Fiche de mathématiques
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Puissances d'un réel strictement positif

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I. Puissance d'un réel strictement positif

Pour tout x > 0 et pour tout p \in \mathbb{R} on a :
\ln x^p =	p \times \ln x \\  \Longleftrightarrow e^{\ln x^p} =	e^{p \times \ln x}\\  \Longleftrightarrow \boxed{x^p = e^{p \times \ln x}}
Définition :
Soit a \in \mathbb{R}^+ \text{ et } b \in	\mathbb{R}
On appelle ab le nombre réel défini par a^b = e^{b \times \ln a}


Propriétés :
Pour tout réel a strictement positif et pour tous les réels b et c, on a :
(a^b)^c = a^{b \times c}\\ a^b \times a^c = a^{b + c}\\ \dfrac{a^b}{a^c} = a^{b	- c}\\ a^{-c} = \dfrac{1}{a^c}




II. La fonction racine énieme

Théorème - Définition :
Soient n un entier naturel non nul et a un réel strictement positif.
L'équation xn = a admet une unique solution dans  [0; +\infty[ appelée racine énième de a. Elle est notée \sqrt[n]{a}


Démonstration :
Etudions sur [0 \, ; \, +\infty[ la fonction f : x \mapsto x^n
f'(x)	= n	\times x^{n-1}.
Sur l'intervalle considéré, [0 \, ; \, +\infty[, on a f'(x) > 0,
donc f est strictement croissante sur  [0; +\infty[ et elle est de plus continue sur cet intervalle.
D'autre part on a :
f(0) = 0n et  \displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x^n) = +\infty
L'intervalle image est donc \smal [0; +\infty[ (identique à l'intervalle de définition).
Sur  [0; +\infty[ la fonction est donc dérivable, continue et strictement croissante : pour tout  a	\in [0; +\infty[ il existe une unique valeur de x telle que xn = a

Remarque :
1. Pour tout x appartenant à  [0; +\infty[, xn = 0 admet une unique solution :  x = \sqrt[n]{0} =	0
2. xn = a avec a > 0 et x > 0
\Longleftrightarrow \ln(x^n)	= \ln(a)\\ \Longleftrightarrow n\times \ln(x) =	\ln(a)\\ \Longleftrightarrow \ln(x) = \dfrac{1}{n}	\times	\ln(a)\\ \Longleftrightarrow \ln(x) = \ln(a)^{\frac{1}{n}}\\ \Longleftrightarrow e^{\ln(x)} = e^{\ln(a)^{\frac{1}{n}}}\\ \Longleftrightarrow x = a^{\frac{1}{n}}\\ \Longleftrightarrow \sqrt[n ]{a} = a^{\frac{1}{n}}
Propriétés :
Si a > 0, alors \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}
Si a = 0, alors \sqrt[n]{a} = 0 \text{ ( par convention } 0^{\frac{1}{n}}=0)
Donc, pour tout a \in [0; +\infty[, \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}

Définition :
On appelle fonction racine énième la fonction définie sur  [0; +\infty[ par f_n(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}


Etude de la fonction :
Sur ]0; +\infty[ \, \,	x^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{1}{n} \times \ln(x)}
Ici le problème mis en évidence vient de l'écriture logarithmique : on ne peut l'utiliser que si x > 0, donc f_n(x) = e^{\frac{1}{n} \times \ln(x)} sur \mathbb{R}^+

Dérivée :
f'(x) = \dfrac{1}{n} \times \dfrac{1}{x} \times e^{\frac{1}{n} \times \ln(x)}
Sur \mathbb{R}^+
\dfrac{1}{n} > 0 \text{ car } n \in \mathbb{N}^*\\ \dfrac{1}{x} > 0\\ e^{\frac{1}{n} \times \ln(x)} > 0
Donc f'(x) est strictement positive sur  ]0 \, ; \, +\infty[ et f est strictement croissante sur cet intervalle.

Limite :
En 0+ :
 \left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x \to 0^+} (\ln(x)) = -\infty \\ \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{n}\right) = \dfrac{1}{n} \\ \end{array} \right \rbrace \hspace{25pt} \text{ par produit } \hspace{25pt} \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{n} \times \ln(x)\right) = -\infty\\ \left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{n} \times \ln(x)\right) = -\infty \\ \displaystyle  \lim_{X \to -\infty} (e^X) = 0 \\ \end{array} \right \rbrace \hspace{25pt} \text{ par composée } \hspace{25pt} \lim_{x \to 0^+} f_n(x) = 0

En +\infty
\left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x \to +\infty} (\ln(x)) = +\infty \\ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{1}{n}\right) = \dfrac{1}{n} \\ \end{array} \right \rbrace \hspace{2pt} \text{ par produit } \hspace{2pt} \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{1}{n} \times \ln(x)\right) = +\infty \\ \left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{1}{n} \times \ln(x)\right) = +\infty \\ \displaystyle \lim_{X \to +\infty} (e^X) = +\infty \\  	\end{array} \right \rbrace  \hspace{2pt} \text{ par composée } \hspace{2pt} \lim_{x \to +\infty} f_n(x) = +\infty

Continuité en 0 :
On a : \displaystyle \lim_{x \to 0^+} f_n(x) = 0 \text{ et } f_n(0) = 0
Donc fn est continue en 0.

Dérivabilité en 0 :
\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{f_n(x) - f_n(0)}{x - 0}\right) = \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \dfrac{f_n(x)}{x} = \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \dfrac{x^{\frac{1}{n}}}{x} = \displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^{\frac{1}{n} - 1} = \displaystyle \lim_{x \to 0^+} e^{(\frac{1}{n}-1) \times \ln(x)}

\left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty  \\ \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{n} - 1\right) = \dfrac{1}{n} - 1  \\ \end{array} \right \rbrace \hspace{2pt} \text{ par produit } \hspace{2pt} \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{n} - 1\right) \times \ln(x) = +\infty \left( \text{ car } \left(\dfrac{1}{n} - 1\right) < 0\right)\\ \left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{n} - 1\right) \times \ln(x) = +\infty \\ \displaystyle \lim_{X \to +\infty} (e^X) = +\infty \\ \end{array} \right \rbrace \hspace{2pt} \text{ par composée } \hspace{2pt} \displaystyle \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{f_n(x) - f_n(0)}{x - 0}\right) = +\infty

La fonction n'est pas dérivable en 0 et la courbe admet une demi-tangente verticale en ce point.

On a donc :
\begin{tabvar}{|c|CCC|} \hline  x & 0 &  & +\infty \\  \hline  \text{Signe de } f' & \dbarre &  + & \\  \hline  \text{Variations de }\ f & \niveau{1}{2} 0 & \croit & \niveau{2}{2} +\infty\\  \hline  \end{tabvar}
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