Fiche de mathématiques
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Activités rapides sur les Fonctions logarithmiques - Volume 2

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Enoncés

Exercice 1


Déterminer les limites des fonctions suivantes aux bornes de leur ensemble de définition :


1. f(x)=2x-\ln x \text{ définie sur } ]0;+\infty[

2. g(x)=\frac{x}{5\ln (x)} \text{ définie sur } ]1;+\infty[

3. h(x)=\frac{x}{-2+\ln x} \text{ définie sur } ]e^2;+\infty[

Exercice 2

Pour chacune des fonctions suivantes, étudier sa dérivabilité puis calculer sa dérivée :

1. f(x)=\ln (x^2-x+2)
2. g(x)=7\ln (x^2)+x^2

Exercice 3


Dresser le tableau de variations complet de la fonction f définie sur R par f(x)=\ln (x^2+x+1)




Exercice 1

1. Limite au voisinage de 0+

\displaystyle{\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}f(x)}=\displaystyle{\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}2x-\ln x}=+\infty \text{ car } \displaystyle{\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}2x}=0 \text{ et } \displaystyle{\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}\ln x}=-\infty

Limite au voisinage de +\infty

\lim\limits_{x\to +\infty} 2x-\ln x est une forme indéterminée du type +\infty -\infty.

Or \lim\limits_{x\to +\infty}2x-\ln x=\lim\limits_{x\to +\infty}x(2-\frac{\ln (x)}{x})=+\infty \text{ car } \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\ln (x)}{x}=0 \text{ donc } \lim\limits_{x\to +\infty}2-\frac{\ln (x)}{x}=2

2. Limite au voisinage de 1+

\displaystyle{\lim_{\substack{x\to 1\\x>1}}g(x)}=\displaystyle{\lim_{\substack{x\to 1\\x>1}}\frac{x}{5\ln (x)}}=+\infty \text{ car } \displaystyle{\lim_{\substack{x\to 1\\x>1}}x}=1 \text{ et } \dislpaystyle{\lim_{\substack{x\to 1\\x>1}}\ln (x)}=0^+

Limite au voisinage de +\infty

\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x}{5\ln (x)} est une forme indéterminée du type \frac{+\infty}{+\infty}

Or \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{1}{5}\times \frac{1}{\frac{\ln (x)}{x}}=+\infty \text{ car } \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\ln (x)}{x}=0^+ \text{ donc } \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{1}{\frac{\ln (x)}{x}}=+\infty

3. Limite au voisinage de e^2

\displaystyle{\lim_{\substack{x\to e^2\\x>e^2}} h(x)}=\displaystyle{\lim_{\substack{x\to e2\\x>e^2}}\frac{x}{-2+\ln x}}=+\infty \text{ car } \displaystyle{\lim_{\substack{x\to e^2\\x>e^2}}x}=e^2>0

et \displaystyle{\lim_{\substack{x\to e^2\\x>e^2}}-2+\ln x}=0^+ \text{ donc } \displaystyle\lim_{\substack{x\to e^2\\x>e^2}}\frac{1}{-2+\ln x}}=+\infty

Limite au voisinage de +\infty

\lim\limits_{x\to +\infty}h(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x}{-2+\ln x} est une forme indéterminée du type \frac{+\infty}{+\infty}

\lim\limits_{x\to +\infty}h(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{e^{\ln x}}{-2+\ln x}=\lim\limits_{X\to +\infty} \frac{e^X}{-2+X} en posant X=\ln x

\lim\limits_{X\to +\infty}\frac{e^X}{-2+X}=\lim\limits_{X\to +\infty}\frac{e^X}{-2(1-\frac{X}{2})}=\lim\limits_{Y\to -\infty}\frac{e^{2-2Y}}{-2Y} en posant Y=1-\frac{X}{2}

\lim\limits_{Y\to -\infty}\frac{e^{2-2Y}}{-2Y}=\lim\limits_{Y\to-\infty}\frac{e^2 e^{-2Y}}{-2Y}=\lim\limits_{Z\to +\infty}\frac{e^2e^Z}{Z}=+\infty \text{ car } \lim\limits_{Z\to +\infty}\frac{e^Z}{Z}=+\infty

Exercice 2

Pour chacune des fonctions suivantes, calculer sa dérivée :

1. f(x)=\ln (x^2-x+2)
La fonction u définie par u(x)=x^2-x+2 est définie et dérivable sur R comme fonction polynôme du 2nd degré.
La fonction \ln est définie et dérivable sur ]0;+\infty[

Étude du signe de x^2-x+2
\Delta=(-1)^2-4\times 1\times 2=1-8=-7<0 donc le trinôme du second degré est du signe de a=1 coefficient des x^2 pour tout réel donc strictement positif.

Ainsi, la fonction f=\ln ou est définie et dérivable sur R

\quelquesoit x\in R, f'(x)=\frac{2x-1}{x^2-x+2}

2. g(x)=7\ln (x^2)+x^2

La fonction v définie par v(x)=x^2 est définie et dérivable sur R comme fonction polynôme du 2nd degré.
La fonction \ln est définie et dérivable sur ]0;+\infty[

Or\quelquesoit x\neq 0,x^2>0 donc la fonction g est définie et dérivable sur R^*

\quelquesoit x\neq 0, g'(x)=7\times \frac{2x}{x^2}+2x=\frac{14x}{x^2}+2x=\frac{14}{x}+2x

3. h(x)=\ln (\frac{3-x}{3+x})

Exercice 3

La fonction u définie par u(x)=x^2+x+1 est définie et dérivable sur R comme fonction polynôme du 2nd degré.
La fonction \ln est définie et dérivable sur ]0;+\infty[

Étude du signe de x^2+x+1
\Delta=1^2-4\times 1\times 1=1-4=-3<0donc le trinôme du second degré est du signe de a=1 coefficient des x^2 pour tout réel donc strictement positif.

Ainsi, la fonction f=\ln ou est définie et dérivable sur R

Limite au voisinage de -\infty

\lim\limits_{x\to -\infty}\ln (x^2+x+1)=+\infty par composition des limites
\lim\limits_{x\to -\infty}(x^2+x+1)=\lim\limits_{x\to -\infty}(x^2)=+\infty \text{ et } \lim\limits_{X\to +\infty}\ln (X)=+\infty

Limite au voisinage de +\infty

De même \lim\limits_{x\to +\infty}\ln (x^2+x+1)=+\infty par composition des limites
\lim\limits_{x\to +\infty} (x^2+x+1)=\lim\limits_{x\to +\infty} (x^2)=+\infty \text{ et } \lim\limits_{X\to +\infty} \ln (X)=+\infty

Dérivée de f \quelquesoit x\in R, f'(x)=\frac{2x+1}{x^2+x+1}

Tableau de variations de f
Comme \quelquesoit x\in R, x^2+x+1>0 on déduit que f'(x) est du signe de 2x+1

On a f(\frac{-1}{2})=\ln (\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1)=\ln (\frac{3}{4})=\ln 3-\ln 4

\begin{tabvar}{|C|CCCCC|}      \hline  x                      & -\infty         &      & -\frac{1}{2}               &        & +\infty      \\ \hline  f'(x)            &          &    - & \barre{0}       &  +     &        \\ \hline \niveau{2}{3} f  & +\infty       &     \decroit & \ln 3-\ln 4 &  \croit  &   +\infty    \\ \hline \end{tabvar}
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