Puissances d'un réel strictement positif
I. Puissance d'un réel strictement positif
Pour tout
![x > 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x > 0)
et pour tout
![p \in \mathbb{R}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p \in \mathbb{R})
on a :
Définition :
Soit
On appelle a
b le nombre réel défini par
Propriétés :
Pour tout réel a strictement positif et pour tous les réels b et c, on a :
II. La fonction racine énieme
Théorème - Définition :
Soient n un entier naturel non nul et a un réel strictement positif.
L'équation x
n = a admet une unique solution dans
![[0; +\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? [0; +\infty[)
appelée racine énième de a. Elle est notée
Démonstration :
Etudions sur
![[0 \, ; \, +\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[0 \, ; \, +\infty[)
la fonction
![f'(x) = n \times x^{n-1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f'(x) = n \times x^{n-1})
.
Sur l'intervalle considéré,
![[0 \, ; \, +\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[0 \, ; \, +\infty[)
, on a f'(x) > 0,
donc f est strictement croissante sur
![[0; +\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? [0; +\infty[)
et elle est de plus continue sur cet intervalle.
D'autre part on a :
f(0) = 0
n et
L'intervalle image est donc
![\smal [0; +\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\smal [0; +\infty[)
(identique à l'intervalle de définition).
Sur
![[0; +\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? [0; +\infty[)
la fonction est donc dérivable, continue et strictement croissante : pour tout
![a \in [0; +\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? a \in [0; +\infty[)
il existe une unique valeur de x telle que x
n = a
Remarque :
1. Pour tout x appartenant à
![[0; +\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? [0; +\infty[)
, x
n = 0 admet une unique solution :
2. x
n = a avec a > 0 et x > 0
Propriétés :
Si a > 0, alors
Si a = 0, alors
Donc, pour tout
Définition :
On appelle fonction racine énième la fonction définie sur
![[0; +\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? [0; +\infty[)
par
Etude de la fonction :
Sur
Ici le problème mis en évidence vient de l'écriture logarithmique : on ne peut l'utiliser que si x > 0, donc
![f_n(x) = e^{\frac{1}{n} \times \ln(x)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f_n(x) = e^{\frac{1}{n} \times \ln(x)})
sur
Dérivée :
Sur
Donc
![f'(x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f'(x))
est strictement positive sur
![]0 \, ; \, +\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? ]0 \, ; \, +\infty[)
et f est strictement croissante sur cet intervalle.
Limite :
En 0
+ :
En
Continuité en 0 :
On a :
Donc f
n est continue en 0.
Dérivabilité en 0 :
La fonction n'est pas dérivable en 0 et la courbe admet une demi-tangente verticale en ce point.
On a donc :
![\begin{tabvar}{|c|CCC|} \hline x & 0 & & +\infty \\ \hline \text{Signe de } f' & \dbarre & + & \\ \hline \text{Variations de }\ f & \niveau{1}{2} 0 & \croit & \niveau{2}{2} +\infty\\ \hline \end{tabvar}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{tabvar}{|c|CCC|} \hline x & 0 & & +\infty \\ \hline \text{Signe de } f' & \dbarre & + & \\ \hline \text{Variations de }\ f & \niveau{1}{2} 0 & \croit & \niveau{2}{2} +\infty\\ \hline \end{tabvar})