Stéphane achète une voiture 12 000? le 1er janvier 2016. Elle perd 12 % de sa valeur par an.
Exercice 1
On considère la fonction

définie sur
R par
En justifiant, dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses :
1. =(1-2)ln(1^2+1)=-ln(2)\neq \frac{1}{5})
donc la proposition est FAUSSE
2.

et la fonction ln est dérivable sur
![]0;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0;+\infty[)
donc la fonction
)
est dérivable sur
R et la fonction

est par conséquent dérivable sur
R comme produit de fonctions dérivables sur
R.
=ln(x^2+1)+(x-2)\times \frac{2x}{x^2+1} \text{ donc } f'(0)=0)
donc

admet bien une tangente horizontale en 0. Donc la proposition est VRAIE
3. =ln(1^2+1)+(1-2)\times \frac{2\times 1}{1^2+1}=ln(2)-1\neq ln2)
donc la proposition est FAUSSE
4. =(0-2)ln(0^2+1)=-2ln(1)=0\neq -2)
donc la proposition est FAUSSE
Exercice 2
On considère la fonction
f définie sur
![]2;+\infty[ \text{ par } f(x)=x+ln(\frac{x+3}{x-2})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]2;+\infty[ \text{ par } f(x)=x+ln(\frac{x+3}{x-2}))
.
On a :
1.
donc la droite d'équation

est asymptote verticale à
2.
car
Exercice 3
Le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de 12% annuel vaut
Au bout de
n années, sa voiture vaut
^n)
.
On cherche par conséquent la valeur minimale de
n telle que
donc au bout de 11 années sa voiture vaudra moins que le quart de son prix de départ.