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2 petites limite avec ln

Posté par gabs4556 (invité) 09-03-06 à 17:49

Bonjour a tous;
Je cherche à démontrer deux limites :
Soit f une fonction  définie sur ] 0 ; +\infty [par
f(x) = xln(1+ \frac {1}{x^2})

Alors il faut que je montre que : \lim_{x\to +\infty}\hspace{5} xf(x) = 1
Je pense qu'il faut utiliser un changement de variable, mais j'ai beau chercher je ne trouve rien de bien interessant !

Et la deuxieme limite : \lim_{x\to +\infty} f(x) = 0

Si vous avez des idées de résolution et quelque chose qui pourrai m'aider n'hésitez pas à me répondre. Merci d'avance !

Posté par
kaiser Moderateurre : 2 petites limite avec ln 09-03-06 à 17:51

Bonjour gabs4556

Pour la première limite, utilise le changement de variable \large{u=\frac{1}{x^{2}}}.
Pour la deuxième limite, utilise simplement la continuité de ln.

Kaiser

Posté par philoux (invité)re : 2 petites limite avec ln 09-03-06 à 17:58

pour la deuxième, pourquoi ne pas se servir de la 1° ?

Philoux

Posté par
kaiser Moderateurre : 2 petites limite avec ln 09-03-06 à 18:01

Oui, c'est vrai, philoux !
(J'ai, comme qui dirait, utilisé un marteau-pilon pour écraser une mouche !!)

Posté par gabs4556 (invité)re : 2 petites limite avec ln 09-03-06 à 18:13

Pour la deuxieme a t-on le droit d'écrire que :

\lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to +\infty} \frac{xf(x)}{x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x} = 0  ??

Posté par
kaiser Moderateurre : 2 petites limite avec ln 09-03-06 à 18:20

Plus précisément, on doit écrire :

\large{f(x)=\frac{xf(x)}{x}}.
Or \large{\lim_{x\to +\infty}xf(x)=1} et \large{\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0}

Donc \large{\lim_{x\to +\infty}f(x)=0}

(ne pas utiliser le symbole lim avant d'avoir prouvé que la limite existe)

Kaiser

Posté par gabs4556 (invité)re : 2 petites limite avec ln 09-03-06 à 18:34

C'est bon je viens de tout comprendre
en faite en posant u = \frac{1}{x^2}
on se retrouve avec \lim_{u\to 0} \frac{ln (1+u)}{u}
et cette limite est égale à 1
Merci de m'avoir aidé !! Bonne soirée

Posté par
kaiser Moderateurre : 2 petites limite avec ln 09-03-06 à 18:36

Je t'en prie !
Bonne soirée à toi aussi !


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