Fiche de mathématiques
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Activités rapides sur les Fonctions logarithmiques

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Enoncés

Exercice 1

On considère la fonction f définie sur R par f(x)=(x-2)ln(x^2+1)

En justifiant, dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses :

1. f(1)=\frac{1}{5}

2. C_f admet une tangente horizontale en 0

3. f'(1)=ln2

4. f(0)=-2

Exercice 2

On considère la fonction f définie sur ]2;+\infty[ \text{ par } f(x)=x+ln(\frac{x+3}{x-2}).

Démontrer que C_f admet une asymptote verticale.

Calculer \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)

Exercice 3

Stéphane achète une voiture 12 000? le 1er janvier 2016. Elle perd 12 % de sa valeur par an.
En quelle année vaudra-t-elle moins que le quart de son prix initial ?




Exercice 1

On considère la fonction f définie sur R par f(x)=(x-2)ln(x^2+1)

En justifiant, dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses :

1. f(1)=(1-2)ln(1^2+1)=-ln(2)\neq \frac{1}{5} donc la proposition est FAUSSE

2. \quelquesoit x\in R, x^2+1>0 et la fonction ln est dérivable sur ]0;+\infty[ donc la fonction x\to ln(x^2+1) est dérivable sur R et la fonction f est par conséquent dérivable sur R comme produit de fonctions dérivables sur R.

\quelquesoit x\in R, f'(x)=ln(x^2+1)+(x-2)\times \frac{2x}{x^2+1} \text{ donc } f'(0)=0 donc C_f admet bien une tangente horizontale en 0. Donc la proposition est VRAIE

3. f'(1)=ln(1^2+1)+(1-2)\times \frac{2\times 1}{1^2+1}=ln(2)-1\neq ln2 donc la proposition est FAUSSE

4. f(0)=(0-2)ln(0^2+1)=-2ln(1)=0\neq -2 donc la proposition est FAUSSE

Exercice 2

On considère la fonction f définie sur ]2;+\infty[ \text{ par } f(x)=x+ln(\frac{x+3}{x-2}).

On a :

1. \displaystyle{\lim_{\substack{x\to 2\\x>2}}f(x)}=\displaystyle{\lim_{\substack{x\to 2\\x>2}}x+ln(\frac{x+3}{x-2})}=+\infty
\text{ car }\displaystyle{\lim_{\substack{x\to 2\\x>2}} x}=2 \text{ et }   \displaystyle{\lim_{\substack{x\to 2\\x>2}} \left(\frac{x+3}{x-2}\right)}=+\infty \text{ et } \lim\limits_{x\to +\infty} ln(X)=+\infty

donc la droite d'équation x=2 est asymptote verticale à C_f

2. \lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}x+ln(\frac{x+3}{x-2})=+\infty

car \lim\limits_{x\to +\infty}(\frac{x+3}{x-2})=\lim\limits_{x\to +\infty}(\frac{1+\frac{3}{x}}{1-\frac{2}{x}})=1 \text{ et }\lim\limits_{X\to 1}ln(X)=0

Exercice 3

Le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de 12% annuel vaut (1-\frac{12}{100})=0,88

Au bout de n années, sa voiture vaut 12000\times (0,88)^n.
On cherche par conséquent la valeur minimale de n telle que 12000\times (0,88)^n\leq 3000

12000\times (0,88)^n\leq 3000\Leftrightarrow (0,88)^n\leq \frac{1}{4}\Leftrightarrow n\times ln(0,88)\leq ln(0,25)\Leftrightarrow n\geq \frac{ln(0,25)}{ln(0,88)}\approx 10,84

donc au bout de 11 années sa voiture vaudra moins que le quart de son prix de départ.
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