Fiche de mathématiques
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Ensemble et Application (Partie 1)

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I. Théorie des ensembles

a) Egalité

Soient E et F deux ensembles.
On dit que E est égal à F et on note E=F si : \forall x \in E \Longleftrightarrow x \in F

b) Inclusion

Soient E et F deux ensembles.
On dit que E est inclus dans F et on note E \subset F si : \forall x \; \text{ : } \; x \in E \Rightarrow  x \in F
Ensemble et application Partie I : image 1

Remarque :
E = F  \Leftrightarrow (E \subset F \text{ et } F \subset E)

c)Intersection

Soient E et F deux ensembles.
On appelle intersection de E et F et on note E \cap F la partie des élements qui sont à la fois dans E et dans F.
On a donc E \cap F = \lbrace  x / x \in F \text{ et } x \in E \rbrace
Ensemble et application Partie I : image 2
Propriété :
Soient E , F et G trois ensembles :
  • E \subset F \Longleftrightarrow E \cap F = E
  • (E \cap F) \cap G = E \cap( F \cap G)


d) Réunion

Soient E et F deux ensembles.
On appelle réunion de E et F et on note E \cup F l'ensemble \lbrace x / x \in E \text{ ou } x \in F\rbrace
Propriété :
Soient E , F et G trois ensembles :
  • E \subset F \Longleftrightarrow E \cup F = F
  • (E \cup F) \cup G = E \cup (F\cup G)
  • E\cap (F\cup G) = (E\cap F)\cup (E \cap G)
  • E \cup (F \cap G) = (E \cup F) \cap (E \cup G)


e) Différence

Soit E un ensemble, A et B deux parties de E.
On appelle différence de A et B et on note A \backslash B l'ensemble A \backslash  B = \lbrace x \in E / x \in A \text{ et } x \not \in B \rbrace
Propriété :
A \subset B \Longleftrightarrow A  \backslash B = \emptyset


f) Complémentaire

Soit E un ensemble, A une partie de E.
On appelle complémentaire de A dans E et on note C^A_{E} l'ensemble \lbrace  x \in E /  x \not \in A \rbrace

g) Différence symétrique

Soient A et B deux ensembles.
On appelle différence symétrique et on note A \triangle B l'ensemble définie par : A \triangle  B   = (A \backslash B) \cup (B \backslash A)
Propriétés :
Soient A, B et C trois ensembles :
  • A \triangle A = \emptyset
  • A \triangle B = ( A \cup B) \backslash (A \cap B)
  • A \cap(B \triangle C) = (A \cap B) \triangle (A\cap C)



II. Ensemble des parties d'un ensemble

Soit E un ensemble.
L'ensemble des parties de E est noté \mathcal{P}(E) et on a : \mathcal{P }(E) = \lbrace  A / A \subset E\rbrace
On a donc A \in \mathcal{P }(E) \Longleftrightarrow A \subset E

Exemple :
Soit E = \lbrace  a ,b,c \rbrace
On a alors : \mathcal{P}(E) = \lbrace  \emptyset , \lbrace a\rbrace  ,  \lbrace b\rbrace ,  \lbrace c\rbrace ,  \lbrace a,b\rbrace  , \lbrace a,c\rbrace  , \lbrace c,b\rbrace   , \lbrace a,b,c\rbrace   \rbrace

III. Produit Cartésien

Soient E et F deux ensembles, on définit le produit cartésien qu'on notera E \times F l'ensemble : E \times F = \lbrace  (a,b) / a \in E , b \in F \rbrace
Et on convient : si l'un des ensembles est vide alors : E \times F = \emptyset
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