Stéphane achète une voiture 12 000? le 1er janvier 2016. Elle perd 12 % de sa valeur par an.
Exercice 1
On considère la fonction
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
définie sur
R par
En justifiant, dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses :
1. ![f(1)=(1-2)ln(1^2+1)=-ln(2)\neq \frac{1}{5}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(1)=(1-2)ln(1^2+1)=-ln(2)\neq \frac{1}{5})
donc la proposition est FAUSSE
2.
![x\in R, x^2+1>0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in R, x^2+1>0)
et la fonction ln est dérivable sur
![]0;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0;+\infty[)
donc la fonction
![x\to ln(x^2+1)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\to ln(x^2+1))
est dérivable sur
R et la fonction
![f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f)
est par conséquent dérivable sur
R comme produit de fonctions dérivables sur
R.
![x\in R, f'(x)=ln(x^2+1)+(x-2)\times \frac{2x}{x^2+1} \text{ donc } f'(0)=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in R, f'(x)=ln(x^2+1)+(x-2)\times \frac{2x}{x^2+1} \text{ donc } f'(0)=0)
donc
![C_f](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?C_f)
admet bien une tangente horizontale en 0. Donc la proposition est VRAIE
3. ![f'(1)=ln(1^2+1)+(1-2)\times \frac{2\times 1}{1^2+1}=ln(2)-1\neq ln2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f'(1)=ln(1^2+1)+(1-2)\times \frac{2\times 1}{1^2+1}=ln(2)-1\neq ln2)
donc la proposition est FAUSSE
4. ![f(0)=(0-2)ln(0^2+1)=-2ln(1)=0\neq -2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(0)=(0-2)ln(0^2+1)=-2ln(1)=0\neq -2)
donc la proposition est FAUSSE
Exercice 2
On considère la fonction
f définie sur
![]2;+\infty[ \text{ par } f(x)=x+ln(\frac{x+3}{x-2})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]2;+\infty[ \text{ par } f(x)=x+ln(\frac{x+3}{x-2}))
.
On a :
1.
donc la droite d'équation
![x=2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x=2)
est asymptote verticale à
2.
car
Exercice 3
Le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de 12% annuel vaut
Au bout de
n années, sa voiture vaut
![12000\times (0,88)^n](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?12000\times (0,88)^n)
.
On cherche par conséquent la valeur minimale de
n telle que
donc au bout de 11 années sa voiture vaudra moins que le quart de son prix de départ.