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2 équations avec des sommes

Posté par
leawz
30-05-21 à 16:13

bonjour, pourriez vous m'aider pour cet exercice s'il vous plait
soient m,M avec mM et x1,...,xn[m,M]
1) montrer que \frac{1}{2}\sum_{1\leq i,j\leq n}^{}{(x_{i}-x_{j})^{2}}=n\sum_{k=1}^{n}({x_{k})^{2}}-(\sum_{k=1}^{n}{x_{k}})^{2}

2) en déduire l'égalité: \frac{1}{2}\sum_{1\leq i,j\leq n}^{}{(x_{i}-x_{j})^{2}}+n\sum_{k=1}^{n}{(M-x_{k})(x_{k}-m)}=(nM-s)(s-nm)s=\sum_{k=1}^{n}{x_{k}}

merci d'avance pour vos réponses.
j'ai essayé la question 1 mais je n'aboutis pas au bon résultat, j'ai du faire une erreur mais je ne comprends pas où

voila ce que j'ai fait:
\frac{1}{2}\sum_{1\leq i,j\leq n}^{}{(x_{i}-x_{j})^{2}}=\frac{1}{2}\sum_{1\leq i,j\leq n}^{}{(x_{i}^{2}-2x_{i}x_{j}+x_{j}^{2})}=\frac{1}{2}(2\sum_{k=1}^{n}{x_{k}^{2}-2\sum_{i=1}^{n}{x_{j}}}\sum_{j=1}^{n}{x_{j}})=\sum_{k=1}^{n}{x_{k}^{2}-\sum_{i=1}^{n}{x_{j}}}\sum_{j=1}^{n}{x_{j}} et après je ne sais pas comment continuer, puisque i et j ne correspondent pas forcément aux mêmes indices il me semble...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : 2 équations avec des sommes 30-05-21 à 17:10

Bonjour,
C'est la première fois que je rencontre la notation " 1i,jn " sous un .
Je suppose qu'il s'agit d'une double somme.

\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{(x_{i})^{2}}} = \sum_{i=1}^{n}{n(x_{i})^{2}}
Et il ne reste plus qu'à sortir le n devant.

Posté par
leawz
re : 2 équations avec des sommes 30-05-21 à 17:22

il me semble, on m'a seulement dit que c'était une somme à 2 indices.
donc si je reprend là où j'en était dans la question
\sum_{k=1}^{n}{x_{k}^{2}}-\sum_{i=1}^{n}{x_{i}}\sum_{j=1}^{n}{x_{j}}=\sum_{k=1}^{n}{x_{k}^{2}}-\sum_{k=1}^{n}{n(x_{k}^{2})}=\sum_{k=1}^{n}{x_{k}^{2}}-n\sum_{k=1}^{n}{x_{k}^{2}} (je ne suis pas du tout sur, il me semble qu'il y a un problème( dans les carrés notamment)...)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : 2 équations avec des sommes 30-05-21 à 17:36

Ce que tu as écrit dans le 1er message est faux.

\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{(x_{i})^{2}}} \; n'est pas égal à \; \sum_{i=1}^{n}{(x_{i})^{2}}

Regarde l'égalité que j'ai écrite à 17h10. Il y a du \; n \; qui apparaît car

{\sum_{j=1}^{n}{(x_{i})^{2}} = (x_i)^2 + (x_i)^2 + ... + (x_i)^2  = n(x_i)^2

Posté par
leawz
re : 2 équations avec des sommes 30-05-21 à 17:42

je comprends mais pourquoi à t-on \sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}({x_{i})^{2}}}? il me semble que c'est \sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}({x_{i})({x_{j}})} non? (d'après le développement de notre identité remarquable du début)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : 2 équations avec des sommes 30-05-21 à 18:15

Il y a 3 termes dans ce développement.
Deux avec des carrés et un avec des produits.
Je parle pour le moment de celui avec carré.

Je répète : \sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{(x_{i})^{2}}} \; n'est pas égal à \; \sum_{i=1}^{n}{(x_{i})^{2}}

Et, pour \sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}({x_{i})({x_{j}})}, c'est le produit \; \sum_{i=1}^{n}({x_{i}){\sum_{j=1}^{n}({x_{j}})}, égal à \sum_{k=1}^{n}({x_{k}){\sum_{k=1}^{n}({x_{k}})}, qui donne le carré de \sum_{k=1}^{n}({x_{k})}

Posté par
leawz
re : 2 équations avec des sommes 30-05-21 à 18:18

oh mais oui, je viens de comprendre, ce qui me bloquait c'est que je croyais que vous parliez du terme avec les produits et non ceux avec les carrés, maintenant c'est plus clair, merci!
donc au final pour cette question on arrive au résultat demandé! par contre pour la 2 j'ai essayé de chercher mais je n'y arrive pas...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : 2 équations avec des sommes 30-05-21 à 18:29

Dans 2), il s'agit de démontrer un égalité de la forme \; A+B = CD .
Transforme A+B en utilisant 1) pour A et en développant le produit qui est dans le de B.
Essaye de n'avoir que du s, m, M et n.
Puis compare avec le développement du produit CD.

Posté par
leawz
re : 2 équations avec des sommes 30-05-21 à 19:29

bon, j'y suis presque: j'ai développé à gauche et j'arrive à -s2+snM+snm-n\sum_{k=1}^{n}{Mm}
et j'ai aussi développé à droite, je trouve -s2+snM+snm-n2Mn

donc à mon avis s'il n'y a pas d'erreur on a forcément n*\sum_{k=1}^{n}{Mm}=n2Mn sauf que je ne comprend pas pourquoi.. ici on a une somme "pour k" sauf qu'il n'y a pas de k donc comment faire?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : 2 équations avec des sommes 30-05-21 à 20:46

Je soupçonnais une lacune de ce genre depuis le début.

Saurais-tu calculer \; \sum_{k=1}^{n}{2021} \; ?

Posté par
leawz
re : 2 équations avec des sommes 30-05-21 à 20:58

oui, au final en y réfléchissant j'ai compris, ça fait 2021n donc en faisant de même dans notre exercice on arrive à n2Mm

Posté par
leawz
re : 2 équations avec des sommes 30-05-21 à 20:59

merci pour votre aide!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : 2 équations avec des sommes 30-05-21 à 22:07

C'était la même chose ici :

Citation :
\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{(x_{i})^{2}}} = \sum_{i=1}^{n}{n(x_{i})^{2}}

\sum_{j=1}^{n}{(x_{i})^{2}} = n(x_{i})^{2} .

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : 2 équations avec des sommes 30-05-21 à 22:13

Et une dernière remarque : il n'y a pas d'équation à résoudre dans cet exercice, mais des égalités à démontrer

Posté par
leawz
re : 2 équations avec des sommes 30-05-21 à 22:19

Désolé, j'ai confondu équation et égalité... 🤦🏻‍♀️

Posté par
carpediem
re : 2 équations avec des sommes 31-05-21 à 18:27

salut

\sum_{1 \le i, j \le n} (x_i - x_j)^2 = \sum_{i = 1}^n  \left( \sum_{j = 1}^n (x_i - x_j)^2 \right) = \sum_{j = 1}^n (x_1 - x_j)^2 + \sum_{j = 1}^n (x_2 - x_j)^2 + \cdots + \sum_{j = 1}^n (x_n - x_j)^2 = ...

PS : je me suis débarrassé d'un pour montrer ce qu'il faut calculer ... mais on pourrait très bien le rédiger avec ce double ... en étant très rigoureux sur les indices !!

PPS: le facteur 1/2 est un détail ... à maitriser bien sûr tout de même !!



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