Puissances d'un réel strictement positif
I. Puissance d'un réel strictement positif
Pour tout
et pour tout
on a :
Définition :
Soit
On appelle a
b le nombre réel défini par
Propriétés :
Pour tout réel a strictement positif et pour tous les réels b et c, on a :
II. La fonction racine énieme
Théorème - Définition :
Soient n un entier naturel non nul et a un réel strictement positif.
L'équation x
n = a admet une unique solution dans
appelée racine énième de a. Elle est notée
Démonstration :
Etudions sur
la fonction
.
Sur l'intervalle considéré,
, on a f'(x) > 0,
donc f est strictement croissante sur
et elle est de plus continue sur cet intervalle.
D'autre part on a :
f(0) = 0
n et
L'intervalle image est donc
(identique à l'intervalle de définition).
Sur
la fonction est donc dérivable, continue et strictement croissante : pour tout
il existe une unique valeur de x telle que x
n = a
Remarque :
1. Pour tout x appartenant à
, x
n = 0 admet une unique solution :
2. x
n = a avec a > 0 et x > 0
Propriétés :
Si a > 0, alors
Si a = 0, alors
Donc, pour tout
Définition :
On appelle fonction racine énième la fonction définie sur
par
Etude de la fonction :
Sur
Ici le problème mis en évidence vient de l'écriture logarithmique : on ne peut l'utiliser que si x > 0, donc
sur
Dérivée :
Sur
Donc
est strictement positive sur
et f est strictement croissante sur cet intervalle.
Limite :
En 0
+ :
En
Continuité en 0 :
On a :
Donc f
n est continue en 0.
Dérivabilité en 0 :
La fonction n'est pas dérivable en 0 et la courbe admet une demi-tangente verticale en ce point.
On a donc :