Dualité - Chapitre III
Orthogonalité et transposition
III - 1. Hyperplans
III - 1 - 1. Image d'une forme linéaire
Dans tout ce chapitre, E désigne un K-ev non réduit à {0
E}, et E* son dual. Rappelons que tout élément de E* est une forme linéaire, donc, une application linéaire f de E dans K, K considéré comme K-ev de dimension 1. Le noyau et l'image de f ont la signification habituelle. Intéressons nous d'abord à l'image Im(f), l'étude du noyau Ker(f) demandant plus de préparation.
Im(f) étant un sev du but, ici K, cela ne laisse que deux possibilités : soit Im(f) = {0}, soit Im(f) = K.
Im(f) = {0}

x

E, f(x) = 0

f = O* (forme nulle).
Im(f) = K

f est surjective.
Théorème III - 1.
Toute forme linéaire non nulle est surjective.
Cela signifie que si f est non nulle, pour tout élément a de K, l'équation f(x) = a possède des solutions dans E.
III - 1 - 2. Hyperplans de E
Définition III - 1.
Soit E un K-ev non réduit à {0E}.
On appelle hyperplan de E tout sev H de E, distinct de E vérifiant la propriété suivante : si F est un sev de E contenant H, alors, F = H ou F = E.
Cela signifie que si

désigne l'ensemble des sev de E ordonné par inclusion, les hyperplans de E sont les éléments maximaux de

\{E}. On peut dire aussi qu'il n'existe aucun sev de E strictement compris entre H et E. Cette propriété de maximalité donne une caractérisation fondamentale des hyperplans.
Notation :
Soit a un vecteur non nul de E, la droite vectorielle engendrée par a est le sev D de E formé par les vecteurs du type k.a, où k décrit K. Nous écrirons : D = K.a.
Théorème III - 2.
E un K-ev non réduit à {0
E}, H un sev de E, distinct de E. Si H admet un sous-espace vectoriel supplémentaire de dimension 1, alors H est un hyperplan de E.
Réciproquement, si H est un hyperplan de E, alors, pour tout a

E \ H, E = H

K.a.
Preuve :
1. On suppose donc que H

E et qu'il existe une droite vectorielle D telle que E = H

D. Si a est un vecteur non nul de D, nous avons D = K.a, avec a

H, puisque E et H sont distincts. Considérons un sev F de E contenant H strictement. Il existe donc un élément b non nul dans F \ H. La décomposition E = H

D signifie qu'il existe un unique couple (h,k)

H × K tel que b = h + k.a. Comme b n'est pas dans H, k est non nul, donc inversible dans K et on peut écrire a = k
-1(b - h). Mais b et h sont dans F, donc a également par combinaison linéaire. Cela signifie que E = H

D

F, donc que F = E. H est bien un hyperplan de E.
2. Soit H un hyperplan de E. Par définition, H est strictement inclus dans E, donc, il existe a non nul, appartenant à E \ H. La droite vectorielle D = K.a vérifie H

D = {0
E}. La somme de H et de D est donc directe et H

D est un sev de E contenant H strictement. Par définition des hyperplans : H

D = E.
III - 1 - 3. Premières conséquences
Tout hyperplan possède des supplémentaires, ces supplémentaires étant des droites vectorielles. Réciproquement, si un sev H de E possède une droite pour supplémentaire, H est un hyperplan de E.
Si E est de dimension finie n > 0, le théorème III - 2 entraine : les hyperplans de E sont les sev de dimension n-1.
Théorème III - 3.
Si dim(E) = n > 0, les hyperplans de E sont les sev de E de dimension n-1.
Cas particuliers :
Si n = 1, un seul hyperplan H = {0
E}. Si n = 2, les hyperplans de E sont tous les sev de E de dimension 1 : ce sont les droites vectorielles de E. Si n = 3, les hyperplans de E sont les sev de dimension 2 : ce sont les plans vectoriels de E.
Pour un hyperplan H donné, la décompositon E = H

D = H

K.a n'est pas unique : tout vecteur a de E \ H convient. Par exemple dans E = R
3, H étant un plan vectoriel donné, toute droite vectorielle D non incluse dans H fera l'affaire.
Par contre, pour une décomposition donnée de E : E = H

K.a, l'écriture d'un vecteur quelconque x de E est unique :

x

E,

! (h
x , k
x)

H×K, x = h
x + k
x.a. Les indices indiquent la dépendance des éléments de H et de K par rapport à x. En fait, h
x et k
x.a sont les images de x par les deux projecteurs associés à la somme directe.
III - 1 - 4. Noyau d'une forme linéaire
Voici le lien entre les hyperplans et les noyaux des formes linéaires.
D'abord, si f

E* est la forme nulle, on a bien sûr Ker(f) = E. Sinon :
Théorème III - 4 - a)
E

{0
E} un K-ev, f

E*, non nulle. Alors, Ker(f) est un hyperplan de E.
Preuve :
Si f est non nulle, alors H = Ker(f) est un sev de E strictement inclus dans E et Im(f) = K. Prenons un vecteur a dans E \ H, donc, f(a) est un scalaire non nul. Appelons D la droite vectorielle K.a. Comme f(a) est non nul, D

H = {0
E}. La somme H + D est donc directe et F = H

D est un sev de E contenant strictement H. Soit b un vecteur quelconque de E, considérons c = b - f(b)[f(a)]
-1.a. On a immédiatement f(c) = 0, donc c est dans H. Or, on peut écrire que : b = c + f(b)[f(a)]
-1.a, ce qui prouve que b appartient à H

D. Donc, E = H

K.a, ce qui prouve que H admet pour supplémentaire une droite vectorielle. Par le théorème III - 2 : H est un hyperplan.
Ce théorème possède une réciproque très importante :
Théorème III - 4 - b).
E un Kev, E

{0
E}, H un hyperplan de E. Il existe au moins une forme linéaire non nulle f telle que H = Ker(f).
Si f
0 est l'une d'elles, alors toute autre forme linéaire g telle que Ker(g) = H est du type g = k.f
0 où k est un élément non nul de K.
Preuve :
Soient H un hyperplan de E, a

E \ H et D = K.a. On sait qu'alors E = H

K.a (théorème III - 2). Donc, pour tout x dans E, x = h
x + k
x.a (h
x 
H, k
x 
K).
Considérons l'application f : E

K définie par f(x) = f( h
x + k
x.a) = k
x. Montrons qu'elle est linéaire. Soient r et r' deux éléments de K, x et x' deux vecteurs de E.
f(r.x + r'.x') = f[r(h
x + k
x.a) + r'(h
x' + k
x'.a)] = f[(r.h
x + r'.h
x') + (r.k
x + r'.k
x').a]. Dans le crochet figurent un élément de H : r.h
x + r'.h
x' et un élément de K.a : (r.k
x + r'.k
x').a. L'unicité de la décomposition sur la somme directe permet d'écrire : f(r.x + r'.x') = (r.k
x + r'.k
x').a = r.k
x.a + r'.k
x'.a = r.f(x) + r'.f(x'). f est bien élément de E*. De plus, f(a) = 1, donc, f est non nulle. Enfin, f(x) = 0

k
x = 0

x = h
x 
x

H. Donc H = Ker(f). Nous avons bien mis en évidence une forme linéaire non nulle de noyau H.
Cherchons maintenant toutes les formes linéaires non nulles g telles que H = Ker(g). Soit f
0 une forme linéaire non nulle telle que Ker(f
0) = H.
a) Pour tout scalaire t

K \ {0}, t.f
0(x) = 0

f
0(x) = 0, donc, H = Ker(t.f
0).
b) Soit g non nulle telle que Ker(g) = H. Considérons la forme linéaire : F = f
0(a).g - g(a).f
0.

x

E, F(x) = F(h
x + k
x.a) = f
0(a).g(h
x + k
x.a) - g(a).f
0(h
x + k
x.a) = f
0(a).k
x.g(a) - g(a).k
x.f
0(a) = 0. Donc F = O*. Comme f
0(a) est non nul, on en déduit que g = g(a)[f
0(a)]
-1.f
0 : du type t.f
0, t

K \ {0}. On peut dire que les formes linéaires de noyau H forment une droite vectorielle de E*, privée de O*.
Remarque :
Le fait de ne pas travailler en dimension finie rend les preuves plus difficiles. Par contre, ces théorèmes ont l'avantage de s'appliquer dans toutes les situations.
III - 2. Conséquences
III - 2 - 1. Exemples
Ex III - 1. E est le C-ev des applications continues de [0,1] dans C. Soit F : E

C définie par F(f) =

f(t)dt. F est une forme linéaire sur E. De plus, F est non nulle. En effet, si l'on prend par exemple g dans E telle g(t) = 1, alors, F(g) = 1. En appliquant le théorème III - 4 a), l'ensemble

des applications h de E telles que

h(t)dt = 0 est un hyperplan de E. On peut même écrire que E =

C.g.
Ex III - 2. E = M
n(K) le K-ev des matrices carrées d'ordre n. Nous savons que ( II - 2.), tr : M

tr(M) est une forme linéaire sur E. Elle est non nulle puisque tr(E
11) = 1. Donc, l'ensemble

des matrices H de E telles que tr(H) = 0 est un hyperplan de E. Comme ici, dim(E) = n², on peut même dire que dim(

) = n² - 1.
Ex III - 3. E = C[X] le C-ev des polynômes à une indéterminée à coefficients complexes. Soit a un élément fixé de C. Appelons

l'ensemble des polynômes P de E tels que P(a) = 0 (c'est-à-dire des polynômes ayant a pour racine). On sait que f
a : P

P(a) est une forme linéaire sur E. Elle est non nulle puisque f
a(1) = 1 est non nul. Or, par construction,

= Ker(f
a), donc,

est un hyperplan de E.
Ex III - 4. Pour n > 1, soit J la matrice de M
n(R) dont tous les coefficients sont égaux à 1 (II - 4 - 5). J est la matrice d'un endomorphisme u de R
n dans la base canonique B
n de R
n. On sait que u est de rang 1, donc dim(Ker(u)) = n - 1. Ceci prouve que

= Ker(u) est un hyperplan de R
n. Il existe donc une forme linéaire f non nulle sur R
n telle que : Ker(u) =

= Ker(f). Pour trouver les éléments x de R
n appartenant à Ker(u) au moyen de leurs coordonnées (x
1 , ... , x
n) dans B
n, on résout le système matriciel : J.X = O, X =
t(x
1 ... x
n), O =
t(0 , ... , 0). On obtient n fois la même condition : x
1 + ... + x
n = 0. Par le théorème I - 4, cette écriture nous donne les coordonnées de f dans la base duale de la base B
n : f(1 , ... , 1). On remarque que toute forme linéaire g ayant même noyau que f s'écrira k.f, k non nul et donnera donc k.x
1 + ... + k.x
n = 0, donc la même condition : x
1 + ... + x
n = 0.
III - 2 - 2. Equation d'un hyperplan
Soient E un K-ev, E

{0
E}, H un hyperplan de E, f une forme linéaire (non nulle) telle que H = Ker(f). Nous avons donc : x

H

f(x) = 0

< x , f > = 0. Si g est une autre forme linéaire de noyau H, alors, g = k.f, (k non nul) et l'équation < x , g > = 0 s'écrira < x , k.f > = 0, donc : k.< x , f > = 0. Comme k

0, cela donne encore < x , f > = 0. L'équation d'inconnue x : < x , f > = 0 est donc indépendante du choix de la forme linéaire f de noyau H. Cette équation s'appelle une équation cartésienne de H. Elle est définie à un coefficient non nul près.
Définition III - 2.
Soient E

{0
E} un K-ev, H un hyperplan de E. On appelle équation cartésienne de H l'équation < x , f > = 0, d'inconnue x

E, f étant l'une des formes linéaires de E* vérifiant Ker(f) = H.
La situation la plus intéressante est lorsque dim(E) est finie, égale à n > 0. Prenons une base B
E de E et sa duale (B
E)* dans E*. Alors, si f a pour coordonnées (a
1 , ... , a
n) non toutes nulles sur (B
E)* et si x a pour coordonnées (x
1 , ... , x
n) sur B
E nous savons (théorème I - 4) que < x , f > = 0

a
1x
1 + a
2x
2 + ... + a
nx
n = 0.
Théorème III - 5.
Soient E un K-ev de dimension n > 0, H un hyperplan de E, f une des formes linéaires de E* de noyau H. Si l'on munit E et E* de deux bases duales B
E et (B
E)*, l'équation cartésienne de H se présente sous la forme : < x , f > = 0

a
1x
1 + a
2x
2 + ... + a
nx
n = 0, où (x
1 , ... , x
n) et (a
1 , ... , a
n) sont les coordonnées de x et de f respectivement sur B
E et (B
E)*. f étant non nulle, les a
i sont non tous nuls.
On retrouve ce que l'on sait depuis longemps. Si n = 2, une droite vectorielle s'écrit a.x + by = 0, (a,b)

(0,0). Si n = 3, un plan vectoriel s'écrit : ux + vy + wz = 0, (u,v,w)

(0,0,0).
III - 3. Orthogonalité
III - 3 - 1. Définitions
Définition III - 3.
E un K-ev, E* son dual. x

E et f

E* sont dits orthogonaux ssi f(x) = < x , f > = 0. On dit aussi que x est orthogonal à f ou que f est orthogonal à x.
Premiers exemples :
0
E est orthogonal à toute forme linéaire f de E*. La forme linéaire nulle O* est orthogonale à tout vecteur x de E.
Soit E de dimension finie rapporté à une base B
E = (e
1 , ... , e
n) et (B
E)* = (e
1* , ... , e
n*) sa base duale dans E*. Alors, e
i et e
j* sont orthogonaux pour j

i.
La définition relie les éléments de E et de E*. On peut de même parler d'orthogonalité entre E* et E** : f

E* et F

E** sont orthogonaux ssi < f , F > = 0. Pour tenir compte de ces différents cas, nous considérerons l'écriture de gauche à droite : E

E*

E**. Alors, l'orthogonalité vers la droite se notera : A° et l'orthogonalité vers la gauche se notera : °B.
Définition III - 4 - a) :
E un K-ev, E* son dual. Considérons une partie A non vide de E. On appelle orthogonal de A dans E* le sous-ensemble de E* : A° = {f

E*,

x

A, < x , f > = 0}. A° est ainsi l'ensemble des formes linéaires f s'annulant sur la partie A de E, donc les formes linéaires dont le noyau contient A.
Définition III - 4 - b).
E un K-ev, E* son dual. Considérons une partie B non vide de E*. On appelle orthogonal de B dans E le sous-ensemble de E : °B = {x

E,

f

B, < x , f > = 0}. °B est donc l'ensemble des vecteurs de E communs à tous les noyaux des éléments de B.
Définition III - 4 - c).
E un K-ev, E* son dual, E** son bidual. Considérons une partie B non vide de E*. On appelle orthogonal de B dans E** le sous-ensemble de E** : B° = {F

E**,

f

B, < f , F > = 0}.
Par convention, nous poserons : (
E)° = E* et °(
E*) = E.
Finalement : A° = {f

E*, A

Ker(f)} et °B =

Ker(f).
III - 3 - 2. Exemples
{0
E}° = {f

E*, < 0
E , f > = 0} = E*
E° = {f

E*,

x

E, < x , f > = 0} = {O*}
°{O*} = {x

E, < x , O* > = 0} = E
°{f} = {x

E, < x , f > = 0} = Ker(f). Donc Ker(f) = E si f = O* ou Ker(f) est un hyperplan de E si f est non nulle.
Soit H un hyperplan de E, H° = {f

E*,

x

H, < x , f > = 0} = {f

E*, H

Ker(f)}. La maximalité de H nous permet de distinguer deux cas : Ker(f) = E ou Ker(f) = H. Dans le premier cas, f = O*, dans le second cas, f est du type k.f
0 où f
0 est une forme linéaire non nulle de noyau H, et k un scalaire non nul. Ces deux cas se résument en un seul : f = k.f
0 , f
0 forme linéaire non nulle de noyau H, k scalaire quelconque.
Finalement, H° = K.f
0 : c'est la droite vectorielle engendrée par f
0.
Théorème III - 6.
{0E}° = E* ; E° = {O*} ; °{O*} = E ; °{f} = Ker(f). Pour tout hyperlan H de E, on aura : H° = K.f0 (avec Ker(f0) = H)
III - 3 - 3. Lien entre parties et sous-espaces
Dans chaque cas du théorème III - 6, on voit que l'orthogonal est toujours un sev ( de E ou de E*). Cette propriété est toujours vraie :
Théorème III - 7.
E, un K-ev, E* son dual, A une partie non vide de E et B une partie non vide de E*. Alors : A° est un sev de E* et °B est un sev de E.
Preuve :
Par définition : A° = {f

E*,

x

A, < x , f > = 0}. La forme nulle s'annulant sur tout élément de A, O*

A°, donc, A° est une partie non vide de E*. Si k et k' sont deux éléments de K, f et f ' deux éléments de A°,

x

A, < x , a.f + a'.f ' > = a.< x , f > + a'.< x , f ' > = 0. Donc, a.f + a'.f ' appartient à A°. Conclusion : pour toute partie A non vide de E, A° est un sev de E*.
Même principe pour °B. On remarque que le vecteur nul 0
E annule toute forme de B, donc 0
E 
°B, donc, °B est non vide. Si k et k' sont dans K, x et x' dans °B,

f

B, < k.x + k'.x' , f > = k.< x , f > + k'.< x' , f > = 0. Donc, k.x + k'.x' appartient à °B. Conclusion : pour toute partie B non vide de E*, °B est un sev de E.
Pour °B, on aurait pu utiliser la caractérisation : °B =

Ker(f), l'intersection de sev de E étant un sev de E.
Les conventions : (
E)° = E* et °(
E*) = E montrent que A vide ou B vide vérifient encore le théorème III - 7.
Théorème III - 8.
.
Si A est une partie non vide de E, et si B est une partie non vide de E*, alors, nous avons les deux égalités : A° = [vec(A)]°, °B = °[vec(B)]
A une partie non vide de E. Désignons par (x
a)
a
A la famille des éléments de A. On sait que vec(A) est le plus petit sev de E contenant A, et aussi l'ensemble des combinaisons linéaires finies d'éléments de A. Donc, tout élément x de vec(A) s'écrira : x =

k
a.x
a où les scalaires k
a sont nuls sauf un nombre fini d'entre eux.
f

A°

x
a 
A, < x
a , f > = 0

x

vec(A), < x , f > = <

k
a.x
a , f > =

k
a.< x
a , f > = 0. Donc : f

[vec(A)]°. D'où A°

[vec(A)]°. Réciproquement, si la forme f appartient à [vec(A)]°, elle prend la valeur 0 sur tous les éléments de vec(A), en particulier sur les éléments de A. Donc : f

A°.
La méthode pour prouver que °B = °[vec(B)] est exactement la même.
Ce résultat est précieux : la recherche de l'orthogonal d'un sev revient à chercher seulement l'orthogonal d'une partie génératrice de ce sev.
III - 3 - 4. Inclusions, réunion
Théorème III - 9.
E, un K-ev, E* son dual, A et A' deux parties non vides de E, B et B' deux parties non vides de E*. Alors :
(I) A

A'

E

(A')°

A°
et (II) B

B'

E*

°(B')

°B.
Preuve :
(I) A

A'

E. f

(A')°

a'

A', < a' , f > = 0

a

A, < a , f > = 0

f

A°.
(II) Même méthode pour B et B'.
Remarquer que l'orthogonalité "inverse les inclusions".
Théorème III - 10.
(A
i)
i
I une famille de parties de E. Alors : (
i A
i )° =
i (A
i)°.
Propriété analogue dans E* : (B
i)
i
I une famille de parties de E*. Alors : °(
i B
i ) =
i °(B
i).
En clair : l'orthogonal d'une union est égal à l'intersection des orthogonaux.
Preuve :
f
i (A
i )°

i, f

(A
i )°


i,

x

A
i, < x , f > = 0

f

(
i A
i )°. Donc :
i (A
i)°

(
i A
i )°
Réciproquement :

i, A
i
i A
i

i, (
i A
i )°

(A
i )° (Théorème III - 9)

(
i A
i )°
i (A
i)°.
La preuve pour les parties de E* est la même.
III - 3 - 5. Somme directe
Soit E un K-ev, on suppose que E est somme directe de deux sev F et G.
E = F

G = vec(F

G)

E° = [vec(F

G)]°

{O*} = (F

G)°

{O*} = F°

G° (I)
Nous savons que E = F

G

pour tout x de E, il existe un unique couple (y,z) de F×G tel que x = y + z. Soient p et q les projecteurs associés à la décomposition E = F

G. En clair, p et q sont les deux endomorphismes de E définis par p(x) = y et q(x) = z. Alors,

x

E, x = p(x) + q(x) signifie que Id
E = p + q. En composant à gauche par un élément quelconque f de E*, cela donne :

f

E*, f o Id
E = f o p + f o q

f = f o p + f o q. les deux applications f o p et f o q sont linéaires de E dans K, donc ce sont deux éléments de E*.
De plus,

y

F, f o q(y) = 0, donc, f o q

F° et,

z

G, f o p(z) = 0, donc, f o p

G°. D'après ce qui précède, cela signifie que E* = F° + G° (II). En rassemblant (I) et (II), on a bien E* = F°

G°.
Théorème III - 11.
E un K-ev. Alors, E = F

G

E* = F°

G°.
Exemple :
Pour tout hyperplan H de E, on a E = H

K.a, a

E \ H. Le théorème III - 11 permet alors d'écrire dans ce cas la décomposition E* = H°

(K.a)°. Le théorème III - 6 donne H° = K.f
0, avec Ker(f
0) = H. Donc, on en déduit que (K.a)° = {a}° est un hyperplan de E*. Une conséquence : il existe au moins une forme linéaire f ne s'annulant pas sur le vecteur (non nul) a.
Remarque :
On peut se poser des questions d'orthogonaux itérés en effectuant des aller-retours entre E et E*. Soient F un sev de E, F° (sev de E*) l'orthogonal de F, °(F°) (sev de E) l'orthogonal de F° et enfin, (°(F°))° (sev de E*) l'orthogonal de °(F°). Nous avons donc deux sev de E : F et °(F°) et deux sev de E* : F° et (°(F°))°. Comparons ces sev.
a) Etude dans E : comparaison de F et °(F°)
x

F

f

F°, < x , f > = 0

x

°(F°). Donc : F

°(F°). La preuve de l'inclusion réciproque est plus délicate à prouver en dimension non finie. Nous l'admettrons.
b) Etude dans E* : comparaison de F° et (°(F°))°
f

F°

x

°(F°), < x , f > = 0

f

(°(F°))°. Donc : F°

(°(F°))°. Mais ici, la réciproque fonctionne facilement. En effet, si l'on admet a), F

°(F°), donc, d'après le théorème III - 9, (°(F°))°

F°. Finalement : F° = (°(F°))°.
Théorème III - 12
Soit F un sev de E. Alors : F = °(F°) (dans E) et F° = (°(F°))° (dans E*).
III - 4. Transposition
III - 4 - 1. Définition
Soient E
1 et E
2 deux K-ev, u un élément de

(E
1 , E
2). Appelons y* un élément quelconque de (E
2)*. Alors, l'application y*
° u est linéaire (composée de deux applications linéaires) de E
1 dans K. Donc, y*
° u est un élément de (E
1)*. Finalement, on construit une application de (E
2)* vers (E
1)* définie par : y*

y*
° u. Appelons
tu cette application. Nous avons donc :

y*

(E
2)*,
tu(y*) = y*o u.

(a,b)

K²,

(y*,z*)

[(E
2)*]²,
tu(a.y* + b.z*) = (a.y* + b.z*)
° u = a.(y*
° u) + b.(z*
° u) = a.
tu(y*) + b.
tu(z*). Ceci montre que
tu est élément de

((E
2)*, (E
1)*).
La formule
tu(y*) = y*o u donne aussi :

x

E
1,

y*

(E
2)*, [
tu(y*)](x) = [y*
° u](x). En utilisant les crochets de dualité : < x ,
tu(y*) > = < u(x) , y* >.
Soit v

((E
2)*, (E
1)*) telle que

x

E
1,

y*

(E
2)*, < x , v(y*) > = < u(x) , y* >. Alors,

x

E
1,

y*

(E
2)*, v(y*)(x) = (y*
° u)(x)

y*

(E
2)*, v(y*) = y*
° u =
tu(y*)

v =
tu. Cela entraine l'unicité de
tu.
Cette propriété sera exploitée ainsi :

x

E
1,

y*

(E
2)*, < x , v(y*) > = < u(x) , y* >

v =
tu.
Définition III - 5.
E
1 et E
2 deux K-ev. A tout élément u de

(E
1 , E
2) on peut faire correspondre un élément
tu de

((E
2)*, (E
1)*) par la formule : pour tout y* dans (E
2)*,
tu(y*) = y*
° u.
L'application linéaire
tu ainsi définie s'appelle la transposée de u.
Remarque :
u : E
1 
E
2 donne
tu : (E
2)*

(E
1)* : on retourne et on passe aux duaux.
Théorème III - 13.
Etant donné u

(E
1 , E
2),
tu est l'unique élément de

((E
2)*, (E
1)*) défini par la formule :

x

E
1,

y*

(E
2)*, < x ,
tu(y*) > = < u(x) , y* >.
III - 4 - 2. Premières propriétés
a) 
(a,b)

K²,

(u,v)

[

(E
1 , E
2)]², < x ,
t(a.u + b.v)(y*) > = < (a.u + b.v)(x) , y* >

< x ,
t(a.u + b.v)(y*) > = a.< u(x) , y* > + b.< v(x) , y* > = a.< x ,
tu(y*) > + b.< x ,
tv(y*) >

< x ,
t(a.u + b.v)(y*) > = a.< u(x) , y* > + b.< v(x) , y* > = < x , a.
tu(y*) > + b.
tv(y*) >
Donc :
t(a.u + b.v) = a.
tu + b.
tv. (I)
Cela signifie que l'application T :

(E
1 , E
2)

((E
2)*, (E
1)*), définie par : T(u) =
tu, est linéaire.
Théorème III - 14 - a)
T :

(E
1 , E
2)

((E
2)*, (E
1)*), définie par : T(u) =
tu, est linéaire.
b) u

(E
1 , E
2), v

(E
2 , E
3),

v
° u

(E
1 , E
3),
tu

((E
2)*, (E
1)*),
tv

((E
3)*
, (E
2)*), et enfin
t(v
° u)

((E
3)*, (E
1)*). Nous avons les schémas suivants :
E
1 
E
2 
E
3 
E
1 
E
3 
(E
3)*
})
(E
1)*

(E
3)*

(E
2)*

(E
1)*

(E
3)*

(E
1)*. Il est donc légitime de comparer
t(v o u) et
tu o
tv.

x

E
1,

z*

(E
3)*, < x ,
t(v
° u)(z*) > = < (v
° u)(x) , z* > = < u(x) ,
tv(z*) > = < x , (
tu
° tv)(z*) >
Donc :
t(v
° u) =
tu
° tv. (II).
Théorème III - 14 - b)
Sous les hypothèses de b), t(v ° u) = tu ° tv.
c) Supposons que E
1 = E
2 = E. Alors, u

(E) et
tu

(E*).

x

E,

y*

E*, < x, y* > = < Id
E(x) , y* > = < x , Id
E*(y*) >. Donc
t(Id
E) = Id
E*. (III)
d) Soient E et E' deux K-ev isomorphes, u un isomorphisme de E sur E'. Il existe donc un isomorphisme v de E' sur E tel que : u
° v = Id
E' et v
° u = Id
E. Les propriétés précédentes donnent par transposition :
tv
° tu = Id
(E')* et
tu
° tv = Id
E*. Donc : u isomorphisme de E sur E'
tu isomorphisme de E' sur E. (IV).
En particulier, si E = E', on en déduit que :
t( u
-1 ) = (
tu )
-1 (V).
Théorème III - 14 - c)
t(Id
E) = Id
E*. Si u est un isomorphisme de E sur E', alors,
tu est un isomorphisme de (E')* sur E*. u
° v = Id
E' et v
° u = Id
E
tv
° tu = Id
(E')* et
tu
° tv = Id
E*. En particulier, si E = E', nous aurons :
t( u
-1 ) = (
tu )
-1. On peut donc écrire
tu
-1 sans ordre d'exécution.
III - 4 - 3. Comparaison entre certains sous-espaces
Soient u un élément de

(E
1 , E
2), et F un sev de E
1. Alors, l'orthogonal de F : F° est un sev de (E
1)*. Il est donc intéressant de regarder les correspondances. (Un schéma sagittal est très conseillé).
F

E
1 
u(F)

E
2 
(u(F))°

(E
2)*. Par ailleurs, F°

(E
1)*
tu
-1(F°)

(E
2)*. Il est donc naturel de vouloir comparer dans (E
2)* les deux sous-espaces : (u(F))° et
tu
-1(F°).
y*

(u(F))°

z

u(F), < z , y* > = 0. Or,

z

u(F), il existe x

F tel que z = u(x). Ainsi, nous aurons donc :

x

F, < u(x) , y* > = 0. Or,

x

F, < u(x) , y* > = 0

x

F, < x ,
tu(y*) > = 0. Cette dernière égalité signifie que : y*

(u(F))°

y*
tu
-1(F°).
Théorème III - 15.
Soit u

(E
1 , E
2). Alors, pout tout sev F de E
1, (u(F))° =
tu
-1(F°).
Conséquences :
Prenons F = E
1, alors, d'une part u(F) = u(E
1) = Im(u), d'autre part (F)° = (E
1)° = {O
1*} (forme nulle sur E
1). Enfin, par définition,
tu
-1({O
1*}) = Ker(
tu ). D'où : (Im(u))° = Ker(
tu ). Supposons maintenant que u soit surjective, c'est-à-dire Im(u) = E
2, alors : (Im(u))° = (E
2)° = {O
2*} = Ker(
tu ). Donc
tu est injective.
Théorème III - 16.
Soit u

(E
1 , E
2). Alors, (Im(u))° = Ker(
tu ) : l'orthogonal de l'image est égal au noyau de la transposée. En particulier : u surjective
tu injective.
III - 4 - 4. Passage aux quotients
Rappelons que si E est un K-ev et F un sev de E, la relation

définie dans E par : x

y

x - y

F, est une relation d'équivalence dans E. La classe de tout élément x est

= {x + ?, ?

F} = x + F. L'ensemble de ces classes se note E/F. On peut alors munir E/F d'une structure de K-ev en posant

et a.

=

.
L'application linéaire surjective

: E

E/F définie par

(x) =

est appelée la surjection canonique.
Cela étant, il existe un théorème universel très utile dans la pratique.
Théorème III - 17.
E
1 et E
2 deux K-ev, u

(E
1 , E
2). Pour tout sev F de E
1 tel que F

Ker(u), il existe une unique application linéaire

: E
1/F

E
2 telle que
° 
= u. En particulier, si F = Ker(u),

est un isomorphisme de E
1/Ker(u) sur Im(u).
Soient E un K-ev, F un sev de E. Nous savons que F°, orthogonal de F, est le sev de E* constitué des formes linéaires f telles que F

Ker(f). Appliquons le théorème III - 17 à tout élément f de F°. Considérons la surjection canonique

: E

E/F. D'après le théorème III - 16, sa transposée
t
: (E/F)*

E* est injective. Donc, par le théorème III - 17, (E/F)* est isomorphe à Im(
t
). Mais cette propriété étant vraie pour tout élément f de F°, on a Im(
t
) = F°. Conclusion :
Théorème III - 18.
E un K-ev, F un sev de E. Alors les espaces (E/F)* et F° sont canoniquement isomorphes.
III - 5. Etude en dimensions finies
III - 5 - 1. Introduction
Dans toute la suite, nous allons travailler dans des K-ev de dimensions finies strictement positives. Nous savons d'après le chapitre I que cela entraine des résultats remarquables.
dim(E) = dim(E*) = dim(E**) (théorème I - 1)
E et E** sont canoniquement isomorphes (théorème I - 3). Cet isomorphisme T de E sur E** étant défini par : pour tout x dans E, pour tout y* dans E*, < y* , T(x) > = < x , y* >. On peut se permettre d'identifier E et E** en confondant x et T(x).
La présence de bases duales.
Enfin, dans le chapitre III, nous avons donné la dimension commune à tous les hyperplans de E : si dim(E) = n > 0, tout hyperplan H a pour dimension n-1.
III - 5 - 2. Dimension de l'orthogonal
Soient E un K-ev de dimension n > 0, F un sev de E, dim(F) = p.
Si p = 0, F = {0
E}

F° = {0
E}° = E*. Donc, dim(F°) = n
Si p = n, F = E

F° = E° = {O*}. Donc, dim(F°) = 0
Si 0 < p < n, soit B
F = (e
1 , ... , e
p) une base de F complétée pour former une base de E, B
E = (e
1 , ... , e
n). Considérons la base duale de B
E : (B
E)* = (e
1* , ... , e
n*).
f

F°

f

[vec((e
1 , ... , e
p)]° = {e
1 , ... , e
p}°

j, 1
< j
< p, < f , e
j > = 0. Or, nous savons (théorème I - 5) que les scalaires < f , e
j > sont les coordonnées de f sur (B
E)*. Donc, f

F°

f = a
p+1.e
p+1* + ... + a
n.e
n*. Cela signifie que F° = vec(e
p+1* , ... , e
n*).
Ceci montre que dim(F°) = n-p.
Théorème III - 19.
E un K-ev de dimension finie > 0. Pour tout sev F de E, dim(F°) = dim(E) - dim(F). On appelle parfois dim(E) - dim(F) la codimension de F dans E. Donc : dim(F°) = codim(F).
Ce résultat va enfin nous permettre de comparer sans trop de difficulté les deux sev de E : F et °(F°) du théorème III - 12. En effet, on a déjà F

°(F°). D'autre part, dim[°(F°)] = codim(F°) = dim(F). Donc, en dimension finie, on a bien F = °(F°). Rappelons que cela induit : F° = (°(F°))°
III - 5 - 3. Quelques conséquences
E un K-ev de dimension n > 0, G un sev du dual E*. Nous savons que °G est un sev de E et que G° est un sev de E**. En dimensions non finies il était délicat de comparer les trois sev de E* : G, (°G)° et °(G°).
x**

G°

y*

G, < y* , x** > = 0

y*

G, < y* , T(x) > = 0

T(x)

G°.
Donc, G° = T(°G) : G° et °G sont canoniquement isomorphes. De plus, le théorème III - 19 appliqué à E* nous donne dim(G°) = dim(E*) - dim(G) = dim(E) - dim(G). D'où : dim(°G) = dim(G°) = dim(E) - dim(G) = codim(G). On remarquera la symétrie entre E et E** par rapport à E*. Certains auteurs appelle cette propriété l'effet miroir. Si l'on identifie E et E**, on peut alors confondre °G avec G°, ce qui revient à replier autour de E* le schéma : E ? E* ? E** qui transmet : °G ? G ? G°. Finalement, en identifiant E et E**, on peut se dispenser de distinguer °G et G°.
Théorème III - 20.
E un K-ev de dimension n > 0, G un sev de E*. Alors, le sev °G de E et le sev G° de E** sont canoniquement isomorphes. De plus dim(°G) = dim(G°) = codim(G).
Soit G un sev de E*, °G son orthogonal dans E, (°G)° l'orthogonal de °G dans E*. On dispose ainsi de deux sev de E* : G et (°G)°. Pour les dimensions : dim((°G)°) = codim(codim(G)) = dim(G). Pour une inclusion : f

G


x

°G, < x , f > = 0

x

(°G)°. On en déduit que G = (°G)°.
Soit G un sev de E*, G° son orthogonal dans E**, °(G°) l'orthogonal de G° dans E*. On a donc encore deux sev de E* : G et °(G°). Pour les dimensions : dim(°(G°)) = codim(codim(G)) = dim(G). Pour une inclusion : f

G


F

G°, < f , F > = 0

f

°(G°). On en déduit que G = °(G°).
Théorème III - 21.
E un K-ev de dimension n > 0. Pour tout sev G de E* on a : G = (°G)° = °(G°)
III - 5 - 4 - Double transposition
Soient E
1 et E
2 deux K-ev de dimensions finies n
1 et n
2, u

(E
1 , E
2). On sait qu'alors
tu

(E
2* , E
1*). On peut également considérer
t(
tu)

(E
1** , E
2**). Appelons T
1 : E
1 
E
1** et T
2 : E
2 
E
2** les isomorphismes canoniques. Nous avons,

x
1 
E
1,

y
2*

E
2* :
< y
2* ,
t(
tu)
° T
1(x) > = <
tu(y
2*) , T
1(x
1) > = < x
1 ,
tu(y
2*) > = < u(x
1) , y
2* >
< y
2* , T
2 ° u(x
1) > = < u(x
1) , y
2* >
On en déduit que
t(
tu)
° T
1 = T
2 ° u. Donc que :
t(
tu) = T
2 ° u
° (T
1)
-1.
Ceci montre que si l'on identifie E
1 et E
2 avec leurs biduaux, on a
t(
tu) = u.
III - 5 - 5. Etude de la transposée
Rappelons que E
1 et E
2 étant deux K-ev, u un élément de

(E
1 , E
2), y* un élément quelconque de (E
2)*, la transposée de u est l'élément
tu de

((E
2)*, (E
1)*) défini par :

y*

(E
2)*,
tu(y*) = y*
° u. Tout ce qui a été vu en dimensions quelconques reste naturellement valable. En particulier, nous savons déjà que : Ker(
tu) = (Im(u))°.
a) Appelons n
1 et n
2 les dimensions de E
1 et E
2. Dans (E
2)*, dim[(Im(u))°] = codim(Im(u)) = n
2 - rg(u). D'autre part, toujours dans (E
2)*, dim(Ker(
tu)) = n
2 - rg(
tu). Conclusion : rg(
tu) = rg(u).
b) Im(
tu) et (Ker(u))° sont deux sev de (E
1)*. D'abord, il est simple de vérifier que ces deux sev de E
1* ont même dimension. Montrons une inclusion. x*

Im(
tu)

il existe y*

(E
2)* tel que x* =
tu(y*). Alors,

x

Ker(u) : < x , x* > = < x ,
tu(y*) > = < u(x) , y* > = < 0(E
2) , y* > = 0. Donc, x*

Im(
tu)

x*

(Ker(u))°. Ceci montre que Im(
tu) = (Ker(u))°.
Théorème III - 22
Si E
1 et E
2 sont de dimensions finies, alors, pour tout élément u de

(E
1 , E
2), nous avons les propriétés suivantes : rg(
tu) = rg(u), Im(
tu) = (Ker(u))°, Ker(
tu) = (Im(u))°. On peut en déduire en particulier que : u injective
tu surjective et u surjective
tu injective.
c) Posons dim(E
1) = p, dim(E
2) = q et munissons E
1 et E
2 de bases B
1 = (a
1 , ... , a
p) et B
2 = (b
1 , ... , b
q). Nous munissons E
1* et E
2* des bases duales correspondantes. (B
1)* = (a
1* , ... , a
p*) et (B
2)* = (b
1* , ... , b
q*). Soient A = Mat(u, B
1, B
2) = (a
ij), et A' = Mat(
tu, (B
2)*, (B
1)*) = (b
ij). Nous savons que a
ij est la coordonnée n°i du vecteur colonne n°j. Cela signifie que a
ij = < u(a
j) , b
i* >.
Si nous adaptons ce résultat à A', en notant (B
1)** = (a
1** , ... , a
p**) la base duale de (B
1)* dans E
1**, cela donne : b
ij = <
tu(b
j*) , a
i** >. En identifiant E
1 et son bidual, b
ij = < a
i ,
tu(b
j*) > = < u(a
i) , b
j* > = a
ji.
Théorème III - 23.
Mat( tu, (B2)*, (B1)*) = t [ Mat(u, B1, B2) ]. En clair : à condition de travailler dans les bases duales, la matrice de la transposée de u est la transposée de la matrice de u.
III - 5 - 6. Conclusion
Comme nous le voyons, les propriétés concernant la dualité sont très étendues. Ce chapitre III a donné quelques pistes pour faire face à la plupart des questions concernant cette théorie.
Dans un chapitre IV on trouvera quelques exercices portant sur la dualité.
Il faut savoir que la dualité est également omniprésente en analyse : formes différentielles, mesures, distributions... Cependant, les formes linéaires utilisées sont continues ou ont des restrictions continues. L'espace des formes linéaires continues sur un R ou un C-espace vectoriel topologique E s'appelle le dual topologique de E.