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(1ère) Exercice sur l'exponentielle
Bonsoir,
Mon professeur nous a demandé de réaliser le sujet des Centres étrangers de la session 2019 du baccalauréat ES. Nous avions uniquement l'exercice 4 à faire portant sur l'exponentielle. Je rencontre de très grandes difficultés à la question n°4b de la partie B.
Voici le sujet :
Dans le repère ci-dessous, on note 𝒞𝑓 la courbe représentative d'une fonction 𝑓 définie
sur l'intervalle [−10 ; 2]. On a placé les points A(0 ; 2), B(2 ; 0) et C(−2 ; 0).
On dispose des renseignements suivants :
Le point B appartient à la courbe 𝒞𝑓.
La droite (AC) est tangente en A à la courbe 𝒞𝑓.
La tangente à la courbe 𝒞𝑓 au point d'abscisse 1 est une droite horizontale.
Représentation graphique en pièce jointe !
Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.
1. Indiquer les valeurs de 𝑓(0) et de 𝑓(2)
2. Indiquer la valeur de 𝑓′(1).
3. Donner une équation de la tangente à la courbe 𝒞𝑓 au point A.
4. Indiquer le nombre de solutions de l'équation 𝑓(𝑥) = 1 dans l'intervalle
[−10 ; 2].
5. Indiquer les variations de la fonction 𝑓 sur l'intervalle [−10 ; 2].
PARTIE B :
Dans cette partie, on cherche à vérifier par le calcul les résultats lus graphiquement
dans la partie A.
On sait désormais que la fonction 𝑓 est définie sur l'intervalle [−10 ; 2] par :
𝑓(𝑥) = (2 − 𝑥)e
𝑥
.
1. Calculer 𝑓(0) et 𝑓(2).
2.
a) Calculer 𝑓′(𝑥) pour tout nombre 𝑥 appartenant à l'intervalle [−10 ; 2].
b) En déduire la valeur de 𝑓′(1).
3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de 𝑓 au point
d'abscisse 0.
4.
a) Dresser le tableau des variations de la fonction 𝑓 sur l'intervalle [−10 ; 2].
b) En déduire le nombre de solutions de l'équation 𝑓(𝑥) = 1 dans l'intervalle
[−10 ; 2], puis donner une valeur approchée au centième de chacune de ces
solutions.
Mon prof nous a dit ne pas passer par le corollaire des valeurs intermédiaires, je ne sais même pas de quoi il s'agit. Je suis complètement bloqué à cette question. J'ai répondu à toutes les questions sans difficulté.
Mes réponses :
PARTIE A :
1/ Les points A(0;2) et B(2;0) appartiennent à Cf. Par lecture graphique, nous obtenons f(0) = 2 et f(2)=0
2/ Sur le graphique, nous pouvons constater que la tangente à Cf au point d'abscisse 1 est une droite horizontale. Ainsi, nous avons f'(1)=0.
3/ Nous pouvons constater que les points A et C ne possèdent pas la même
abscisse. Donc, la droite (AC) possède une équation de la forme :
y = mx+p
m= 1
On sait que le point A(0;2) appartient à la droite (AC). Ainsi, on peut en déduire que p = 2. Donc, la tangente à Cf au point A admet pour équation : y = x + 2.
4) La droite d'équation y = 1 vient couper la courbe Cf en deux points. Donc, l'équation f(x) = 1 admet deux solutions dans l'intervalle (-10;2)
5) D'après la représentation graphique et sa précision, il semblerait que la fonction f est croissante sur (-10;1) et décroissante sur (1;2)
PARTIE B :
1) f(0)= 2 x e0 = 2 ; f(2) = (2-2) x e2 = 0
1a) La fonction f est définie par f(x) = (2-x)ex.
Dérivabilité : La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables.
f = uv d'ou f' = u'v + uv'
u(x) = 2 - x ; u'(x) = -1
v(x) = ex ; v'(x) = ex
Soit pour tout x appartenant à (-10;2),
f'(x) = -ex + (2-x)ex
= (-1+2-x)ex
= (1-x)ex
Ainsi, f'(x) = (1-x)ex
1b) f'(1) = (1-1) x e1 = 0
2) T = f'(0)(x-0)+f(0)
= f'(0)x x + f(0)
Or, nous avons f(0) = 2 et f'(0) = 1 x e0 =1
La tangente à Cf au point A d'abscisse 0 a pour équation : y = x + 2
3a) Donc, les variations de f se déduisent des variations de f'. Pour tout réel x, ex > 0, f'(x) est du meme signe que (1-x). Or, 1-x 0 equivaut à
x 1
b) Aucune idée !
Bonsoir
Dans l'énoncé de la partie B on a les questions 2 et 4 qui admettent des sous-questions a et b, mais dans ta réponse c'est 1 et 3 qui ont des sous-questions a et b, donc on est où ? 
Une fois que tu as fait le tableau de variations, n'oublie pas de vérifier la valeur de f(1), et étudier la fonction des deux côtés de la valeur 1 en abscisse
Oui ! Je me suis trompé !
1) f(0)= 2 x e0 = 2 ; f(2) = (2-2) x e2 = 0
2a) La fonction f est définie par f(x) = (2-x)ex.
Dérivabilité : La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables.
f = uv d'ou f' = u'v + uv'
u(x) = 2 - x ; u'(x) = -1
v(x) = ex ; v'(x) = ex
Soit pour tout x appartenant à (-10;2),
f'(x) = -ex + (2-x)ex
= (-1+2-x)ex
= (1-x)ex
Ainsi, f'(x) = (1-x)ex
2b) f'(1) = (1-1) x e1 = 0
3) T = f'(0)(x-0)+f(0)
= f'(0)x x + f(0)
Or, nous avons f(0) = 2 et f'(0) = 1 x e0 =1
La tangente à Cf au point A d'abscisse 0 a pour équation : y = x + 2
4a) Donc, les variations de f se déduisent des variations de f'. Pour tout réel x, ex > 0, f'(x) est du meme signe que (1-x). Or, 1-x \leq 0 equivaut à
x\geq 1
4b) Aucune idée !
Bonjour,
Je vous remercie de votre réponse, mais comment le faire sans utiliser le corollaire des valeurs intermédiaires ?
ça donnerait ça :
Sur (-10;1), on observe que la fonction f est strictement croissante et f(-10) = 12e-10 environ 0,0005 et que f(1)=e ?
Je ne sais pas comment faire
Sur (-10;1), c'est positif, et sur (1;2), c'est négatif...
Donc, on peut affirmer que la solution de f(x) = 1 c'est e ???
Bonjour,
Avant de parler du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI), as-tu déjà vu le TVI même ?
Le corollaire du TVI te démontre l'unicité des 2 solutions de l'équation f(x)=1 sur l'intervalle [-10;2].
Mais on en reviendra plus tard sur ledit corollaire...
Pour la recherche des solutions de l'équation, il faut utiliser ta calculatrice.
On sait déjà que la 1ère solution est comprise entre -2 et -1.
Donc tu dois créer un tableau de valeur pour le calcul de f(x) en commençant avec un pas de 0.1 par exemple.
Et l'idée est de voir à quel valeur de x, f(x) sera strictement supérieur à 1.
Imaginons par exemple que f(-1,7) = 0.99 et que f(-1.6) = 1.02
Ah ben je sais alors que la solution est comprise entre -1,7 et -1.6 !!
Puis, après on restreint l'intervalle avec un pas de 0.01...
Cela te permet donc de trouver la solution arrondie à 0.01 près.
La démarche reste la même pour la seconde solution.
Mais si tu veux t'intéresser au corollaire du TVI, le voici :
Soit une fonction f définie sur un intervalle [a;b].
Si f est continue et strictement monotone sur [a;b], alors :
pour tout k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une unique solution sur l'intervalle [a;b].
Après une remarque importante, c'est que ce corollaire peut bien sûr s'étendre à tout type d'intervalle.
Dans le cas de bornes ouvertes ou infinies, il faut alors remplacer les images de a et de b par les limites de f aux bornes de l'intervalle.
En résumé, les hypothèses à vérifier pour appliquer ce corollaire sont :
la continuité.
la stricte monotonie (croissante ou décroissante).
que la valeur de k soit bien comprise entre f(a) et f(b).
Ici, tu auras à appliquer ce corollaire 2 fois (puisque 2 solutions) : l'une sur l'intervalle [-10;1], l'autre sur l'intervalle [1;2].
Et dernière remarque concernant le corollaire :
Je tiendrai à souligner que la stricte monotonie de la fonction est importante ici car cela démontre l'unicité de la solution.
C'est une condition supplémentaire par rapport au TVI principal qui justifie son existence.
Après il peut y avoir une infinité de courbes passant par 2 points pour lesquelles k aurait un antécédent qui existe et qui est unique... mais la solution la plus simple reste de prendre une fonction continue et strictement monotone.
Bonsoir,
Je vous remercie de votre dévouement malgré les difficiles conditions que nous traversons en ce moment ! Je vous en suis très reconnaissant ! Et je vous remercie de m'avoir fait découvrir le TVI 
J'ai utilisé votre méthode, mais je ne sais pas comment justifier ma réponse sur ma copie.
J'ai rentré la fonction f(x) = (2-x)ex
J'ai défini une table avec un pas de 0,001 et j'obtiens pour x1 = - 1,15
Et pour x2 = 1,8414. Je vous remercie beaucoup, mais je ne sais comment répondre sur ma copie... 
Et surtout comment justifier SANS le TVI l'existence de deux solutions distinctes entre -10 et 2 ?
Bonjour,
Pourriez-vous m'aider car, je ne sais vraiment pas comment justifier ma réponse sur le papier ?
Je vous remercie profondément de vous dévouement !
Respectueusement,
Je vous remercie de votre dévouement malgré les difficiles conditions que nous traversons en ce moment ! Je vous en suis très reconnaissant !
De rien. D'autant plus que de nombreux élèves rencontrent beaucoup de difficultés à se connecter sur des sites d'enseignement à distance car trop de surcharges sur ces sites...
Sinon, concernant la question :
Tu ne pourrais pas justifier l'existence et l'unicité de ces solutions sans utiliser le corollaire du TVI. Ce sont des théorèmes à apprendre et à mettre en pratique.
C'est tout comme le théorème de Pythagore (et d'autres théorèmes) que tu as appris au collège !
Tu ne pourrais justifier qu'un triangle soit rectangle sans appliquer ce fameux théorème ! (Si ce n'est que supposer sur un graphique que ce triangle soit vraiment rectangle ou à l'aide d'une équerre...
)
Après, sans justification, tu ne peux que "conjecturer" ta réponse, à savoir émettre une supposition sans en avoir la preuve formelle... et cela se voit en regardant ton tableau de variation. Tu peux en effet "supposer" (mais pas prouver) que l'équation f(x)=1 admet 2 solutions sur l'intervalle [-10;2].
Après comme tu l'as fait, tu dois y aller par étapes pour trouver tes 2 solutions :
Sur l'intervalle [-10;1], à l'aide de la calculatrice, on trouve : (avec un pas de 0.001)
f(-1,147)
0,9994 < 1
f(-1,146)
1,0001 > 1
Tu en déduis donc que l'équation f(x)=1 admet sur l'intervalle [-10;1] une solution (qu'on va noter
) égale à -1.15 (valeur approchée au centième près)
De même, sur l'intervalle [1;2], avec la calculatrice, on trouve :
f(1,841)
1,0021 > 1
f(1,842)
0,9968 < 1
Tu en déduis donc que l'équation f(x)=1 admet sur l'intervalle [1;2] une solution (qu'on va noter
) égale à 1,84 (valeur approchée au centième près)
Mais ici, tu n'auras fait que les 3/4 du boulot, le dernier quart étant l'application directe du corollaire du TVI qui démontrera cela.
Je te donne une justification de cette question :
Ici, il faut appliquer 2 fois le corollaire du TVI (l'un sur [-10;1] et l'autre sur [1;2])
Donc :
La fonction f est continue et strictement croissante (donc strictement monotone) sur l'intervalle [-10;1].
Par ailleurs, comme f(-10)
0,0005 et f(1) = e 2,72, on a bien 1 compris entre f(-10) et f(1).
Alors, d'après le corollaire du TVI, l'équation f(x)=1 admet une unique solution
sur l'intervalle [-10;1].
Puis, on cherche cette solution. Et ça, tu l'as déjà fait avec ta calculatrice :
-1,15 (arrondie au centième près)
Enfin, de même pour l'autre intervalle :
La fonction f est continue et strictement décroissante (donc strictement monotone) sur l'intervalle [1;2].
Par ailleurs, comme f(1) = e
2,72 et f(2)=0, on a bien 1 compris entre f(2) et f(1) (attention f est décroissante ici...).
Alors, d'après le corollaire du TVI, l'équation f(x)=1 admet une unique solution
sur l'intervalle [1;2].
Puis calculatrice : tu as trouvé
1,84 (arrondie au centième près)
Au final, l'équation f(x)=1 admet bien 2 solutions (et seulement 2) sur l'intervalle [-10;2].
Voilà.
Après, si ton prof te dit de ne pas utiliser le corollaire, tu pourras écrire sur ta copie que d'après ton tableau de variation tu trouves 2 solutions pour l'équation f(x)=1 sur l'intervalle [-10;2] et qu'avec la calculatrice, tu as une valeur approchée de ces 2 solutions (voir calculs plus haut)
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