posant q=P(n)-1+k

comment prouve-t-on que "(10^n)+1 est un multiple de 9" est héréditaire ??

c'est tres simple  

on ecrit que  10^n + 1 = 9.k   on considere cette proprieté vraie

on multiplie membre à membre par 10 soit  10^n+1 + 10 = 90.k  et on effectue une petite tranformation

en ecrivant  10^n+1 + 9 + 1  = 90.k  soit encor  10^n+1 + 1 = 90.k -9  soit  10^n+1 + 1 = 9(10.k-1)

ce qui revient à 10^n+1 + 1 = 90.K   avec K =10k-1   et voila