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- Fonction logarithme népérien, Cours de terminale
- Activités rapides sur les Fonctions logarithmiques
- Puissances d'un réel strictement positif (Terminale)
- Fonction exponentielle - Fiche de Cours terminale
- Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés
- Fiche sur les nombres complexes - terminale
- Limites de fonctions - Cours sur les limites
- Limite de suites : un récapitulatif
Fiche de mathématiques
Ile mathématiques > maths Tale > Fonction Logarithme
Révisez la fiche de cours sur les logarithmes
Déterminer les limites des fonctions suivantes aux bornes de leur ensemble de définition :
1.![f(x)=2x-\ln x \text{ définie sur } ]0;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(x)=2x-\ln x \text{ définie sur } ]0;+\infty[)
2.![g(x)=\frac{x}{5\ln (x)} \text{ définie sur } ]1;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g(x)=\frac{x}{5\ln (x)} \text{ définie sur } ]1;+\infty[)
3.![h(x)=\frac{x}{-2+\ln x} \text{ définie sur } ]e^2;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?h(x)=\frac{x}{-2+\ln x} \text{ définie sur } ]e^2;+\infty[)
1.=\ln (x^2-x+2))
2.=7\ln (x^2)+x^2)
Dresser le tableau de variations complet de la fonction
définie sur 
par =\ln (x^2+x+1))
}=\displaystyle{\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}2x-\ln x}=+\infty \text{ car } \displaystyle{\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}2x}=0 \text{ et } \displaystyle{\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}\ln x}=-\infty)
Limite au voisinage de
est une forme indéterminée du type 
.
Or}{x})=+\infty \text{ car } \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\ln (x)}{x}=0 \text{ donc } \lim\limits_{x\to +\infty}2-\frac{\ln (x)}{x}=2)
2. Limite au voisinage de 1+
}=\displaystyle{\lim_{\substack{x\to 1\\x>1}}\frac{x}{5\ln (x)}}=+\infty \text{ car } \displaystyle{\lim_{\substack{x\to 1\\x>1}}x}=1 \text{ et } \dislpaystyle{\lim_{\substack{x\to 1\\x>1}}\ln (x)}=0^+)
Limite au voisinage de
=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x}{5\ln (x)})
est une forme indéterminée du type 
Or}{x}}=+\infty \text{ car } \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\ln (x)}{x}=0^+ \text{ donc } \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{1}{\frac{\ln (x)}{x}}=+\infty)
3. Limite au voisinage de
}=\displaystyle{\lim_{\substack{x\to e2\\x>e^2}}\frac{x}{-2+\ln x}}=+\infty \text{ car } \displaystyle{\lim_{\substack{x\to e^2\\x>e^2}}x}=e^2>0)
et
Limite au voisinage de
=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x}{-2+\ln x})
est une forme indéterminée du type
=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{e^{\ln x}}{-2+\ln x}=\lim\limits_{X\to +\infty} \frac{e^X}{-2+X})
en posant 
}=\lim\limits_{Y\to -\infty}\frac{e^{2-2Y}}{-2Y})
en posant 
1.
La fonction
définie par =x^2-x+2)
est définie et dérivable sur comme fonction polynôme du 2nd degré.
La fonction
est définie et dérivable sur ![]0;+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0;+\infty[)
Étude du signe de
^2-4\times 1\times 2=1-8=-7<0)
donc le trinôme du second degré est du signe de 
coefficient des 
pour tout réel donc strictement positif.
Ainsi, la fonction
est définie et dérivable sur
=\frac{2x-1}{x^2-x+2})
2.
La fonction
définie par =x^2)
est définie et dérivable sur comme fonction polynôme du 2nd degré.
La fonction est définie et dérivable sur
Or 
donc la fonction 
est définie et dérivable sur 
=7\times \frac{2x}{x^2}+2x=\frac{14x}{x^2}+2x=\frac{14}{x}+2x)
3.=\ln (\frac{3-x}{3+x}))
définie par =x^2+x+1)
est définie et dérivable sur comme fonction polynôme du 2nd degré.
La fonction est définie et dérivable sur
Étude du signe de
donc le trinôme du second degré est du signe de coefficient des pour tout réel donc strictement positif.
Ainsi, la fonction est définie et dérivable sur
Limite au voisinage de
=+\infty)
par composition des limites
=\lim\limits_{x\to -\infty}(x^2)=+\infty \text{ et } \lim\limits_{X\to +\infty}\ln (X)=+\infty)
Limite au voisinage de
De même=+\infty)
par composition des limites
=\lim\limits_{x\to +\infty} (x^2)=+\infty \text{ et } \lim\limits_{X\to +\infty} \ln (X)=+\infty)
Dérivée de =\frac{2x+1}{x^2+x+1})
Tableau de variations de
Comme 
on déduit que )
est du signe de 
On a=\ln (\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1)=\ln (\frac{3}{4})=\ln 3-\ln 4)
 & & - & \barre{0} & + & \\ \hline \niveau{2}{3} f & +\infty & \decroit & \ln 3-\ln 4 & \croit & +\infty \\ \hline \end{tabvar})
Activités rapides sur les Fonctions logarithmiques - Volume 2
Révisez la fiche de cours sur les logarithmes
Enoncés
Exercice 1
Déterminer les limites des fonctions suivantes aux bornes de leur ensemble de définition :
1.
2.
3.
Exercice 2
Pour chacune des fonctions suivantes, étudier sa dérivabilité puis calculer sa dérivée :1.
2.
Exercice 3
Dresser le tableau de variations complet de la fonction
Exercice 1
1. Limite au voisinage de 0+Limite au voisinage de
Or
2. Limite au voisinage de 1+
Limite au voisinage de
Or
3. Limite au voisinage de
et
Limite au voisinage de
Exercice 2
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer sa dérivée :1.
La fonction
La fonction
Étude du signe de
Ainsi, la fonction
2.
La fonction
La fonction
Or
3.
Exercice 3
La fonctionLa fonction
Étude du signe de
Ainsi, la fonction
Limite au voisinage de
Limite au voisinage de
De même
Dérivée de
Tableau de variations de
Comme
On a
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