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3-Complements sur la dérivation
Bonjour, j'ai besoin de votre aide car je ne comprends rien à mon exercice sur la dérivation
On se propose déterminer de deux façon différente le signe de la fonction f définie sur R par:
f(x)=e^(-2x+1)+2x-2
1.a)Démontrer que f est convexe sur R
b) Dans un repère orthonormé, déterminer une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1/2.
2.Etudier le signe de f(x) suivant les valeurs de x:
a)en utilisant la question 1(et la tangente en x=1)
b)en dressant le tableau de variation de f
Bonjour,
1) a) Une fonction est convexe sur un intervalle ssi sa dérivée est croissante sur cette intervalle, autrement dit si sa dérivée seconde est positive.
Bon après-midi,
f'(x)=-2e^(-2x+1)+2
et je ne sais pas si c'est juste et je ne sais plus comment faire la dérive seconde
C'est juste.
Je te mets au défi de trouver un réel y pour lequel sur
…
On prend
Si , alors
.
Si , alors
.
Si , alors
et
…
Autrement dit, sur
donc
aussi sur
. C'est pas une preuve très formelle, mais à mon avis tu n'as pas besoin de justifier.
oui,
pour la question 2.a
pour x=1
j'ai trouver comme résultat final
y=-2e^(-1)x+3e^(-1)+2x-2
f(1)= -2e^(-1)x+3e^(-1)+2x-2
Bonne équation pour y.
Vous pouvez d'ailleurs simplifier cette équation en :
En revanche, vous ne pouvez pas avoir des termes en x dans , car c'est une valeur bien déterminée !
La question 2) a) vous demande d'étudier le signe de f(x) suivant les valeurs de x : en utilisant la question 1 (sur la convexité de la fonction) et la tangente en x = 1, pas uniquement de calculer f(1) ou l'équation de la tangente en x = 1.
Récapitulons :
• On a pour le point
.
• Notons m la tangente au point d'abscisse .
(j'avais d'ailleurs fait une erreur dans cette réduction hier).
On constate que le coefficient directeur de m est … (à compléter).
Oui ! Donc m est … (supérieure, égale, inférieure) à y et m est … (croissante, constante ou décroissante).
Oui c'est juste !
Pour généraliser, énoncé à compléter :
Les tangentes doivent toutes être de coefficients … (croissants, décroissants, constants) quand le point x à l'abscisse augmente (convexité).
C'est juste, maintenant on va aller plus vite.
Comme la fonction est convexe, les tangentes de f(x) sont toutes à coefficients croissants, ce qui signifie que plus le point d'abscisse x "augmente", plus l'équation de la tangente sera grande.
Par exemple, si est la tangente à la fonction au point d'abscisse x, alors
.
Or l'équation de la tangente est nulle en .
Donc les tangentes avant 1/2 sont négatives et décroissantes, ce qui signifie que la fonction est … [croissante, décroissante, constante].
Et les tangentes après 1/2 sont positives et croissantes, ce qui signifie que la fonction est … [croissante, décroissante, constante].
Non, c'est le contraire, mais tu peux le voir facilement sur un graphe, par exemple celui en pièce-jointe.
En rouge tu as la fonction f(x), en orange la tangente en x = 1/2, en violet la tangente en x = 1 et en bleu la tangente en x = 0.
On voit que toutes les tangentes avant x = 1/2 sont décroissantes, ce qui implique que la fonction est décroissante avant 1/2, et que toutes les tangentes après x = 1/2 sont croissantes, ce qui implique que f(x) est croissante après 1/2 (convexité).
Maintenant, on peut répondre à la question de départ :
La fonction est décroissante jusqu'à f(1/2) = 0 puis croissante, ce qui implique que 0 est le minimum global de f, et que f est toujours positive.
Bonjour,
Je pense qu'il y a une erreur dénoncé ici :
2.Etudier le signe de f(x) suivant les valeurs de x:
a)en utilisant la question 1(et la tangente en x=1/2)
La fonction
En particulier la tangente au point d'abscisse
donc
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