Inscription / Connexion Nouveau Sujet
2 questions d'algèbre
Bonjour !
Voilà mes deux questions:
-J'aurais tout d'abord voulu connaitre la différence entre un ensemble dénombrable et un ensemble au plus dénombrable;
-Si une matrice devient nulle à partir de par exemple, puis-je affirmer qu'elle n'est pas inversible?
Merci et bonne journée !
Bonjour.
Dénombrable : de cardinal celui de N
Au plus dénombrable : fini ou dénombrable.
Oui : A3 = 0 => A non inversible.
A plus RR.
E est un ensemble dénombrable si, intuitivement, il a autant d'éléments que l'ensemble N des entiers naturels. Cela signifie, plus mathématiquement, qu'il existe une bijection de E dans N (ou de N dans E).
A plus RR.
Bonjour raymond 
Comment montrer que toute matrice nilpotente est non inversible ?
Pour le moment j'ai juste réussi à prouver que si est nilpotente d'indice
alors
est inversible d'inverse
Merci.
Bonjour à tous
oui, c'est juste. Cela dit, on peut utiliser une autre méthode valable dans tout anneau.
En effet, si tu a un anneau A, un élément nilpotent n'est jamais inversible. Ici, on a le déterminant qui permet de régler ça en 2 temps, 3 mouvements. Dans un anneau quelconque, on ne peut plus.
Ma question est donc la suivante : comment montrerais-tu cette propriété pour tout anneau ?
Kaiser
Bonjour Kevin
ta démonstration est juste. Il y a plus simple: si une application u est nilpotente, son noyau n'est pas réduit à 0, donc elle n'est pas injective, elle n'est pas injective, donc pas inversible!
Bonjour Camélia et Kaiser
Je vais surement dire une bétise :
Soit un élément nilpotent d'un anneau
On a
Donc et
sont des diviseurs de 0 donc ils ne sont pas inversibles.
Faux ? 
Non, c'est juste sauf qu'il faut préciser que l'on prend n comme étant l'indice de nilpotence de x.
Sinon, tu pouvais très bien ne pas parler de diviseur de 0 et multiplier par l'inverse de x, ce qui aurait contredit la définition de l'indice de nilpotence n.
Kaiser
Ah oui c'est vrai !
On dit que les diviseurs de 0 ne sont pas inversibles mais pourquoi ?
Si on revient à la définition :
et
tels que
J'ai pensé à dire que si est l'inverse de
alors :
Contradiction. (et idem avec )
C'est ça ?
Merci
Bonjour tout le monde!
Autre essai:
Si A matrice d'un endomorphisme u est inversible, alors u transforme une base de E en une base de E. En appliquant trois fois la propriété, u3 transforme une base de E en une base de E. Ce qui contredit A3 = 0.
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac